Metodi Numerici con Elementi di Programmazione A.A

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1 Metodi Numerici con Elementi di Programmazione A.A Introduzione al MatLab (appice + esercizi) 1

2 Docente: Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: consultare la sezione Avvisi nella pagina web dedicata al corso 2

3 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione Per consultazione: Getting Started with MatLab The mathworks 3

4 Esercizio Scrivere uno script Matlab che dato un intero n 2, costruisca le matrici A k così definite k=1,2,,n-1

5 Strutture dati E possibile definire vettori a più dimensioni N=2 A(i,j) (matrici) i = indice di riga j = indice di colonna di A N=3 A(i,j,k) (vettore di matrici della stessa dimensione) i = indice di riga j = indice di colonna della k-sima matrice contenuta nella k-sima componente di A Esempio: B = A(:,:,k) B è una matrice a = A(i,j,k) a è l elemento avente indice di riga i e indice di colonna j della k-sima matrice in A In generale si può definire una struttura dati con N indici A(i,j,.,k) N indici Per conoscere la dimensione di A si usa la funzione size >> S = size(a); S è un vettore di N elementi, se N sono gli indici di A

6 Strutture dati Esempio: >> A = ones(6); >> B = randn(6); >> C = 10*ones(6); >> I(:,:,1) = A; >> I(:,:,2) = B; >> I(:,:,3) = C; >> size(i) ans = >> I(:,:,3) ans = >> I(3,2,1) % estrae l elemento di posizione (3,2) nella prima % componente di I ans = 1

7 Strutture dati Esempio: Un immagine a colori RGB si memorizza nella variabile I tale che I(:,:,1) matrice componente del rosso I(:,:,2) matrice componente del verde I(:,:,3) matrice componente del blu La dimensione di I è mxnx3 (mxn è la dimensione della immagine) I = imread( nome_immagine.ext ) legge l immagine contenuta nel file nome_immagine.ext e la memorizza in una matrice I a 2 (livelli di grigio) o più dimensioni (colore); ext è l estensione del file (jpg,png,tiff, etc. ) imshow(i) visualizza un immagine

8 Esercizio Scrivere uno script Matlab che dato un intero n 2, costruisca le matrici A k così definite k=1,2,,n-1 N = input( inserisci la dimensione delle matrici n = ); if n <=1, error( n deve essere >= 2 ) else n = round(n) % mi assicuro che n sia intero d = n*ones(1,n); for k=1:n-1 A(:,:,k) = diag(d); for i=1:n, for j=1:n, if abs(i-j)==k, A(i,j,k)=-1,,

9 Function MATLAB per la costruzione della tavola alle differenze divise function [mat_diff] = diff_div(xnodi,fnodi) % mat_diff = diff_div(xnodi,fnodi) % Calcolo della tavola alle differenze divise a partire dai valori dei nodi % e dalla funzione nei nodi (memorizzati nella prima colonna della % matrice mat_diffdiv). % % Input: % xnodi: vettore delle coordinate dei nodi % fnodi: valori della funzione nei nodi % Output: % mat_diff: tavola delle differenze divise (per colonne) nella prima % colonna ci sono i valori fnodi nnodi=length(xnodi); % ordine massimo delle differenze divise kord = nnodi-1;

10 Function MATLAB per la costruzione della tavola alle differenze divise % inizializzazione della tavola alle differenze divise la prima colonna % contiene i valori della funzione nei nodi mat_diff = zeros(nnodi,kord+1); mat_diff(:,1) = fnodi'; % calcolo della tabella for j = 1:kord, % indice per le colonne della tavola (ordine delle diff. divise) for i = 0:nnodi-1-j, % indice per le righe della tavola (nodi coinvolti) mat_diff(i+1,j+1) = (mat_diff(i+1,j)-mat_diff(i+2,j))/(xnodi(i+1)-xnodi(i+j+1));

11 Dal Command window

12 Function MATLAB per la costruzione del polinomio di Newton alle differenze divise function[pn,tavdif] = pol_difdiv(xnodi,fnodi,xeval) % Polinomio interpolatore alle differenze divise: % [pn,tavdif] = pol_difdiv(xnodi,fnodi,xeval) % Input: % xnodi: vettore delle coordinate dei nodi % fnodi: valori nei nodi della funzione da interpolare % xeval: vettore delle coordinate dei punti in cui calcolare %il polinomio interpolatore % Output: % pn: vettore dei valori del polinomio interpolatore calcolato in xeval % tavdif: tavola delle differenza divise calcolata usando la funzione % diff_div.m % controllo degli input if length(xnodi)~=length(fnodi) error('il vettore dei nodi ha dimensione diversa dal vettore dei valori della funzione!!!')

