Corso di Riabilitazione Strutturale

Transcript

1 Corso di Riabilitazione Strutturale POTENZA, a.a VALUTAZIONE DIEDIFICI ESISTENTI IN C.A. II PARTE ANALISI E STRATEGIE DI INTERVENTO Dott. Marco VONA DiSGG, Università di Basilicata marco.vona@unibas.it

2 NON LINEARITÀ DELLA STRUTTURA Legami costitutivi calcestruzzo armato e acciaio Sfilamento barre Fessurazione (effetto spinotto, attrito, interlock,..) Interazione non-lineare suolo-struttura Grandi spostamenti/rotazioni (deformazioni) Effetti secondo ordine Fenomeni di instabilità dell equilibrio V Inizio espulsione copriferro Fine espulsione copriferro Cerniere plastiche Prima cerniera plastica Fessurazione y m u Instabilità barre/ crisi calcestruzzo t=3s t=4s

3 MODELLAZIONE DEL COMPORTAMENTO ANELASTICO Modellazione plasticità concentrata (modello cerniera plastica) analisi veloci difficile da calibrare Modellazione plasticità distribuita (modello di fibre) modellazione più semplificata analisi prolungate difficile da calibrare

4 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Nelle strutture intelaiate soggette ad azioni orizzontali le sollecitazioni flettenti massime si verificano in corrispondenza delle estremità di travi e colonne in cui, superata la soglia elastica, si concentrano le deformazioni anelastiche Alcuni modelli di trave considerano la plasticità tutta concentrata in cerniere plastiche puntuali disposte alle estremità degli elementi Tali modelli vengono denominati modelli a PLASTICITÀ CONCENTRATA

5 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Trascurando gli effetti dei carichi verticali, la distribuzione dei momenti risulta lineare e quindi l elemento può essere riguardato come una trave a mensola, di luce L v e caricata da una forza concentrata all estremo libero

6 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA La corretta valutazione del punto di flesso della deformata (punto di nullo del diagramma dei momenti), ossia della luce di taglio L v è un problema di non facile risoluzione Una semplice analisi lineare consente di valutare in maniera esatta la posizione del punto di flesso durante il comportamento lineare della struttura λ 1 F λ 2 F

7 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA D altro canto, le prime formazioni di regioni plastiche comportano una ridistribuzione delle sollecitazioni flettenti con conseguente traslazione del punto di flesso. 3*M y (positivo) = M y (negativo) λ 1 F λ 2 F

8 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA La caratterizzazione meccanica della cerniera plastica è direttamente influenzata dalla posizione del punto di flesso per cui la sua variazione comporterebbe una diversa caratterizzazione della stessa (problemi di convergenza del calcolo non lineare) Pertanto in genere la posizione del punto di flesso, L v è assunta costante durante il processo di carico (di analisi) λ 1 F λ 2 F

9 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Determinazione luce di taglio (a) la luce di taglio è valutata come metà della luce dell elemento (Lv=0.5L) (b) la luce di taglio è desunta dal diagramma dei momenti flettenti presente lungo l elemento valutato mediante una analisi elastico lineare (statica o modale) (c) la luce di taglio è desunta dal diagramma dei momenti flettenti presente lungo l elemento, valutato mediante una analisi non lineare (es. analisi limite), corrispondente ad una configurazione deformata caratterizzata da uno spostamento del punto di controllo pari allo spostamento sismico richiesto

10 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA In definitiva si effettuano due assunzioni fondamentali: 1. Lo stato della zona plastica è determinato da quello della sezione di interfaccia trave-colonna. Questa assunzione può introdurre delle discrepanze tra il comportamento reale e quello colto dalla modellazione, legate soprattutto allo spostamento del punto di flesso durante l analisi strutturale 2. La rigidezza è considerata costante nella regione plastica e pari ad un valore che dipende dalla rigidezza della sezione di interfaccia trave-colonna Sovrapposizioni di armatura (ad. es. piede delle colonne) Presenza di ferri sagomati (ad.es estremità delle travi)

11 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Nelle zone di estremità si concentrano e si dispongono elementi non lineari (cerniere plastiche) mentre il resto dell elemento è lineare Per definire gli elementi cerniera bisogna: 1. Decidere la loro localizzazione e il corrispondente tipo di rottura

