Esercizi assortiti di Architetture

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1 Esercizi assortiti di Architetture Guido Sciavicco There are just 10 kinds of people: those who understand binary code, and those who don t. 1 Circuiti Combinatori 1. Si semplifichi la seguente espressione in tre variabili: AB + A(C + D) + ABCD + ACD + B + BC (a) utilzzando il metodo sintattico (regole dell algebra booleana). Si disegni il circuito combinatorio corrispondente alla soluzione trovata. Si dimostri infine la correttezza di tale soluzione. Soluzione. Si ottiene: AB + ACD + ABCD + ACD + B + BC AB + ACD + CD(AB + A) + B + BC AB + ACD + CD(AB + A) + B AB + ACD + ACD + B B + ACD + ACD B + AC (b). Il circuito corrispondente e cositituito da una porta OR con due entrate, una collegata all input B, e l altra all uscita di una porta AND, le cui entrate sono A e C negato. Dimostrazione di correttezza: se B vale 1, l uscita vale 1 sia per (a) che per (b); si supponga che B valga 0, quindi il primo, il terzo, il quinto ed il sesto termine di (a) valgono 0; dunque il valore 1 di uscita per (a) e vincolato al valore 1 per A, esattamente come (b); in questa ipotesi, e facile vedere che C vale 0, per qualsiasi valore di D entrambe le uscite valgono 0, mentre se C vale 1 e esattamente il contrario. 2. Si semplifichi la seguente mappa di Karnaugh:

2 dove le due variabili per le colonne sono denotate da x e y, mentre le due per le righe da z e w. Soluzione. x z + xȳ z. 3. Si progetti un circuito combinatorio che implementi la funzione di minoranza su 4 bits. E possibile dare una soluzione dello stesso problema che utilizzi solamente porte N AN D? Si giustifichi la risposta. Soluzione. La mappa di Karnaugh per la soluzione e dove le due variabili per le colonne sono denotate da x e y, mentre le due per le righe da z e w. La funzione corrispondente e : xȳ + z + w + ȳ w + zwȳ + xy w + x z. Ovviamente una soluzione che utilizzi solo porte NAND e possibile, in quanto l insieme {NAND} e un insieme completo operatori booleani. 4. Si supponga di disporre di due half-adders; si dimostri che combinando opportunamente i due circuiti e possibile ottenere un full-adder. 5. Si supponga di dover realizzare un ciruito che determina l accensione di una lampadina comandata da tre diversi interruttori (che indichiamo con x, y, e z), ma disponendo di sole porte NAND e NOR. E possibile? Se si, realizzare il circuito. Se no, giustificare perche. Soluzione. E possibile. La funzione booleana che determina l accensione e f(x, y, z) = OR(x + y + z). Sappiamo che, NOT (x) = NOR(x, x), che OR(x, y) = NAND(NOT (x), NOT (y)), e sappiamo che OR e associativo. Quindi abbiamo che OR(x, y, z) = OR(OR(x, y), z). Sia w = OR(x, y). Dunque f(x, y, z) = OR(w, z), cioe f(x, y, z) = NAND (NOT (w), NOT (z)), cioe f(x, y, z) = NAND (NOR(w, w), NOR(z, z)). Poiche w = NAND (NOR(x, x), NOR(y, y)), si ha che f(x, y, z) = NAND (NOR (NAND(NOR(x, x), NOR(y, y)), NAND (NOR(x, x), NOR(y, y))), NOR(z, z)). 2 Circuiti Sequenziali 1. Si progetti un dispositivo sequenziale sincrono con una linea seriale di entrata e una di uscita con il seguente comportamento: l uscita vale sempre 0, a meno che, in corrispondenza del terzo bit in entrata, la sequenza dei tre valori non costituisca una parola palindroma (cioe, puo essere letta da sinistra a destra e viceversa), nel qual caso restituisce 1. Soluzione. Il diagramma degli stati comprende gli stati A, B, C, D, E, cosi disposti: 2