13 Function MATLAB per la costruzione del polinomio di Newton alle differenze divise % Calcolo della tavola alle differenze divise tavdif = diff_div(xnodi,fnodi); % Calcolo del polinomio interpolatore di grado nnodi-1 nnodi = length(fnodi); pn = tavdif(1,1); % primo elemento della tavola (f[x0]) pnod = 1; %inizializzazione dei polinomi nodali for i=1:nnodi-1 pnod = pnod.*(xeval-xnodi(i)); pn = pn + pnod*tavdif(1,i+1);

14 Dal Command Window: >> xnodi = [ ]; >> fnodi = [ ]; >> [pn,tavdif] = pol_difdiv(xnodi(1:3),fnodi(1:3),2); >> pn pn = e-004 Calcolando il polinomio interpolatore usando tutti i nodi della tabella e valutandolo nel punto x = 2 si ha p3(2) = >> xnodi = [ ]; >> fnodi = [ ]; >> [pn,tavdif] = pol_difdiv(xnodi,fnodi,2); >> pn pn = e-004

15 Esercizio Modificare la funzione pol_difdiv.m in modo che restituisca come ulteriore variabile di output una stima dell'errore di troncamento qualora venga richiesto. In tal caso, la funzione deve prevedere come ulteriore variabile di input un nodo aggiuntivo e il valore della funzione in questo punto.

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20 Dal Command Window

21 Valutando la funzione nel nodo xeval = 1/6 si ha mentre il valore vero è 0.5

22 Esercizio Scrivere la funzione lagrange.m che, dato un vettore di nodi xnodi, un numero intero i e uno scalare xeval, valuti lo i-esimo polinomio della base di Lagrange nel punto xeval. Scrivere la funzione interp_lagrange.m che, dati due vettori, xnodi e fnodi aventi la stessa lunghezza, e uno scalare xeval, valuti il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange costruito sui dati xnodi e fnodi nel punto punto xeval Le funzioni devono contenere opportuni controlli sulle variabili di input

23 Esercizio Scrivere la function Matlab lebesgue.m che: 1.riceva in input i vettori xnodi e xpunti; se xpunti non viene dato in input, assegni a xpunti 1000 punti equispaziati nell' intervallo [xnodi(1); xnodi(length(xnodi)]; 2.costruisca il vettore fleb contenente i valori della funzione di Lebesgue calcolata in xpunti; 3.se xpunti contiene più di un elemento, grafichi la funzione di Lebesgue calcolata in xpunti etichettando opportunamente gli assi; 4.restituisca in output xpunti, il massimo valore di fleb e il punto p_mfleb in cui è realizzato. Utilizzare la function per il seguente vettore di nodi [1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0] e salvare gli output nel file risultati_es3.mat 23

24 function [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi,varargin) % [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi,varargin) valuta e grafica la funzione di % Lebesgue costruita sui nodi contenuti in xnodi in corrispondenza dei punti in % xpunti, ne calcola il massimo e il punto in cui quest'ultimo è realizzato. % Se xpunti non è dato in input, l'intervallo [xnodi(1), xnodi()] è suddiviso in % 1000 punti equispaziati % % INPUT % - xnodi = vettore dei nodi % % OUTPUT % - xpunti = vettore dei punti in cui è stata valutata la funzione di Lebesgue. % Se non è dato in input, è costituito da 1000 punti equispaziati in % [xnodi(1), xnodi()] % - Mfleb = valore massimo assunto dalla funzione di Lebesgue sul vettore di % punti in xpunti % - p_mfleb = punto di xpunti in cui la funzione di Lebesgue assume il valore % massimo 24

25 % controllo degli input if nargin<1 nargin>2 error('il numero delle variabili di input non e'' corretto!'); elseif nargin==1 if length(xnodi)>1 xpunti = linspace(xnodi(1),xnodi(),1000); else error('xnodi deve essere un vettore di almeno due elementi!'); else if length(xnodi)>1 xpunti = varargin{1}; else error('xnodi deve essere un vettore di almeno due elementi!'); NOTA: Modificare insero il seguente controllo su xpunti: gli elementi di xpunti devono essere contenuti nell intervallo [xnodi(1), xnodi()] 25

