Appunti di Misure Fisiche 2. A.A. 2006/07

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1 Appunti di Misure Fisiche 2. A.A. 2006/07 Sistemi di unità di misura 1 Grandezze fondamentali e derivate Un sistema di unità di misura per le grandezze fisiche si basa sulla scelta di un certo numero di grandezze da considerare come fondamentali, cioè non riconducibili ad altre grandezze. Per le grandezze fondamentali vengono fissate, in modo concettualmente arbitrario ma rispondente a criteri di praticità, stabilità e facile riproducibilità, le unità di misura e i corrispondenti campioni. Tutte le altre grandezze sono derivate, nel senso che sono riconducibili alle grandezze fondamentali per mezzo di leggi fisiche (o relazioni geometriche). Ovviamente, lo stesso avviene per le unità di misura delle grandezze derivate, che si riportano alle unità delle grandezze fondamentali. Si noti che una nazione che adotti un fissato sistema di unità, dovrà dotarsi di una struttura (uffici metrologici) che conservi, o sia in grado di riprodurre, copie dei campioni delle unità per le grandezze fondamentali e che sia attrezzata per consentire il confronto fra queste e copie secondarie utilizzate per gli usi pratici. Quali e quante grandezze conviene considerare come fondamentali? La risposta è che questa scelta risente di ragioni sia storiche che di opportunità pratica. Fissare, ad es., solo tre grandezze fondamentali, come lunghezza, massa e tempo, ha il pregio di fornire un sistema elegante ed essenziale, ma ha l inconveniente che certe unità, relative a grandezze derivate, risultano poco pratiche, sia perché troppo grandi o troppo piccole rispetto ai valori normalmente incontrati per tali grandezze, sia perchè difficili da riprodurre a livello dei campioni. Per es., l unità per l intensità di corrente elettrica nel sistema CGS-elettrostatico (cui si è fatto cenno in precedenza) è circa 0.3 na, cioè estremamente piccola per gli usi più frequenti. D altro canto, un numero elevato di grandezze fondamentali avrebbe l inconveniente di richiedere altrettanti campioni e, come abbiamo già notato, introdurrebbe nelle leggi fisiche una serie di scomodi fattori di proporzionalità. Il sistema cui faremo riferimento è il Sistema Internazionale, oggi largamente diffuso nel mondo. Esso, come vedremo fra breve, sceglie sette grandezze fondamentali. E il caso di sottolineare che tale sistema è di tipo decimale, vale a dire basato sull uso di multipli e sottomultipli, secondo potenze di dieci, dell unità base. Per quanto oggi, in Italia, questo possa sembrare ovvio, va tenuto presente che non è un carattere comune a tutti i sistemi di unità. Anzi, nei sistemi più antichi, per una stessa grandezza venivano usate unità diverse, definite indipendentemente l una dall altra e senza che fra di esse ci fossero rapporti semplici. Attraverso aggiustamenti successivi, si modificarono poi le unità in modo che i loro rapporti fossero (quasi sempre) degli interi. Alcuni esempi, relativi a unità tuttora in uso nei paesi anglosassoni sono riportate qui sotto. 1

2 Length 12 inches = 1 foot 3 feet = 1 yard 22 yards = 1 chain 10 chains = 1 furlong 8 furlongs = 1 mile 5280 feet = 1 mile 1760 yards = 1 mile Mass (Avoirdupois) grains = 1 ounce 16 ounces = 1 pound (7000 grains) 14 pounds = 1 stone 8 stones = 1 hundredweight [cwt] 20 cwt = 1 ton (2240 pounds) Capacity 20 fluid ounces = 1 pint 4 gills = 1 pint 2 pints = 1 quart 4 quarts = 1 gallon (8 pints) Anche così, non si può dire che i fattori di ragguaglio fra un unità e l altra siano proprio i più semplici, se confrontati con le potenze di dieci usate in un sistema decimale. D altro canto, il passaggio da un sistema di unità ad un altro comporta, oltre a costi notevoli, resistenze da parte della popolazione. Si pensi che, ancora oggi, nel nostro paese, quasi tutte le pubblicità di automobili esprimono la potenza in cavalli. Si continua ad usare un unità, il cavallo vapore, che dovrebbe essere sostituita dal chilowatt, perchè gli utenti sanno apprezzare la potenza di un auto se è espressa in cavalli, mentre trovano difficoltà quando è espressa in kw (1 cavallo è uguale a kw). Lo stesso accade per certe misure di energia. Chi vuole conoscere l apporto energetico di un alimento, cerca la sua espressione in calorie, non in joule, anche se per legge, siccome la caloria è un unità che deve essere abbandonata, tutte le confezioni di alimenti riportano la doppia indicazione (una caloria equivale a circa 4.24 J). E un po quello che accade con l adozione dell euro in campo monetario. Nella tavola sono riportate le denominazioni e i simboli dei multipli e sottomultipli di un sistema decimale. 2

