UNIVERSITA' CATTOLICA DEL SACRO CUORE SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L'INSEGNAMENTO SECONDARIO

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1 UNIVERSITA' CATTOLICA DEL SACRO CUORE SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L'INSEGNAMENTO SECONDARIO INDIRIZZO FISICO-INFORMATICO-MATEMATICO SEDE DI BRESCIA METODI INFORMATICI PER LA DIDATTICA DELLA MATEMATICA II PROF. M. PAOLINI LA CATENARIA Dott.ssa Montemurro Mariarosaria Dott.ssa Paolino Anna Dott. Penna Massimo Dott. Guadagno Francesco 1

2 INTRODUZIONE AL SOFTWARE KIG Kig e un software libero per lo studio dinamico della geometria euclidea con approccio analitico. Attraverso le funzionalita base di Kig e possibile eseguire tutte le costruzioni classiche della geometria e, in particolar modo, eseguirne lo studio da un punto di vista dinamico, in termini di trasformazioni geometriche. In Kig sono implementate infatti tutte le principali trasformazioni del piano. Una particolarita di Kig, che lo rende di notevole interesse per lo studio della geometria analitica, e rappresentata dai ricchi menu dedicati allo studio delle curve. Un ulteriore aspetto, importante e innovativo a livello didattico e che in Kig e possibile implementare degli script in Python, un linguaggio di programmazione molto diuso nell'ambiente del software libero. Cio permette di introdurre in modo graduale gli studenti alla programmazione Python. Alcune funzionalita di Kig sono particolarmente dedicate agli insegnanti. Ad esempio, e possibile personalizzare le funzionalita dell'interfaccia ed eseguire l'esportazione di gure compatibili con Xg e in diversi altri formati (Png o Jpeg). Gli insegnanti possono sperimentare Kig come software per la manipolazione dinamica di oggetti geometrici. Approttando delle sue funzionalita il docente ha la possibilita di usare l'ambiente in ambiti disciplinari non strettamente matematici. L'ambiente di programmazione Python di Kig risulta, a nostro parere, altrettanto ecace per l'insegnamento nella scuola secondaria di II grado. PREMESSA L'argomento si presta bene ad essere arontato avvalendosi di supporti informatici, infatti, come ben sappiamo, la geometria analitica e un ramo della matematica che spesso crea dicolta nei nostri studenti; dicolta, dovute, per la maggior parte delle volte, nel disegnare curve particolari. Portare i ragazzi in laboratorio puo facilitare l'apprendimento, infatti, costruire le curve sfruttando le denizioni e le proprieta che le caratterizzano, puo rendere i ragazzi costruttori attivi del proprio sapere oltre a favorire il raggiungimento di obiettivi formativi, quali lavorare in gruppo con i compagni e l'insegnante. Inoltre, sostenere l'attivita didattica con l'ausilio di software didattici permette di visualizzare e costruire meglio tali curve, che altrimenti risulterebbero dicili da disegnare senza l'uso di strumenti come riga e compasso. Rispetto all'ambiente carta e matita, la potenzialita di Kig piu rilevante dal punto di vista didattico consiste nella sua dinamicita: esso permette di fare cose che manualmente non saremmo in grado di fare. Si ritiene comunque importante che le dimostrazioni fatte con Kig siano eseguite anche con carta e matita (prima o dopo non importa): puo capitare che cio che viene fatto con Kig sembri agli occhi degli studenti una magia e che, quindi, essi non siano pienamente consapevoli dei passaggi che fanno. Quindi, per evitare che tale software diventi uno strumento gurale piuttosto 2

3 che procedurale, riteniamo utile che lo studente motivi sempre i passaggi che svolge. LA CATENARIA Dicesi catenaria una particolare curva piana (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento e quello caratteristico di una fune (che per semplicita si supponga omogenea, essibile e inestendibile), i cui due estremi siano ssati e la cui parte centrale sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso. L'equazione della catenaria e esprimibile tramite il coseno iperbolico: f(x) = a cosh( x a ) = a 2 (e x a + e x a ) con a parametro reale diverso da zero. Rappresentazione della catenaria mediante Kig Costruzione 1 Consideriamo inizialmente il caso in cui a = 1. L'equazione della catenaria diventa: f(x) = 1 2 (ex + e x ). Per la costruzione di tale funzione si procede nel modo seguente: aprire la pagina di Kig o dalla barra delle applicazioni utilizzando la nestra Shell - Konsole e digitando Kig e successivamente ENTER, oppure utilizzando la nestra Menu K/Scuola/Geometria/Kig Geometria interattiva; disegnare un punto (utilizzando l'icona \Punto" sulla barra degli strumenti sulla sinistra) e cliccando, con il tasto destro del mouse, su \Aggiungi etichetta di testo", denotare tale punto con A. Per visualizzare la coordinata x del punto disegnato: cliccando sul punto col tasto destro del mouse, si seleziona \Aggiungi etichetta di testo" e successivamente Coordinata X. In seguito si procede avvalendosi del linguaggio di programmazione Python: 3

