Tensione Compressione Taglio

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1 Tensione Compressione Taglio I più elementari concetti di tensione e deformazione si esplicano dall analisi di una trave prismatica, soggetta ad una forza assiale indeformata Barra di traino m-n, è una sezione trasversale all asse - carico deformata Assumendo l uniformità della distribuzione del carico P in m-n TENSIONE P N N 2 2 A m mm Pa / MPa Dimensionalmente, si tratta di una pressione La tensione normale possiede un segno: + = trazione - = compressione

2 L uniforme distribuzione della tensione assiale comporta che la risultante dei carichi sia applicata nel baricentro della sezione altrimenti si instaura una flessione L uniformità in senso assiale viene garantita lontano dal punto di applicazione del carico, in corrispondenza del quale si hanno concentrazioni di tensione dipendenti tipo alloggiamento Come regola generale, l approssimazione è abbastanza valida almeno ad una distanza pari alla dimensione trasversale della barra In conseguenza dell applicazione del carico, la barra si allunga accorcia di L DEFORMAZIONE adimensionale I valori della deformazione sono in genere molto piccoli ~ 10-4 : 10-3 Il tipico valore considerato nello snervamento è pari a 0.2 %

3 Perchè la risultante deve passare per il baricentro per avere tensione uniassiale uniforme? x, y In il carico risultante P intercetta sezione retta La P causa la formazione di due momenti rispetto al polo origine degli assi M Py ; M Px x Gli stessi momenti possono essere ricavati integrando la tensione su tutta l area A M y da ; M x da x A Uguagliando i momenti omologhi e portando ora fuori dall integrale la (costante) y A y y A y da A ; x A x da A Che non sono altro che le coordinate del baricentro di una sezione

4 Esempio Calcolare la massima tensione per effetto del peso W del contenitore e della fune in acciaio. L=40 m / d= 8 mm / M= 150 kg / acc = 7700 kg/m 3 Soluzione: La condizione più gravosa si avrà nel punto alto di incastro della fune ove la tensione è somma del peso di tutta la fune e della massa utile M W Mg ALg max max M AL g A [MPa] [MPa] 4 max 2 Il peso fune contribuisce notevolmente alla sollecitazione e sarebbe stato un errore trascurarlo Domanda: Qual è la lunghezza di autosostentamento di una fune in acciaio (tensione rottura 800 MPa)? E di una in alluminio ( all = 2700 kg/m 3 tensione rottura 500 MPa)?

5 PONTE SULLO STRETTO DI MESSINA??? Lunghezza complessiva cavi = 5300 m Sezione dei cavi = circa 1m 2 Peso complessivo cavi = t Altezza torri = 370 m Peso impalcato/ metro lineare = 60 t/m

6 Qui motore traente Nelle funivie monocavo contrappesate cambia la tensione dei cavi in funzione dei carichi trasportati? Qui sistema a contrappeso per tendere la fune (non presente qui)

7 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA Esiste notevole numero di prove meccaniche atte alla caratterizzazione del comportamento strutturale dei materiali Lo scopo è definire i limiti di utilizzabilità di ciascun materiale Le prove devono essere affidabili e ripetibili Scopo delle normative e rendere i risultati indipendenti dai laboratori Per ogni tipologia di materiale esistono prove più o meno atte a metterne in risalto prestazioni e caratteristiche specifiche Esempi: durezza - metalli / danneggiamento ad urto compositi / Prove di resilienza Esistono inoltre prove sui materiali atte a determinarne le caratteristiche e prove tecnologiche dedicate allo studio del comportamento dei manufatti nelle reali condizioni di utilizzo Prove di trazione o di compressione, prove di durezza, prove di fatica, Prove di piegatura, resistenza alla punzonatura, prove di carico,

8 PROVA DI TRAZIONE (STATICA) Parametri essenziali da controllare Velocità di deformazione Temperatura La prova di trazione può essere eseguita in controllo di carico, o in controllo di deformazione Fattori determinanti Sezione rigidamente costante provino Raccordo delle teste di afferraggio sufficientemente graduale Centraggio accurato del provino Misure tipiche (Misure geometriche e morfologiche a fine prova) Avanzamento traversa Forza istantanea Misure ottiche Misure di deformazione

