Metodi numerici con elementi di Programmazione

Transcript

1 Metodi numerici con elementi di Programmazione A.A Esercizi 1

2 Docente: Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: Venerdì

3 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione Per consultazione: Getting Started with MatLab The mathworks 3

4 Esercizio 1 4

5 function [P] = successione(a,m) %[P] = successione(a,m) calcola i primi M elementi della successione così definita % P(1) = 2*a % P(2) = 4*a^2-1 % P(k) = 2*a*P(k-1)-P(k-2), k>2 % % e la confronta con la successione così definita % Q(k) = 1/(2*sqrt(a^2-1) )* (abs(a+sqrt(a^2-1))^(k+1) - abs(a-sqrt(a^2-1))^(k+1)); % % % INPUT % a = numero reale tale che a >1. La funzione offre tre possibilità per % correggere il valore della variabile data in input, altrimenti % interrompe l'esecuzione % M = numero intero positivo % OUTPUT % P = vettore contenente gli elementi della successione Pn 5

6 % controllo del numero delle variabili di input e di output if (nargin<=1) (nargin>2) error('il numero degli input non e'' corretto!!!') if (nargout>1) error('il numero degli output non e'' corretto!!!') % controllo del primo input tentativi = 0; while abs(a)<=1 & tentativi <3 a= input('il modulo di a deve essere maggiore di 1! a= '); tentativi = tentativi + 1; Nota: All uscita del ciclo while si possono avere le due situazioni seguenti: Il valore di a è in modulo maggiore di 1 e tentativi<=3 Il numero di tentativi ha raggiunto il valore 3 e il valore di a è in modulo minore o uguale a 1 6

7 if abs(a)>1 % controllo del secondo input if (round(m)~=m) (M<=0) error('il secondo input deve essere un numero intero positivo!!!') % calcolo del vettore P P(1) = 2*a; P(2) = 4*a^2-1; for k=3:m P(k)=2*a*P(k-1)-P(k-2); % calcolo del vettore Q Q(1:M) = 1/(2*sqrt(a^2-1)) * (abs(a+sqrt(a^2-1)).^(2:m+1) - abs(a-sqrt(a^2-1)).^(2:m+1)); % grafico dei risultati figure, plot(p,'k-') hold on, plot(q,'r--') xlabel('k'), ylabel('successioni'), title('confronto successioni') leg('vettore P','vettore Q') else error('gli input inseriti non sono corretti!') 7

8 Dal Command Window >> [P] = successione(2,-10);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(2,1.5);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(2,-1.6);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(6);??? Error using ==> successione at 22 il numero degli input non e' corretto!!! 8

9 Dal Command Window >> [P] = successione(-.5,100); il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.5 il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.2 il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.4??? Error using ==> successione at 53 gli input inseriti non sono corretti! >> [P] = successione(2,10); >> [P] = successione(2,100); >> [P] = successione(6,100); >> [P] = successione(-6,100); A queste chiamate la funzione non da messaggi di errore e grafica i risultati 9

10 Esercizio 2 Si consideri la funzione n=1 definita per Scrivere la funzione Matlab esercizio2.m che riceva in input un numero reale y e un numero naturale N 10 e restituisca in output: la variabile S contenente il valore di F(y) ottenuto usando i primi N termini della serie; il vettore C dei coefficienti f n usati. Se N non viene dato in input, porre N=1000. La funzione deve graficare le componenti del vettore C usando una linea continua rossa per i primi 10 elementi e un marcatore di punto a scelta di colore blu per i successivi elementi. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e lega. 10

11 function [S,C] = esercizio2(y,varargin) % function [S,C] = esercizio2(y,varargin) %. %. if nargin==1 N=10000; elseif nargin==2 N = varargin{1}; if N<10 (round(n) ~=N) error( il valore di N non e ammissibile ); else error('controllare il numero delle variabili date in input!!!') C(1:2) = 1;, S = 0; for k=1:n S = S + C(k+1)*y^k; C(k+2) = C(k+1)+C(k); C([1 length(c)]) = []; figure, plot(1:10,c(1:10),'r'), hold on, plot(11:length(c), C(11:length(C)),'b*') 11

12 Esercizio 3 Scrivere la funzione Matlab esercizio3.m che: legga in input una matrice A; effettui, se possibile, un opportuno scambio di righe per cui il numero di elementi non nulli su ogni riga di A cresca con l indice di riga; restituisca in output la matrice A, eventualmente modificata in accordo al punto precedente; determini il numero di elementi nulli di A e restituisca in output il coefficiente C dato dal rapporto tra il numero di elementi nulli di A e la dimensione di A definito; Se C =0 stampi il messaggio La matrice non è sparsa Richiamare la funzione scritta sulle seguenti matrici e salvare tutti gli input e gli output nel file risultaties3.mat.

