Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di meccanica razionale del Esercizio 1 Un corpo rigido pesante è vincolato a ruotare senza attrito attorno all asse Oz di una terna inerziale Oxyz, con l asse Oy diretto verticalmente verso l alto. Nella terna solidale Oξηz, ruotata di un angolo ϑ rispetto alla precedente, il corpo consiste di una lamina quadrata L OABC di lato a posta nel II quadrante del piano Oξη, e di un asta OD di lunghezza a collocata lungo il semiasse Oξ positivo vedi figura. La densità della piastra risulta: σp µ a 4 P O, P L mentre quella dell asta vale: λq µ D Q, Q OD, a con µ massa caratteristica. Una molla ideale di costante elastica k collega D con il punto fisso Ma,, dell asse Ox. Determinare del sistema: a la massa e la posizione del baricentro rispetto alla terna Oxyz, funzione dell angolo ϑ; b la matrice d inerzia relativa a Oξηz; c il momento d inerzia rispetto all asse Ox, in funzione dell angolo ϑ; d i momenti principali d inerzia in O; e le equazioni pure del moto, usando le equazioni cardinali della dinamica. 1

2 Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz si muove un sistema composto da un disco circolare omogeneo D, di centro C, raggio a e massa m, e da una piastra rigida L, avente la forma di un triangolo isoscele ABF, rettangolo in F, di cateto 4a e massa m. Il lato AF di L scorre lungo l asse orizzontale Ox, mentre D rotola senza strisciare lungo il lato AB. Il sistema è pesante, e una molla ideale di costante elastica k mg/a congiunge C con il punto fisso Q, 4a. In C agisce inoltre una resistenza viscosa di costante β. Posti i vincoli ideali, si usino le coordinate s R e ξ, 4 in figura per determinare del sistema: a l espressione dell energia cinetica; b gli equilibri; c le caratteristiche di stabilità degli equilibri; d le equazioni pure del moto; e qualora sia β, i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile.

3 Soluzione dell esercizio 1 a Massa e posizione del baricentro in Oxyz È evidente che conviene eseguire il calcolo della massa e della posizione del baricentro rispetto alla terna di riferimento solidale Oξηz, in cui il corpo rigido appare fisso. Salvo poi riportare la posizione del baricentro nelle coordinate assolute Oxyz. Indicati con ê ξ, ê η, ê i versori della base associata a Oξηz, nella terna solidale la piastra è descritta dall ovvia parametrizzazione: mentre per l asta OD si parametrizza con: P O ξê ξ + ηê η, ξ, η [, ] [, a], Q O ξê ξ, ξ [, a]. Queste parametrizzazioni consentono di esprimere le densità di piastra e asta nella forma seguente: σξ, η µ a 4 ξ + η, ξ, η [, ] [, a], λξ µ aêξ ξê a ξ µ a ξ, ξ [, a]. a Si hanno così tutte le informazioni utili a determinare massa e baricentro del sistema. Massa della piastra La massa della piastra si ricava integrando la densità areale σ sul quadrato OABC: m L L σ da µ a 4 dη µ a 4 ξ + η µ a 4 [ξ η + η ξ a + a µ [ ξ a 4 a + a ξ ] ] a η µ. Massa dell asta La massa dell asta viene invece determinata per integrazione diretta della densità lineare λ sul segmento OD: m OD λ ds OD µ a a ξ µ a ] a [aξ ξ µ. Baricentro della piastra L individuazione del baricentro della piastra è agevolata dal fatto che la retta η ξ, bisettrice del II e IV quadrante nel piano cartesiano Oξη, costituisce un evidente asse di simmetria di L: punti simmetrici rispetto a detta retta sono infatti necessariamente equidistanti dall origine O e presentano perciò lo stesso valore della densità areale σ, che