26 % Calcolo i polinomi di base di Lagrange e li valuto in ogni elemento di xpunti n_xnodi = length(xnodi); n_xpunti = length(xpunti); for i=1:n_xpunti % per ogni elemento di xpunti for n=1:n_xnodi % per ogni nodo in xnodi plag(i,n) = prod(xpunti(i)-xnodi(1:n-1))*prod(xpunti(i)-xnodi(n+1:n_xnodi))/ (prod(xnodi(n)-xnodi(1:n-1))*prod(xnodi(n)-xnodi(n+1:n_xnodi))); NOTA: La variabile plag è una matrice con n_xpunti righe e n_xnodi colonne Ogni elemento in posizione (i,n) contiene il valore che il polinomio della base di Lagrange relativo al nodo n-simo assume in corrispondenza dello i-simo elemento di xpunti 26

27 % calcolo il valore della funzione di Lebesgue in ogni elementi di xpunti fleb = sum(abs(plag')); % calcolo il massimo di fleb [Mfleb,p_Mfleb] = max(fleb); % grafico della funzione di Lebesgue if n_xpunti>1 figure, plot(xpunti,fleb) xlabel('xpunti') ylabel('funzione di Lebesgue') 27

28 Dal Command Window >> xnodi=[1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0]; >> [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi); >> save risultati_es3.mat xpunti Mfleb p_mfleb Sono equivalenti >> [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi,linspace(xnodi(1),xnodi(),1000)); >> [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi,2.2); Non produce grafici >> [xpunti,mfleb,p_mfleb] = lebesgue(xnodi(1));??? Error using ==> lebesgue at 24 xnodi deve essere un vettore di almeno due elementi! 28

29 Esercizio Scrivere la function Matlab fun_esercizio5.m che: 1.riceva in input i vettori xnodi e ynodi, un numero reale z e un intero N; se N non viene dato in input, assegni ad N la lunghezza del vettore xnodi diminuita di 1; 2.detta f la funzione che assume i valori in ynodi in corrispondenza dei valori in xnodi, e detto p N il polinomio di grado N che interpola f in un sottoinsieme opportuno di xnodi, valuti, se possibile, e restituisca in output l'errore che si commette approssimando f(z) con p N (z), altrimenti interrompa l'esecuzione e stampi un messaggio di errore. Data la seguente tabella di dati i xi f(xi) utilizzare la function per stimare l'errore commesso approssimando f(0) con p 4 (0) e salvare sia gli input che gli output nel file 29 risultati_esercizio5.mat

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42 Matrice dei coefficienti e vettore dei termini noti del sistema delle equazioni normali 42

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45 Esercizi 45

46 Esercizio 1 46

47 function [P] = successione(a,m) %[P] = successione(a,m) calcola i primi M elementi della successione così definita % P(1) = 2*a % P(2) = 4*a^2-1 % P(k) = 2*a*P(k-1)-P(k-2), k>2 % % e la confronta con la successione così definita % Q(k) = 1/(2*sqrt(a^2-1) )* (abs(a+sqrt(a^2-1))^(k+1) - abs(a-sqrt(a^2-1))^(k+1)); % % % INPUT % a = numero reale tale che a >1. La funzione offre tre possibilità per % correggere il valore della variabile data in input, altrimenti % interrompe l'esecuzione % M = numero intero positivo % OUTPUT % P = vettore contenente gli elementi della successione Pn 47

48 % controllo del numero delle variabili di input e di output if (nargin<=1) (nargin>2) error('il numero degli input non e'' corretto!!!') if (nargout>1) error('il numero degli output non e'' corretto!!!') % controllo del primo input tentativi = 0; while abs(a)<=1 & tentativi <3 a= input('il modulo di a deve essere maggiore di 1! a= '); tentativi = tentativi + 1; Nota: All uscita del ciclo while si possono avere le due situazioni seguenti: Il valore di a è in modulo maggiore di 1 e tentativi<=3 Il numero di tentativi ha raggiunto il valore 3 e il valore di a è in modulo minore o uguale a 1 48

49 if abs(a)>1 % controllo del secondo input if (round(m)~=m) (M<=0) error('il secondo input deve essere un numero intero positivo!!!') % calcolo del vettore P P(1) = 2*a; P(2) = 4*a^2-1; for k=3:m P(k)=2*a*P(k-1)-P(k-2); % calcolo del vettore Q Q(1:M) = 1/(2*sqrt(a^2-1)) * (abs(a+sqrt(a^2-1)).^(2:m+1) - abs(a-sqrt(a^2-1)).^(2:m+1)); % grafico dei risultati figure, plot(p,'k-') hold on, plot(q,'r--') xlabel('k'), ylabel('successioni'), title('confronto successioni') leg('vettore P','vettore Q') else error('gli input inseriti non sono corretti!') 49