12 CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI CERNIERA 2. Stimare nella sezione critica il diagramma momentocurvatura in presenza di azione assiale e degrado nel tempo per scegliere fra i vari modelli proposti M Φ Modello interazione M-N Modello momento-curvatura isteretico

13 MODELLI DI COMPORTAMENTO ISTERETICO 3. Scegliere il modello isteretico più opportuno (analisi Dinamica non lineare)

14 MODELLI DI COMPORTAMENTO ISTERETICO 4. Tener conto della variabilità comportamento non lineare ciclico 5. Lunghezza di cerniera plastica equivalente tale per cui il prodotto di questa per la curvatura, derivante dal modello scelto, definisca una rotazione prossima a quella reale

15 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Vantaggi: Utilizza principalmente elementi elastici, in pochi punti non linearità del materiale minor onere computazionale permette, con opportuna scelta del legame costitutivo della cerniera, di descrivere diversi fenomeni, oltre al comportamento flessionale: deformabilità a taglio, scorrimento dell armatura, flessibilità del nodo trave-colonna, interazione fra telaio e tamponamenti versatilità, adeguata modellazione comportamento di strutture esistenti Limiti: richiede esperienza dell operatore per stabilire dove distribuire gli elementi non lineari, per scegliere lunghezze e curve caratteristiche accuratezza dell intera analisi può essere facilmente compromessa

16 ANALISI DELLA SEZIONE sezione in c.a. 100 M max 90 M y 80 CLS non confinato Cls confinato = + + σ σ σ ε ε M cr φ cr φ y φ max 1. Fase elastica 2. Fase fessurata acciaio ε 3. Fase post-elastica 4. Fase post-picco (softening)

17 LA RISPOSTA STRUTTURALE DELL ELEMENTO F M cr φ cr M cr φ cr M cr φ cr M y φ y φ y φ y M max φ max M cr φ cr M y φ y M max φ max M<M φ>φ max M<M max F (M=FL v ) (θ= /L v ) Distribuzione dei momenti flettenti Distribuzione delle curvature Valutazione dello spostamento mediante applicazione PLV

18 I CONTRIBUTI DEFORMATIVI FLESSIONALI F L v = + M y M (M=FL v ) φ y φ φ y φ φ y Regione plastica F F max F y Contributo elastico Contributo plastico (θ y ) y (θ max ) max (θ= /L v )

19 LA PLASTICITÀ CONCENTRATA F Se F F y = FL v /K= M/K K = 3EI/L v 2 L v EI EI= Se F y F F max = y + p M-θ Molla non lineare y = F y L v /K = M y /K p = (F-F y )L v /K 1 = (M-M y )/K 1 K 1 = (M max -M y )/(θ max - θ y ) M max M Se θ θ max M y M u F = F max + (θ - θ max )K 2 /L v K 2 =(M u - M max )/(θ u - θ max ) θ y θ max θ u θ

20 LA CARATTERIZZAZIONE DELLA CERNIERA PLASTICA F M L v EI EI= M max M y K 1 K 2 M u Molla non lineare M-θ θ y θ max θ u θ y θ max θ u θ K 1 = (M max -M y )/(θ max - θ y ) K 2 =(M u - M max )/(θ u - θ max ) Parametri statici M y Parametri deformativi θ y M max θ max M u θ u

21 ROTAZIONE LIMITE ELASTICO: CONTRIBUTI DEFORMATIVI F flex shear slip L v = + + θ y θ θ y,flex θ θ y,shear θ y,slip L + V θ y = φy + 0, ,5 0, 13 3 L + V h φ y d b f f c y Valutazione dei 3 contributi (Circolare 2009, NTC 2008)

22 LA ROTAZIONE AL LIMITE ELASTICO (SNERVAMENTO) F L v Analisi della sezione θ y = φ y L v /3 Valutazione approssimata φ y = ε y /(h-x c ) φ y = γ ε y /H θ y M y φ y La rotazione allo snervamento così valutata tiene conto della deformabilità flessionale A questa va aggiunta la componente deformativa: Tagliante Scorrimento delle barre di armatura

23 ROTAZIONE LIMITE ELASTICO: CONTRIBUTI DEFORMATIVI flex shear slip + + θ θ y,flex θ θ y,shear θ y,slip

24 ROTAZIONE ULTIMA: DEFINIZIONE F L v = + Regione plastica θ u φ y L pl = αl v M u <M max φ u >φ max φ y φ u φ y F (M=FL v ) F max F y (15-20%)F max θ u = θ y + θ p,u y (θ y ) (θ max ) max u (θ= /L v )

