Scritto di meccanica razionale 1 A-L ed M-Z del

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1 Scritto di meccanica razionale 1 A-L ed M-Z del 15.. Esercizio 1 Un sistema riido ècostituito da un quarto di disco circolare di centro O eraio L, che in un suo enerico punto P ha densità superficiale σp m P O. πl Determinare: a la posizione del baricentro rispetto alla terna solidale Oxyz in fiura; b lamatriced inerzia relativamente a Oxyz; c il momento d inerzia rispetto alla bisettrice del primo quadrante Oxz; d momento anolare in O ed eneria cinetica nell ipotesi che il punto O sia fisso e la velocità anolare istantanea vala ω ωê 1 ωê,conω>; e l equazione dell asse istantaneo di moto qualora fosse Ȯ Lω ê e ω ω ê 1 ê. 1

2 Esercizio Gli estremi di un asta riida ommoenea AB, di massa m e lunhezza R, sono vincolati ascorrere su una circonferenza di centro O eraio R, fissa nel piano Oxy di una terna Oxyz. LaternaOxyz ruota con velocità anolare costante ω>attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Una molla di costante mω collea il punto medio M di AB con un punto materiale P,dimassa m/, vincolato a muoversi luno l asse orizzontale Ox. Ilsistemaèpesanteeavincoli ideali. Assunte come coordinatelaraniane le variabili θ ed s illustrate in fiura, determinare: a l eneria cinetica del sistema relativa a Oxyz; b li equilibri relativi a Oxyz; c leproprietàdistabilitàdei predetti equilibri; d le equazioni pure del moto; e la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione V θ, s, θ,ṡ, di classe C 1 in R,siauninterale primo del sistema.

3 Soluzione dell esercizio 1 a Baricentro Il vettore posizione del baricentro rispetto alla terna solidale Oxyz si scrive nella forma G O x G ê 1 + y G ê + z G ê. Èimmediato riconoscere che il piano di iacitura Oxy costituisce un piano di simmetria del sistema, per cui la quota del baricentro risulta certamente nulla z G. Di più, la bisettrice del primo quadrante nel piano Oxy si identifica con un asse di simmetria in quanto i punti del settore circolare simmetrici rispetto a tale retta si collocano evidentemente ad euale distanza dall oriine O e sono perciò caratterizzati da uno stesso valore della densità σ, laqualeperipotesi dipende unicamente da tale distanza. Si ha pertanto l ulteriore condizione x G y G per effetto della quale si conclude che il vettore posizione del baricentro deve ridursi all espressione G O x G ê 1 +ê in cui si tratta di determinare la sola ascissa x G.Aquestoscoposicalcola in primo luoo la massa totale M della lamina introducendo il sistema di coordinate polari piane: x ρ cos φ y ρ sin φ, ρ, φ [,L] [,π/] dove, per un enerico punto P del settore circolare, ρ P O èladistanzadidetto punto dall oriine e φ indica l anolo compreso fra il vettore P O eladirezione positiva dell asse Ox; ricordatocheildeterminante jacobiano della trasformazione di coordinate x, y ρ, φ valeρ, sihacosì l interale di superficie M L σds ρ dρ π/ L dρ π/ dφ ρ σ m L dφ πl π L dρ π/ m πl m. dφ ρ m πl ρ L ascissa x G si calcola dunque per mezzo della definizione di baricentro: x G 1 M m m πl xσds m L ρ dρ π/ L dρ π/ dφ ρ ρ cos φ m πl ρ cos φdφ 6 L πl [ sin φ ] π/ π L