50 Dal Command Window >> [P] = successione(2,-10);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(2,1.5);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(2,-1.6);??? Error using ==> successione at 38 il secondo input deve essere un numero intero positivo!!! >> [P] = successione(6);??? Error using ==> successione at 22 il numero degli input non e' corretto!!! 50

51 Dal Command Window >> [P] = successione(-.5,100); il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.5 il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.2 il modulo di a deve essere maggiore di 1! a=.4??? Error using ==> successione at 53 gli input inseriti non sono corretti! >> [P] = successione(2,10); >> [P] = successione(2,100); >> [P] = successione(6,100); >> [P] = successione(-6,100); A queste chiamate la funzione non da messaggi di errore e grafica i risultati 51

52 Esercizio 2 Si consideri la funzione n=1 definita per Scrivere la funzione Matlab esercizio2.m che riceva in input un numero reale y e un numero naturale N 10 e restituisca in output: la variabile S contenente il valore di F(y) ottenuto usando i primi N termini della serie; il vettore C dei coefficienti f n usati. Se N non viene dato in input, porre N=1000. La funzione deve graficare le componenti del vettore C usando una linea continua rossa per i primi 10 elementi e un marcatore di punto a scelta di colore blu per i successivi elementi. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e lega. 52

53 function [S,C] = esercizio2(y,varargin) % function [S,C] = esercizio2(y,varargin) %. %. if nargin==1 N=10000; elseif nargin==2 N = varargin{1}; if N<10 (round(n) ~=N) error( il valore di N non e ammissibile ); else error('controllare il numero delle variabili date in input!!!') C(1:2) = 1;, S = 0; for k=1:n S = S + C(k+1)*y^k; C(k+2) = C(k+1)+C(k); C([1 length(c)]) = []; figure, plot(1:10,c(1:10),'r'), hold on, plot(11:length(c), C(11:length(C)),'b*') 53

54 Esercizio 3 Scrivere la funzione Matlab esercizio3.m che: legga in input una matrice A; effettui, se possibile, un opportuno scambio di righe per cui il numero di elementi non nulli su ogni riga di A cresca con l indice di riga; restituisca in output la matrice A, eventualmente modificata in accordo al punto precedente; determini il numero di elementi nulli di A e restituisca in output il coefficiente C dato dal rapporto tra il numero di elementi nulli di A e la dimensione di A definito; Se C =0 stampi il messaggio La matrice non è sparsa Richiamare la funzione scritta sulle seguenti matrici e salvare tutti gli input e gli output nel file risultaties3.mat.

55 function [A,C] = esercizio3(a) % function [A,C] = esercizio3(a) %. %. %. %. [m,n] = size(a); C = length(find(a(:)==0))/(m*n); if C==0 disp('la matrice non e'' sparsa'); else for i=1:m nnz(i) = length(find(a(i,:))); [S,P] = sort(nnz); A=A(P,:); 55

56 Esercizio 4 Scrivere la funzione Matlab esercizio4.m che: legga in input le funzioni f, df, df2, con df e df2 rispettivamente derivata prima e seconda di f, due numeri reali a e b (con a < b) e due interi positivi M e nmax, con nmax non superiore a Se M non viene dato in input, assegni ad M il valore 5; se nmax non viene dato in input, assegni ad nmax il valore massimo consentito; determini un intervallo di separazione I = [a1, b1] [a, b] della radice di f con ampiezza non superiore a 0.25; approssimi la radice di f in I con il metodo delle tangenti, sceglio come approssimazione iniziale x0 l'estremo di Fourier e arrestando il procedimento quando la approssimazione prodotta xn ha M decimali esatti o non appena il numero di iterazioni eseguite diventa pari a nmax. Se l'estremo di Fourier non esiste, si ponga x0 uguale all'estremo positivo più piccolo di I; restituisca in output xn, la variabile fxn contenente il valore di f in xn e l'approssimazione iniziale x0. Utilizzare la funzione scritta per approssimare la radice della equazione non lineare x 3 -cos(x)+ 1/3 = 0 nell'intervallo [0.25, 1] e salvare sia gli input che gli output nel file risultaties4.mat.

57 function [xn,fxn,x0] = esercizio4(f,df,df2,a,b,varargin) % function [xn,fxn,x0] = esercizio4(f,df,df2,varargin) %. %. %. %. switch nargin case 5 M = 5; nmax = 1000; case 6 M = varargin{1}; nmax = 1000; case 7 M = varargin{1}; nmax = varargin{2}; otherwise error('controllare il numero delle variabili di input!!!')