25 ROTAZIONE ULTIMA: CONSIDERAZIONI F flex shear slip L v = + + θ θ p θ p,flex θ p,shear θ p,slip Ma anche in questo caso la rotazione plastica così valutata tiene conto della sola deformabilità flessionale A questa va aggiunta la componente deformativa: Tagliante Scorrimento delle barre di armatura

26 LA VALUTAZIONE DEI CONTRIBUTI DEFORMATIVI F flex shear slip L v = + + θ p θ p,flex θ θ p,shear θ p,slip In genere, i contributi aggiuntivi ( taglianti e per lo scorrimento delle barre) sono valutati aumentando la lunghezza della regione plastica, L pl

27 LUNGHEZZA DI CERNIERA PLASTICA

28 LA VALUTAZIONE DEI CONTRIBUTI DEFORMATIVI F flex shear slip L v = + + θ p θ p,flex θ θ p,shear θ p,slip La Circolare esplicativa propone in particolare una lunghezza di cerniera plastica per la sola condizione ultima, ossia: L = 0,1L + 0,17h + pl V d 0,24 bl f f c y

29 LA VALUTAZIONE DEI CONTRIBUTI DEFORMATIVI L = 0,1L + 0,17h + pl V d 0,24 La lunghezza di cerniera plastica è tarata direttamente per la condizione ultima così come definita in precedenza θ u = θ y + bl ( ) pl φu φ y L pl 1 Lv f f c y 0,5 In particolare, la curvatura ultima φ u è valutata considerando le deformazioni ultime del conglomerato (tenuto conto del confinamento) e dell acciaio da stimare: L pl sulla base dell allungamento uniforme al carico massimo, si può assumere la deformazione ultima dell acciaio pari al 4%

30 ROTAZIONE ULTIMA yw αρ sx ν max (0,01; ω' ) LV fc 100 ρd θu = 0,016 (0,3 ) fc 25 (1,25 ) max (0,01; ω) h La rotazione ultima può essere valutata mediante la formulazione tarata sulla base di risultati desunti da sperimentazioni dirette h è l altezza della sezione; ν= =N/(AfN c c ) sforzo assiale normalizzato sulla sezione A c ; ω= A ω = As fy/(bhf f c, f y e f yw ρ sx ρ d α s f =A y /(bhf sx b w c s c ) h 0,35 percentuale armatura longitudinale in trazione ) percentuale armatura longitudinale in compressione resistenze materiali percentuale armatura trasversale percentuale armature diagonali fattore di efficienza del confinamento f

31 LA CARATTERIZZAZIONE DELLA CERNIERA PLASTICA La caratterizzazione meccanica della molla rotazionale non lineare, dipende in definitiva da una serie di parametri: Geometrici: dimensioni della sezione (B e H), luce di taglio (L v, ) diametro delle barre (d bl ), ecc. Meccanici: resistenze dei materiali, resistenze flessionali, curvature flessionali, ecc.

32 LA MODELLAZIONE Il modello one component model, consiste nell accoppiamento in serie di un elemento elastico e di un elemento rigido plastico Pertanto la matrice di rigidezza dell elemento complessivo è ottenuta dall inversione della matrice di flessibilità fornita, a sua volta, dalla somma delle matrici di flessibilità dei due elementi in serie Molle rotazionali non lineari A B Punto di flesso fisso Elemento elastico EI L A L B L

33 LA MODELLAZIONE L elemento elastico rappresenta il comportamento elastico della trave sino al superamento della soglia elastica (con rigidezza costante pari ad EI) L elemento rigido plastico, composto da un asta rigida delimitata alle sue estremità da due molle rotazionali plastiche F Molle rotazionali non lineari A B Punto di flesso fisso Elemento elastico EI L A L B L Le cerniere sono attivate solo dopo il superamento del momento di snervamento L v EI EI= Molla non lineare

34 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ CONCENTRATA I principali vantaggi di tale modello sono soprattutto la sua semplicità e l efficienza computazionale Il modello non permette di computare la formazione di zone plastiche in campata, causate dall interazione tra i carichi orizzontali e quelli gravitazionali Codici disponibili gratuitamente in internet che utilizzano questo tipo di modellazione non lineare: OPENSEES DRAIN-2DX IDARC-2D ( (