4 e il vettore posizione del baricentro diventa G O π L ê 1 + π L ê. b Matrice d inerzia rispetto alla terna Oxyz Poiché lalaminaiace per intero nel piano coordinato Oxy, lamatriced inerzia del sistema relativa alla terna Oxyz ha la seuente struttura enerale: [L O ] L xx L xy L xy L yy. L xx + L yy La presenza dell asse di simmetria y x, z,implica che per oni punto P x, y della lamina il punto simmetrico P y, x siacaratterizzato dallo stesso valore della densità e che la distanza y di P dall asse Ox coincida con quella di P da Oy; cisiaspetta perciò che L xx L yy. Il momento d inerzia rispetto all asse Ox èdatoperdefinizione da: L xx m πl y σds L 5π ml 1 L ρ dρ π/ [ φ dρ ρ π/ dφ ρ sin φ m πl ρ sin φdφ m L 5 πl 5 ] π/ sin φ π/ 1π ml π 1 cos φ ml mentre quello relativo all asse Oy coincide, come deve, con il precedente: L yy x ρds Il prodotto d inerzia L xy vale invece: L m πl dρ ρ L π/ dφ ρ cos φ m πl ρ ρ dρ π/ cos φdφ ml. dφ L xy m πl xy σ ds L ρ dρ π/ L dρ ρ π/ dφ ρ cos φρsin φ m πl ρ sin φ cos φdφ m L 5 πl 5 [ sin φ ] π/ 1π ml.

5 La matrice d inerzia della lamina èpertanto / /1π [L O ]ml /1π /. /1 c Momento d inerzia rispetto alla bisettrice del primo quadrante in Oxz La bisettrice del primo quadrantenel piano Oxz èlaretta passante per l oriineindividuata dal versore ˆn 1 ê ê le cui componenti cartesiane, relative alla terna Oxyz, siscrivono n 1, n, n 1/,, 1/. Il momento d inerzia del sistema rispetto alla bisettrice si determina quindi in termini dell operatore d inerzia L O per mezzo della relazione I Oˆn ˆn L ˆn n 1 n n [L O ] n 1 n n 1/ 1/ / /1π ml /1π / 1/ /1 1/ ml / /1π 1 1 /1π / 1 /1 1 ml / 1 1 /1π 9 ml. /1 d Momento anolare in O ed eneria cinetica Nell ipotesi che il punto O sia fisso e che la velocità anolare istantanea vala ω ωê 1 ω ê,conω>, il momento anolare in O del sistema riido si scrive K i ê i L O ω L O ω ê 1 ω ê. i1 Per mezzo della matrice d inerzia [L O ]relativaalla terna Oxyz, larelazione precedente viene ricondotta alla forma matriciale equivalente K 1 / /1π K ml /1π / ω K /1 ω / /1π ml ω /1π / ml ω /1 /5π /1 1 /1 5

6 dalla quale si deduce l espressione cercata del momento anolare in O: K O ml ω 1 ê1 5π ê 1 ê. L eneria cinetica è data quindi da T 1 ω K O 1 ω 1mL ω /1 /5π /1 1 ml ω ml ω. e Asse istantaneo di moto La posizione dell asse istantaneo di moto èindividuata univocamente dalla velocità istantanea Ȯ del punto O partecipe dell atto di moto riido e dal vettore velocità anolare istantanea ω. Ipunti dell asse istantaneo di moto sono dati dalla relazione parametrica: P O 1 ω Ȯ + α ω, ω α R che con le sostituzioni ω ω ê 1 ê Ȯ Lω ê diventa 1 P O ω + 1 ω ê 1 ê Lω ê + α ω L 1 5 ê 1 ê ê + α ω L 5 ê1 + 5 ê + αω ê 1 ê α R. Non rimane che introdurre, per comodità, il cambio di parametro α ξ definito dalla trasformazione lineare αω Lξ, ξ R, per ottenere l equazione parametrica dell asse istantaneo di moto 1 x L 5 +ξ y ξ R. z L 5 ξ Soluzione dell esercizio a Eneria cinetica relativa a Oxyz L eneria cinetica del sistema si scrive come somma delle enerie cinetiche del punto materiale P e dell asta AB: T T P + T AB. 6

