Il problema della scelta delle alternative: Introduzione ai metodi di analisi a molti attributi. Criterio di Efficienza di Pareto

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1 Il problema della scelta delle alternative: Introduzione ai metodi di analisi a molti attributi Valutazione di Impatto Ambientale Prof. Giulio De Leo Dipartimento di Scienze Ambientali Università degli Studi di Parma deleo@dsa.unipr.it Prof. Eliot Laniado Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano Criterio di Efficienza di Pareto COSTO 1 5 Problemi in genere ci sono più di 2 obiettivi INQUINAMENTO Soluzioni Pareto ottime Punto di partenza: la matrice degli impatti Alternative A1 A2 Am x1 a 11 a12... a1 m x2 a 21 a22... a2 m Indicatori o Impatti xn n n nm a 1 a 2... a Criteri x Problemi come faccio a decidere?? Come scegliere l alternativa? Nella matrice di valutazione, i valori presenti nelle diverse righe sono in generale espressi in unità di misura differenti e non confrontabili tra loro. In qualche caso, non è nemmeno chiaro quale alternativa è meglio confrontando anche solo due valori assunti da uno stesso attributo. Metodi Normativi-Prescrittivi rigorosi dal punto di vista matematico richiedono razionalità del decisore rifiutano le preferenze di un decisore che non rispetta gli assiomi basati su assiomi matematici: completezza transitività (o consistenza) indipendenza dalle alternative irrilevanti Esempio: Analisi a Molti Attributi Classica Assioma di completezza Il decisore, messo di fronte a due alternative (A e B), è sempre in grado di specificare la sua struttura di preferenza, ovvero affermare se: A è preferibile a B (o viceversa) A e B sono indifferenti non può rispondere non so...

2 Assioma di Transitività Su una scala ordinale: se A è meglio di B, e B è meglio di C allora A è meglio di C (se A > B e B > C A > C ) Su scala cardinale: A = αb e B = βc A =αβc Indipendenza dalle alternative irrilevanti Dato un certo ordinamento fra alternative, questo risulta invariante rispetto all introduzione o esclusione di altre alternative Es.: se A > B questo deve essere vero indipendentemente da C Caduta dell assioma di transitività A B C Costo Ottimo Buono Discreto Accessibilità Discreto Ottimo Buono Ambiente Buono Discreto Ottimo A > B per Costo e Ambiente B > C per Costo e Accessibilità A > C?? No, C > A per Accessibilità e Ambiente Caduta dell assioma di Indipendenza dalle alternative irrilevanti Concorso di bellezza A B C D 1 giudice giudice giudice giudice giudice giudice giudice Totale punti punti 2 3 punti 3 2 punti 4 1 punti Caduta dell assioma di Indipendenza dalle alternative irrilevanti Concorso di bellezza (seconda edizione) A B C 1 giudice giudice giudice giudice giudice giudice giudice Totale punti punti 2 2 punti 3 1 punti Analisi a Molti-Attributi Classica Valutazione di Impatto Ambientale Prof. Giulio De Leo Dipartimento di Scienze Ambientali Università degli Studi di Parma deleo@dsa.unipr.it Prof. Eliot Laniado Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano

