Esercizi di preparazione per il primo esonero

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1 Esercizi di preparazione per il primo esonero Metodi Statistici per il Marketing a.a. 2017/2018 Esercizio Cluster Su un campione di 5 clienti di una libreria sono stati rilevati gli acquisti per alcune tipologie di libri, riportati nella seguente tabella: narrativa saggi A 5 2 B 1 5 C 5 0 D 5 3 E 0 4 (a) Calcolare la matrice delle distanze di Manhattan. (b) Considerando la matrice delle distanze calcolate al punto precedente, applicare il metodo del legame completo. (c) Ricavare il dendrogramma ed individuare la partizione ottima (metodo dell α-taglio). Soluzione (a) Calcolare la matrice delle distanze di Manhattan. A B C D E A 0 B 7 0 C D E (b) Considerando la matrice delle distanze calcolate al punto precedente, applicare il metodo del legame completo. 1

2 dist cl1 cl (c) Ricavare il dendrogramma ed individuare la partizione ottima (metodo dell α-taglio). Dendrogramma Partizione ottima cluster 1: A C D cluster 2: B E 2

3 Esercizio 1 Si ha un campione di 350 utenti di un gestore di telefonia mobile, 98 utenti hanno affermato di essere soddisfatti del servizio: (a) Calcolare l intervallo di confindenza per la percentuale di utenti soddisfatti, ad un livello 1 α (b) Supponendo di volere dimezzare il margine di errore, quale dovrebbe essere la dimensione del campione? (c) Calcolare la dimensione cautelativa del campione. Soluzione (a) Calcolare l intervallo di confindenza per la percentuale di utenti soddisfatti, ad un livello 1 α 0.95; 1. Calcoliamo la percentuale di utenti soddisfatti: p N soddisfatti N Calcoliamo l errore standard di p: p(1 p) 0.28(1 0.28) SE(p) n Calcoliamo l intervallo di confidenza al 95%: IC p,0.95 [ p ± z α/2 SE(p) ] [p ± 1.96 SE(p)] [0.28 ± ] [0.28 ± ] [0.233, 0.327] (b) Supponendo di volere dimezzare il margine di errore, quale dovrebbe essere la dimensione del campione? 1. Calcoliamo il margine di errore attuale: E z α/2 SE(p)

4 2. Calcoliamo il margine di errore che vorremmo: E new E Calcoliamo quale dovrebbe essere la dimensione del campione se volessimo un margine di errore pari ad E new : n ( zα/1 E new ) 2 p(1 p) ( ) (1 0.28) ( ) (81.667) n 1345 (c) Calcolare la dimensione cautelativa del campione. n ( zα/1 E new ) ( ) (81.667) n

5 Esercizio 2 Siamo interessati a stimare la spesa media familiare per alimenti e riteniamo che tale variabile sia correlata al numero di figli. Data una popolazione di N 9300 famiglie stratificate in base al numero di figli (da 0 a 3 o più), vogliamo estrarre un campione di n 190 famiglie. figli N g σ yg c g Totale 9300 (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione proporzinale. (b) Calcolare il costro complessivo di campionamento. Soluzione (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione proporzinale. 1. Calcoliamo il peso di ogni strato nella popolazione: w g N g /N figli N g σ yg c g w g Totale Calcoliamo i valori n g, sapendo che il nostro campione deve avere dimensione 190 (n 190): n g n w g figli N g σ yg c g w g n g Totale

6 3. Otteniamo n g arrotondando n g : figli N g σ yg c g w g n g n g Totale (b) Calcolare il costo complessivo di campionamento. 1. Il costo complessivo di campionamento sarà ottenuto sommando il numero di interviste nello strato per il relativo costo: M C C g, g1 con C g c g n g figli N g σ yg c g w g n g n g C g Totale