13 function [A,C] = esercizio3(a) % function [A,C] = esercizio3(a) %. %. %. %. [m,n] = size(a); C = length(find(a(:)==0))/(m*n); if C==0 disp('la matrice non e'' sparsa'); else for i=1:m nnz(i) = length(find(a(i,:))); [S,P] = sort(nnz); A=A(P,:); 13

14 Esercizio 4 Scrivere la funzione Matlab esercizio4.m che: legga in input le funzioni f, df, df2, con df e df2 rispettivamente derivata prima e seconda di f, due numeri reali a e b (con a < b) e due interi positivi M e nmax, con nmax non superiore a Se M non viene dato in input, assegni ad M il valore 5; se nmax non viene dato in input, assegni ad nmax il valore massimo consentito; determini un intervallo di separazione I = [a1, b1] [a, b] della radice di f con ampiezza non superiore a 0.25; approssimi la radice di f in I con il metodo delle tangenti, sceglio come approssimazione iniziale x0 l'estremo di Fourier e arrestando il procedimento quando la approssimazione prodotta xn ha M decimali esatti o non appena il numero di iterazioni eseguite diventa pari a nmax. Se l'estremo di Fourier non esiste, si ponga x0 uguale all'estremo positivo più piccolo di I; restituisca in output xn, la variabile fxn contenente il valore di f in xn e l'approssimazione iniziale x0. Utilizzare la funzione scritta per approssimare la radice della equazione non lineare x 3 -cos(x)+ 1/3 = 0 nell'intervallo [0.25, 1] e salvare sia gli input che gli output nel file risultaties4.mat.

15 function [xn,fxn,x0] = esercizio4(f,df,df2,a,b,varargin) % function [xn,fxn,x0] = esercizio4(f,df,df2,varargin) %. %. %. %. switch nargin case 5 M = 5; nmax = 1000; case 6 M = varargin{1}; nmax = 1000; case 7 M = varargin{1}; nmax = varargin{2}; otherwise error('controllare il numero delle variabili di input!!!')

16 if (M~=round(abs(M))) error('m deve essere intero positivo!!!') if (nmax~=round(abs(nmax))) nmax>1000 error('nmax deve essere intero positivo e non superiore a 1000!!!') if a>=b error('a deve essere strettamente minore di b!!!') x = a:.2:b; y=f(x); pos = find(abs(diff(sign(y)))); if length(pos)~=1 error('la radice non e'' unica') else a1 = x(pos); b1 = x(pos+1);

17 if f(a1)*df2(a1)>0 x0 = a1; elseif f(b1)*df2(b1)>0 x0 = b1; else if sum(sign([a1 b1]))<=0 error('non e'' possibile fissare la condizione iniziale') elseif a1>0 x0 = a1; else x0 = b1; eps = 0.5*10^(-M); err = eps+1;, iter = 0; while (err>eps) & (iter<nmax) xn = x0-f(x0)/df(x0); iter = iter + 1; err = abs(xn-x0); x0=xn; fxn = f(xn);

18 function [c] = esercizio(y,z,m) %... %... %... C = zeros(m);, v = zeros(m,1);, s = zeros(2*m-1,1); for i = 1:length(y) temp = z(i); for j = 1:m v(j) = v(j) + temp;, temp = temp*y(i); temp = 1; for j = 1:2*m-1 s(j) = s(j) + temp;, temp = temp*y(i); for i = 1:m for j = 1:m C(i,j) = s(i+j-1); c = C\v; Esercizio 5 Scrivere lo help della funzione descrivo anche tutte le variabili di input e di output. Commentare le istruzioni.

