Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di meccanica razionale del.6.8 Esercizio Nel piano Oxy di una terna cartesiana solidale Oxyz = Oê ê ê si considera il sistema riido costituito da una lamina quadrata L = ABCD, di lato a, e da un asta rettilinea DE, di lunhezza a, disposte come mostrato in fiura. La densità areale della lamina si scrive: σ(p = µ a (P F ê P L, mentre quella lineare dell asta è data da: λ(q = µ E Q Q DE, a essendo µ > una massa costante caratteristica. Determinare: (a la massa e la posizione del baricentro G del sistema rispetto a Oxyz; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz di L e una terna principale d inerzia in O; (c il momento d inerzia di L rispetto alla retta OE; (d il momento d inerzia di L relativo alla retta BC; (e il momento anolare in O e l eneria cinetica di L relativi alla terna dove O è fisso e la velocità anolare del sistema vale ω = ωê + ωê, con ω >.

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê ê ê, posta in rotazione uniforme con velocità anolare ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale, un anello circolare omoeneo γ, di massa m, centro C e raio a, è vincolato a scorrere con un proprio punto A luno l asse Oy. Due molle ideali di uuale stiffness k = mω colleano A e C all oriine O. Neli stessi punti A e C aiscono anche resistenze viscose di uuale costante di frizione β. Assumendo il sistema pesante e a vincoli ideali, si usino le coordinate laraniane ξ, ϑ R in fiura per determinare del sistema, rispetto a Oxyz: (a l espressione dell eneria cinetica; (b li equilibri, considerando tutte le sollecitazioni; (c le proprietà di stabilità deli equilibri (considerare tutte le forze!; (d le equazioni pure del moto; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β =.

3 Soluzione dell esercizio (a Massa e baricentro del sistema La lamina viene banalmente parametrizzata in termini delle coordinate cartesiane x, y: P O = xê + yê (x, y [, ] [/, a/] e siccome il vettore posizione del punto F rispetto ad Oxyz è dato da: F O = ê, la densità areale della lamina si esprime in coordinate cartesiane come: σ(x, y = µ (a + x (x, y [, ] [/, a/]. a Analoa parametrizzazione si introduce per l asta DE, i cui punti sono individuati per mezzo della sola ascissa x: Q O = a ê + xê x [, a]. D altra parte, il vettore posizione del punto E vale: per cui la densità lineare dell asta diventa: E O = a ê + aê, λ(x = µ (a x x [, a]. a Massa di L La massa della lamina ABCD si determina interando sul dominio L la densità areale σ. Il calcolo è il seuente: m L = σ da = L dx a/ / dy µ (a + x = a = µ a a (a + x dx = µ [ (a + x a ] = µ a a = µ. Massa di DE In modo analoo, una interazione su DE della densità lineare λ fornisce la massa dell asta: m DE = DE λ ds = a µ a (a x dx = µ a Massa del sistema La massa del sistema è la somma delle masse di lamina e asta: [ m = m L + m DE = µ + µ = µ. ] a (a x = µ a a = µ.

4 Baricentro di L L asse coordinato Ox costituisce un evidente asse di simmetria della lamina, dal momento che per oni punto P L il relativo punto simmetrico rispetto ad Ox, P, appartiene anch esso ad L, ed i due punti hanno inoltre lo stesso valore della densità areale P e P condividono la stessa ascissa e la densità è funzione della sola ascissa. Ne deriva che il baricentro G L della lamina deve collocarsi luno Ox e che dunque il suo vettore posizione deve assumere la forma: G L O = x L ê. L ascissa viene determinata facendo uso della definizione: per cui: x L = x σ da = m L µ L dx a/ / = [ ax a + x dy x µ a (a + x = a a (ax + x dx = ] G L O = a ê. = ( a a + a = a, Baricentro di DE Il baricentro deve ovviamente appartenere alla retta di iacitura DE e verrà quindi individuato da un vettore posizione della forma: con ascissa: Di conseuenza: x DE = = a m DE DE a G DE O = x DE ê a ê x λ ds = µ a (ax x dx = a [ ax x µ (a x dx = a ] a x G DE O = a ê a ê. = a ( a a = a. Baricentro del sistema Per calcolare il baricentro G del sistema si ricorre al teorema distributivo, dato che il punto di intersezione D tra lamina ed asta costituisce un insieme di misura nulla sia per il dominio L che per il semento DE. Si ha così, considerato che le masse parziali sono uuali: G O = m L(G L O + m DE (G DE O = m L + m DE (G L O + (G DE O = = ( a ê + ( a ê a ê = a 4 ê. 4

