Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna ortogonale Oxyz si considera il sistema materiale in figura, costituito da una piastra quadrata omogenea P = ABCD, di lato a e massa m, e da un asta rettilinea omogenea CE, di lunghezza a e massa m. Si chiede di determinare del sistema: (a la posizione del baricentro G; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz; (c i momenti d inerzia rispetto alle rette OC e AD; (d le possibili posizioni del baricentro se le funzioni densità di asta e piastra non fossero note. Esercizio Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a scorrere lungo la curva di equazione y = (x / (x / nel piano Oxy = Oê 1 ê, con l asse Oy orientato verticalmente verso l alto. Determinare: (a le equazioni pure del moto del sistema, assumendo la curva liscia; (b gli equilibri, sempre nell ipotesi di curva liscia; (c gli equilibri nell ipotesi che il coefficiente di attrito statico sia µ s < 1/4. 1

2 Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz un anello circolare omogeneo γ, di massa m, centro C e raggio a, è vincolato a passare per l origine O, mentre un suo punto assegnato A può scorrere liberamente lungo l asse verticale Oy. Una molla ideale di costante elastica k collega A ad O. L anello è pesante e soggetto a vincoli ideali. Assumendo l angolo ϑ R in figura come coordinata generalizzata, determinare del sistema: (a gli equilibri; (b le caratteristiche di stabilità degli equilibri; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni pure del moto; (e le espressioni della quantità di moto del momento angolare in O.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Baricentro Il baricentro dell asta omogenea CE si identifica con il suo punto medio D, che ne costituisce infatti un ovvio centro di simmetria: G CE O = D O = aê 1 + aê. Per la piastra quadrata omogenea P il baricentro è invece individuato dal centro geometrico e di simmetria, il cui vettore posizione vale: G P O = aê 1 + a ê. Il baricentro del sistema si calcola infine ricorrendo al teorema distributivo, per mezzo della formula: G O = m(g CE O + m(g P O = 1 ( aê 1 + aê + m + m aê 1 + a = 5 ê 4 aê aê. (b Matrice d inerzia relativa a Oxyz Matrice d inerzia dell asta CE L asta può essere descritta dalla parametrizzazione: P (x O = xê 1 + aê, x [, a], e ha densità costante λ = m/a, mentre l elemento infinitesimo di lunghezza risulta ds = dx. La matrice d inerzia relativa a Oxyz deve essere della forma: [ O ] = xx xy xy yy xx + LCE yy in quanto l asta giace interamente nel piano coordinato Oxy. Per il momento d inerzia relativo ad Ox si ha l espressione: xx = CE y λ ds = mentre il momento d inerzia rispetto ad Oy si scrive: yy = CE x λ ds = a a x m a dx = m a L unico prodotto d inerzia non banale vale infine: yy = xyλ ds = CE a a m dx = ma a [ x xa m a dx = m ] a [ x = 4 ma. ] a = ma

4 per cui la matrice d inerzia dell asta diventa: [ O ] = ma /. 7/ Matrice d inerzia della piastra P La matrice d inerzia della piastra ha la stessa struttura di quella dell asta: e va calcolata usando la parametrizzazione: L P [L P xx L P xy O] = L P xy L P yy L P xx + L P yy P O = xê 1 + yê, (x, y [a, a] [, a], con la densità areale σ = m/a e l elemento di area da = dxdy. Il momento d inerzia relativo all asse Ox è dato da: L P xx = P y σ da = a a dx dy y m a = m a a a a dx a y dy = m a a a = ma e quello rispetto all asse Oy risulta: L P yy = P x σ da = a a dx dy x m a = m a a a a x dx a dy = m a [ x ] a a a = 7 ma mentre il solo prodotto d inerzia non banalmente nullo si scrive: L P xy = xyσ da = P = m a a a x dx a a a dx a y dy = m a [ x dy xy m a = ] a a a = 4 ma, in modo che: [L P O] = ma 1/ /4 /4 7/ 8/. 4

5 Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia del sistema relativa alla terna Oxyz è la somma delle matrici d inerzia di asta e piastra rispetto alla stessa terna: [L O ] = [ O ] + [L P O] = ma = ma / 7/ 4/ 7/4 7/4 11/. 5 + ma 1/ /4 /4 7/ 8/ (c Momenti d inerzia relativi alle rette OC e AD Momento d inerzia rispetto alla retta OC La retta OC passa ovviamente per l origine ed è individuata dal versore tangente: = ˆτ = C O C O = aê 1 + aê aê 1 + aê = ê 1 + ê 5 = τ 1 ê 1 + τ ê + τ ê. Il momento d inerzia del sistema relativo a OC si calcola dunque per mezzo della ben nota formula: I OC = ˆτ L O (ˆτ = (τ 1 τ τ [L O ] τ = τ = 1 4/ 7/4 ( 1 ma 7/4 11/ 5 τ 1 [ = ma = 5 ( 7 ] 1 = 4 5 ma. Momento d inerzia rispetto alla retta AD La retta AD non passa per l origine, ma è parallela all asse coordinato Oy. Il momento d inerzia relativo ad AD si può determinare applicando due volte il teorema di Huygens- Steiner, per mezzo delle relazioni: dalle quali si deduce: I Oy = I Gy + mx G I AD = I Gy + m(x G a I AD = I Oy mx G + m(x G a = I Oy + m(a ax G dove x G = (5/4a indica l ascissa del baricentro, mentre I Oy = (11/ma. Si ha così: I AD = 11 ( ma + m a a 5 ( 11 4 a = ma 5 = ma.