19 Esercizio 6 Scrivere lo help della seguente funzione; commentare e completare le istruzioni. function [V,M] = fun_esame(t,g) %... %... %... %... %... J = length(g); D = (t()-...); if... V = (g(1)+2*sum(g(2:2:j-1))+2*sum(g(2:j-1))+g())*d/3; M = 0; else V = D*sum(g) - 0.5*D*(g(1)+...); M = 1;

20 function [In,Nn,E] = my_fun(x1,x2,fun,varargin) %... %... %... if nargin<3 error('input non sufficienti') elseif... tl=0.5*10^-5; elseif nargin == 4 tl =... else error('troppe variabili di input') D = (x2-x1)/2;, I0 =D/3*(fun(x1)+4*fun(x1+D)+fun(x2));, E = tl+1; while E >= tl D = D/2; Nn =... xn = linspace(x1,x2,nn);, fn = fun(xn); In = D/3*(fn(1)+4*sum(fn(2:2:Nn-1))+2*sum(fn(3:2:Nn-2))+fn(Nn)); E = abs(in-i0)/15; I0 =... Esercizio 7 Completare e commentare le istruzioni della funzione e scriverne lo help

21 con 6 decimali esatti e salvare gli output nel file risultaties8.mat. Esercizio 8 Scrivere la funzione Matlab esercizio8.m che riceva in input tre numeri a, b, eps e la funzione f; se eps non viene data in input, assegni il valore approssimi l'integrale con la formula di Cavalieri- Simpson; approssimi I(f) con la formula delle parabole generalizzata dimezzando ogni volta il passo h e arrestandosi quando il modulo del resto Rh(f) diventa minore di eps; restituisca in output l' approssimazione finale dell' integrale, il numero totale di nodi utilizzati per calcolarla e la stima di Rh(f) ottenuta tramite il criterio di Runge. Utilizzare la funzione realizzata per approssimare

22 Esercizio 9

23 function [F,varargout] = fun_bruni(t,m,varargin) % [F] = fun_bruni(t,m); % descrizione % % INPUT % inserire descrizione delle variabili di input. % % OUTPUT % inserire descrizione delle variabili di output. switch nargin case 2 x=0; m=5; case 3 x=varargin{1}; m=5; if x<-1 x>1 error('x deve appartenere all''intervallo [-1,1]')

24 case 4 x=varargin{1}; m=varargin{2}; if (x<-1 x>1) length(x)>1 error('x deve essere uno scalare e appartenere all''intervallo [-1,1]') if m<=0 m~=round(m) error('m deve essere un intero positivo') otherwise error('controllare il numero delle variabili di input') if M<=0 M~=round(M) error('m deve essere un intero positivo')

25 eps = 0.5*10^(-m); g = (1-t*x)/(1-2*x*t+t^2); F=[]; T(1) = 1; f(1) = T(1); if abs(f(1)-g) < eps F = [F f(1)]; T(2) = x; f(2) = sum(t.*t.^(0:1)); if (abs(f(2)-g) < eps) & (length(f)<m) F = [F f(2)]; n=3; while (length(f)<m) & n<100 T(n) = 2*x*T(n-1)-T(n-2); f(n) = sum(t.*t.^(0:n-1)); if (abs(f(n)-g) < eps) F = [F f(n)] n=n+1;

26 ind = find(t>=0); ind2 = find(t<0); figure title('grafico esercizio') subplot(1,2,1), plot(f,'r--') ylabel('vettore F') subplot(1,2,2), plot(ind-1, T(ind),'k*',ind2-1,T(ind2),'ro') xlabel('n') ylabel('tn') if nargout ==2 V=ind-1; varargout{1}=v;

27 usando 21 nodi. Esercizio 10 Scrivere la funzione Matlab odelimiti_nl.m che riceva in input cinue numeri a, b, alfa, beta, eps, due numeri interi positivi N, maxiter e tre funzioni f, dfy, dfz; se eps non viene data in input, assegni il valore , se maxiter non viene data in input, assegni il valore 20 risolva il seguente problema ai limiti usando uno schema alle differenze finite usando N+2 nodi. Per la soluzione del sistema non lineare si usi il metodi di Newton eseguo non più di maxiter iterazione e arrestando le iterazioni quando l errore massimo tra due approssimazioni successive diventa inferiore a eps restituisca in output il vettore Y contenente la approssimazione della soluzione in corrispondenza dei nodi usati. Se richiesto, restituisca in output il vettore X dei nodi e l errore commesso all ultima iterazione del metodo di Newton. Utilizzare la funzione realizzata per risolvere il seguente problema differenziale