5 (b Matrice d inerzia in Oxyz e terna principale d inerzia in O della lamina La determinazione della terna principale d inerzia in O è possibile sulla base di soli aromenti di simmetria. Si è infatti ià riconosciuto che l asse Ox costituisce un ovvio asse di simmetria della lamina, dunque è anche un asse principale d inerzia rispetto ad oni suo punto ed in particolare rispetto ad O. D altra parte, il piano di iacitura Oxy della piastra è un piano di simmetria banale, principale d inerzia rispetto ad oni suo punto e dunque anche rispetto ad O: ne seue che l asse Oz, ortoonale a detto piano principale, rappresenta anch esso un asse principale d inerzia in O. Il teorema spettrale assicura infine che l asse Oy, ortoonale ai due assi principali d inerzia in Ox ed Oz, deve essere esso stesso principale d inerzia in O per la lamina. In definitiva, li elementi di simmetria bastano per riconoscere in Oxyz una terna principale d inerzia in O del sistema. L eventuale unicità di detta terna, a meno di ovvie ridefinizioni deli orientamenti deli assi, non sarà però evidente se non una volta calcolata la relativa matrice d inerzia [L O ]. Per quanto detto sopra è chiaro che la matrice d inerzia relativa a Oxyz ha struttura diaonale e che il momento d inerzia relativo all asse Oz è la somma dei momenti d inerzia relativi ad Ox ed Oy, avendosi L Oxy: [L O ] = Il momento d inerzia relativo ad Ox è dato da: L L xx = y σ da = L LL xx L L xx L L xx + L L yy / ] a/. a/ dx dy y µ a (a + x = µ a/ a y dy = µ a [ y / mentre quello relativo all asse Oy risulta: L L yy = x σ da = L / [ (a + x ] / = µ a a (a + x dx = a = µa 4, a/ dx dy x µ a (a + x = µ a a (ax + x dx = = µ [ ax a + x4 4 ] = µ a ( a 4 Per il momento d inerzia rispetto ad Oz si ha dunque: a4 4 L L zz = L L xx + L L yy = µa 4 + µa = µa 8 e la matrice d inerzia della lamina diventa infine: [L O ] = µa /4 /. /8 5 = µa.

6 Vale la pena di osservare che i momenti principali d inerzia in O, autovalori dell operatore d inerzia L L O, sono tutti e tre distinti; li autospazi relativi sono quindi unidimensionali e mutuamente ortoonali, per cui la terna principale d inerzia in O risulta determinata univocamente a meno di banali cambiamenti di orientamento deli assi coordinati. (c Momento d inerzia di L rispetto alla retta OE La retta OE passa chiaramente per l oriine ed è individuata dal versore direttore: ˆn = E O E O = aê a ê aê a ê = ê ê ê ê = ê ê 5. Il momento d inerzia della lamina rispetto ad OE è quindi dato dalla relazione: I L OE = I L Oˆn = ˆn L L O(ˆn = 5 ( [LL O] = = 5[ L L xx + ( L L yy + ( L L xy] = = 5( 4L L xx + L L yy = (4 µa µa = µa. (d Momento d inerzia di L rispetto alla retta BC Si ricorda preliminarmente che la lamina ha massa m L = µ/ e baricentro individuato da G L O = x L ê = (a/ê. La retta BC è parallela all asse coordinato Oy ma non passa per il baricentro G L, per cui non è possibile applicare direttamente il teorema di Huyens- Steiner per ottenere il momento IBC L richiesto. Si rende invece necessario considerare le tre rette parallele Oy, G L y e BC, ed applicare due volte il teorema di Huyens-Steiner; fra le rette Oy e G L y risulta: IOy L = IG L L y + m L x L, ( mentre fra BC e G L y vale: I L BC = I L G L y + m L (x L + a, ( essendo x L (B O ê = x L + a la relativa distanza interassiale. Sottraendo la ( dalla ( si deduce che: I L BC I L Oy = m L (x L + a m L x L, ossia: I L BC = I L Oy + m L (a + ax L. Non resta che sostituire i valori calcolati di IOy L, m L ed x L per ricavare il momento d inerzia richiesto: IBC L = µa + µ [ ( a + a a ] = µa + µ (a a = µa + µa = µa