58 if (M~=round(abs(M))) error('m deve essere intero positivo!!!') if (nmax~=round(abs(nmax))) nmax>1000 error('nmax deve essere intero positivo e non superiore a 1000!!!') if a>=b error('a deve essere strettamente minore di b!!!') x = a:.2:b; y=f(x); pos = find(abs(diff(sign(y)))); if length(pos)~=1 error('la radice non e'' unica') else a1 = x(pos); b1 = x(pos+1);

59 if f(a1)*df2(a1)>0 x0 = a1; elseif f(b1)*df2(b1)>0 x0 = b1; else if sum(sign([a1 b1]))<=0 error('non e'' possibile fissare la condizione iniziale') elseif a1>0 x0 = a1; else x0 = b1; eps = 0.5*10^(-M); err = eps+1;, iter = 0; while (err>eps) & (iter<nmax) xn = x0-f(x0)/df(x0); iter = iter + 1; err = abs(xn-x0); x0=xn; fxn = f(xn);

60 function [c] = esercizio(y,z,m) %... %... %... C = zeros(m);, v = zeros(m,1);, s = zeros(2*m-1,1); for i = 1:length(y) temp = z(i); for j = 1:m v(j) = v(j) + temp;, temp = temp*y(i); temp = 1; for j = 1:2*m-1 s(j) = s(j) + temp;, temp = temp*y(i); for i = 1:m for j = 1:m C(i,j) = s(i+j-1); c = C\v; Esercizio 5 Scrivere lo help della funzione descrivo anche tutte le variabili di input e di output. Commentare le istruzioni.

61 Esercizio 6 Scrivere lo help della seguente funzione; commentare e completare le istruzioni. function [V,M] = fun_esame(t,g) %... %... %... %... %... J = length(g); D = (t()-...); if... V = (g(1)+2*sum(g(2:2:j-1))+2*sum(g(2:j-1))+g())*d/3; M = 0; else V = D*sum(g) - 0.5*D*(g(1)+...); M = 1;

62 function [In,Nn,E] = my_fun(x1,x2,fun,varargin) %... %... %... if nargin<3 error('input non sufficienti') elseif... tl=0.5*10^-5; elseif nargin == 4 tl =... else error('troppe variabili di input') D = (x2-x1)/2;, I0 =D/3*(fun(x1)+4*fun(x1+D)+fun(x2));, E = tl+1; while E >= tl D = D/2; Nn =... xn = linspace(x1,x2,nn);, fn = fun(xn); In = D/3*(fn(1)+4*sum(fn(2:2:Nn-1))+2*sum(fn(3:2:Nn-2))+fn(Nn)); E = abs(in-i0)/15; I0 =... Esercizio 7 Completare e commentare le istruzioni della funzione e scriverne lo help

63 con 6 decimali esatti e salvare gli output nel file risultaties8.mat. Esercizio 8 Scrivere la funzione Matlab esercizio8.m che riceva in input tre numeri a, b, eps e la funzione f; se eps non viene data in input, assegni il valore approssimi l'integrale con la formula di Cavalieri- Simpson; approssimi I(f) con la formula delle parabole generalizzata dimezzando ogni volta il passo h e arrestandosi quando il modulo del resto Rh(f) diventa minore di eps; restituisca in output l' approssimazione finale dell' integrale, il numero totale di nodi utilizzati per calcolarla e la stima di Rh(f) ottenuta tramite il criterio di Runge. Utilizzare la funzione realizzata per approssimare

64 Esercizio 9

65 function [F,varargout] = fun_bruni(t,m,varargin) % [F] = fun_bruni(t,m); % descrizione % % INPUT % inserire descrizione delle variabili di input. % % OUTPUT % inserire descrizione delle variabili di output. switch nargin case 2 x=0; m=5; case 3 x=varargin{1}; m=5; if x<-1 x>1 error('x deve appartenere all''intervallo [-1,1]')

66 case 4 x=varargin{1}; m=varargin{2}; if (x<-1 x>1) length(x)>1 error('x deve essere uno scalare e appartenere all''intervallo [-1,1]') if m<=0 m~=round(m) error('m deve essere un intero positivo') otherwise error('controllare il numero delle variabili di input') if M<=0 M~=round(M) error('m deve essere un intero positivo')

67 eps = 0.5*10^(-m); g = (1-t*x)/(1-2*x*t+t^2); F=[]; T(1) = 1; f(1) = T(1); if abs(f(1)-g) < eps F = [F f(1)]; T(2) = x; f(2) = sum(t.*t.^(0:1)); if (abs(f(2)-g) < eps) & (length(f)<m) F = [F f(2)]; n=3; while (length(f)<m) & n<100 T(n) = 2*x*T(n-1)-T(n-2); f(n) = sum(t.*t.^(0:n-1)); if (abs(f(n)-g) < eps) F = [F f(n)] n=n+1;