9 Le misure di deformazione possono essere fatte in due modi, in funzione del loro valore Piccole deformazioni (fino al 3 %) Estensimetri a resistenza (Strain gauge) Grandi deformazioni (ben oltre il 3 %) Estensometri meccanici Precisi nel campo delle piccole deformazioni e ad esempio nella misura delle proprietà elastiche, poi si scollano Inadatti alle piccole deformazioni, molto utili nei regimi di plasticità dei materiali

10 Il primo diagramma che si ottiene è costituito dalla curva carico - spostamento P Acciai duri (fragili) Acciai dolci (duttili) Rame o alluminio ricotto Il precedente si trasforma facilmente in curve tensione - deformazione ingegneristiche (perché basate sui valori iniziali S 0 e L 0 Dl ing ing P S 0 DL L 0 Tensione di rottura EP E S U R Scostamento dalla proporzionalità Fine recupero elastico completo Tensione di snervamento Tensione al momento rottura Tensione massima misurata

11 Materiali duttili e fragili si caratterizzano da curve trazione compressione a differente sviluppo Fase di strizione Acciaio duttile Acciaio fragile Fase di snervamento Rottura a forma caratteristica di cappa-cono materiale duttile Evoluzione delle linee di scorrimento in un materiale duttile

12 Visualizzazione delle linee di Lüder su un provino lucidato Frattura duttile Frattura fragile Frattura duttile

13 Occorre riferirsi alle grandezze vere (true) per grandi deformazioni t i L i L L i i1 L dl L al limite t ln L0 L L0 Ogni incremento di allungamento è rapportato alla lunghezza già raggiunta e non a quella iniziale Ricordando che DL L ing 1 L0 L0 t ln 1 ing ing vera La formula precedente consente il passaggio tra tensioni ingegneristiche (misurate) e vere (ricavate) Come si vede dalla tabella, esse differiscono poco tra loro, almeno finché non si sia in presenza di deformazioni rilevanti Per quanto riguarda le tensioni vere, occorre aggiornare la sezione resistente (che si contrae durante l allungamento). La contrazione laterale è infatti trascurabile all inizio, ma poi diventa rilevante in plasticità

14 In plasticità è opportuno ipotizzare che il materiale fluisca senza apprezzabili variazioni di volume, per cui si calcola la tensione vera imponendo la costanza del volume S L 0 0 SL P PL t ing 1 ing S S L 0 0 A questo punto si può costruire il diagramma tensioni deformazioni vere ingegneristica vera Tratto di difficile misurazione Le curve Tens-Def vere sono quelle da utilizzare nel calcolo numerico delle strutture (FEM)

15 Gli acciai sono caratterizzati da curve che possono essere molto diverse fra loro σ (Mpa) Differenze insorgono per effetto di: Composizione chimica (elementi lega) Trattamenti termici Trattamenti meccanici Cristallizzazioni Invecchiamento (processi di diffusione) Dimensione dei grani Processi tecnologici di fabbricazione Comportamenti non isotropi Temperatura di prova ε in %

16 Alcune caratteristiche generali possono essere dedotte da analisi a fine prova (rottura) Allungamento percentuale: Lfinale L0 L% 100 L 0 Per effetto della localizzazione dovuta al necking, nella sua definizione occorre sempre indicare la base di misura L 0 utilizzata. Valori normali intorno % Riduzione di area percentuale: A0 A fin A% 100 A 0 Riduzioni anche del 50 % sono usuali negli acciai MATERIALI DUTTILI Presentano rottura associata ad alti valori di deformazione Assorbono una buona quantità di energia prima di fratturarsi Presentano una rilevante deformazione plastica L aspetto della frattura è fibroso MATERIALI FRAGILI Presentano rottura per bassi valori di deformazione Assorbono una scarsa quantità di energia prima di fratturarsi La deformazione plastica è così ridotta che si possono quasi ricongiungere i pezzi rotti riprendendo forma originale