7 (e Momento anolare in O ed eneria cinetica Momento anolare in O della lamina Nel sistema di riferimento dove il corpo riido presenta punto fisso O e velocità anolare istantanea ω = ωê + ωê il momento anolare in O della lamina viene scritto come: K O = K ê + K ê + K ê, con le componenti espresse in termini della matrice d inerzia relativa a Oxyz: K K = [L O ] ω = µa /4 / ω = µa ω /4. K ω /8 ω /4 Si ha pertanto: ( K O = µa ω +. 4ê 4ê Eneria cinetica della lamina Nello stesso sistema di riferimento l eneria cinetica della lamina riida, con punto fisso O, si esprime in termini del momento anolare K O e della velocità anolare istantanea: T = ω K O = ( ( ωê + ωê µa ω = µa ω ( 4 + 4ê + 4ê = 48 µa ω. = Soluzione dell esercizio (a Eneria cinetica Poichè l anello risulta privo di punti fissi per determinarne l eneria cinetica è necessario ricorrere al teorema di Köni: T = m Ċ + Iγ Cz ωγ, in cui il vettore posizione del baricentro e centro di simmetria del sistema è dato da: C O = A O + C A = ξê + a sin ϑê a cos ϑê = a sin ϑê + a( ξ cos ϑê con velocità istantanea: di modulo quadrato: Ċ = a cos ϑ ϑê + a( ξ + sin ϑ ϑê Ċ = a [ cos ϑ ϑ + ( ξ + sin ϑ ϑ ] = = a [ cos ϑ ϑ + ξ + sin ϑ ϑ sin ϑ ξ ϑ ] = a ( ϑ + ξ sin ϑ ξ ϑ, mentre il momento d inerzia rispetto all asse Cz e la velocità anolare istantanea di γ si scrivono rispettivamente: I γ Cz = ma ω γ = ϑê. 7

8 Sostituendo le espressioni precedenti nella formula di Köni si perviene al risultato: T = ma ( ϑ + ξ sin ϑ ξ ϑ + ma ϑ = ma ( ξ + ϑ sin ϑ ξ ϑ. ( (b Equilibri Il sistema è scleronomo e a vincoli bilaterali ideali. Risulta soetto ad alcune sollecitazioni posizionali conservative: il peso, il sistema delle forze centrifuhe dovute alla natura non inerziale del riferimento Oxyz, le interazioni elastiche associate alle molle ideali OA e OC. È inoltre presente una coppia di resistenze viscose in A e C, di euale costante di frizione β, che ha ovviamente natura dissipativa. Si osservi come, al solito, le forze di Coriolis che certamente aiscono sul sistema risultano però costantemente ortoonali al piano vincolare Oxy e sono dunque caratterizzate da componenti eneralizzate identicamente nulle: esse non influiscono né sulla dinamica né sulla statica del sistema scleronomo. Potenziale elastico Il potenziale elastico è la somma dei contributi relativi alle molle ideali OA e OC, entrambe di costante elastica k = mω : U el = k A O k C O = mω [ a ξ + a sin ϑ + a (ξ + cos ϑ ] = = ma ω ( ξ + sin ϑ + ξ + cos ϑ + ξ cos ϑ = ma ω ( ξ + ξ cos ϑ +. Potenziale ravitazionale Il potenziale delle forze peso aenti sull anello si determina immediatamente dalla formula enerale: U = mê (C O = ma(ξ + cos ϑ. Potenziale centrifuo Il potenziale centrifuo dell anello omoeneo si scrive in termini del momento d inerzia di γ relativo all asse di rotazione Oy della terna Oxyz, con l aiuto del teorema di Huyens- Steiner: U cf = ω Iγ Oy = ω [ I γ Cy + m[(c O ê ] ] = [ ] = ω ma + m(a sin ϑ = ma ω sin ϑ + costante. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è definito dalla somma dei potenziali parziali, elastico, ravitazionale e centrifuo, di tutte le forze posizionali conservative applicate: U(ξ, ϑ = U el + U + U cf = = ma ω ( ξ + ξ cos ϑ + ma(ξ + cos ϑ + ma ω sin ϑ = = ma ω ( ξ ξ cos ϑ + sin ϑ + ma(ξ + cos ϑ (ξ, ϑ R. 8