68 ind = find(t>=0); ind2 = find(t<0); figure title('grafico esercizio') subplot(1,2,1), plot(f,'r--') ylabel('vettore F') subplot(1,2,2), plot(ind-1, T(ind),'k*',ind2-1,T(ind2),'ro') xlabel('n') ylabel('tn') if nargout ==2 V=ind-1; varargout{1}=v;

69 usando 21 nodi. Esercizio 10 Scrivere la funzione Matlab odelimiti_nl.m che riceva in input cinue numeri a, b, alfa, beta, eps, due numeri interi positivi N, maxiter e tre funzioni f, dfy, dfz; se eps non viene data in input, assegni il valore , se maxiter non viene data in input, assegni il valore 20 risolva il seguente problema ai limiti usando uno schema alle differenze finite usando N+2 nodi. Per la soluzione del sistema non lineare si usi il metodi di Newton eseguo non più di maxiter iterazione e arrestando le iterazioni quando l errore massimo tra due approssimazioni successive diventa inferiore a eps restituisca in output il vettore Y contenente la approssimazione della soluzione in corrispondenza dei nodi usati. Se richiesto, restituisca in output il vettore X dei nodi e l errore commesso all ultima iterazione del metodo di Newton. Utilizzare la funzione realizzata per risolvere il seguente problema differenziale

70 % Script per la soluzione di uno specifico problema differenziale % salvato con il nome esercizio_odelimiti_nl a=1; b=3; alfa=17; beta = 43/3; N=19; [Y,X,errore] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,@fun_esercizio,@dfy_esercizio,@dfz_esercizio,10^(-8)); fprintf(' X \t Y \t Errore\n') fprintf('%7.6f \t %15.12f \t %+13.12f \n',[x;y;errore] ) figure, plot(x,y,'r*') xlabel('x') ylabel('y') title('soluzione') Funzione che implementa la soluzione di un problema differenziale ai limiti non lineare Funzioni relative allo specifico problema differenziale da risolvere, rispettivamente f, f y, f y Vanno definite e salvate in tre file.m distinti

71 % funzione f dello specifico problema differenziale % salvato con il nome fun_esercizio.m function [F] = fun_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale F = 1/8*(32+2*X.^3-Y.*Z);

72 % funzione f y dello specifico problema differenziale % salvato con il nome dfy_esercizio.m function [DFY] = dfy_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale DFY = 1/8*(-Z);

73 % funzione f y dello specifico problema differenziale % salvato con il nome dfz_esercizio.m function [DFZ] = dfz_esercizio(x,y,z) %funzione dello specifico problema differenziale DFZ = 1/8*(-Y);

74 function [Y,varargout] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,f,dfy,dfz,varargin) %[Y] = odelimiti_nl(a,b,alfa,beta,n,f,dfy,dfz) % INPUT % inserire descrizione delle variabili di input %... %... % % OUTPUT % inserire descrizione delle variabili di output %... %... if nargin==8 eps=0.5*10^(-8); max_iter=20; elseif nargin==9 eps=varargin{1}; max_iter=20; elseif nargin==10 eps=varargin{1}; max_iter=varargin{2}; else error('controllare il numero delle variabili di input')

75 h=(b-a)/(n+1); X=a+(0:N+1)*h; % inserire eventuali controlli su eps e maxiter... Y=alfa+(0:N+1)*(beta-alfa)/(b-a)*h; iter=0; Err=eps+1; while (Err>eps) & (iter < max_iter) der_vet = (Y(3:N+2)-Y(1:N))/(2*h); diagj=diag(2+h^2*dfy(x(2:n+1),y(2:n+1),der_vet)); diagsupj=diag(-1+h/2*dfz(x(2:n),y(2:n),der_vet(1:n-1)),1); diaginfj=diag(-1-h/2*dfz(x(3:n+1),y(3:n+1),der_vet(2:n)),-1); J = diagj+diagsupj+diaginfj; der_vet2 = diff(y,2); B = -h^2*f(x(2:n+1),y(2:n+1),der_vet)+der_vet2; V=J\(B'); V=[0 V' 0]; Y1 = Y+V; vett_err = Y1-Y; Err = norm(vett_err,inf); Y=Y1; iter = iter + 1;

76 if iter==max_iter & Err>eps disp('non e'' stata raggiunta la precisione richiesta') if nargout == 2 varargout{1} = X; elseif nargout == 3 varargout{1}=x; varargout{2} = vett_err; elseif nargout >3 error('troppi output')