17 MATERIALI DUTTILI MATERIALI FRAGILI Il meccanismo di rottura è dominato dallo scorrimento La rottura produce una grande quantità di calore L aspetto della rottura presenta una serie di faccette quasi lucide Il meccanismo di rottura è dominato dal clivaggio (distacco) La rottura avviene in modo improvviso Uno dei parametri chimici che più influenzano il comportamento strutturale degli acciai è il tenore di carbonio, aumentandolo l acciaio diventa più duro. (si alza la tensione di snervamento e diminuisce il rapporto snervamento / rottura)

18 La velocità di deformazione rende gli acciai più resistenti ma anche più fragili Qualche cosa di simile si ha anche per effetto dell abbassamento della temperatura Deformare a freddo un acciaio dolce equivale a renderlo più resistente in regime elastico ma diminuisce sensibilmente la sua riserva plastica Lo si fa negli acciai per molle / nello stampaggio delle lamiere / nei fili che costituiscono i trefoli delle funi Nei materiali allo stato ricotto si fa un trattamento termico ad alta temperatura e di durata tale da eliminare le tensioni residue eventualmente presenti e l incrudimento raggiunto

19 Comportamento elastico e plastico All interno della zona di elasticità (il cui limite è il punto E), alla rimozione del carico si ha un ritorno al punto iniziale O In altri termini, in elasticità il comportamento è reversibile Superato il limite di elasticità (E) lo scarico mantiene la medesima pendenza iniziale ma si distinguono una deformazione elastica che si recupera ed una permanente o residua In molti materiali il tratto di elasticità è pressoché lineare Se un materiale caricato plasticamente viene scaricato e poi caricato di nuovo, esso ha subito profonde alterazioni e segue il percorso CBF Il materiale modificato (percorso CBF) è caratterizzato da un limite di elasticità (B) più alto dell iniziale (E)

20 Tipi di comportamento plastico considerati Le due zone, elastica e plastica, separatamente o assieme possono essere caratterizzate (o idealizzate) in modi differenti Materiale elastico - perfettamente plastico E sn sn sn Materiale elastico con incrudimento lineare E sn E E sn sn plas sn Materiale approssimato da una unica legge costitutiva (Ramsber-Osgood) m tot 1 tot E 0 e m sono costanti caratteristiche dei materiali Per gli acciai m = 5 10 / = m

21 Deformabilità a caldo (creep) Nei casi precedenti, il tempo non giocava alcun effetto le risposte erano immediate In alcuni materiali, spesso al di sopra almeno ¼ della temperatura di fusione, si assiste ad un allungamento aggiuntivo funzione del tempo di applicazione del carico Il creep può produrre un ulteriore allungamento, lineare o non con il tempo stesso Importante negli acciai utilizzati ad alte temperature (esempio fasci tubieri, palette di turbina,..) ma anche in molte materie plastiche Analogamente, nelle strutture inizialmente tensionate e bloccate si assiste ad un progressivo rilassamento

22 1 ksi= 6.89 MPa Legge di Hooke unidimensionale 1 psi= MPa Acciaio da costruzione Lega d alluminio Lega di rame Gomma Molti materiali di importanza strutturale presentano un primo tratto ad elasticità lineare Questo è importante nella progettazione perché garantisce l assenza di deformazioni permanenti E Legame lineare E = modulo di Elasticità o di Young [MPa] Valori tipici per alcuni metalli strutturali E (MPa) n G (MPa) Acciai Ghise ( ) 0.25 ( ) Leghe rame Leghe alluminio