7 Il contributo del punto P,cheha massa m/, si calcola immediatamente ed èdatoda T P 1 m P m 8 Rṡ ê mr ṡ. L asta AB èprivadipunti fissi e conviene quindi procedere al calcolo della sua eneria cinetica per mezzo del teorema di Köni. Dato che il moto dell asta rispetto ad una sua qualsiasi terna baricentrale èrotatorio attorno all asse fisso Mz,convelocitàanolare θ ê, si ha: T AB m Ṁ + TM AB m R θ + 1 IAB Mz θ ê 8 mr θ + 1 mr 1 θ mr θ 5 1 mr θ, dove si èfatto uso delle ovvie relazioni M O M O sin θ ê 1 cos θ ê R sin θ ê 1 cos θ ê Ṁ R cos θ ê 1 +sinθê θ edell espressione IMz AB mr /1 per il momento d inerzia dell asta rispetto ad un qualsiasi asse ortoonale passante per il suo baricentro. Si conclude pertanto che: T 1 8 mr ṡ mr θ. b Equilibri relativi a Oxyz Il sistema èscleronomo e soetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali e conservative: il peso, l interazione elastica fra i punti P ed M, le forze centrifuhe. La terna di riferimento Oxyz èanche sede di forze di Coriolis, che tuttavia hanno componenti laraniane identicamente nulle in quanto i moti del sistema sono vincolati ad avvenire nel piano coordinato Oxy, passanteper l asse di rotazione Oy: Q Cor θ Q Cor s P m P ω ê P P θ ω P m P ω ê P P s ω P m P ê P P θ P Le sollecitazioni posizionali e conservative venono caratterizzate per mezzo dei relativi potenziali, la cui somma definisce il potenziale U del sistema. Tutte le confiurazioni di equilibrio del sistema sono ordinarie e si identificano con i punti critici del potenziale U. m P ê P P s. Potenziale ravitazionale Formalmente, il potenziale ravitazionale èlasomma dei contributi del punto materiale edell asta, ma di fatto il punto P può essere inorato, essendo vincolato in modo da mantenere costante la propria ordinata. Si ha dunque l espressione U m P O ê mm O ê m R cos θ mr cos θ. 7

8 Potenziale elastico Il potenziale associato all interazione elastica fra i punti P ed M, dicostantek mω,è dato dall espressione: U el mω M P mω M O P O in cui si devono sostituire le relazioni trionometriche M O M O sin θ ê 1 cos θ ê R sin θ ê 1 cos θ ê P O Rs ê 1 per ottenere U el mω mω R R sin θ Rs ê 1 R cos θ ê [ ] sin θ s + cos θ mω R [ sin θ s sin θ + s + cos θ mω R s + s sin θ+costante che rappresenta il potenziale desiderato. Potenziale centrifuo Il potenziale della forza centrifua aente sul punto materiale P si scrive Ucf P ω m P O ω m Rs ê 1 mω R s. 8 Per l asta omoenea AB si ha invece, in virtù delteorema di Huyens-Steiner, [ Ucf AB IMy AB + m R sin θ ω IAB Oy ω [ I AB My + m[m O ê 1 ] ] ω dove il momento d inerzia dell asta rispetto all asse baricentrale My viene convenientemente calcolato per mezzo della parametrizzazione Qξ O ξ cos θ ê 1 + ξ sin θ ê, che, inserita nella definizione, pore I AB My AB m R cos θ Q O ê 1 λds R/ R/ R/ R/ ξ dξ m [ ξ R cos θ 8 ] ξ [R/,R/] ξ cos θ m R dξ ] R/ R/ mr 1 cos θ. ]