4 di tale distanza è esclusivamente funzione. Ne deriva che il vettore posizione del baricentro di L in Oξηz deve assumere la forma: G L O ξ L ê ξ ξ L ê η nella quale è necessario calcolare la sola ascissa: ξ L 1 ξσ da m L µ L [ξ η + ξ η a 4 sicchè risulta: ] a η dη ξ µ a 4 ξ + η a 4 a 4 aξ + a ξ a 4 a a 4 4 a 6 G L O 8 aê ξ + 8 aê η. dη ξ + ξη [a ξ4 4 + a a 4 1 a 8 a ξ ] Baricentro dell asta Il baricentro G OD deve collocarsi lungo l asse Oξ, che è la retta di giacitura dell asta. Pertanto il vettore posizione è del tipo G OD O ξ OD ê ξ, con ascissa: in modo che: ξ OD 1 m OD OD ξλ ds µ ξ µ a a ξ a [ a ξ a ξ ] a G OD O a êξ. a a aξ ξ a a, Massa del sistema La proprietà additiva consente di esprimere la massa del sistema come somma delle masse di piastra e asta, in quanto il punto di intersezione O tra la superficie e la curva materiale costituisce un insieme di misura nulla sia per il quadrato OABC che per il segmento OD, non contribuendo così in alcun modo né agli integrali di superfice sul primo né agli integrali curvilinei sul secondo. Di conseguenza, vale: m m L + m OD µ + µ + 1 µ 7 6 µ. Posizione del baricentro rispetto alla terna solidale La posizione del baricentro G del sistema rispetto alla terna solidale si ottiene ricorrendo alla formula distributiva: G O m LG L O + m OD G OD O m L + m OD 4

5 ed è quindi espressa da: G O 6 [ 7µ 6 7 µ 8 aê ξ + 8 aê η 1 4 aê ξ + 1 aê η + µ ] a 6 êξ 7 14 aê ξ + 14 aê η. 1 aê ξ + 1 aê η + a 6êξ Posizione del baricentro rispetto alla terna assoluta Oxyz La posizione del baricentro rispetto a Oxyz va espressa in termini delle coordinate x e y: G O x G ê 1 + y G ê, essendo ovviamente z G. Le coordinate si ricavano con una semplice proiezione ortogonale, moltiplicando scalarmente per i relativi versori ê 1 e ê : x G G O ê 1 14 aê ξ ê aê η ê 1 14 a cos ϑ 14 a sin ϑ y G G O ê 14 aê ξ ê + 14 aê η ê 14 a sin ϑ + 14 a cos ϑ per cui si deve concludere che: G O 14 cos ϑ 14 sin ϑ aê sin ϑ + 14 cos ϑ aê..1 b Matrice d inerzia relativa a Oξηz La matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna Oξηz si esprime come somma delle matrici d inerzia, relative alla medesima terna, di piastra e asta. L additività è applicabile sempre per la misura nulla dell intersezione L OD, costituita dalla sola origine O. Matrice d inerzia dell asta L asta giace lungo l asse Oξ, per cui la matrice d inerzia relativa alla terna Oξηz deve assumere la forma: [L OD O ] L OD ηη L OD ηη avendosi per l unico momento d inerzia non banale: L OD ηη OD ξ λ ds ma 1/1, 1/1 ξ µ a a ξ µ a µ [ a ξ a ξ4 4 ] a µ a a 4 aξ ξ a4 4 µa 1.

6 Matrice d inerzia della piastra La collocazione della piastra nel piano coordinato Oξη consente di scrivere la relativa matrice d inerzia nella forma semplificata: L L ξξ L L ξη [L L O] L L ξη L L ηη Il momento d inerzia relativo all asse Oξ vale: L L ξξ + LL ηη. L L ξξ L µ a 4 η σ da ξ a + a dη η µ a 4 ξ + η µ a 4 µ a 4 [ ξ a ] + ξ a ] a [ξ η + η η µ a 4 a a µa e coincide con quello relativo all asse Oη: L L ηη L µ a 4 ξ σ da aξ 4 + a ξ dη ξ µ a 4 ξ + η µ a 4 µ [ a ξ a 4 + a mentre l unico prodotto d inerzia non banale si scrive: ] a [ξ 4 η + ξ η η ξ ] µ a 6 a 4 + a µa, L L ξη L ξη σ da µ a 4 µ a 4 [ a dη ξη µ a 4 ξ + η µ a 4 [ξ η ξ a4 4 + ξ η4 4 ] a η µ a 4 a ξ ] µ a 6 a a6 8 dηξ η + ξη ξ + a4 4 ξ 1 4 µa. Si ha pertanto: 14/4 1/4 [L L O ] µa 1/4 14/4. 8/4 6

