Scritto di meccanica razionale 1 A-L ed M-Z del

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1 Scritto di meccanica razionale 1 A- ed M-Z del 1.6. Esercizio 1 In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, una lamina rigida omogenea, didensità σ = m/a,occupa la regione del piano verticale Oxy definita da {(x, y R : x [,a], y x /a} essendo a una costante positiva. Un punto materiale pesante P,dimassa m, èvincolato ascorrere senza attrito lungo il bordo superiore OB della lamina. Determinare (a l equazione del moto del punto P ; (b la posizione del baricentro di rispetto alla terna Oxyz; (c la matrice d inerzia di relativa alla stessa terna Oxyz; (d il momento d inerzia di rispetto all asse OB; (e momento angolare in O ed energia cinetica di qualora fossero il punto O fisso e la velocità angolare istantanea ω =3ωê 1 5ωê 3,conω>; 1

2 Esercizio Un asta rigida omogena AB, dimassa m elunghezza, hagliestremi vincolati a scorrere rispettivamente lungo gli assi Oy e Ox di una terna Oxyz, rotante con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Un disco circolare omogeneo di centro B, raggio R emassa m, èvincolato a rimanere nel piano Oxy, potendo ruotare attorno all estremo B dell asta in modo che un punto fissato C sul bordo del disco si mantenga al di sotto dell asse Ox. Due molle ideali di costante mω congiungono rispettivamente B con l origine O e C con la sua proiezione ortogonale P sull asse Ox. Ilsistemaèpesanteeavincoli ideali. Usando gli angoli θ R e φ [ π/,π/] in figura come parametri lagrangiani, determinare: (a l energia cinetica del sistema relativamente alla terna Oxyz; (b gli equilibri relativi a Oxyz, ordinari e di confine; (c le proprietàdistabilità degli equilibri ordinari; (d le equazioni pure del moto; (e l energia cinetica del sistema nella configurazione (θ, φ = (,π/ per il moto di condizioni iniziali (θ, φ, θ, φ =(π/3,π/6,, si assuma g/ω < 1/.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Equazione del moto del punto P a posizione del punto P lungoilbordo superiore della lamina viene individuata per mezzo della parametrizzazione P O = x ê 1 + x a ê x [,a] in termini dell ascissa x. ungo un qualsiasi moto possibile, ottenuto assegnando x come funzione C del tempo a valori in [,a], la velocità istantaneadip si scrive P = ẋ ê 1 + x ( a ẋ ê = ẋ ê 1 + x a ê elacorrispondente accelerazione vale ( P = ẍ ê 1 + x a ê + aẋ ê. Il vettore tangente all arco OB nella posizione P (x èdatodalla derivata prima: dp dx (x =ê 1 + x a ê che, risultando diversa da zero x [,a], assicura la regolarità della parametrizzazione. Il postulato delle reazioni vincolari porge allora l equazione del moto m P = m g + Φ nella quale l ipotesi di curva liscia impone che si abbia Φ dp (x =. dx equazione pura del moto diventa pertanto m P dp dx (x = mg ê dp dx (x ossia, sostituendo la parametrizzazione ed eseguendo i prodotti scalari, ẍ (1+ x + a a xẋ = mg a x x (,a. (b Baricentro della lamina Il baricentro G della lamina si colloca certamente nel piano di giacitura,oxy, della stessa. Il vettore posizione di G deve quindi essere cercato nella forma G O = x G ê 1 + y G ê 3

4 essendo al solito ê 1, ê, ê 3 iversoriortonormali associati alla terna cartesiana Oxyz. Preliminarmente conviene determinare la massa µ della lamina, integrando la densità σ: µ = σdxdy = a dx x /a dy m a = m a a dx x a = m [ x 3 a 3a ] a = m 3. Per definizione, l ascissa x G del baricentro èallora individuata da: x G = 1 µ xσdxdy = 3 m a dx x /a dy x m a = 3 a a dx x3 a = 3 [ x a 3 ] a = 3 a ed in modo analogo si calcola l ordinata y G : y G = 1 µ a yσdxdy = 3 dx m x /a dy y m a = 3 a a dx x a = 3 [ x 5 a 5 ] a = 3 1 a a posizione del baricentro rispetto alla terna Oxyz è quindi specificata dal vettore: G O = 3 a ê a ê. (c Matrice d inerzia della lamina Poiché lalaminagiace interamente nel piano coordinato Oxy, lamatriced inerzia della lamina rispetto alla terna Oxyz deve assumere la forma generale [ O ]= xx xy xy yy xx + yy in cui imomenti xx, yy ed il prodotto d inerzia xy vanno calcolati per mezzo delle rispettive definizioni, ricordando l omogeneità del sistema e dunque la costanza della sua densità σ. Ilmomento d inerzia rispetto all asse coordinato Ox si scrive: xx = = m a y σdxdy= a [ y 3 dx 3 a ] x /a dx x /a = m 3a 1 a 3 dy y m a = a x 6 dx = m a 7 3a 5 7 = 1 1 ma