7 Esercizio 3 Con gli stessi dati dell esercizio precedente: (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento è pari a C1600 euro. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione così ottenuto. Soluzione (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento è pari a C1600 euro. Ricordando che: 1. w g N g /N 2. q g 2. n g C q g w g σ yg/ c g M g1 wg σyg cg Vedi tabella nella pagina successiva. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione così ottenuto. 1. La dimensione complessiva del campione si ottiene sommando le numerosità di ogni strato n M n g (1) g (2) 7

8 figli Ng σyg cg wg wg σg c g wg σg/ cg wg σg c g qg n g ng Totale

9 Esercizio 4 Dato un campione di 3000 intervistati, estratti dalle liste elettorali di un comune, il 45% di essi ha espresso una preferenza per il partito A al prossimo ballottaggio: (a) Dato un livello di confidenza del 99% calcolare l intervallo di confidenza per l intenzione di voto per il partito A. (b) Supponendo di volere un margine di errore dell 1%, quale dovrebbe essere la dimensione del campione. (c) Calcolare la dimensione cautelativa del campione. Soluzione (a) Dato un livello di confidenza del 99% calcolare l intervallo di confidenza per l intenzione di voto per il partito A. 1. Calcoliamo l errore standard di p: p(1 p) 0.45(1 0.45) SE(p) n Calcoliamo l intervallo di confidenza al 95%: IC p,0.95 [ p ± z α/2 SE(p) ] [0.45 ± ] [0.45 ± 0.023] [0.427, 0.473] (b) Supponendo di volere un margine di errore dell 1%, quale dovrebbe essere la dimensione del campione. 1. Calcoliamo quale dovrebbe essere la dimensione del campione se volessimo un margine errore dell 1% (E new 0.01): n ( zα/1 E new ( ) 2 p(1 p) ) (1 0.45) 9

10 ( ) (257.6) n (c) Calcolare la dimensione cautelativa del campione. n ( zα/1 E new ( ) ) (257.6) n

11 Esercizio 5 Dovendo stimare il fatturato medio dei punti vendita per la telefonia mobile, riteniamo che il fatturato sia legato all area geografica in cui si trova il punto vendita. Da una popolazione di N punti vendita stratificati in base all area geografica (Nord Ovest, Nord Est, Centro, Sud, Isole), vogliamo estrarre un campione di n250 negozi. area N g σ yg c g NO NE C S I Totale (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione ottima. (b) Calcolare il costo complessivo di campionamento. Soluzione (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione ottima. 1. Calcoliamo il peso di ogni strato nella popolazione: w g N g /N area N g σ yg c g w g NO NE C S I Totale Calcoliamo la proporzione di unità da attribuire a ciascuno stato sulla base del peso dello strato nella popolazione, w g, e la deviazione standard, σ yg : w g σ yh a g M g1 w g σ yh 11

12 area N g σ yg c g w g w g s g a g NO NE C S I Totale Calcoliamo i valori n g, sapendo che il nostro campione deve avere dimensione 250 (n 250): n g n w g area N g σ yg c g w g w g σ yg a g n g NO NE C S I Totale Otteniamo n g arrotondando n g : area N g σ yg c g w g w g σ yg a g n g n NO NE C S I Totale (b) Calcolare il costo complessivo di campionamento. Il costo complessivo di campionamento sarà ottenuto sommando il numero di interviste nello strato per il relativo costo: M C C g, con C g c g n g g1 area N g σ yg c g w g w g σ yg a g n g n C g NO NE C S I Totale

13 Esercizio 6 Con gli stessi dati dell esercizio precedente: (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento deve essere 1/3 di quello calcolato con il criterio ottimale. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione cos ı ottenuto. Soluzione (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento deve essere 1/3 di quello calcolato con il criterio ottimale. Ricordando che: C new C q g 2. n g C q g w g σ yg/ c g M g1 wg σyg cg Vedi tabella nella pagina successiva. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione così ottenuto. La dimensione complessiva del campione si ottiene sommando le numerosità di ogni strato n M g1 n g

14 area Ng σyg cg wg wg σyg c g wg σyg/ cg wg σyg c g qg n g ng Totale