6 (d Possibili posizioni del baricentro per densità arbitrarie Nel caso che le densità di asta e piastra non siano specificate, la proprità dell inviluppo convesso assicura che comunque il baricentro G deve appartenere all inviluppo convesso del sistema, che nella fattispecie si identifica con il trapezio chiuso ABCE. Si noti che la posizione calcolata al punto (a per il caso di asta e piastra omogenei appartiene certamente all inviluppo convesso del sistema. Soluzione dell esercizio (a Equazioni pure del moto nel caso di curva liscia Indicati con P (x la parametrizzazione della curva vincolare e con P (x(t un generico moto possibile del punto materiale lungo di essa, il postulato delle reazioni vincolari si scrive: m P = mgê + Φ, (1 dove Φ è la reazione vincolare agente sul punto. L ipotesi di curva liscia consente di ricavare una equazione pura del moto proiettando la (1 lungo la direzione tangente definita dalla derivata prima P (x, purchè questa sia sempre diversa da zero. Si ha in effetti: P = P (xẋ e P = P (xẍ + P (xẋ per cui l equazione pura del moto assume la forma: m P (x ẍ + mp (x P (xẋ = mgê P (x. ( Nella fattispecie la parametrizzazione della curva vincolare si scrive: ( x P (x O = xê 1 + x ê, x R, ed è chiaramente regolare, non annullandosene mai la derivata prima: Per la derivata seconda vale infine: P (x = ê 1 + (x xê, x R. P (x = (x 1ê. Sostituendo queste espressioni nella ( si ottiene così l equazione del moto richiesta: m [ 1 + (x x ] ẍ + m(x 1(x xẋ = mg(x x. ( (b Equilibri nel caso di curva liscia Gli equilibri del sistema precedente corrispondono alle soluzioni statiche dell equazione pura del moto ( e si ottengono perciò risolvendo l equazione algebrica: = mg(x x 6

7 che porge le radici: Le configurazioni di equilibrio sono dunque: x = x = 1. P ( O = e P (1 O = ê 1 1 6ê. (c Equilibri in presenza di attrito radente Poichè il punto è vincolato a una curva del tipo y = f(x, con Oy asse verticale, e risulta soggetto alla sola forza peso, la condizione di equilibrio in presenza di attrito radente statico si scrive: Nella fattispecie è: f (x µ s. f(x = x x per cui la precedente condizione di equilibrio diventa: x x µ s, ossia: µ s x x µ s con µ s < 1/4. Come illustrato in figura, il grafico della funzione x x è una parabola con la concavità rivolta verso l alto e vertice in (x, y = (1/, 1/4. Gli equilibri corrispondono a tutti i valori di x per i quali il grafico della parabola è compreso fra le rette orizzontali di ordinata µ s e µ s. Per determinarli basta calcolare le intersezioni fra il grafico di x x e ciascuna delle due rette. Per x x = µ s si ha l equazione x x µ s =, le cui radici risultano: x 1 = µ s x = µ s L equazione x x = µ s equivale invece a x x + µ s = ed ammette le soluzioni: x = 1 1 4µ s x 4 = µ s reali e distinte grazie all ipotesi µ s < 1/4. Le configurazioni di equilibrio corrispondono dunque agli intervalli chiusi x [x 1, x ] e x [x 4, x ], ossia: [ µs x, 1 ] [ 1 4µ s µs x, 1 + ] 1 + 4µ s il primo dei quali comprende l equilibrio x =, mentre il secondo contiene l equilibrio x = 1. Si osservi che per µ s decrescendo, i due intervalli si restringono e tendono agli equilibri definiti per il caso della curva liscia. 7.,