9 Il potenziale centrifuo dell asta diventa così U AB cf ω mr mω R 1 cos θ + mr sin θ sin θ + sin θ mω R sin θ. Non resta che sommare i contributi relativi al punto P eall asta per ottenere il potenziale centrifuo del sistema U cf 1 8 mω R s + 1 mω R sin θ +costante. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema èallora dato dalla somma dei potenziali parziali calcolati Uθ, s mr cos θ + 1 mω R s + s sin θ mω R s + 1 mω R sin θ elesuederivate parziali prime assumono la forma: U θ θ, s mr sin θ + mω R s cos θ + mω R sin θ cos θ U s θ, s 1 mω R s + sinθ+ 1 mω R s. Equilibri Gli equilibri ordinari del sistema sono tutti e soli i punti critici del potenziale, soluzioni del sistema di equazioni mr sin θ + mω R s cos θ + mω R sin θ cos θ 1 mω R s + sinθ+ 1 mω R s che una semplice manipolazione alebrica riduce a Rω sin θ + s cos θ + sin θ cos θ s sinθ in modo che sostituendo la seconda equazione nella prima, questa diventa sin θ cos θ 1 Rω 9.

10 Di qui si deducono le soluzioni θ, π, sempre definite, e θ ±arc cos 1 Rω ±θ definite e distinte dalle precedenti a condizione che si abbia 1 Rω < 1. Gli equilibri ordinari del sistema si hanno quindi per: θ, s, θ, s π, θ, s θ, s θ, sin θ θ,s θ, sin θ θ, s purché 1 Rω < 1 sotto la stessa condizione. c Stabilità deliequilibri Dato il carattere posizionale conservativo delsistema scleronomo, le proprietà distabilità deli equilibri ordinari possono essere analizzate mediante i teoremi di Larane-Dirichlet ediinversioneparziale. A questo scopo si calcolano preliminarmente le derivate parziali seconde del potenziale U θθ θ, s mr cos θ U θs θ, s U sθ θ, s U ss θ, s mω R mω R s sin θ + mω R cos θ sin θ mω R cos θ in modo che l hessiana del potenziale in un enerico punto θ, s assumelaforma H U θ, s mω R Rω cos θ cos θ. s sin θ + cos θ sin θ cos θ Si può cosìprocedere allo studio delle sinole confiurazioni di equilibrio. 1

11 Confiurazione θ, s, In questa confiurazione l hessiana del potenziale si riduce a H U, mω R Rω + con determinante deth U, mω R 8 Rω 5 etraccia trh U, mω R Rω mω R Rω 1 mω R Rω <. Poichéildeterminante della matrice hessiana non assume seno definito, si rende necessario distinuere tre diversi casi in relazione al valore del parametro adimensionale /Rω : se /Rω > 1/ ildeterminante dell hessiana risulta maiore di zero, assicurando così cheliautovalori della matrice debbano assumere lo stesso seno. Dal seno comunque neativo della traccia si deduce che li autovalori della matrice hessiana sono entrambi neativi: l hessiana del potenziale nella confiurazione considerata è definita neativa. La confiurazione costituisce dunque un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità seuedal teorema di Larane-Dirichlet; per /Rω < 1/ ildeterminante èneativo, per cui li autovalori dell hessiana hanno seno opposto. Il ricorrere di un autovalore positivo autorizza a concludere, via il teorema di inversione parziale di Larane-Dirichlet, che la confiuazione èinstabile; se infine /Rω 1/ liautovalori della matrice hessiana sono uno nullo ed uno neativo, per cui nulla puòconcludersi direttamente circa la stabilitàoinstabilitàdella confiurazione. Ricorre un caso critico che richiederebbe uno studio piò dettaliato del rafico potenziale nell intorno della confiurazione, ad esempio con una approssimazione di Taylor diordinesuperiore al secondo. Qualora da tale analisi risultasse che la confiurazione costituisce comunque un massimo relativo proprio del potenziale se ne potrebbe trarre, per Larane-Dirichlet, la stabilità dell equilibrio. In oni altro caso la questione rimarrebbe aperta, dal momento che né Larane-Dirichlet né la relativa inversione parziale sarebbero applicabili. Nella fattispecie, la confiurazione èstabile per Larane-Dirichlet. Ci si convince dell asserto notando che nel caso critico il potenziale si riduce a Uθ, s mω R [ s cos θ Rω + mω R 5 cos θ 8 s + s sin θ s + 1 sin θ s sin θ + 1 sin θ ] Rω 1 11