5 mentre quello relativo all asse Oy vale: yy = = x σdxdy= a dx x m a x a a = m a 3 dx x a x /a dy m a = x dx = m a 5 a 3 5 = 1 5 ma. Il prodotto d inerzia xy èinvece dato dalla relazione: xy = = m a = m a a xy σ dxdy = a a dx x x /a dx x x a dx x /a dy y = m a dy xy m a = a [ y dx x ] x /a = m a a x 5 dx = 1 1 ma per cui la matrice d inerzia della lamina, relativamente alla terna Oxyz, siriducea 1/1 1/1 [ O ]=ma 1/1 1/5. 6/15 = (d Momento d inerzia rispetto all asse OB Poiché ilpunto B ha coordinate (x, y, z =(a, a,, la retta OB èindividuata dal versore normale ˆn = B O B O = a ê 1 + a ê a ê 1 + a ê = 1 ê ê di componenti (n 1,n,n 3 =(1/, 1/,. Il momento d inerzia relativo all asse OB = Oˆn si ricava quindi per mezzo della relazione lineare I Oˆn =ˆn O (ˆn =(n 1 n n 3 [ O ] n 1 n = n 3 ( 1 1 1/1 1/1 = ma 1/1 1/5 1/ 1/ = 6/15 5

6 1/1 1/1 1 = ma (11 1/1 1/5 1 = 6/15 ( = ma = 17 1 ma. (e Momento angolare ed energia cinetica della lamina Nell ipotesi che il punto O sia fisso, il momento angolare in O della lamina èdato dall espressione generale K O = O ( ω in cui le componenti K 1,K,K 3 del momento possono essere ricavate per mezzo della relazione matriciale K 1 K =[ O ] ω 1 ω K 3 ω 3 essendo ω 1,ω,ω 3 le componenti della velocità angolare ω rispetto alla terna Oxyz. Nella fattispecie (ω 1,ω,ω 3 =(3ω,, 5ω, per cui la relazione precedente diventa: K 1 K K 3 = ma 1/1 1/1 1/1 1/5 6/15 ed il momento angolare in O si riduce a K O 3ω 5ω ( = ma ω 1 7 ê1 1 ê 6 1 ê3. = ma ω 1/7 1/ 6/1 Quanto all energia cinetica, l espressione generale per l energia cinetica di un sistema rigido con punto fisso O fornisce T = 1 ω O( ω = 1 ω K O = 1 1/7 (3ω 5ωma ω 1/ = 6/1 = 1 ma ω (3 5 1/7 1/ 6/1 = 1 ma ω ( = 139 ma ω. Soluzione dell esercizio (a Energia cinetica Il sistema ècostituito da due parti rigide, l asta e il disco. energia cinetica può quindi calcolarsi come somma di due contributi, il primo relativo all asta ed il secondo riguardante il disco. Entrambi vengono calcolati per mezzo del teorema di König, data la mancanza 6

7 di punti fissi. Il baricentro G dell asta omogenea AB si identifica con il punto medio di questa G O = A O + B O eperviadelle ovvie relazioni A O = cos θ ê B O = sin θ ê 1 si scrive G O = sin θ ê 1 + cos θ ê. Il teorema di König porge allora T asta = m Ġ + 1 Iasta Gz θ ê 3 = = m cos θ θ ê 1 sin θ θ ê + 1 m 1 θ = m θ + m 1 θ = 1 3 m θ, mentre per il disco si ha l analoga espressione: T disco = m Ḃ + 1 Idisco Bz φ ê 3 = = m cos θ θ ê1 + 1 mr φ = m cos θ θ + mr φ. energia cinetica del sistema vale pertanto T = T asta + T disco = ( cos θm θ + mr φ. (b Equilibri relativi Tutte le sollecitazioni agenti sul sistema sono di carattere posizionale e conservativo: il peso, le forze centrifughe, le interazioni elastiche O B e C P.eforzediCoriolis hanno componenti lagrangiane identicamenente nulle, dal momento che il sistema è vincolato a restare in un piano passante per l asse di rotazione Oy. e sollecitazioni sono quindi descritte completamente per mezzo di un appropriato potenziale U, che risulterà dalla somma di un termine gravitazionale, uno centrifugo ed uno elastico. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale si ottiene sommando i contributi di asta e disco, ed èquindi dato dall espressione U g = mg ê (G O mg ê (B O = mg cos θ + = mg cos θ. 7