23 Coefficiente di Poisson Quando una barra prismatica è tensionata assialmente, si evidenzia anche una contrazione laterale Se il materiale è elastico, omogeneo, isotropo, la contrazione è proporzionale al carico applicato n laterale assiale Coefficiente adimensionale Calcoli teorici basati sulla struttura atomica indicano valori prossimi a -1/3 come in effetti si ha In plasticità il materiale fluisce come incompressibile Quando i metalli entrano in regime di plasticità il coefficiente si avvicina a -0.5 b a c Deformazioni vere: a b c V0 a0 b0 c a b c V a0 b0 c0e e e = 1 V 0 Posto che b c na a ln a a 0 ; b ln b b 0 ; c ln 1 2n 0 n0.5 c c 0

24 Cambiamento di volume (elasticità) Siamo nel caso di piccole deformazioni e quindi si utilizza la ε ingegneristica Vdeform V0 a b c a b c n n V 1 2 deform V0 n Cambiamento unitario di volume o dilatazione e DV V 0 n n E Questa ultima definizione mostra come il massimo valore plausibile del coefficiente di Poisson sia 0.5, oltre il quale si avrebbe una poco fisica riduzione del volume per effetto di una trazione applicata!

25 Identificazione del comportamento alla strizione L ultimo tratto della curva di trazione, ove nel diagramma ingegneristico si assisteva ad una riduzione del carico, è caratterizzato dalla accentuata localizzazione della deformazione laterale La condizione per cui la clip (estensometro) sia proprio nell area di strizione è assai improbabile Quel che si può fare è identificare il punto ultimo a rottura a provino rotto e estrapolare con tali valori l ultimo tratto f e f Misurata a fine prova a 0 S 0 = Sezione iniziale / S f = Sezione finale b 0 c 0 b c b0 c0 e b e c S S 0 e 2 b e 2 n a e a n 0.5 f a S0 ln S f F S ult f

26 Caratteristiche meccaniche degli acciai da costruzione più usati (1)

27 Caratteristiche meccaniche degli acciai da costruzione più usati (2)

28 1 GN/m 2 = 1000 MPa 1 MN/m 2 = 1 MPa

29 Tensione e deformazione di taglio Le sollecitazioni di taglio agiscono in senso tangenziale rispetto alla superficie Si consideri la connessione tra un tirante ed una piastra mediante un bullone Le forze di contatto generano una pressione media che sui lati 1 e 2 della vite calcolabili come: P 1 3 P 2 In pratica si utilizzano le s d 2 s tirante d vite piastra vite proiezioni delle sezioni resistenti Dall equilibrio della porzione di vite mnqp si evidenzia una condizione di doppio taglio nella vite: d V P 2 4 d vite vite P 2 Taglio medio

30 Condizione di taglio singolo nel bullone d V Taglio medio P 4 d vite vite P Nei due esempi di taglio singolo o doppio, si tratta di applicazione diretta di taglio Sollecitazioni su bulloni, rivetti, spine, incollaggi, chiavette, linguette Si può riscontrare sollecitazione di taglio anche mediante applicazione indiretta in elementi soggetti a tensione o compressione, torsione e flessione

31 Supponiamo che agisca una sulla faccia superiore Equilibrio in x ne fa risultare una inferiore uguale Equilibrio in M z ne aggiunge lateralmente 2 uguali Facce opposte presentano uguali ma direzioni opposte Facce adiacenti presentano uguali con versi concorrenti o divergenti Al taglio si accompagna una variazione di forma evidenziabile da due angoli = /2 CONVENZIONE SUI VERSI y y yx xy Nella figura sono orientati secondo le direzioni positive x xy x x Versi + secondo gli assi nelle facce a normale positiva yx Versi + opposti ai precedenti nelle facce a normale negativa y

32 Legge di Hooke nel taglio Il materiale può essere testato a taglio direttamente o mediante ad es. prova di torsione Se ne ricava un diagramma tensione deformazione di taglio del tutto analogo a quello normale EP E S U R Scostamento dalla proporzionalità Fine recupero elastico completo Tensione di snervamento Tensione al momento rottura Tensione massima misurata Questi valori sono spesso il 50 o 60 % delle rispettive tensioni normali La parte elastica lineare (Legge Hooke) è descritta dal modulo di elasticità trasversale G G G è dimensionalmente una pressione [MPa] Nei mat. Omogenei e isotropi le 3 grandezze che definiscono il comportamento elastico sono legate da una relazione (2 sole sono indipendenti) 21 n G E