12 eper mezzo di ovvie identità trionometriche o può essere espresso facilmente nella forma equivalente Uθ, s 1 mω R s + s sin θ + 1 cos θ + sin θ 1 mω R s + s sin θ sin θ + 1 cos θ + 5 sin θ 1 mω R [ s sin θ mω R [ 1 sin θ s sin θ θ sin + θ θ ] sin cos ] dalla quale appare evidente che la funzione presenta in θ, s, un massimo relativo proprio. Confiurazione θ, s π, In questa confiurazione l hessiana del potenziale si scrive H U π, mω R Rω + con determinante neativo deth U π, mω R 8 Rω 1 e dunque autovalori di seno opposto. L instabilità dell equilibrio seue dal teorema di inversione parziale di Larane-Dirichlet. Confiurazioni θ, s θ,s, θ, s Le due confiurazioni presentano le stesse proprietàdistabilità, causa l evidente simmetria del potenziale Uθ, s Uθ, s θ, s R. Èquindi sufficiente esaminare una sola confiurazione, ad esempio la prima. L hessiana del potenziale vale sin θ Rω cos H U θ,s mω R θ + sin θ cos θ cos θ. o cosθ 1 sin θ/, sin θ sinθ/ cosθ/, 1 cos θ/ sin θ/ 1 <

13 In tutti i casi in cui l equilibrio èdefinito, il determinante della matrice hessiana H U θ,s ha seno positivo: deth U θ,s mω R [ sin θ + 8 mω R [ sin θ + 8 Rω cos θ 1 +sin θ ] cos θ 1 cos θ 1 +sin θ cos θ mω R 7 sin θ cos θ mω R 5 sin θ > ] mentre la traccia risulta neativa: trh U θ,s mω R [sin θ Rω cos θ + sin θ ] mω R [sin θ 1 cos θ + sin θ ] mω R sin θ 5 cos θ 1 1 sin θ <. Se ne conclude che l hessiana del potenziale U èdefinita neativa e caratterizza perciò la confiurazione come un massimo relativo proprio di U, stabile per Larane-Dirichlet. d Equazioni pure del moto si èiàstabilito che tutte le sollecitazioni attive applicate al sistema hanno carattere posizionale conservativo. Il sistema èinoltrescleronomo e a vincoli ideali. Le equazioni pure del moto sono perciò leequazionidi Larane nella seconda forma per i sistemi conservativi: d L dt θ L θ d L L dt ṡ s. La laraniana L T + U del sistema si può esprimere nella forma L 5 1 mr θ mr ṡ + mω R Rω cos θ + 1 sin θ + s sin θ 8 s edaessa si deducono le relazioni d L dt θ 5 6 mr θ L θ mω R d L 1 dt ṡ mr s L s mω R sin θ s Rω sin θ + sin θ cos θ + s cos θ 1

14 che sostituite nelle equazioni di Larane porono le equazioni del moto cercate 5 6 mr θ mω R Rω sin θ + sin θ cos θ + 1 mr s mω R sin θ s s cos θ. e Condizione per li interali primi Poiché l eneria cinetica del sistema non contiene termini quadratici misti in θ, ṡ, le equazioni di Larane si riscrivono immediatamente in forma normale: θ 6 5 ω Rω sin θ + sin θ cos θ + s cos θ s ω sinθ s. La condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione V θ, s, θ,ṡ, di classe C 1 in R, costituisca un interale primo per il sistema èchesiannulli identicamente la derivata di V luno le soluzioni delle equazioni del moto: V θ, s, θ,ṡ V θ θ, s, θ,ṡ θ + V s + V θ θ, s, θ,ṡ 6 5 ω θ, s, θ,ṡṡ+ Rω sin θ + sin θ cos θ + + V ṡ θ, s, θ,ṡ ω sinθs s cos θ + θ, s, θ,ṡ R. 1