35 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ DIFFUSA L intero elemento trave/colonna è suddiviso in elementi FIBRE: elementi monodimensionali con legame costitutivo non lineare Stato di sforzo-deformazione di una sezione ottenuto tramite integrazione della risposta sforzo-deformazione uniassiale non lineare di ciascuna fibra Sezione cemento armato Fibre calcestruzzo non confinato Fibre calcestruzzo confinato Fibre acciaio Numero sufficiente di fibre ( in 3D) distribuzione non linearità del materiale nella sezione modellata accuratamente anche in condizioni di elevata non linearità

36 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ DIFFUSA Suddividendo opportunamente ciascun elemento strutturale descrizione accurata di formazione e diffusione di cerniera plastica nell elemento senza bisogno di supporla a priori Gauss Section b node B σ node A Gauss Section a ε B A L/2 3 L/2 σ σ ε ε

37 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ DIFFUSA Limiti: Utilizza legami costitutivi non lineari in tutto l elemento maggior onere computazionale Vantaggi: Non richiede esperienza dell operatore, è sufficiente conoscere caratteristiche geometriche e comportamento anelastico ciclico accuratezza dell intera valutazione Nota: Ancora pochi i codici che colgono tutti gli aspetti della risposta strutturale ad azione sismica

38 MODELLAZIONE A PLASTICITÀ DIFFUSA Codici disponibili gratuitamente in internet che utilizzano questo tipo di modellazione non lineare: SEISMOSTRUCT OPENSEES ( ( opensees.berkeley.edu).

39 ANALISI DINAMICA NON LINEARE Modello 3D della struttura con carichi gravitazionali e masse Comportamento non lineare del materiale (valori medi delle proprietà dei materiali) Accelerazione imposta alla base: modello sollecitato contemporaneamente da due eventi sismici orizzontali e eventualmente da un evento verticale la risposta della struttura è calcolata integrando direttamente l equazione non lineare del moto del sistema MU& + CU& + F( U) = MR& x g Analisi più accurata: rappresentazione diretta del fenomeno reale

40 ANALISI DINAMICA NON LINEARE: PROBLEMATICHE Scelta accelerogrammi di input (reali?, artificiali?, spettrocompatibili?, basati su uno scenario? ecc.) Decisioni su importanti e complessi aspetti della modellazione (ad es. smorzamento, criterio di convergenza, time-step, etc.) Individuazione di un modello in grado di descrivere il comportamento post-elastico sotto cicli di carico e scarico degli elementi e conseguente dissipazione di energia (modellazione plasticità concentrata) Analisi lunghe con interpretazione dei risultati relativamente complessa

41 ANALISI STATICA NON LINEARE (ANALISI PUSHOVER) L idea di base alla base del metodo è quella di applicare una distribuzione di forze crescenti alla struttura in modo tale che il comportamento della struttura ottenuto inviluppi tutte le possibili risposte calcolate mediante analisi non lineari dinamiche Si ipotizza che la risposta della struttura ottenuta sotto l effetto di un vettore crescente di azioni (o di deformazioni) possa sostituire i risultati ottenuti dall analisi dinamica Il metodo dell analisi statica non lineare prevede l impiego di procedure di soluzione di tipo incrementale iterativo Il carico agente è applicato sulla struttura tramite incrementi successivi predefiniti e la ricerca della condizione di equilibrio in ogni incremento tramite iterazioni

42 ANALISI DINAMICA NL vs ANALISI PUSHOVER Max Ba se She ar (kn) drift (%)

43 ANALISI STATICA NON LINEARE Modello della struttura (2D o 3D) soggetto ai carichi gravitazionali Comportamento non lineare del materiale (valori medi delle proprietà dei materiali) Particolari distribuzioni di forze statiche orizzontali che spingono in campo non lineare la struttura fino al collasso Nell applicazione ormai classica le forze orizzontali vengono tutte scalate, mantenendo invariati i rapporti relativi fra le stesse, in modo da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo sulla struttura

44 ANALISI STATICA NON LINEARE Applicazione delle forze orizzontali

45 ANALISI STATICA NON LINEARE CURVA TAGLIO ALLA BASE SPOSTAMENTO capacità della struttura da confrontare con la domanda BS [kn N] S [m] Domanda: punti sulla curva individuati in corrispondenza di valori di spostamento relativi alle massime domande di spostamento che la struttura subirebbe se fosse soggetta ai diversi terremoti di progetto (da spettri di risposta)