28 % Script per la soluzione di uno specifico problema differenziale % salvato con il nome esercizio_odelimiti_nl a=1; b=3; alfa=17; beta = 43/3; N=19; [Y,X,errore] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,@fun_esercizio,@dfy_esercizio,@dfz_esercizio,10^(-8)); fprintf(' X \t Y \t Errore\n') fprintf('%7.6f \t %15.12f \t %+13.12f \n',[x;y;errore] ) figure, plot(x,y,'r*') xlabel('x') ylabel('y') title('soluzione') Funzione che implementa la soluzione di un problema differenziale ai limiti non lineare Funzioni relative allo specifico problema differenziale da risolvere, rispettivamente f, f y, f y Vanno definite e salvate in tre file.m distinti

29 % funzione f dello specifico problema differenziale % salvato con il nome fun_esercizio.m function [F] = fun_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale F = 1/8*(32+2*X.^3-Y.*Z);

30 % funzione f y dello specifico problema differenziale % salvato con il nome dfy_esercizio.m function [DFY] = dfy_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale DFY = 1/8*(-Z);

31 % funzione f y dello specifico problema differenziale % salvato con il nome dfz_esercizio.m function [DFZ] = dfz_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale DFZ = 1/8*(-Y);

32 function [Y,varargout] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,f,dfy,dfz,varargin) %[Y] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,f,dfy,dfz) % INPUT % inserire descrizione delle variabili di input %... %... % % OUTPUT % inserire descrizione delle variabili di output %... %... if nargin==8 eps=0.5*10^(-8); max_iter=20; elseif nargin==9 eps=varargin{1}; max_iter=20; elseif nargin==10 eps=varargin{1}; max_iter=varargin{2}; else error('controllare il numero delle variabili di input')

33 h=(b-a)/(n+1); X=a+(0:N+1)*h; % inserire eventuali controlli su eps e maxiter... Y=alfa+(0:N+1)*(beta-alfa)/(b-a)*h; iter=0; Err=eps+1; while (Err>eps) & (iter < max_iter) der_vet = (Y(3:N+2)-Y(1:N))/(2*h); diagj=diag(2+h^2*dfy(x(2:n+1),y(2:n+1),der_vet)); diagsupj=diag(-1+h/2*dfz(x(2:n),y(2:n),der_vet(1:n-1)),1); diaginfj=diag(-1-h/2*dfz(x(3:n+1),y(3:n+1),der_vet(2:n)),-1); J = diagj+diagsupj+diaginfj; der_vet2 = diff(y,2); B = -h^2*f(x(2:n+1),y(2:n+1),der_vet)+der_vet2; V=J\(B'); V=[0 V' 0]; Y1 = Y+V; vett_err = Y1-Y; Err = norm(vett_err,inf); Y=Y1; iter = iter + 1;

34 if iter==max_iter & Err>eps disp('non e'' stata raggiunta la precisione richiesta') if nargout == 2 varargout{1} = X; elseif nargout == 3 varargout{1}=x; varargout{2} = vett_err; elseif nargout >3 error('troppi output')

35 Esercizio 11

36 function [P, varargout] = esercizio4_gennaio2014(n, x, varargin) % [P, varargout] = esercizio4_gennaio2014(n, x, varargin) % La funzione esercizio4_gennaio valuta la funzione F(x,y) che è la somma di n+1 termini il cui (k+1)-simo addo è % a(k) = (n-k+1)/k a(k-1) se k>=1, e a(0) = 1 se k=0. La funzione % calcola F(x,y) per tutti i valori di 0<=n<=N e multipli di 3 e con % y=f(x). % controllo sul numero degli input if nargin == 2 f elseif nargin == 3 f = varargin{1}; else error('numero di input non corretto') % INPUT % N = intero positivo <=100 % x = ascissa del punto in cui valutare la funzione % f = funzione che definisce l'ordinata del punto in cui valutare la % funzione come y=f(x). Se f non viene data in input, f=1+x % % OUTPUT % inserire descrizione degli output