3 IDEA BASE DELL ANALISI A MOLTI ATTRIBUTI CLASSICA È necessario associare ad ogni alternativa un unico valore, che esprima la soddisfazione complessiva u sui criteri x ( x x ) u,..., = u 1, 2 x n Funzione di utilità complessiva Funzione di utilità complessiva deve poter essere ottenuta partendo dalle utilità associate ai singoli attributi: SEPARABILITÀ ADDITIVITÀ Metodo prescrittivo STRUTTURAZIONE DEL PROBLEMA (per un problema con 2 attributi) L utilità complessiva, associata a un alternativa, deve essere ottenibile a partire dalle utilità relative ai singoli attributi, applicando un modello di tipo additivo. Perché questo sia vero devono essere soddisfatte queste due proprietà: separabilità: u (x,y) = f(u x (x), u y (y)) additività: u (x,y) = u x (x)+u y (y) ricerca di condizioni che permettano di verificare queste proprietà MUTUA INDIPENDENZA PREFERENZIALE l ordine e la struttura preferenziale tra due qualsiasi valori di un attributo non dipendono dal valore assunto dagli altri attributi. Mutua indipendenza preferenziale C.N.S. per separabilità C.N.S. per additività (3 o più criteri) Contro esempio per mutua indipendenza preferenziale e separabilità Azienda di trasporto pubblico # autobus # autisti Criteri di impatto ambientale Emissioni di CO2 Imrponta ecologica (NB: C.N. per additività x 2 criteri Regolarità degli incrementi) Pertanto... La struttura delle preferenze su un criterio non dipendente dal valore assunto dagli indicatori sugli altri criteri i criteri risultano mutuamente indipendenti da un punto di vista delle preferenze MUTUA INDIPENDENZA PREFERENZIALE (+ REGOLARITÀ DEGLI INCREMENTI x 2 criteri) SEPARABILITÀ + ADDITIVITÀ

4 Come si procede Si usano le funzioni di utilità (U i ) per trasformare gli indicatori della matrice degli impatti in livello di soddisfazione u ij (compresi ad esempio fra 0 e 1) si associa ad ogni indice (u ij ) un peso (w i ) per calcolare le prestazioni complessive di ciascun alternativa rispetto a tutti gli indicatori si crea l ordinamento rispetto al risultato ottenuto FUNZIONI DI UTILITÀ DEI SINGOLI ATTRIBUTI Definire la funzione di utilità u x per un attributo x significa trasformare un indicatore nelle sue unità fisiche in un livello di soddisfazione Definire una scala delle preferenze. Min. soddisfazione u x (x 0 )=0.Max. soddisfazione u x (x 1 )=1. u x (x) x 0 x1 Esempi di funzioni di utilità (U) utilità utilità valori dell'attributo x valori dell'attributo x utilità utilità Attenzione! Non utilizzare la normalizzazione bruta fra il valore Min ( 0) e il valore Max ( 1) possibilità di manipolazione degli ordinamenti 1 1 valori dell'attributo x valori dell'attributo x 0 $ 0 $ Modalità per stimare la funzione di utilità Esempio di applicazione delle funzioni di utilità relative ai singoli attributi Come procedere dipende dal tipo di attributo considerato. A1 A2 A3 A4 u verde Dalla letteratura è necessario verificare che le condizioni nelle quali sono state ricavate le funzioni siano compatibili con il particolare problema considerato (es: WQI, PSI, IBE,...) Verde pubb Densità di 4 6 cinghiali u densità per punti tecnica della frazione media