46 ANALISI STATICA NON LINEARE Il carico applicato incrementalmente è pari a P i =λ i P 0 λ i fattore di carico responsabile dell i-esimo incremento di carico valore nominale del carico P 0 Nelle analisi non lineari convenzionali (non-adattive), il carico incrementale P i consiste in forze applicate alla struttura tramite una procedura in cui il carico viene controllato in funzione della risposta di un particolare nodo (o meglio, grado di libertà) della struttura (punto di controllo) Si definiscono quindi il nodo, il corrispondente grado di libertà che viene controllato dall algoritmo e il target (spostamento target) di valore della risposta in corrispondenza del quale l analisi deve terminare

47 ANALISI STATICA NON LINEARE Si fissa il numero di incrementi (n) in cui il valore della risposta finale deve essere suddivisa (es n = 10) A ciascun incremento (o passo) corrisponderà uno step di carico λ viene automaticamente calcolato in modo tale che, ad un particolare incremento i-esimo del vettore dei carichi (λ i ( U c i )P 0 - λ i -1( U ci -1 )P 0 ) corrisponda una risposta i-esima del punto di controllo (pari al valore predefinito U ci ) Tale modalità di applicazione del carico orizzontale viene usualmente denominato in CONTROLLO DI SPOSTAMENTI oppure CONTROLLO DI RISPOSTA, poiché non è il carico ma la risposta in spostamento della struttura che viene controllata dall utilizzatore

48 METODO DI CONTROLLO IN SPOSTAMENTO Controllo di risposta: si incrementa (i=1,n) lo spostamento u i c di un punto di controllo fino a un valore prefissato (ū c = u n c). λ i = fattore di carico (calcolato automaticamente) t.c. λ i P 0 = carico che permette il raggiungimento all incremento i-esimo dello spostamento u i c. λ i (u i c)f 4 λ i (u i c)f 3 λ i (u i c)f 2 u i c F λ 5 (u 8 c)p 0 λ 4 (u 4 c)p 0 λ 3 (u 3 c)p 0 λ 2 (u 2 c)p 0 λ i (u i c)f 1 λ 1 (u 1 c)p 0 u U u 1 c u 2 c u 3 c u 4 c u 5 c u 6 c u 7 c u 8 c u 9 c u 10 c

49 METODI DI CONTROLLO IN FORZE Il controllo del CARICO (e quindi delle FORZE) è diretto non permettono alle analisi di proseguire oltre il punto di picco della curva di capacità, motivo per il quale non vengono normalmente impiegate nella modellazione di strutture esistenti, in quanto spesso lo spostamento corrispondente al raggiungimento dello stato limite (DS e CO) si trova oltre il punto di picco della curva di capacità, cioè nel ramo discendente della risposta λ i F 4 λ i F 3 λ i F 2 λ i F 1 F λ 5 P 0 λ 4 P 0 λ 3 P 0 λ 2 P 0 λ λ 1 P 0 U

50 ANALISI STATICA NON LINEARE: RISULTATI 6000 WM15, NR alla Base Taglio DINAMICA UNIFORME 1000 TRIANGOLARE 0 0% 1% 2% 3% total drift Spostamento punto di controllo

51 ANALISI STATICA NON LINEARE: VANTAGGI Non linearità geometrica della struttura tenuta in conto Non linearità costitutiva della struttura: fessurazione e irreversibilità comportamento tenute in conto Modellazione facilitata (modello a plasticità concentrata) Spostamento (deformazione) come grandezza principale a cui è legato il danno Parametri di risposta in corrispondenza di ogni punto della curva di capacità: spostamenti globale spostamento relativo fra i vari piani deformazioni e le sollecitazioni nei vari elementi strutturali valutazione rapporti di sovraresistenza individuazione realistica della richiesta di resistenza su elementi fragili

52 ANALISI STATICA NON LINEARE: VANTAGGI individuazione realistica richiesta di deformazione su elementi duttili verifica effettiva distribuzione domanda inelastica verifica conseguenze perdita di resistenza di elemento su stabilità struttura individuazione zone maggiore richiesta di duttilità individuazione di irregolarità in pianta o in altezza in termini di resistenza monitoraggio continuo deformazioni, sollecitazioni, snervamento e rottura nei singoli elementi come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti

53 ANALISI STATICA NON LINEARE L analisi statica non lineare consente di rappresentare l effettivo comportamento: del materiale della sezione dell elemento della struttura Procedendo secondo questo processo logico-strutturale è possibile valutare la CAPACITÀ intesa sia in termini di resistenza e (soprattutto) in termini di spostamento

54 ANALISI STATICA NON LINEARE: LIMITI Le distribuzioni forze proporzionali a massa e primo modo colgono comportamenti limite (sistema elastico e sistema molto danneggiato) solo per strutture regolari Sistema di forze applicato (approssimazione forze di inerzia su struttura durante sisma) a distribuzione costante nel tempo: modifiche risposte del sistema nel tempo non considerate No analisi 3D effettiva Non linearità costitutiva della struttura: comportamento ciclico con dissipazione e accumulo danno non tenuti in conto Presuppone comportamento M-GDL assimilabile 1-GDL

55 ANALISI PUSHOVER ADATTIVA BS [kn N] S [m]

56 Analisi statica non lineare a plasticità concentrata Consiste nell applicare all edificio i carichi gravitazionali e un sistema di forze orizzontali crescenti in maniera monotona fino al raggiungimento delle condizioni ultime. F b d c

57 AN. STATICA NON LINEARE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Il metodo si articola nei seguenti passi: 1. Determinazione del legame Taglio alla base F b spostamento d c di un punto di controllo usualmente scelto come il baricentro dell ultimo impalcato 2. Determinazione delle caratteristiche di un sistema ad un grado di libertà equivalente a comportamento bi-lineare 3. Determinazione della risposta massima in spostamento di tale sistema con utilizzo di spettro di risposta di progetto 4. Conversione dello spostamento del sistema equivalente nella configurazione deformata effettiva dell edificio 5. Verifica della compatibilità degli spostamenti per gli elementi/meccanismi duttili e delle resistenze per gli elementi/meccanismi fragili

58 AN. STATICA NON LINEARE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Determinazione di un legame forza-spostamento generalizzato In seguito alla caratterizzazione, per ciascun elemento trave e pilastro, delle cerniere plastiche si procede alla analisi statica non lineare del modello strutturale dell edificio L analisi condotta controllo di forza, incrementando di un fattore di carico λ il vettore di forze orizzontali applicato, si presta per l uso su edifici esistenti (poco degradanti) L analisi descrive il comportamento della struttura fino al punto di picco della curva di capacità I risultati delle analisi non lineari devono essere riportati con riferimento alle due distribuzioni di forze orizzontali relative alle direzioni longitudinale X e trasversale Y

59 AN. STATICA NON LINEARE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Sistema bilineare equivalente Il sistema bilineare equivalente è valutato al fine di determinare la richiesta di spostamento della struttura per lo stato limite preso in esame È necessario trasformare il sistema a n gradi di libertà (MDOF) in un sistema ad un solo grado di libertà equivalente (SDOF) Indicando con Φ il vettore normalizzato al valore unitario rappresentativo del primo modo di vibrazione della struttura nella direzione presa in esame, si valuta il coefficiente di partecipazione miφi Γ = 2 m Φ i i

60 AN. STATICA NON LINEARE A PLASTICITÀ CONCENTRATA Sistema bilineare equivalente La curva di capacità relativa del sistema a n gradi di libertà viene scalata mediante il coefficiente di partecipazione Γ in modo da determinare la curva forza-spostamento (F * -d * ) del sistema equivalente ad un grado di libertà tramite le seguenti relazioni: F * = F b Γ d * = d c Γ Ottenuta la curva F * -d * del sistema equivalente ad un grado di libertà è necessario valutare una legge forza-spostamento di tipo bilineare equivalente Si considera il procedimento di uguaglianza delle aree Si ricava la rigidezza K * e conseguentemente il periodo elastico T * del sistema bilineare equivalente ad un grado di libertà mediante la seguente espressione

61 Analisi statica non lineare a plasticità concentrata Determinazione del sistema SDOF equivalente Fb d F* d* miφ i Γ = 2 m Φ coeff. di partecipazione del 1 modo i i F b ; d c F * = F b Γ d * = d c Γ m * k * = m i Φi * * * T = Fy 2π * d y F* F* Fy* m = F * = Γ k y F bu dy* d*