37 % controllo input if N <= 0 N > 100 N ~= round(n) error('n deve essere un intero strettamente positivo non superiore a 100') % successione y = f(x); for n=0:3:n a(1) = 1; F(n/3+1)=a(1)*y^n; for k=2:n+1 a(k) = (n-k+2)/(k-1)*a(k-1); F(n/3+1) = F(n/3+1) + a(k)*x^(k-1)*y^(n-k+1); pos = find(f>=0); neg = find(f<0); P = zeros(max(length(pos), length(neg))); P(1,1:length(pos)) = (pos-1)*3; P(2,1:length(pos)) = F(pos); P(3,1:length(neg)) = (neg-1)*3; P(4,1:length(neg)) = F(neg);

38 A = a(1:round((n+1)/3)); figure, hold on plot(1:2:length(a), A(1:2:length(A)), '*b') plot(2:2:length(a), A(2:2:length(A)), '*r') if nargout==2 varargout{1} = A;

39 Esercizio 12

40 Esercizio 12 function [K, S, D, V, varargout] = esercizio5_gennaio2014(a, b, varargin) %INSERIRE HELP % controllo sugli input if nargin < 2 nargin > 3 error('il numero degli input non e'' corretto') elseif nargin == 2 C = {'J', 'GS', 'SOR', 'MEG', 'Th'}; elseif nargin == 3 C = varargin{1}; % controllo sulle dim di A [m,n] = size(a); if m ~= n error('a deve essere quadrata') else if m < 3 error('la dim di A deve essere non inferiore a 3x3')

41 K = false; S = false; D = false; if cond(a) < 7 K = true; % S vale 1 se il numero degli elementi nulli di A è superiore alla metà dei % suoi elementi n_zeri = length(find(a==0)); if n_zeri > (n^2)/2 S = true; % D vale 1 se esiste una permutazione di righe per cui la matrice del % sistema diventa diagonale [r, c] = find(a~=0); if length(r) <= n if (length(unique(c)) == length(unique(r))) D = true; if nargout == 5 [temp p] = sort(r); varargout{1} = p;

42 fprintf('%s \n', 'quali metodi possono essere usati per risolvere Ax=b?') riga1 = zeros(1,length(c)); riga2 = zeros(1, length(c)); eps = 10^(-8); MD = diag(diag(a));, L = tril(a,-1);, U = triu(a,1); for i=1:length(c) switch C{i} case {'J'} Minv = inv(md);, CJ = -Minv*(L + U); rho = max(abs(eig(cj))); if rho < 1 fprintf('%s \n', 'il metodo di Jacobi converge'); riga1(i) = 1; QJ = Minv*b; iter = 0;, X0 = ones(n,1);, err = 100; while err > eps X = CJ*X0 + QJ; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

43 case {'GS'} Minv = inv(tril(a)); CGS = -Minv*(triu(A,1)); rho = max(abs(eig(cgs))); if rho < 1 fprintf('%s \n', 'il metodo di Gauss Seidel converge'); riga1(i) = 1; QGS = Minv*b; iter = 0; X0 = ones(n,1); err = 100; while err > eps X = CGS*X0 + QGS; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

44 case {'SOR'} T = (A == A'); if all(t(:)) && all(eig(a)) fprintf('%s \n', 'il metodo di SOR converge'); riga1(i) = 1; omega = 0.5; Minv = inv(l + MD/omega); C_sor = -Minv*(U-(1-omega)*MD/omega); Q_sor = Minv*b; iter = 0; X0 = ones(n,1); err = 100; while err > eps X = C_sor*X0 + Q_sor; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

45 case {'MEG'} if det(a) ~= 0 fprintf('%s \n', 'e'' possibile usare il metodo di eliminazione di Gauss'); riga1(i) = 1; riga2(i) = n^2/2 + n^3/3; case {'Th'} B = triu(a,-1) - triu(a,2); T = (B == A); if det(a) ~= 0 && all(t(:)) fprintf('%s \n', 'e'' possibile usare l'' algoritmo di Thomas'); riga1(i) = 1; riga2(i) = 5*n-4; otherwise error('c contiene metodi sconosciuti') %% costruisco la matrice V V(1,:) = riga1; V(2,:) = riga2;