5 Applicando alla matrice le funzioni di utilità relative ai singoli attributi si ottengono valori tutti compresi tra 0 e 1. Tutti i valori esprimono una soddisfazione e quindi devono essere massimizzati. Si può ricavare l ordinamento delle alternative rispetto a un singolo attributo. Se u x (x A )>u x (x B ) allora A è meglio di B rispetto a X Tuttavia, le scale usate per esprimere le utilità sono arbitrarie e diverse da attributo ad attributo. Non è possibile confrontare direttamente fra loro valori relativi a righe differenti. In conclusione: funzioni di utilità servono a descrivere la struttura di preferenze del decisore la scala 0-1 è arbitraria u x e u y contengono informazioni sull ordine e sulla struttura di preferenze su ciascun criterio non contengono informazioni sul valore assoluto di preferenze una trasformazione lineare di una funzione di utilità di un determinato criterio non modifica né la struttura di preferenze né l ordine per quel criterio. Le differenze di utilità vengono modificate in valore assoluto, ma restano nella stessa proporzione ux( x) uy( y) FUNZIONE DI UTILITÀ COMPLESSIVA Funzioni di utilità dei singoli attributi Modello additivo Funzioni di utilità complessiva (, ) = x ( ) + y ( ) u x y wu x w u y 1 2 Determinazione coefficienti di importanza relativa (pesi w i ) Attribuzione dei Pesi in modo gerarchico 0.7 Scelta Finale Ambiente Occupazione Economia Valutazioni politiche 0.55 Aria 0.45 Acqua Rend. econ. PM10 NO2 DO CF BOD 5 ROE Volat Rischio Valutazioni tecniche Il metodo dei pesi a 0 a 1 a 2 c 1 g 1 (a 0 ) g 1 (a 1 ) g 1 (a 2 ) c 2 g 2 (a 0 ) g 2 (a 1 ) g 2 (a 2 ) c 3 g 3 (a 0 ) g 3 (a 1 ) g 3 (a 2 ) c 4 g 4 (a 0 ) g 4 (a 1 ) g 4 (a 2 ) W w 1 w 2 w 3 w 4 PROCESSO DECISIONALE ANALISI DI SENSITIVITÀ ELEMENTI DI INCERTEZZA ELEMENTI DI SOGGETTIVITÀ g 1 (a 0 )w 1 +g 2 (a 0 )w 2 + g 3 (a 0 )w 3 + g 4 (a 0 )w 4 =V a0 g 1 (a 1 )w 1 +g 2 (a 1 )w 2 + g 3 (a 1 )w 3 + g 4 (a 1 )w 4 =V a1 g 1 (a 2 )w 1 +g 2 (a 2 )w 2 + g 3 (a 2 )w 3 + g 4 (a 2 )w 4 =V a2 e quindi ordino con ordine descrescente ORDINAMENTO DIPENDE DAL VALORE ASSUNTO DAI DIVERSI PARAMETRI ANALISI DI SENSITIVITÀ AREA DI STABILITÀ POSSIBILITÀ DI RANK REVERSAL

6 Fonti di incertezza e di soggettività Impatti La stima viene fatta riferendosi ad alternative che non sono ancora state realizzate. Di conseguenza sono presenti diversi elementi di incertezza, sia nella definizione precisa delle alternative, sia legati all uso di modelli. Dati in ingresso ai modelli di stima: Possono essere presenti errori di misura Scelta modelli di stima Qualsiasi modello della realtà contiene delle approssimazioni, che introducono nell analisi elementi di incertezza. Scenari di riferimento I fattori che determinano l evoluzione del contesto in cui si inserisce l alternativa sono numerosi e difficili da prevedere. Fonti di incertezza e di soggettività (2)... Funzioni di utilità: Dovendo riflettere la struttura di preferenze del decisore, contengono necessariamente elementi di soggettività Coefficienti di importanza relativa (pesi): Dipendono da un giudizio di valore soggettivo del decisore. Sono gli elementi più critici, quelli su cui è necessario eseguire un analisi di sensitività più approfondita. Metodologie per l analisi di sensitività Tipo di incertezza/soggettività Scelta metodo Ricalcolo della soluzione al variare dei valori dati ai parametri numero limitato di valori tra cui si è incerti (2 o 3) confronto diretto ordinamenti ottenuti Metodo Montecarlo nota la distribuzione di probabilità delle variabili incerte analisi statistica degli ordinamenti ottenuti (prestazione media + prob. che un alternativa si classifichi nella k- esima posizione ) Metodi analitici specifici incertezza espressa in funzione di un unico parametro Analisi di sensitività rispetto al peso di un solo criterio w k U w - w w + A1 A3 A2 w k 1) Per ogni criterio, si definisce una distribuzioen Beta del suo peso relativo Analisi Monte Carlo Distribuzioen di frequenza Min Atteso 2) Si estrae un valore del peso dalla rispettiva distribuzione di probabilità per ciascun criterio 3) Si calcola il valore dell indice aggregato per ciascuna alternativa e si salva il risultato 4) Si torna al punto (2) e si ripete l operazione per 1000 volte Max Peso w i Frequency distribuzione dell'indice aggregato di performance 35.0% 30.0% 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% % 0.0% Alt 1 Alt