7 Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna solidale Oξηz è la somma delle matrici d inerzia di asta e piastra relative alla medesima terna: [L O ] ma 14/4 1/4 1/1 + µa 1/4 14/4 1/1 8/4 14/4 1/4 µa 1/4 71/ /18 c Momento d inerzia relativo a Ox L asse Ox passa per l origine O della terna Oξηz, rispetto alla quale è stata determinata la matrice d inerzia del sistema rigido. Il versore tangente all asse Ox è ovviamente ê 1, le cui componenti rispetto a Oξηz sono determinate dalla relazione: ê 1 ê 1 ê ξ ê ξ + ê 1 ê η ê η + ê 1 ê ê cos ϑ ê ξ sin ϑ ê η. Il momento d inerzia relativo all asse Ox vale perciò: I Ox ê 1 L O ê 1 cos ϑ sin ϑ [L O ] cos ϑ sin ϑ [ 14 µa 4 cos ϑ sin ϑ + 1 cos ϑ sin ϑ 4 µa 14 4 cos ϑ sin ϑ 1 sin ϑ cos ϑ. d Momenti principali d inerzia in O I momenti principali d inerzia in O del sistema sono gli autovalori della matrice.. Di questi uno è ovvio, e corrisponde all elemento L zz : L zz µa. Gli altri due sono gli autovalori della matrice quadrata subordinata costituita degli elementi comuni alle prime due righe e alle prime due colonne. Posto per brevità λ µa X, si deve quindi risolvere l equazione caratteristica: ossia: 14 det 4 X 1/4 71 1/4 18 X 14 4 X X 1 16 X X ]

8 Se ne deducono le radici: X ± 1 e quindi gli autovalori: [ ± 17 ± 8 6 ] ± ± 6 17 ± λ µa λ µa. 6 In conclusione, i momenti principali d inerzia in O del sistema sono i seguenti: A µa A µa A µa. e Equazioni pure del moto Il sistema rigido ruota senza attrito attorno all asse fisso Oz ed è soggetto a due sole forze attive: la forza elastica, applicata in D; il sistema delle forze peso, equivalente al peso totale applicato nel baricentro G. I vettori posizione degli estremi della molla sono: D O a cos ϑ ê 1 + a sin ϑ ê M O a ê 1 per cui la forza elastica si scrive esplicitamente come: F el km D ka cos ϑ ê 1 ka sin ϑ ê. Il peso totale del corpo vale invece: mg ê 7 6 µg ê e deve intendersi applicato nel baricentro G, la cui posizione in Oxyz è individuata dalla relazione.1: G O 14 cos ϑ 14 sin ϑ aê sin ϑ + 14 cos ϑ aê. L assenza di attrito lungo l asse consente di identificare l equazione pura del moto con la seconda equazione cardinale della statica scritta rispetto al punto O dell asse fisso e proiettata lungo lo stesso asse: L zz ϑ [ D O Fel + G O mgê ] ê. 8

9 Il momento d inerzia a primo membro è già stato determinato e vale: L zz µa, mentre il momento assiale delle forze attive a secondo membro risulta: M O ê acos ϑ ê 1 + sin ϑ ê ka [ ] cos ϑ ê 1 sin ϑ ê ê + [ + a 14 cos ϑ 14 sin ϑ ê sin ϑ + ] 14 cos ϑ ê 7 6 µg ê ê ka cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ µga 14 cos ϑ + 14 sin ϑ 1 ka sin ϑ + µga 4 cos ϑ + 1 sin ϑ. L equazione pura del moto diventa pertanto: µa ϑ ka sin ϑ + µga 4 cos ϑ + 1 sin ϑ. Soluzione dell esercizio a Energia cinetica Per additività, l energia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche relative al disco e all asta, energie cinetiche che conviene quindi calcolare separatamente. Energia cinetica del disco Il disco è privo di punti fissi, per cui la sua energia cinetica relativa a Oxyz deve essere determinata ricorrendo al teorema di König. Si indichi con P il punto di contatto fra il disco e il lato AB della piastra. La posizione di P è allora individuata dal vettore posizione: P O A O + P A asê 1 + aξê 1 + aξê as + ξê 1 + aξê mentre la posizione del centro C rispetto a P si esprime per mezzo del vettore: C P a ê 1 + a ê. Il vettore posizione di C rispetto alla terna assoluta si ottiene dunque sommando i due vettori precedenti: C O C P + P O a s + ξ ê 1 + a + ξ ê,. in modo che la velocità istantanea di C è data da: Ċ aṡ + ξê 1 + a ξê 9