9 Componenti eneralizzate delle forze viscose Le forze viscose aiscono nei punti A e C e sono caratterizzate dallo stesso valore β della costante di frizione. Il punto A è individuato dal vettore posizione: ed ha quindi velocità istantanea: di modulo quadrato: A O = ξê A = ξê A = a ξ. Per il punto C si ha invece il vettore posizione ià determinato in precedenza: cui corrisponde la velocità istantanea: C O = a sin ϑê + a( ξ cos ϑê, Ċ = a cos ϑ ϑê + a( ξ + sin ϑ ϑê di modulo quadrato: Ċ = a [ cos ϑ ϑ + ( ξ + sin ϑ ϑ ] = = a ( cos ϑ ϑ + ξ + sin ϑ ϑ sin ϑ ξ ϑ = a ( ξ + ϑ sin ϑ ξ ϑ. Ne seue l espressione della funzione di Rayleih: R = β A β Ċ = βa ( ξ + ϑ sin ϑ ξ ϑ dalla quale si deducono le componenti eneralizzate del sistema di resistenze viscose: D ξ = R ξ = βa (4 ξ sin ϑ ϑ = βa ( ξ + sin ϑ ϑ D ϑ = R = βa ϑ ( ϑ sin ϑ ξ = βa ( ϑ + sin ϑ ξ. La potenza della sollecitazione è data da: π = D ξ ξ + Dϑ ϑ = βa ( ξ + sin ϑ ϑ ξ + βa ( ϑ + sin ϑ ξ ϑ = = βa ( ξ + sin ϑ ϑ ξ ϑ = R e in quanto forma quadratica delle velocità eneralizzate può scriversi nella forma: ( π = βa ( ξ ϑ Γ(ϑ ξ ϑ 9

10 con la matrice reale e simmetrica: ( sin ϑ Γ(ϑ = sin ϑ definita neativa in quanto: det Γ(ϑ = sin ϑ = + cos ϑ > tr Γ(ϑ = <. Ne deriva che in qualsiasi confiurazione del sistema vale: π ( ξ, ϑ R e che π = implica ( ξ, ϑ = (,. Le due resistenze viscose in A e C costituiscono pertanto un sistema di sollecitazioni completamente dissipative. Come ben noto, esse non influenzano in alcun modo li equilibri, annullandosi a velocità eneralizzate nulle, ma ne modificano in modo sinificativo le proprietà di stabilità. Equilibri Gli equilibri del sistema scleronomo a vincoli bilaterali ideali sono tutti ordinari e vanno identificati con tutti e soli i punti stazionari del potenziale. Venono perciò ottenuti calcolando le derivate parziali prime di U: U ξ (ξ, ϑ = ma ω ( ξ cos ϑ + ma U ϑ (ξ, ϑ = ma ω (ξ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ ma sin ϑ ed eualiandole simultaneamente a zero: ma ω ( ξ cos ϑ + ma = ma ω (ξ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ ma sin ϑ =. La condizione di equilibrio viene scritta in forma adimensionale dividendo membro a membro entrambe le equazioni per ma ω : ξ cos ϑ + aω = ξ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ aω sin ϑ = salvo poi ricavare il valore di equilibrio di ξ in funzione di quello di ϑ dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda: ξ = aω cos ϑ ( aω cos ϑ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ aω sin ϑ =.