8 Potenziale delle forze centrifughe Il potenziale centrifugo è la somma dei potenziali centrifughi di asta e disco U cf = U asta cf = ω + U disco cf = ω Iasta Oy m [ sin θ + ω 3 = m ω sin θ + ω 3 + ω Idisco Oy = m B O + IBy disco ] [m( sin θ + mr = m ω sin θ + m ω sin θ +costante = m ω sin θ +costante. Potenziale elastico Alle due molle ideali, di costante elastica mω,siassocia il potenziale: U el = 1 mω B O 1 mω C P = m ω sin θ mr ω cos φ. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali gravitazionale, centrifugo ed elastico: U = mg cos θ 1 6 m ω sin θ mr ω cos φ (θ, φ R [ π/,π/]. Equilibri ordinari e configurazioni di equilibrio ordinarie sono tutti e soltanto i punti critici del potenziale, in corrispondenza dei quali si annullano le derivate prime di questo: U θ = mg sin θ 1 3 m ω sin θ cos θ ] = = U φ =mr ω cos φ sin φ. Si tratta perciòdirisolvereil sistema di equazioni trigonometriche mg sin θ 1 3 m ω sin θ cos θ = (θ, φ R ( π/,π/ mr ω sin φ cos φ = ovvero il sistema equivalente ( 3g sin θ ω cos θ sin φ cos φ = = di equazioni disaccoppiate, la prima nella sola variabile θ, laseconda nella sola φ. soluzioni in φ della seconda equazione sono e φ =, π, +π/, π/ 8

9 ediesse soltanto φ =risulta accettabile in quanto ricompresa nell intervallo di definizione del potenziale. e soluzioni in θ della prima equazione sono invece rappresentate da sempre definite, e da θ =, π, ( 3g θ = ±θ = ±arc cos ω definite e distinte dalle precedenti a condizione che si abbia 3g/ω < 1. Gli equilibri ordinari del sistema risultano pertanto: (θ, φ =(,, (π, sempre definiti (θ,, ( θ, definiti per 3g/ω < 1. Equilibri di confine Il teorema dei lavori virtuali stabilisce che le configurazioni del tipo (θ, φ =(θ, π/, con θ R, sono di equilibrio se e soltanto se vale U θ (θ, π/ δθ + U φ (θ, π/ δφ δθ R, δφ ovvero èsoddisfatto il sistema didisequazioni U θ (θ, π/ = U φ (θ, π/ che esplicitamente si scrive ( 3g sin θ ω cos θ =, per cui risulta θ =,π e θ = θ, θ qualorasia3g/ω < 1. In modo analogo, la condizione necessaria e sufficiente affinché ilsistema presenti un equilibrio in (θ, φ = (θ, π/ èdatada U θ (θ, π/ δθ + U φ (θ, π/ δφ δθ R, δφ ossia da U θ (θ, π/ = U φ (θ, π/ ( 3g sin θ ω cos θ = con gli stessi risultati relativi a θ. Gli equilibri di confine del sistema sono pertanto: (θ, φ =(, π/, (π, π/, (,π/, (π, π/, 9

10 comunque definiti, e: (θ, φ =(θ, π/, ( θ, π/, (θ,π/, ( θ,π/, che invece esistono distinti dai precedenti a condizione che sia 3g/ω < 1. (c Stabilità degliequilibri ordinari Trattandosi di sistema scleronomo soggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali e conservative, la stabilità degli equilibri ordinari può esserediscussa facendo riferimento ai teoremi standard di agrange-dirichlet e di inversione parziale. A tale scopo si rende necessario calcolare preliminarmente le derivate parziali seconde del potenziale U θθ = mg cos θ 1 3 m ω (cos θ sin θ U θφ = U φθ = U φφ =mr ω (cos φ sin φ cui èassociata la matrice hessiana del potenziale U in (θ, φ R ( π/,π/: H U (θ, φ = ( mg cos θ 1 3 m ω (cos θ sin θ mr ω (cos φ sin φ Nella fattispecie non occorre procedere all esame delle singole configurazioni di equilibrio ordinarie: (θ, φ =(,, (π,, (θ,, ( θ, dal momento che per ciascuna di esse la matrice hessiana del potenziale è comunque diagonale e soddisfa inoltre la condizione U φφ (θ, = mr ω > ammettendo perciò almeno un autovalore di segno positivo. Il teorema di inversione parziale di agrange-dirichlet assicura così l instabilità ditutti gli equilibri ordinari del sistema. (d Equazioni del moto Il sistema essendo a vincoli ideali, olonomo e soggetto a sollecitazioni posizionali conservative, le equazioni pure del moto possono scriversi nella forma lagrangiana d ( dt θ θ = d dt ( φ φ = dove la lagrangiana = T + U del sistema èdata dall espressione. = ( cos θm θ + mr φ mg cos θ 1 6 m ω sin θ mr ω cos φ. 1