3 A B(1/0), A D(0/0); B C( /0); D E( /0); C A(1/1, 0/0); E A(0/1, 1/0). 2. Si progetti (il diagramma degli stati di) un circuito sequenziale sincrono con una linea di entrata ed una di uscita con il seguente comportamento: l uscita vale sempre 0, tranne che in corrispondenza del terzo bit di entrata, quando assume il valore di parita della sequenza di entrata (cioe vale 1 se e solo se il numero di 1 e pari). Quanti stati ha il diagramma progettato in maniera naive (senza alcuna forma di semplificazione)? Quanti stati ha il diagramma piu semplice possibile? Dal punto di vista degli elementi di memoria necessari, che differenza c e tra le due soluzioni? Soluzione. Il diagramma degli stati comprende gli stati A, B, C, D, E, cosi disposti: A B(1/0), A E(0/0); B C(1/0), B D(0/0); C A(0/1, 1/0); D A(1/1, 0/0); E C(0/0), E D(1/0). La progettazione naive comprende tanti stati quanti sono necessari per memorizzare tre bit, cioe nove. Il diagramma mostrato in soluzione ha il minimo numero di stati possible, cioe cinque. Dal punto di vista degli elementi di memoria, sono necessari due flip-flops in entrambi i casi. 3. Si progetti un circuito sequenziale per gestire una macchina che distribuisce bottiglie d acqua (date da bere agli assetati) con il seguente funzionamento: la macchina accetta monete da 10 e da 20 centesimi, ed al raggiungimento di almeno 30 centesimi una bottiglia viene erogata, e viene dato l eventuale resto. Suggerimento: si facciano le opportune assunzioni (quante sono e come vengono interpretate le linee di input? e di output?) 3 Aritmetica Binaria 1. Utilizzare l algoritmo di conversione decimale-binario e mostrare che, pensando di avere a disposizione 8 bit, la rappresentazione in base 2 di e : (a) ; (b) ; (c) 255 non e rappresentabile con 8 bit; (d) nessuna delle precedenti (in tal caso, dare la risposta corretta). Soluzione. (a) 3

4 2. La rappresentazione in complemento a 2 di -127 su 20 bit : (a) ; (b) (c) ; (d) nessuna delle precedenti (in tal caso, dare la risposta corretta). Soluzione. (b) 3. Si supponga di disporre di registri a 8 bits; si dia un esempio di due numeri interi rappresentati in complemento a 2 tali che la loro somma dia overflow, mentre la sottrazione del secondo dal primo no, e si mostrino le due operazioni (riporti inclusi). 4. Si risolvano le seguenti equazioni : (51) 8 = (x) 12 ; (51) 8 = (12) x ; (x) 8 = (51) 1 2. Descrivere che cosa indicano le equazioni stesse, e, brevemente, gli algoritmi utilizzati per la loro soluzione. Soluzione. Rispettivamente x = 35, x = 39, x = Si effettui la seguente operazione: ((((27) 10 +(1001) 4 ) (1021) 3 )+ (100101) 2 ) y = (x) 16. Soluzione. 5E. 6. Utilizzando la codifica in complemento a 2, scegliere opportunamente le stringhe da sostituire ai simboli A, B in maniera che la seguente operazione A + B = C corrisponda a = C e si restituisca C. Le possibili stringhe tra cui scegliere sono: 4 Misti Descrivere e progettare il circuito combinatorio per effettuare la somma di due numeri interi in complemento a 2 su tre bits, con overflow detecting. 2. Sia dato un circuito sequenziale con una linea di entrata ed una di uscita, il cui diagramma degli stati (5 stati) e il seguente: A B(0/0), A E(1/0); 4

5 B C(0/0), B D(1/0); C A(0/0, 1/1); D A(0/1, 1/0); E B(0/0), E C(1/0). Si richiede (1) di interpretare il circuito descritto in linguaggio naturale, e (2) di realizzare il circuito. Nota: (1) non implica (2) ne viceversa, quindi se non vi sentite abbastanza fiduciosi, siate consci che (2) e decisamente piu meccanico di (1). Soluzione. Chiaramente vi sono piu interpretazioni possibli. In ogni caso il circuito accetta sequenze di tre bits, e l uscita vale sempre 0 tranne che in corrispondenza dell ultimo bit. Una possibile interpretazione e la seguente: le sequenze vengono lette come numeri in base 3, essendo la prima cifra la piu significativa, e l uscita vale 1 se e solo se il numero e dispari. 3. Si progetti (il diagramma degli stati e la tabella di stato futuro di) un circuito sequenziale con due linee di entrata ed una di uscita, con il seguente comportamento: il circuito accetta due sequenze di tre bits che interpreta come numeri binari in complemento a 2, essendo il primo bit piu significativo, e restituisce 1 in corrispondenza degli ultimi bit delle sequenze se e solo se la loro somma da overflow. 5