11 Nella seconda equazione, che ora dipende dalla sola variabile anolare, conviene raccoliere il fattore comune sin ϑ: ξ = aω cos ϑ sin ϑ ( aω cos ϑ + cos ϑ e semplificare l espressione entro parentesi: ξ = aω cos ϑ ( sin ϑ cos ϑ aω = aω ξ = sin ϑ = aω cos ϑ ( cos ϑ aω =. Le soluzioni in ϑ si ricavano eualiando a zero l uno o l altro dei fattori a primo membro nella seconda equazione di equilibrio. (i Per sin ϑ = si hanno le soluzioni ϑ = e ϑ = π. Il valore di ξ corrispondente a ϑ = è ξ = aω, mentre quello associato a θ = π risulta ξ = aω +. Si conclude che il sistema ammette li equilibri: ( (ξ, ϑ = aω (, (ξ, ϑ = aω +, π definiti incondizionatamente. (i Per cos ϑ = vale invece: aω ( ϑ = arccos aω = ϑ (, π/ e: ϑ = ϑ ( π/, a condizione però che si abbia /aω <. Il valore di ξ corrispondente ad entrambi li anoli di equilibrio è il medesimo: ξ = aω aω =. Di conseuenza si devono considerare li ulteriori equilibri: (ξ, ϑ = (, ϑ (ξ, ϑ = (, ϑ, definiti e distinti dai precedenti se e soltanto se /aω <, con ϑ = arccos(/aω (, π/. (c Stabilità deli equilibri Gli equilibri del sistema sono in numero finito, dunque certamente isolati. La compresenza di sollecitazioni posizionali conservative e di forze completamente dissipative consente di

12 analizzare le proprietà di stabilità deli equilibri facendo uso del teorema forte di Larane- Dirichlet, basato sui criteri di Barbašin e Krasovskii. A questo scopo si calcolano le derivate parziali seconde del potenziale: U ξξ (ξ, ϑ = ma ω U ϑξ (ξ, ϑ = U ξϑ (ξ, ϑ = ma ω sin ϑ U ϑϑ (ξ, ϑ = ma ω (ξ cos ϑ + cos ϑ sin ϑ ma cos ϑ e la matrice hessiana corrispondente: H U (ξ, ϑ = ma ω sin ϑ sin ϑ ξ cos ϑ + cos ϑ sin ϑ aω cos ϑ dei cui autovalori occorre determinare il seno in ciascuna confiurazione di equilibrio. ( Equilibrio (ξ, ϑ = aω, In questa confiurazione la matrice hessiana del potenziale assume la forma diaonale: ( H U aω, = ma ω aω + aω = ma ω aω con un autovalore sempre neativo ed un altro di seno non definito, che obblia a considerare tre diverse possibilità: se /aω > l hessiana risulta definita neativa ed individua l equilibrio come massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintotica è assicurata dalla forma forte del teorema di Larane-Dirichlet; per /aω < la matrice hessiana presenta un autovalore positivo, per cui l equilibrio è un punto di sella. L esclusione del massimo comporta l instabilità dell equilibrio, sempre in virtù del teorema forte di Larane-Dirichlet. Si osservi che l attrattività è comunque esclusa dalla dissipazione dell eneria meccanica; se infine /aω = l hessiana è semidefinita non definita neativa, con un autovalore neativo ed uno nullo. La natura dell equilibrio non appare evidente e richiede una indaine più dettaliata. Conviene infatti introdurre il potenziale adimensionalizzato, che per /aω = diventa: u(ξ, ϑ = ma ω U(ξ, ϑ = ξ ξ cos ϑ + sin ϑ + ξ + cos ϑ e va dunque studiato nell intorno del punto stazionario (ξ, ϑ = (,. Usando completamento dei quadrati e identità trionometriche, il potenziale si può riesprimere nel modo seuente: u(ξ, ϑ = [ ξ + ξ(cos ϑ ] + sin ϑ + cos ϑ =