10 con modulo quadrato: Ċ a ṡ + ṡ ξ + ξ. Per determinare la velocità angolare istantanea del disco basta osservare che questa può essere valutata nel sistema di riferimento di quiete della piastra, il cui moto rispetto alla terna assoluta è puramente traslatorio e dunque caratterizzato da una velocità angolare di trascinamento costantemente nulla. D altra parte, nella terna solidale ad L il moto di puro rotolamento del disco di raggio a avviene sul segmento fisso AB, lungo il quale la posizione del punto di contatto P è individuata dall ascissa curvilinea l P A aξ. Ne deriva che la velocità angolare di D deve potersi esprimere nella forma: ω D 1 a l ê 1 a a ξê ξê. Il teorema di König porge allora l espressione: T D m Ċ + 1 ID Cz ω D ma ṡ + ṡ ξ + ξ + 1 ma ξ ma ṡ + ṡ ξ + ξ. Energia cinetica della piastra Si è già osservato che la piastra L si muove senz altro di moto traslatorio. Indipendentemente dalla distribuzione di massa che infatti non è specificata l energia cinetica della piastra si può quindi scrivere come: T L m A ma ṡ, dal momento che tutti i punti presentano la stessa velocità istantanea ṡê 1. Energia cinetica del sistema Per ottenere l energia cinetica del sistema basta ora sommare i contributi calcolati per il disco e per l asta: T T D + T L ma ṡ + ṡξ + ξ. b Equilibri Le sollecitazioni attive agenti sul sistema sono in parte posizionali conservative il peso e l interazione elastica fra i punti C e Q e in parte dissipative la resistenza viscosa applicata in C. Si tratta quindi di calcolare i potenziali gravitazionale ed elastico, che poi verranno sommati per determinare il potenziale U del sistema, e di ricavare le componenti generalizzate della resistenza viscosa. Potenziale gravitazionale Il contributo della piastra L può essere ignorato. Il moto puramente traslatorio implica infatti che il baricentro, quale che ne sia l effettiva posizione, si mantenga sempre alla stessa quota y: il potenziale gravitazionale della piastra è dunque costante. Per il disco omogeneo si ha invece l espressione non banale: 1 U g mgê C O mga + ξ mgaξ + costante. 1

11 Potenziale elastico Il potenziale elastico associato alla molla è dato dalla formula: U el k C Q mg C Q a dove il vettore posizione del punto Q vale Q O 4aê, per cui risulta: C Q a s + ξ ê 1 + a 4 + ξ ê e quindi: C Q a [ 1 + s + ξ s + ξ ξ + ] 8ξ. Il potenziale elastico diventa così: U el mga [ s + ξ s + ξ + ξ + 8ξ ] + costante mga s 8ξ + s + ξ + sξ + costante. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale ed elastico porge il potenziale del sistema: definito per s, ξ R, 4. Us, ξ mgaξ mga s 8ξ + s + ξ + sξ mga s 6ξ + s + ξ + sξ Componenti generalizzate della resistenza viscosa La resistenza viscosa agente in C è data da: F rv βċ con le componenti generalizzate: Q rv s βċ C s Q rv ξ βċ C ξ. In queste relazioni si deve assumere il vettore posizione.: C O a s + ξ ê 1 + a + ξ ê 11

12 per cui: e quindi: C s aê 1 Ċ aṡ + ξê 1 + a ξê C ξ aê 1 + aê Frv βaṡ + ξê 1 βa ξê, in modo che le componenti generalizzate della resistenza viscosa diventano: Q rv s βa ṡ + ξ Q rv ξ βa ṡ + ξ..4 Natura della sollecitazione non posizionale La sollecitazione.4 ha natura completamente dissipativa. La potenza della sollecitazione si scrive infatti: π Q rv s ṡ + Q rv ξ ξ βa ṡ + ξṡ βa ṡ + ξ ξ βa ṡ + ξṡ + ṡ ξ + ξ βa ṡ + ṡ ξ + ξ. L espressione entro parentesi è una furma quadratica delle velocità generalizzate ṡ, ξ, con matrice di rappresentazione: 1 1 Γ 1 chiaramente definita positiva, avendosi det Γ 1 > e tr Γ >. Ne deriva che: e che: βa ṡ + ṡ ξ + ξ ṡ, ξ R βa ṡ + ṡ ξ + ξ ṡ, ξ,. Si è così verificato che la resistenza viscosa definisce una sollecitazione completamente dissipativa. Equilibri Come è lecito attendersi, la sollecitazione dissipativa.4 si annulla per velocità generalizzate nulle, e non ha quindi alcun effetto sugli equilibri del sistema. I quali possono così caratterizzarsi come punti critici del potenziale. In quanto tali, gli equilibri si ottengono imponendo l annullarsi delle derivate parziali prime: U mga 1 s, ξ + s + ξ mga s ξ s U ξ s, ξ mga 6 + 4ξ + s mga ξ s ossia risolvendo il sistema di equazioni algebriche lineari: 1 mga s ξ s + ξ 1 mga ξ s s + ξ. 1

