Michelangelo Laterza Principi di Statica e di Dinamica delle Strutture

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1 Michelangelo Laterza Principi di Statica e di Dinamica

2 Introduzione al concetto di sforzo Alle sollecitazioni di trazione, di compressione, di taglio, o ai momenti flettenti all interno di una struttura sono associati degli sforzi interni corrispondenti. Lo sforzo, forza specifica per unità di superficie, è una misura di come una forza sia distribuita su di un area. Una forza che agisce su una piccola area produce sforzi più elevati di quanto non faccia la stessa forza che agisca su un area maggiore. Questi sforzi tendono a causare una rottura per trazione, o per compressione o per taglio. Materiali diversi hanno capacità diverse di sopportare i diversi tipi di sforzo. Michelangelo Laterza Principi di Statica e di Dinamica

3 Sforzi di trazione e di compressione Sforzo = forza / superficie σ = P / A Esempio: Un elemento con sezione che misura 50x50 mm regge un carico assiale 100 kn. Qual è l intensità degli sforzi in una generica sezione? σ = P/A σ = 100/(50x50)=0,04kN/m 2 =40 N/mm 2 dove σ è lo sforzo (forza per unità di superficie), P è la forza assiale, e A è l area della sezione trasversale considerata. Sforzi di questo tipo sono sforzi assiali, o normali. Gli sforzi che si sviluppano in un elemento caricato in compressione semplice possono descritti in modo simile. Michelangelo Laterza Principi di Statica e di Dinamica

4 Nel linguaggio ordinario il significato di parole come forte, solido, duro, rigido, resistente è di solito molto vago, e queste parole sono usate spesso come sinonimi. Il Greco antico ed il Latino erano altrettanto imprecisi - per esempio in Latino TENSIO significa indistintamente Tensione e Deformazione Ut tensio, sic vis la forza è proporzionale all allungamento. La prima testimonianza storica di un approccio scientifico ai problemi della resistenza si trova nei manoscritti di Leonardo da Vinci ( ) La meccanica è il paradiso delle scienze matematiche perché è qui che la matematica dà i suoi frutti. Leonardo sperimentò la resistenza di cavi applicando ad essi carichi di trazione (era interessato a variazioni della resistenza al variare della lunghezza del cavo). Anche se può sembrare ovvio che la resistenza non dipenda dalla lunghezza del cavo si ha che a parità di carico di rottura la variazione di lunghezza in una fune lunga è maggiore che in una fune corta ossia l energia di rottura è più elevata (tutto dipende da cosa si intende per RESISTENZA ).

5 Il padre della definizione moderna della resistenza dei materiali può essere considerato Galileo Galilei ( ) che processato dall Inquisizione per le teorie eliocentriche sul sistema solare fu costretto ad abbandonare le osservazioni astronomiche e a dedicarsi a problematiche per lui di ripiego come lo studio dei materiali e delle strutture, considerato innocuo dalla chiesa. Nei suoi studi (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze) egli stabilì che il carico di rottura di un asta sottoposta a trazione è proporzionale all area della sezione trasversale. Isaac Newton ( ) sosteneva che gli Dei non risiedessero in cucina e quindi disprezzava le scienze applicate. Nondimeno la Meccanica Newtoniana pubblicata nei Principia del 1687 era destinata ad avere nella progettazione delle strutture un ruolo fondamentale - La terza legge di Newton (Uguaglianza tra Azione e Reazione) fissa il concetto di equilibrio alla base del calcolo delle strutture.

6 Robert Hooke ( ) sosteneva invece che gli Dei risiedessero in cucina e quindi non disprezzava le scienze applicate. Egli dimostrò sperimentalmente che Ut Tensio, sic Vis - la Forza è proporzionale all (The true theory of elasticity or springiness). Hooke affermava che: Un solido può resistere a una forza esterna solo cambiando la sua forma: allungandosi se è soggetto a una forza di trazione, contraendosi se è soggetto a una forza di compressione. La sua scoperta era una logica conseguenza della terza legge di Newton (Uguaglianza tra Azione e Reazione). Non esiste quindi secondo Hooke un materiale perfettamente RIGIDO (solo deformandosi elasticamente, un materiale può accumulare energia per reagire ad una forza esterna). Legge di Hooke: I materiali solidi sono elastici. Vale a dire, riacquistano forma e dimensione originale quando viene rimosso un carico che era stato loro applicato in precedenza. Hooke

7 Hooke Legge di Hooke: I materiali solidi sono elastici. Vale a dire, riacquistano forma e dimensione originale quando viene rimosso un carico che era stato loro applicato in precedenza. Perdita di elasticità Metalli Duttili La legge di Hooke è rigorosamente vera per i materiali ceramici, il vetro, la maggior parte dei minerali e per i metalli molto duri. Curva a J tipica dei Tessuti Animali La legge di Hooke è vera in molti altri materiali solo per bassi o bassissimi livelli di sforzo. Curva a S tipica del comportamento elastico della Gomma

8 Tensioni e Deformazioni Augustin Cauchy ( ) definì lo Sforzo (Tensione) come la forza per unità di superficie della sezione trasversale passante per un punto particolare del materiale mentre la Deformazione è la conseguenza di uno sforzo applicato al materiale. Lo Tensione (σ = F/A) ci dice con quanta forza vengono allontanati o avvicinati gli atomi in un dato punto di un solido. La Deformazione (ε = Δl/l) di quanto gli atomi vengono allontanati o avvicinati (di quanto il materiale viene allungato o compresso). l A l Δl F σ = F/A F F ε = Δl/l F

9 Thomas Young ( ) per primo affermò che ogni materiale possiede una propria rigidezza che quindi lo caratterizza e mostrò che la deformazione totale di una struttura che resiste ad un dato carico è dovuta agli effetti combinati della rigidezza del materiale da un lato e della dimensione e forma della struttura dall altro. L espressione matematica del Modulo di Young (1826) è invece dovuta a Claude- Louis-Marie-Henry Navier ( ) che definì la rigidezza del materiale come pendenza della curva Sforzo-Deformazione ossia il rapporto tra Tensione e Deformazione. Acciaio Alluminio Osso Legno Più alto è il Modulo di Young, più il materiale è Rigido. Più alta è la Tensione da applicare per provocare la rottura, più il materiale è Resistente.

10 Verifica di resistenza Se lo sforzo (o tensione) (σ = P / A) è minore dello sforzo di rottura del materiale, determinato sperimentalmente, l elemento soddisfa la verifica di resistenza e può reggere il carico dato. Nella verifica di resistenza si introduce un fattore di sicurezza che tiene conto dell incertezza della valutazione della resistenza del materiale. Esempio: Per l acciaio si impiega un fattore di sicurezza (detto coefficiente parziale dell acciaio) pari a 1,15. Se si assume per la resistenza a trazione un valore (caratteristico) pari a 450 MPa (N/mm 2 ), la massima tensione di trazione che può sopportare l acciaio sarà pari: Michelangelo Laterza Principi di Statica e di Dinamica