13 [ = ξ + ξ cos ϑ ] + sin ϑ + cos ϑ = ( = ξ + cos ϑ ( cos ϑ + + sin ϑ + cos ϑ = ( = ξ + cos ϑ + 4 cos ϑ + 4 cos ϑ + sin ϑ + cos ϑ = = ( 4 ξ + cos ϑ sin ϑ = = ( ξ cos ϑ + 4 sin ϑ. Dalla forma finale del potenziale adimensionalizzato appare evidente che il punto stazionario (ξ, ϑ = (, non costituisce né un massimo né un minimo relativo del potenziale U in qualsiasi intorno del punto si possono trovare punti in cui il potenziale è più rande o più piccolo di U(,. L esclusione del massimo relativo comporta l instabilità dell equilibrio per il teorema forte di Larane-Dirichlet. Si ricorda che la dissipazione dell eneria meccanica esclude comunque l attrattività. ( Equilibrio (ξ, ϑ = aω +, π Nella fattispecie la matrice hessiana del potenziale risulta ancora diaonale: ( H U aω +, π = ma ω aω + + aω = ma ω + aω ma presenta sempre un autovalore positivo, che esclude il ricorrere di un massimo relativo proprio in questa confiurazione di equilibrio. L instabilità seue allora dalla forma forte del teorema di Larane-Dirichlet, mentre l attrattività è esclusa ancora una volta dalla dissipazione dell eneria meccanica. Equilibrio (ξ, ϑ = (, ϑ, con cos ϑ = /aω < Le proprietà di stabilità dell equilibrio sono caratterizzate dalla matrice hessiana non diaonale: sin H U (, ϑ = ma ω ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ = cos ϑ aω ( = ma ω sin ϑ sin ϑ sin ϑ che ha determinante positivo: deth U (, ϑ = (ma ω sin ϑ > e traccia neativa: trh U (, ϑ = maω ( + sin ϑ <,

14 risultando perciò definita neativa. L equilibrio viene così riconosciuto come massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile per la forma forte del teorema di Larane-Dirichlet. Equilibrio (ξ, ϑ = (, ϑ, con cos ϑ = /aω < L hessiana del potenziale è analoa a quella calcolata nell equilibrio simmetrico precedente: H U (, ϑ = ma ω ( sin ϑ sin ϑ sin ϑ e risulta ancora definita neativa, perchè determinante e traccia sono identici a quelli precedenti: deth U (, ϑ = (ma ω sin ϑ > trh U (, ϑ = maω ( + sin ϑ <. Quando definito, l equilibrio costituisce dunque un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile per la forma forte del teorema di Larane-Dirichlet. (d Equazioni pure del moto Grazie all ipotesi dei vincoli ideali le equazioni pure del moto possono essere identificate con quelle di Larane: d ( L dt ξ L ξ = D ξ d ( L dt ϑ L ϑ = D ϑ, dove la laraniana è data da: L = T + U = ma ( ξ + ϑ sin ϑ ξ ϑ + + ma ω ( ξ ξ cos ϑ + sin ϑ + ma(ξ + cos ϑ, mentre D ξ = βa ( ξ+sin ϑ ϑ e D ϑ = βa ( ϑ+sin ϑ ξ sono le componenti eneralizzate delle resistenze viscose. Per i termini parziali dei due binomi di Larane a primo membro si ottenono le espressioni: L ξ = ma ( ξ sin ϑ ϑ d ( L dt ξ = ma ( ξ sin ϑ ϑ cos ϑ ϑ L ξ = ma ω ( ξ cos ϑ + ma L ϑ = ma ( ϑ sin ϑ ξ d ( L dt ϑ = ma ( ϑ sin ϑ ξ cos ϑ ϑ ξ L ϑ = ma cos ϑ ξ ϑ + ma ω (ξ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ ma sin ϑ, 4