8 Soluzione dell esercizio (a Equilibri Il sistema è scleronomo, a vincoli bilaterali ideali e soggetto soltanto a sollecitazioni posizionali conservative, costituite dal peso e dall interazione elastica dovuta alla molla ideale. Si tratta quindi di determinare, preliminarmente, i potenziali gravitazionale ed elastico. A questo scopo è importante scrivere i vettori posizione dei punti A e C: A O = a cos ϑ ê C O = a(sin ϑ ê 1 cos ϑ ê. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale dell anello omogeneo è dato da: U g = mgê (C O = mga cos ϑ, in quanto C è centro di simmetria e baricentro di γ. Potenziale elastico Per il potenziale associato alla molla si ha l espressione: U el = k A O = ka cos ϑ. Potenziale del sistema La somma dei potenziali parziali definisce il potenziale del sistema: U(ϑ = U g + U el = mga cos ϑ ka cos ϑ ϑ R. Equilibri Gli equilibri del sistema sono tutti ordinari e vanno identificati con i punti critici del potenziale, come stabilito dal teorema dei lavori virtuali. Si tratta quindi di uguagliare a zero la derivata prima del potenziale: U (ϑ = mga sin ϑ + 4ka cos ϑ sin ϑ vale a dire di risolvere l equazione trigonometrica: che equivale a: mga sin ϑ + 4ka cos ϑ sin ϑ = ( 4ka sin ϑ cos ϑ mg =. (4 4ka L equazione (4 ammette due soluzioni definite incondizionatamente per sin ϑ = : ϑ = ϑ = π, 8

9 che corrispondono agli equilibri banali in cui il punto A dell anello assume le posizioni rispettivamente più bassa e più alta lungo l asse verticale Oy. Equilibri non ovvi si hanno invece per cos ϑ = mg/4ka: ( mg ϑ = arccos := ϑ (, π/ ϑ = ϑ ( π/, 4ka e sono definiti e distinti dai precedenti a condizione che si abbia mg/4ka < 1. Questi equilibri, che vedono l anello collocarsi in posizione asimmetrica rispetto all asse Oy, sussistono soltanto se la costante elastica della molla è abbastanza grande, ovvero se le forze elastiche caratteristiche ka sono sufficientemente intense rispetto al peso mg. (b Stabilità degli equilibri L analisi di stabilità degli equilibri viene condotta usando i teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale, applicabili per via della natura posizionale conservativa del sistema scleronomo. Il primo passo è il calcolo della derivata seconda del potenziale: U (ϑ = mga cos ϑ + 4ka (cos ϑ sin ϑ che va valutata in ciascuna posizione di equilibrio. Equilibrio ϑ = In questa configurazione la derivata seconda del potenziale vale: ( U ( = mga + 4ka = 4ka 1 mg 4ka e non avendo segno definito obbliga a considerare tre diversi casi: se mg/4ka < 1 si ha U ( > e l equilibrio risulta instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; per mg/4ka > 1 è invece U ( <. La configurazione costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet; se infine mg/4ka = 1, risulta U ( =. L applicabilità del teorema di inversione parziale è esclusa, ma non appare evidente che l equilibrio costituisca un massimo relativo proprio del potenziale, per cui anche l uso del teorema di Lagrange-Dirichlet è in forse. In effetti, il potenziale assume la forma: U(ϑ = ka ( cos ϑ cos ϑ e nell intorno di ϑ = ammette lo sviluppo di Taylor al quarto ordine: ( U(ϑ = ka 1 ϑ4 4 + O(ϑ6 dal quale si deduce che la configurazione è un massimo relativo proprio di U e dunque stabile per Lagrange-Dirichlet. 9

10 Equilibrio ϑ = π Nella fattispecie risulta: U (π = mga + 4ka > e si ha quindi instabilità per l inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio ϑ = ϑ, con cos ϑ = mg/4ka < 1 In questo caso la derivata seconda del potenziale si scrive: U (ϑ = mga cos ϑ + 4ka (cos ϑ sin ϑ = ( = 4ka mg 4ka cos ϑ + cos ϑ sin ϑ = 4ka sin ϑ e risulta sempre di segno negativo si ricordi che ϑ (, π/. L equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange- Dirichlet. Equilibrio ϑ = ϑ, con cos ϑ = mg/4ka < 1 Quando definita, questa configurazione è stabile al pari di quella simmetrica precedente, come è immediato verificare dalla parità della derivata seconda: U ( ϑ = U (ϑ. (c Energia cinetica L anello omogeneo è privo di punti fissi, per cui la sua energia cinetica deve essere determinata ricorrendo alla formula di König: T = m Ċ + 1 Iγ Cz ωγ. La velocità del baricentro si ricava derivando in t il vettore posizione: e vale: C O = a(sin ϑ ê 1 cos ϑ ê Ċ = a(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ con modulo quadrato Ċ = a ϑ. Il momento d inerzia rispetto all asse Cz risulta banalmente I γ Cz = ma, dal momento che l intera massa m dell anello si colloca a distanza costante a da tale asse. Il calcolo della velocità angolare ω γ richiede un poco più di attenzione. Alla sua corretta determinazione si può arrivare con il ragionamento seguente. Poichè per ipotesi il punto A è assegnato su γ e il centro C dell anello appartiene evidentemente allo spazio solidale, è chiaro che il raggio A C risulta a sua volta solidale all anello. D altra parte, la semiretta condotta per C verticalmente verso il basso è fissa nel riferimento Oxyz. Ci si convince facilmente che l angolo compreso fra il raggio A C e la 1