11 Di qui, ricordando la convenzione che vuole le variabili θ, φ, θ, φ riguardate come indipendenti, si ricavano le relazioni: ( θ = 3 +cos θ m θ d ( ( dt θ = θ 3 +cos m θ m sin θ cos θ θ θ = m sin θ cos θ θ + mg sin θ 1 3 m ω sin θ cos θ e mr = φ φ d ( dt φ = mr φ φ =mr ω sin φ cos φ che sostituite nelle equazioni di agrange porgono il risultato richiesto: ( θ 3 +cos m θ + m mr φ mr ω sin φ cos φ =. ( θ + ω sin θ cos θ mg sin θ = 3 (e Calcolo dell energia cinetica in una configurazione data, per assegnate condizioni iniziali Poiché ilsistemascleronomo e a vincoli ideali èsoggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative, un suo ovvio integrale primo èrappresentato dall energia meccanica H = T U: H(θ, φ, θ, φ ( 1 = cos θm θ + mr φ +mg cos θ+ 1 6 m ω sin θ+mr ω cos φ. All istante iniziale, l energia meccanica del sistema per il moto corrispondente alle condizioni iniziali (θ, φ, θ, φ =(π/3,π/6,, èdatada H(π/3,π/6,, = 1 mg m ω + 3 mr ω esimantiene inalterata lungo di esso. Allorquando il sistema raggiunge la configurazione (θ, φ =(,π/, l energia potenziale assume il valore U(,π/ = mg + 1 mr ω elacorrispondente energia cinetica deve risultare pertanto T = H(π/3,π/6,, + U(,π/ = = 1 mg m ω + 3 mr ω mg 1 mr ω = 1 8 m ω 1 mg + 1 mr ω 11

12 una quantità che, nell ipotesi di g/ω < 1/ è certamente positiva T = 1 8 m ω 1 mg + 1 mr ω = 1 ( 8 m ω 1 g + 1 ω mr ω > 1 mr ω. Si osservi che, a priori, il passaggio della soluzione per la configurazione (θ, φ =(,π/ non èaffatto ovvio. assunto che ciò avvenga può essere dimostrato facendo uso dell analisi qualitativa di Weierstrass, come illustrato nella nota seguente. Osservazione. Andamento qualitativo delle soluzioni a lagrangiana del sistema si può esprimere nella forma (θ, φ, θ, φ = 1 (θ, θ+ (φ, φ dove la lagrangiana parziale 1 dipende unicamente dal parametro θ edalla velocità generalizzata θ 1 (θ, θ ( 1 = θ cos m θ mg cos θ 1 6 m ω sin θ mentre èfunzione delle sole variabili φ e φ (φ, φ = mr e equazioni di agrange diventano allora d ( 1 dt θ φ mr ω cos φ. 1 θ = d ( dt φ φ = epossono essere interpretate come le equazioni pure di due sistemi scleronomi disaccoppiati aungradodi libertà, l uno descritto dal parametro lagrangiano θ e l altro rappresentato per mezzo della coordinata lagrangiana φ. A ciascuno di questi due sistemi, scleronomo eposizionale conservativo, si associa un integrale primo di Jacobi, identificabile con una sorta di energia meccanica parziale: H 1 (θ, θ = 1 θ θ 1 = H (φ, φ = φ ( cos θ m θ + mg cos θ m ω sin θ φ = mr φ + mr ω cos φ. energia potenziale relativa al primo sistema parziale si scrive U 1 (θ =mg cos θ m ω sin θ enell ipotesi anzidetta di g/ω seguente: < 1/ ilsuografico èdel tipo illustrato nella figura 1

13 Quanto all energia potenziale del secondo sistema, questa assume la forma ed ha il grafico sottoriportato U (φ =mr ω cos φ Per una quasiasi scelta delle condizioni iniziali, l andamento qualitativo delle relazioni orarie θ(t eφ(t può essere descritto per mezzo dell analisi di Weierstrass, applicabile in quanto i sistemi parziali sono unidimensionali e posizionali conservativi. Si osservi infine che la somma dei due integrali di Jacobi H 1 e H coincide, come deve, con l energia meccanica totale del sistema: H(θ, φ, θ, φ =H 1 (θ, θ +H (φ, φ. 13