7 30.0% Frequency 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% 5.0% 0.0% Alt 3 Alt Metodi Electre Valutazione di Impatto Ambientale Prof. Giulio De Leo Dipartimento di Scienze Ambientali Università degli Studi di Parma ARPA - Lombardia deleo@dsa.unipr.it Prof. Eliot Laniado Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano Elementi chiave dei Metodi Electre rifiuto a priori del rigore assiomatico sono tollerate contraddizioni matematiche seguire concretamente il processo decisionale assecondare l irrazionalità del decisore come nell Analisi Gerarchica sono presenti: dipendenza dalle alternative irrilevanti matrici dei confronti a coppie inconsistenti inoltre incompletezza (= incomparabilità tra 2 alternative)» esempi: 1. acquisto di un automobile 2. paradosso del caffè Perché introdurre l incompletezza? In teoria Assioma di completezza il decisore, posto di fronte a due alternative A e B, deve essere sempre in grado di esprimere la sua preferenza o indifferenza non è tollerata l incertezza Nella realtà i sensi umani hanno capacità di discriminazione finita e operano per classi la compensazione tra due alternative con opportuni pesi non sempre è possibile la percezione della differenza di prestazione è soggettiva Incompletezza Analisi di concordanza e di discordanza Una base comune al di là delle differenze strutturali: attribuzione di pesi ai criteri secondo le preferenze calcolo del valore del coefficiente di concordanza c(i,j) coppia di alternative calcolo del valore del coefficiente di discordanza d(i,j) coppia di alternative verifica dell esistenza o meno di una relazione di surclassamento tra coppie di alternative (su soglie di concordanza S c e soglie di discordanza S c ) creazione di un ordinamento tra le alternative + eventuale raffigurazione su grafo dei surclassamenti

8 Simbologia e convenzioni adottate (1) A = {a 1, a 2,..., a i,, a j,, a n } insieme delle n alternative ammissibili C= {c 1, c 2,..., c k,..., c m }: insieme degli m criteri W= {w 1, w 2,...w k,..., w m } vettore dei pesi associati ai criteri g k (a i ): prestazione dell alternativa i-esima secondo il criterio k-esimo a 0 a 1 a 2 W c 1 g 1 (a 0 ) g 1 (a 1 ) g 1 (a 2 ) w 1 c 2 g 2 (a 0 ) g 2 (a 1 ) g 2 (a 2 ) w 2 c 3 g 3 (a 0 ) g 3 (a 1 ) g 3 (a 2 ) w 3 Simbologia e convenzioni adottate (3) W + (i,j) = {k : w k I + (i,j)} somma dei pesi dei criteri per i quali l alternativa a i è preferita all alternativa a j W = (i,j) = {k : w k I = (i,j)} somma dei pesi dei criteri per i quali l alternativa a i è equivalente all alternativa a j W - (i,j) = {k : w k I - (i,j)} somma dei pesi dei criteri per i quali l alternativa a j è preferita all alternativa a i c 4 g 4 (a 0 ) g 4 (a 1 ) g 4 (a 2 ) w 4 Coeff. di Concordanza c(i,j) c(i,j) = W + + = W (i,j) + W (i,j) = (i,j) + W (i,j) + W (i,j) d(i,j) Coeff. di Discordanza c(i,j) = max k I (i,j) [ g k (a j ) g k (a i )] max g (a j ) g k k i,j = 1..n (a i ) tiene conto dell'insieme dei criteri che non si oppongono al fatto che una certa alternativa a i sia meglio di un alternativa a j esprime il grado con cui si concorda sul fatto che a i è migliore di a j rappresenta la soddisfazione che riceve il decisore scegliendo a i anziché a j Esempio: volendo confrontare a 1 e a 2 possiamo osservare che: 1) W + (1,2)=3 2) W = (1,2)=4+3=7 3) W - (1,2)=5 quindi c(1,2)=10/15=0,67 tiene conto delle differenze di prestazione tra le alternative a i ea j quantifica il grado con cui alternativa i è peggiore della j rappresenta il rammarico o la sconvenienza che prova il decisore scegliendo a i anziché a j Esempio: Volendo confrontare a 3 e a 4 possiamo osservare che: 1) I - (3,4)={prezzo} 2) esiste una differenza di prestazione pari a 5 unità tra le due alternative 3) la massima differenza di prestazione sul criterio vale 20 unità quindi d(3,4)=5/20=0,25 Matrice di concordanza a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 1 - c 12 c 13 c 14 c 15 c 16 a 2 c 27 c 21 - c 23 c 24 c 25 c 26 c 17 a 3 c 31 c 32 - c 34 c 35 c 36 c 37 a 4 c 41 c 42 c 43 - c 45 c 46 c 47 a 5 c 51 c 52 c 53 c 54 - c 56 c 57 a 6 c 61 c 62 c 63 c 64 c 65 - c 67 a 7 - c 71 c 72 c 73 c 74 c 75 c 76 Proposta scuola olandese per ottenere un ordinamento finale da Electre II (1/3) Date le matrici di concordanza e di discordanza Si ricavano un indice di concordanza e di discordanza IC ID i i = = n c(i,k) n n n d(i,k) c(k,i) d(k,i)