33 Esempio Una piastra di appoggio di macchina operatrice esercita una spinta assiale V attraverso un inserto di gomma. Calcolare la tensione media nella gomma e lo spostamento orizzontale Soluzione: Si può assumere che la tensione si distribuisca uniformemente nel tassello: V ab La deformazione a taglio che ne deriva: V ab G Lo spostamento orizzontale si calcola dal triangolo della deformata V d htan htan ab G d hv ab G Si è lavorato con i valori medi, ma se a >> h ciò è accettabile

34 Tensioni e carichi ammissibili Le strutture sono progettate per opporsi ai carichi applicati. Ognuna può essere pensata come caratterizzata da un carico massimo oltre il quale si ha rottura (Strength) Il coefficiente di sicurezza, altro non è che il rapporto tra il massimo carico supportabile / il carico richiesto nell applicazione n Massimo carico supportabile Carico effettivamente applicato n può variare moltissimo 1-10 Svariati possono essere i fattori che ne influenzano il valore Variazioni nelle caratteristiche dei materiali Effetto scala nelle caratteristiche di resistenza Tipologia dei carichi applicati Effetto dei processi di fabbricazione Variazioni dovute a trattamenti termici Condizioni d uso e di manutenzione Esposizione ad ambienti aggressivi/temp. non previste Specifiche richieste per il componente (monouso, ) Vincoli di legge Salvaguardia della vita umana Assunzioni semplificative introdotte nel modello Modalità operative per il calcolo delle sollecitazioni Considerazioni statistiche???

35 Se si dispone di metodi per la determinazione degli stati di tensione nelle strutture, i carichi ammissibili possono essere espressi in termini di tensioni ammissibili Limite dettato dalla deformabilità (snervamento) materiali duttili Limite dettato dalla rottura materiali a scarsa duttilità o fragili snerv amm snerv n amm n In sollecitazioni statiche, in mancanza di direttive, si può assumere n= 1.6 rott rott amm amm n n I coefficienti di sicurezza a rottura sono in genere poco più alti di quelli basati sullo snervamento Nell analisi strutturale, una verifica di resistenza corrisponde ad un problema diretto, ossia la determinazione delle massime sollecitazioni che vengono rapportate a quelle ammissibili L attività di progettazione invece costituisce un problema di tipo inverso, in genere più oneroso in quanto si compone di un certo numero di verifiche successive, fino a convergenza Si tratta di determinare le dimensioni che garantiscono il rispetto dei limiti imposti dalle tensioni ammissibili Ancora più complesso è il caso dell ottimizzazione di una struttura, ove dimensioni, forme, materiali, sistemi di fabbricazione possono tutti variare per la determinazione della soluzione migliore

36 Esercizio Una struttura composta da due elementi, AB e BC, supporta un cartello pesante. Dimensionare la sezione dell elemento AB; dimensionare il diametro perno in C. I materiali adottati consentono una tensione ed un taglio ammissibili pari, rispettivamente, a: 125 e 45 MPa. Soluzione: Eliminando i vincoli, si può imporre l equilibrio ai momenti in C per determinare R AH MC 0 RAH 2.0m 2.7kN 0.8m 2.7kN 2.6m RAH 4.59 kn RAV RAH 3.06 kn FAB RA kn

37 L equilibrio orizzontale dell elemento CB: R R 4.59 kn CH AH L ultima reazione incognita richiede eq. Momenti in B: M B 0 RCV 3.0m 2.7kN 2.2m 2.7kN 0.4m 0 RCV 2.34 kn RC kn L area elemento AB richiesta risulta: A AB FAB 5152 N 44.1 mm N / mm amm 2 La sezione perno in C (doppio taglio) A pinc RC N N / mm amm mm 2 d pinc 4A pinc 8.54 mm Nel calcolo si è trascurato il peso proprio struttura, altrimenti l elemento AB sarebbe stato soggetto anche a flessione