11 semiretta verticale (angolo di rotazione dell anello coincide proprio con ϑ: basta osservare che il triangolo isoscele OAC ha angolo OÂC = ϑ uguale all angolo di rotazione richiesto, essendo tali angoli alterni interni alle rette parallele Oy e Cy tagliate dalla trasversale A C. Si osservi, tuttavia, che l angolo di rotazione è orientato in senso opposto rispetto a ϑ: al crescere di ϑ l anello esegue una rotazione oraria nella terna assoluta. La velocità angolare istantanea assume perciò la forma: ω γ = ϑê con il cambiamento di segno indotto dalla regola della mano destra (il versore ê deve intendersi diretto in senso uscente rispetto al piano del foglio Oxy, la terna cartesiana essendo destra. Allo stesso risultato si può pervenire, in modo più formale, usando l espressione dell atto di moto rigido piano e le relazioni esplicite per le velocità istantanee di A e di C. Si ha infatti: A O = a cos ϑ ê A C = a( sin ϑ ê 1 cos ϑê e: A = a sin ϑ ϑ ê Ċ = a(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ, mentre la velocità angolare dell anello deve essere della forma ωê, trattandosi di moto piano con piano fisso Oxy. La formula di Poisson per l atto di moto rigido porge allora: A = Ċ + ωê (A C e sostituendo le espressioni dei vettori diventa: a sin ϑ ϑ ê = a(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ + ωê a( sin ϑ ê 1 cos ϑê ossia: ed infine: a sin ϑ ϑ ê = a(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ + ωa( sin ϑ ê + cos ϑ ê 1 ( cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ = ω(cos ϑ ê 1 sin ϑ ê per cui ω = ϑ, a conferma del risultato precedente. L energia cinetica dell anello si scrive pertanto: T = m a ϑ + 1 ma ϑ = ma ϑ. (5 (d Equazioni pure del moto L ipotesi dei vincoli ideali permette di scrivere le equazioni del moto nella forma di Lagrange: d dt ( L ϑ L ϑ = 11

12 con la lagrangiana: L = T + U = ma ϑ + mga cos ϑ ka cos ϑ. Si ha in effetti: d ( L dt ϑ = ma ϑ L ϑ = mga sin ϑ + 4ka cos ϑ sin ϑ per cui l equazione pura del moto risulta: ma ϑ + mga sin ϑ 4ka cos ϑ sin ϑ =. (6 (e Quantità di moto e momento angolare in O Quantità di moto La quantità di moto dell anello è data dall espressione: Q = mċ = ma(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ. Momento angolare in O Il momento angolare in O dell anello si esprime usando il teorema di König: K O = (C O mċ + K C (7 dove il momento angolare in C attorno al baricentro è quello di un anello rigido omogeneo che ruota con velocità angolare ϑê attorno all asse fisso Cz: K C = I γ Cz ( ϑê = ma ϑê, essendo Cz asse di simmetria e dunque centrale d inerzia per il corpo. La relazione (7 diventa così: K O = a(sin ϑ ê 1 cos ϑ ê ma(cos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ϑ ma ϑê = = ma ϑê ma ϑê =. Il momento angolare in O dell anello risulta costantemente nullo, per qualsiasi moto del sistema. Osservazione L annullarsi del momento angolare in O dell anello lungo qualsiasi moto può suonare paradossale. In realtà si può dare una interpretazione abbastanza intuitiva del risultato individuando la posizione del centro di istantanea rotazione S di γ, definito per ϑ. Tale posizione è determinata dalla ben nota equazione: S A = ω γê A ω γ ê = 1 ω γ ê a sin ϑ ϑê = 1 ϑ a sin ϑ ϑê ê = a sin ϑ ê 1 1

13 in modo che risulta: S O = S A + A O = a sin ϑ ê 1 a cos ϑ ê. Si verifica immediatamente che S è il punto di γ diametralmente opposto a O. Preso allora un punto P di γ, per la definizione di atto di moto rotatorio la velocità istantanea P sarà ortogonale al vettore posizione P S. D altra parte, l angolo S ˆP O è certamente retto, in quanto angolo alla circonferenza che insiste sul diametro OS. Ne deriva che i vettori P e P O sono paralleli, per cui (P O P = e il contributo di P al momento angolare in O dell anello risulta nullo. Dall arbitrarietà di P segue il risultato. Si osservi che la conclusione non cambia nel caso l anello non sia omogeneo, perchè ad ogni istante tutti i punti dell anello hanno velocità diretta radialmente rispetto ad O. 1