9 Indice di Concordanza a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 i coeff. c 2,k a 1 - c 12 c 13 c 14 c 15 c 16 c 17 esprimono la a c - c c c c c preferenza di scegliere a 3 c 31 c 32 - c 34 c 35 c 36 c 37 l alternativa 2 a 4 c 41 c 42 c 43 - c 45 c 46 c 47 rispetto a 5 c 51 c 52 c 53 c 54 - c 56 c 57 all alternativa k a 6 c 61 c 62 c 63 c 64 c 65 - c 67 i coeff. c k,2 a 7 c 71 c 72 c 73 c 74 c 75 c 76 - esprimono la preferenza di n n scegliere IC = c 2,k c l alternativa k 2 k,2 rispetto all alternativa 2 Alcuni aspetti della fase di Valutazione presenza di elementi di soggettività non eliminabili L uso di più metodi di ordinamento: la logica per la selezione delle alternative applicazione di differenti metodi alla matrice degli impatti per produrre un ordinamento tra le alternative presenza di differenti ordinamenti in funzione del metodo applicato utilizzo integrato dei metodi logica del pessimizzatore : scartare la alternative non soddisfacenti sotto più punti di vista interazione tra tecnico e decisore Pertanto... lo scopo non è selezionare l'alternativa ottima in assoluto ma eliminare man mano le alternative peggiori sotto più punti di vista Un processo interattivo Sequenza delle possibili azioni che il decisore può svolgere: 1) individuare le alternative sicuramente dominate con un primo confronto integrato su più metodi 2) scartare le alternative dominate 3) scegliere una alternativa tra le rimanenti, oppure 4a) usare le informazioni ottenute per modificare il comportamento di una alternativa in punti critici 4b) sviluppare analisi più dettagliate del problema 4c) progettare nuove alternative 5) procedere nuovamente alla valutazione delle alternative fino al livello di dettaglio voluto

10 Lo schema processuale F a s e d i A N A L I S I Preferibilmente... F a s e d i V A L U T A Z I O N E Matrice degli impatti: Alternative - Criteri Decisore + Tecnico Applicazione di diversi metodi di ordinamento Matrice degli Ordinamenti: ogni metodo produce risultati differenti Analisi più approfondite Progettazione di nuove alternative Modifiche di vecchie alternative Scarto le alternative dominate o con prestazioni scadenti Scelta finale di tipo politico Utilizzo integrato di più metodi creazione di un Sistema di Supporto alle Decisioni Un ambiente integrato Caratteristiche richieste al DSS: considerare la presenza simultanea di stime qualitative e quantitative degli impatti tenere conto del conflitto in modo esplicito senza occultarlo consentire la partecipazione non fingere che la fase decisionale sia oggettiva gestire la soggettività delle diverse parti coinvolte prevedere l eliminazione successiva delle alternative dominate trasparenza mostrare le modalità di risoluzione dei conflitti ripercorribilità documentare ogni azione