4 aprire lo script di Python, cliccando sull'apposita icona sulla barra degli strumenti; apparira la nestra \Nuovo script"; presente selezionare la coordinata x del punto (Attenzione!!! NON selezionare direttamente il punto); cliccare su \Avanti" nella nestra di Python; digitare il tasto TAB sulla tastiera del pc; scrivere, i seguenti comandi, nella nestra di Python (codice Python), digitando ogni volta il tasto TAB prima di immettere i dati in ciascuna riga: 1. x=arg1.value() 2. y=(exp(x)+exp(-x))/2 3. return DoubleObject(y) digitare \Fine", appare il valore della x del punto dipendente (punto ancora non visualizzabile). Per visualizzare il punto: selezionare il valore della x, poi scegliendo il percorso Oggetti/Punti/Point by numerics labels, selezionare prima il valore della coordinata x del punto A e poi il valore della coordinata x del punto dipendente. Apparira quindi il punto, denotare con B il punto attraverso il comando \Etichetta di testo"; disegnare un segmento con l'apposito comando ; denotare gli estremi del segmento con C e D attraverso il comando \Etichetta di testo"; posizionare il puntatore sul punto A e con il tasto destro del mouse selezionare \Ridenisci"; riposizionare il punto A sul segmento appena creato (notiamo che spostando il punto esso rimane vincolato al segmento); scegliere l'apposita icona \Luogo" ; selezionare il punto B; 4

5 selezionare inne il punto A. Apparira il graco della funzione in questione. OSSERVAZIONE Il parametro a della catenaria rappresenta l'unita di misura delle lunghezze, che gracamente e la \distanza" fra il vertice della catenaria V e l'origine degli assi O. Costruzione 2 E' possibile costruire il graco di una catenaria con parametro a variabile. Per la costruzione: aprire la pagina di Kig; disegnare un punto cliccando sull'icona e denotarlo con A ; per visualizzare l'ascissa del punto A, cliccando sul punto col tasto destro del mouse, si seleziona \Aggiungi etichetta di testo" e successivamente Coordinata X; e lo si denoti con K (con il solito pro- disegnare un ulteriore punto cedimento); 5

6 per evidenziare l'ascissa di K (che e il valore del parametro a), cliccando sul punto col tasto destro del mouse, selezionare \Aggiungi etichetta di testo" e successivamente Coordinata X; aprire lo script di Python, cliccando sull'apposita icona sulla barra degli strumenti; apparira la nestra \Nuovo script"; presente selezionare entrambi i punti A e K (Attenzione!!! coordinate di A e K); NON selezionare le cliccare su \Avanti" nella nestra di Python; digitare il tasto TAB sulla tastiera del pc ; scrivere, i seguenti comandi, nella nestra di Python (codice Python), digitando il tasto TAB prima di immettere i dati in ogni riga: 1. x=arg1.coordinate().x 2. a=arg2.coordinate().x 3. y=(a/2)*(exp(-x/a)+exp(x/a)) 4. return Point(Coordinate(x,y)) digitare Fine, appare il punto dipendente (da denotare con B attraverso \Etichetta di testo"); disegnare un segmento con l'apposito comando ; denotare gli estremi del segmento con C e D attraverso il comando \Etichetta di testo"; posizionare il puntatore sul punto A e con il tasto destro del mouse selezionare \Ridenisci"; riposizionare il punto A sul segmento appena creato (notiamo che spostando il punto esso rimane vincolato al segmento). per visualizzare il luogo, scegliere l'apposita icona \Luogo" ; selezionare il punto B; selezionare inne il punto A. 6

7 Apparira il graco della funzione catenaria dipendente dal parametro. OSSERVAZIONE Si puo notare che, al variare del parametro a, la curva ha andamenti diversi. Infatti, spostando il punto K nel piano, la catenaria variera il suo graco. Per valori di a positivi la curva volge la concavita verso l'alto, ad esempio: per a = 2 si osserva che la curva ha tale andamento: pian piano la curva degenera nell'asse x al tendere di a a zero, come si puo vedere dal seguente graco. 7

8 Inne, per valori di a minori di 0 si nota che la curva volge la concavita verso il basso. Ad esempio, per a = 2, e possibile osservare che la curva ha il seguente andamento. 8