13 Sottraendo membro a membro la prima equazione dalla seconda si ottiene: ξ 1 e di conseguenza: s 1 ξ Il sistema ammette pertanto un unico equilibrio ordinario: s, ξ, 1.. c Stabilità degli equilibri Le derivate parziali seconde del potenziale sono tutte costanti: U s, ξ mga s U s, ξ mga ξ s U s, ξ mga s ξ U s, ξ mga ξ a tale risulta, di conseguenza, la relativa matrice hessiana: 1 1 H U s, ξ mga..6 1 Il segno positivo del determinante e quello negativo della traccia: deth U s, ξ m g a > trh U s, ξ mga < permettono di riconoscere che la matrice è definita negativa. L equilibrio. rappresenta pertanto un massimo relativo proprio del potenziale, chiaramente isolato per via della sua unicità. La presenza della sollecitazione completamente dissipativa.4 autorizza allora ad applicare la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii, e a concludere che l equilibrio è asintoticamente stabile. d Equazioni pure del moto Le equazioni pure del moto sono quelle di Lagrange: con lagrangiana: d L L dt ṡ s Qrv s d L dt ξ L ξ Qrv ξ L T + U ma ṡ + ṡξ + ξ mga s 6ξ + s + ξ + sξ 1

14 e componenti generalizzate.4. Si hanno le espressioni: L ṡ ma ṡ + ξ L s mga 1 + s + ξ L ξ ma ṡ + ξ L mga + ξ + s ξ d L dt ṡ ma s + ξ d L dt ξ ma s + ξ dalle quali seguono le equazioni richieste: ma s + ξ + mga 1 + s + ξ βa ṡ + ξ ma s + ξ + mga + ξ + s βa ṡ + ξ..7 e Modi normali delle piccole oscillazioni, per β Nel caso si abbia β l unico equilibrio. rimane stabile per il teorema di Lagrange- Dirichlet, ma non risulta più attrattivo a causa della conservazione dell energia meccanica. È quindi dato studiare le piccole oscillazioni intorno all equilibrio, introducendo il cambiamento di variabili: s + δs ξ 1 + δξ ed assumendo gli scostamenti δs e δξ prossimi a zero. È significativo osservare che le equazioni del moto.7, private o meno dei termini in β a secondo membro, sono comunque lineari: ciò implica che le equazioni delle piccole oscillazioni possono essere applicate, in effetti, anche ad oscillazioni di grande ampiezza. L energia cinetica del sistema si scrive: T ma ṡ + ṡξ + ξ 1 ξa ṡ ξ ṡ in termini della matrice di rappresentazione definita positiva: A ma 1 1 che è peraltro indipendente dalla configurazione. La matrice hessiana del potenziale, pure indipendente dalla configurazione, è data invece dalla relazione.6: H U 1 1 mga. 1 14

15 Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni sono allora le soluzioni ω > dell equazione caratteristica: detω A + H U dove: 1 ω A + H U ma ω mga 1 Posto per brevità aω /g X, si ottiene così: ossia: det [ det X [ aω mga g ] X 1 X 1 X 1X X 1 X X + 1 X 1 X ]. e quindi: X ± 1 Ne seguono le pulsazioni normali: ω 1 X g a g 1 a ± 1 : X ±. ω X + g a + g 1 a associate ai modi basso e alto, rispettivamente. I vettori delle ampiezze per i due modi normali sono individuati dal sistema lineare omogeneo: X± 1 X ± 1 a± a±,. X ± 1 X ± b ± Poichè i valori caratteristici X e X + sono stati ricavati proprio imponendo che la matrice quadrata a primo membro sia singolare, le equazioni del sistema X ± 1a ± + X ± 1b ± b ± X ± 1a ± + X ± b ± risultano linearmente dipendenti, per cui basta considerare una sola di esse, ad esempio la prima: X ± 1a ± + X ± 1b ±. Una soluzione non banale si ha certamente per: a ± X ± 1 b ± 1 X ±..8 1

16 Modo basso Per X /1 le componenti.8 del vettore delle ampiezze diventano: a X b 1 X e il modo normale di oscillazione si può esprimere nella forma: δs A δξ cos g 1 a t + α t R con A e α costanti reali assegnate a piacere. Si osservi che in corrispondenza di questo modo normale i due parametri lagrangiani oscillano in opposizione di fase, dal momento che le due ampiezze sono di segno opposto. Modo alto Per X + + /1 si ottengono espressioni identiche alle precedenti, salvo che per la sostituzione. Il vettore delle ampiezze ha componenti: a + X b + 1 X + e il modo normale di oscillazione è dato da: δs + A δξ + cos + g 1 a t + α + t R con A + e α + costanti reali arbitrarie. In questo caso i due gradi di libertà oscillano in fase, i segni delle ampiezze essendo uguali. 16