77 Esercizio 11 Si consideri la seguente funzioni di due variabili Scrivere la funzione Matlab fun_cognome.m che riceva in input un intero strettamente positivo N non superiore a 100, un numero reale x e una funzione f (anonymous function) dipente da x. Se f non viene data in input, ponga f(x) = 1 + x. La funzione valuti F in corrispondenza della coppia di valori (x; f(x)) per ogni numero naturale n : 0 n N; n = 3h; h N. La funzione restituisca in output la matrice P così definita: i) la prima riga contiene i valori di n che hanno prodotto valori di F positivi; ii) la seconda riga contiene i corrispondenti valori positivi di F; iii) la terza riga contiene i valori di n che hanno prodotto valori di F negativi; iv) la quarta riga contiene i corrispondenti valori negativi di F. La funzione grafichi, e restituisca in output se richiesto, il vettore A contenente al piu (N+1)/3 elementi della successione a k usando un pallino rosso per gli elementi di indice pari e un asterisco blu per quelli dispari. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e lega. Oss: La funzione F(x,y) dipe anche dall indice naturale n I coefficienti a k dipono anche dall indice naturale n Per il vettore A, poiché non specificato, si considera l ultima sequenza calcolata

78 function [P, varargout] = esercizio4_gennaio2014(n, x, varargin) % [P, varargout] = esercizio4_gennaio2014(n, x, varargin) % La funzione esercizio4_gennaio valuta la funzione F(x,y) che è la somma di n+1 termini il cui (k+1)-simo addo è % a(k) = (n-k+1)/k a(k-1) se k>=1, e a(0) = 1 se k=0. La funzione % calcola F(x,y) per tutti i valori di 0<=n<=N e multipli di 3 e con % y=f(x). % controllo sul numero degli input if nargin == 2 f elseif nargin == 3 f = varargin{1}; else error('numero di input non corretto') % INPUT % N = intero positivo <=100 % x = ascissa del punto in cui valutare la funzione % f = funzione che definisce l'ordinata del punto in cui valutare la % funzione come y=f(x). Se f non viene data in input, f=1+x % % OUTPUT % inserire descrizione degli output

79 % controllo input if N <= 0 N > 100 N ~= round(n) error('n deve essere un intero strettamente positivo non superiore a 100') % successione y = f(x); for n=0:3:n a(1) = 1; F(n/3+1)=a(1)*y^n; for k=2:n+1 a(k) = (n-k+2)/(k-1)*a(k-1); F(n/3+1) = F(n/3+1) + a(k)*x^(k-1)*y^(n-k+1); pos = find(f>=0); neg = find(f<0); P = zeros(4,max(length(pos), length(neg))); P(1,1:length(pos)) = (pos-1)*3; P(2,1:length(pos)) = F(pos); P(3,1:length(neg)) = (neg-1)*3; P(4,1:length(neg)) = F(neg);

80 A = a(1:round((n+1)/3)); figure, hold on plot(1:2:length(a), A(1:2:length(A)), '*b') plot(2:2:length(a), A(2:2:length(A)), '*r') if nargout==2 varargout{1} = A;

81 Esercizio 12

82 Esercizio 12 function [K, S, D, V, varargout] = esercizio5_gennaio2014(a, b, varargin) %INSERIRE HELP % controllo sugli input if nargin < 2 nargin > 3 error('il numero degli input non e'' corretto') elseif nargin == 2 C = {'J', 'GS', 'SOR', 'MEG', 'Th'}; elseif nargin == 3 C = varargin{1}; % controllo sulle dim di A [m,n] = size(a); if m ~= n error('a deve essere quadrata') else if m < 3 error('la dim di A deve essere non inferiore a 3x3')

83 K = false; S = false; D = false; if cond(a) < 7 K = true; % S vale 1 se il numero degli elementi nulli di A è superiore alla metà dei % suoi elementi n_zeri = length(find(a==0)); if n_zeri > (n^2)/2 S = true; % D vale 1 se esiste una permutazione di righe per cui la matrice del % sistema diventa diagonale [r, c] = find(a~=0); if length(r) <= n if (length(unique(c)) == length(unique(r))) D = true; if nargout == 5 [temp p] = sort(r); varargout{1} = p;

84 fprintf('%s \n', 'quali metodi possono essere usati per risolvere Ax=b?') riga1 = zeros(1,length(c)); riga2 = zeros(1, length(c)); eps = 10^(-8); MD = diag(diag(a));, L = tril(a,-1);, U = triu(a,1); for i=1:length(c) switch C{i} case {'J'} Minv = inv(md);, CJ = -Minv*(L + U); rho = max(abs(eig(cj))); if rho < 1 fprintf('%s \n', 'il metodo di Jacobi converge'); riga1(i) = 1; QJ = Minv*b; iter = 0;, X0 = ones(n,1);, err = 100; while err > eps X = CJ*X0 + QJ; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