15 dalle quali è poi immediato dedurre le equazioni del moto richieste: ma ( ξ sin ϑ ϑ cos ϑ ϑ + ma ω (ξ + cos ϑ ma = βa ( ξ + sin ϑ ϑ ma ( ϑ sin ϑ ξ ma ω (ξ sin ϑ + sin ϑ cos ϑ + ma sin ϑ = βa ( ϑ + sin ϑ ξ. (e Piccole oscillazioni per β = Per β = le sollecitazioni completamente dissipative venono rimosse ed il sistema risulta ( posizionale conservativo. La confiurazione (ξ, ϑ = aω, è un massimo relativo proprio del potenziale per /aω >, stabile secondo Larane-Dirichlet. Si osservi che non si hanno altri equilibri stabili, per cui questa è l unica scelta possibile. La matrice hessiana del potenziale nell equilibrio prescelto vale: ( H U aω, = ma ω. aω Dall espressione ( dell eneria cinetica si ha invece: T = ma ( ξ + ϑ sin ϑ ξ ϑ = ( ( ξ ϑ A(ξ, ϑ, ξ ϑ con la matrice rappresentativa: A(ξ, ϑ = ma ( sin ϑ sin ϑ che deve essere calcolata nella confiurazione di equilibrio: ( A aω, ( = ma. Si sottolinea come l ordine delle velocità eneralizzate ξ, ϑ nella definizione della matrice A e quella dei parametri laraniani ξ, ϑ nella definizione della matrice hessiana H U sia lo stesso, una necessaria condizione di compatibilità. Si osserva altresì come il coefficiente / nell espressione dell eneria cinetica T non rientri nella definizione della matrice A. L equazione caratteristica per le pulsazioni normali si scrive allora: ( = Ω A aω (, + H U aω, = ( ( = ma Ω + ma ω aω = Ω = (ma ω ω Ω ω ( aω 5

16 e da essa si deducono le pulsazioni normali: nonchè le relative frequenze normali: Ω = ω Ω = aω ω f = Ω π = ω f = Ω π π = π aω ω. I vettori delle ampiezze associati alle pulsazioni normali si ricavano come soluzioni (a b T R non nulle del sistema lineare omoeneo: Ω ω Ω ω ( a = (4 aω b per Ω = Ω ed Ω = Ω rispettivamente. Modo normale associato alla pulsazione normale Ω Per Ω = Ω il primo elemento diaonale della matrice incompleta in (4 si annulla identicamente, mentre il secondo si può assumere diverso da zero si esclude il caso deenere di Ω = Ω, allorquando i vettori delle ampiezze possono sceliersi a piacere, purchè linearmente indipendenti. Di conseuenza, la componente l ampiezza b si annulla identicamente, mentre a può essere un qualsiasi valore non nullo. Il modo normale corrispondente può dunque esprimersi nella forma enerale: ( ξ = ϑ aω + A ( cos ( ωt + α t R, con A, α R costanti reali arbitrarie l ampiezza non nulla. In questo modo normale l anello γ oscilla verticalmente con il centro C allineato luno l asse Oy. Modo normale associato alla pulsazione normale Ω In questo caso è il secondo elemento diaonalale della matrice incompleta in (4 ad annullarsi, mentre il primo risulta diverso da zero. Ne deriva che la componente a del vettore delle ampiezze deve essere nulla, mentre quella b è arbitraria. Per il modo normale associato alla pulsazione Ω si ha dunque l espressione enerale ( ξ = ϑ aω + A ( ( cos aω ωt + α t R, essendo A ed α due costanti reali assenate a piacere, la prima diversa da zero. In questo caso luno il modo normale il punto A dell anello γ si mantiene in quiete, mentre l anolo ϑ oscilla con lee sinusoidale. 6