85 case {'GS'} Minv = inv(tril(a)); CGS = -Minv*(triu(A,1)); rho = max(abs(eig(cgs))); if rho < 1 fprintf('%s \n', 'il metodo di Gauss Seidel converge'); riga1(i) = 1; QGS = Minv*b; iter = 0; X0 = ones(n,1); err = 100; while err > eps X = CGS*X0 + QGS; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

86 case {'SOR'} T = (A == A'); if all(t(:)) && all(eig(a)) fprintf('%s \n', 'il metodo di SOR converge'); riga1(i) = 1; omega = 0.5; Minv = inv(l + MD/omega); C_sor = -Minv*(U-(1-omega)*MD/omega); Q_sor = Minv*b; iter = 0; X0 = ones(n,1); err = 100; while err > eps X = C_sor*X0 + Q_sor; err = norm(x-x0, inf); X0 = X; iter = iter + 1; riga2(i) = iter;

87 case {'MEG'} if det(a) ~= 0 fprintf('%s \n', 'e'' possibile usare il metodo di eliminazione di Gauss'); riga1(i) = 1; riga2(i) = n^2/2 + n^3/3; case {'Th'} B = triu(a,-1) - triu(a,2); T = (B == A); if det(a) ~= 0 && all(t(:)) fprintf('%s \n', 'e'' possibile usare l'' algoritmo di Thomas'); riga1(i) = 1; riga2(i) = 5*n-4; otherwise error('c contiene metodi sconosciuti') %% costruisco la matrice V V(1,:) = riga1; V(2,:) = riga2;

88 Esercizio 13

89 function [S] = es1_pp2015(x,varargin) %SOLUZIONE ES 1 PROVA PRELIMINARE 18 DICEMBRE 2015 %... %..._ if (M~=round(M)) M<0 error('m deve essere intero positivo') if (N~=round(N)) N<0 N>100 error('n deve essere intero positivo non superiore a 100') switch nargin case 1 N = 100; M = 5; case 2 N = varargin{1}; M = 5; case 3 N = varargin{1}; M = varargin{2}; otherwise error('controllare input')

90 eps = 0.5*10^(-M); F = exp(x^2); S=[]; ind = []; H(1)= 1; G(1)= H(1); if abs(g(1)-f) <= eps S = [S [G(1); 1]]; m=1; while ((size(s,2)<n) && (m<=100)) if m==1 H(2) = 2*x; else H(m+1) = 2*x*H(m)-2*m*H(m-1); G(m+1) = G(m) + x^m/factorial(m)*h(m+1); if abs(g(m+1)-f) <= eps S = [S [G(m+1); m]]; else ind = [ind m]; m = m+1; Numero massimo di iterazioni consentite --- stabilito in fase di programmazione

91 figure plot(ind,g(ind+1),'ro') hold on, if ~isempty(s) plot(s(2,:),s(1,:),'go') xlabel('m') ylabel('gm') title('successione') leg('elementi di G non in S','elementi di G in S')

92 Esercizio 14

93 function [A,P,varargout] = es2_pp2015(a,varargin) %SOLUZIONE ES 2 PROVA PRELIMINARE 18 DICEMBRE 2015 %... %..._ if nargin==0 error('pochi input') elseif nargin == 1 if (length(size(a))==2) & size(a,1)>1 & size(a,2)>1 B = zeros(size(a,2),1); else error('controllare la dimensione di A') elseif nargin == 2 if (length(size(a))~=2) size(a,1)==1 size(a,2)==1 error('controllare la dimensione di A') B = varargin{1}; B = B(:); if length(b)~=size(a,1) error('controllare la dimensione di B') else error('troppi input')

94 [nr,nc] = size(a); if nr ~= nc error('a deve essere quadrata') if det(a) == 0 error('la matrice e'' singolare') if all(tril(a)==a) P=1:nr; else for i=1:nr ind = find(a(i,:)~=0); P(i) = ind();

95 if length(unique(p))~=nr P = []; A = []; x = []; disp('non esiste permutazione che re A triangolare inferiore') else A(P,:) = A; X(1) = B(1)/A(1,1); for i=2:nr X(i) = (B(i)-sum(A(i,1:i-1).*X(1:i-1)))/(A(i,i)); X=X(:); if nargout==3 varargout{1}=x; elseif nargout<=1 error('pochi output') elseif nargout >3 error('troppi output')