3 nome simbolo fattore nome simbolo fattore yota Y deci d 10 1 zeta Z centi c 10 2 exa E milli m 10 3 peta P micro µ 10 6 tera T nano n 10 9 giga G 10 9 pico p mega M 10 6 femto f chilo k 10 3 atto a etto h 10 2 zepto z deca da 10 1 yocto y (1) Per rendersi conto dell effettiva necessità di un così ampio intervallo di valori, si tenga conto che, ad es., l età della Terra (4.5 miliardi di anni) è di s, mentre impulsi laser ultrabrevi possono avere una durata di s. 2 Dimensioni Si dice che due grandezze omogenee (dello stesso tipo), come due lunghezze o due induttanze, hanno le stesse dimensioni fisiche. Per una generica grandezza derivata, si determinano le dimensioni, riportandole a quelle delle grandezze fondamentali, utilizzando formule geometriche, definizioni o leggi fisiche. Così, ad es., si dice che un volume ha le dimensioni di una lunghezza al cubo, che una velocità ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno uno, che una forza ha le dimensioni di una massa per una lunghezza per un tempo alla meno due (f = ma). Una volta trovate le dimensioni di una grandezza, rimane automaticamente fissata l unità di misura corrispondente. Nello sviluppare questa analisi dimensionale, si utilizza un simbolismo in cui le dimensioni di una generica grandezza vengono indicate racchiudendone il simbolo fra parentesi quadrate. Vediamo qualche esempio. Faremo implicitamente riferimento alle grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura termodinamica, quantità di materia, intensità luminosa). Ricordiamo la legge di Stokes per la resistenza incontrata da una sferetta di raggio r che si muova in un fluido con coefficiente di viscosità η. Tale forza è data da F =6πηrv, (2) 3

4 dove v è la velocità della particella. Dimensionalmente, avremo, con ovvi simboli, [ ] [ ] F mlt 2 [η] = = = [ ml 1 t 1], (3) llt 1 llt 1 avendo espresso le dimensioni di η tramite quelle delle grandezze fondamentali. Perciò si può dire che il coefficiente di viscosità si misura in kg/(m s). D altronde, riprendendo la prima espressione, [ ] F [η] =, (4) l 2 t 1 si può osservare che le dimensioni di η sono quelle di una pressione moltiplicata per un tempo. Siccome l unità per la pressione, cioè il Newton/m 2, prende il nome di Pascal, si può anche dire che il coefficiente di viscosità si misura in Pa s (Pascal secondo). Molto usata è l unità poise, pari a un decimo di Pa s, e il centipoise, pari ad un millesimo di Pa s. Propriamente, tali unità appartengono al sistema CGS (Centimetro, Grammo, Secondo). Per quanto riguarda la pressione, vale la pena di ricordare che è in uso, in meteorologia, anche l unità bar, pari a 10 5 Pascal. La pressione atmosferica al livello del mare, a 45 gradi di latitudine e a 0 gradi centigradi, è uguale a bar. Come secondo esempio, determiniamo le dimensioni di un momento di dipolo magnetico. A tale scopo supponiamo di usare l espressione E = M B dell energia potenziale del dipolo quando sia posto in un campo di induzione magnetica B, nonché quella della forza di Lorentz F = qv B agente su una carica q in moto nel campo con velocità v. Dalla seconda ricaviamo [ ] [ ] F mlt 2 [B]= = = [ mq 1 t 1]. (5) qlt 1 qlt 1 Usiamo questa nell equazione dimensionale che segue dalla prima relazione, tenendo conto che l energia ha le dimensioni di un lavoro [ ml 2 t 2 ] [ ml 2 t 2 ] [M] = = = [ l 2 qt 1], (6) B mq 1 t 1 ovvero, ricordando che una carica divisa per una massa è quanto dire un intensità di corrente, [M] = [ l 2 i ], (7) per cui l unità relativa sarà m 2 A. Questo risultato si ottiene immediatamente se si ricorda che una spira piana di area S, percorsa da corrente elettrica di intensità i è dotata di un momento magnetico avente modulo is. Questo fa notare che, nell analisi dimensionale, una scelta opportuna delle formule da usare può semplificare i calcoli. Vediamo un ulteriore esempio ricordando che se ad un provino di lunghezza l e sezione S vengono applicate lungo l asse due forze opposte d intensità F, il provino s allunga di 4

5 una quantità l data da l = Fl/(ES), dove E è il modulo di Young. Per le dimensioni di E troviamo allora [ ] mlt 2 [E] = = [ ml 1 t 2]. (8) l 2 Come ultimo esempio consideriamo la seguente situazione. Sulle facce opposte di una parete di spessore s si abbiano le temperature T + T e T. Attraverso un area A della parete passa allora, nel tempo t una quantità di calore Q data dall equazione di Fourier Q = KA T t, (9) s dove K è la conducibilità termica. Calcoliamo le dimensioni di K tenendo conto che la quantità di calore ha le dimensioni di un lavoro [ ml 2 t 2 ] l [K] = = [ mlt 3 T 1]. (10) l 2 Tt Quando si derivano delle equazioni fra grandezze fisiche, le dimensioni fisiche delle grandezze a primo e a secondo membro devono, ovviamente essere le stesse. Questo controllo dimensionale è spesso utile per scoprire la presenza di eventuali errori di calcolo. Aggiungiamo un paio di osservazioni. La prima è che due grandezze possono avere le stesse dimensioni senza essere omogenee. Ad es., il momento di una forza ha le stesse dimensioni di un energia, pur essendo concettualmente diverso da quest ultima. L altra osservazione è che il nome dato alle unità di misura delle grandezze derivate non sempre è ricondotto a quello delle unità per le grandezze fondamentali. Questo viene fatto per motivi di snellezza, per evitare confusioni fra grandezze equidimensionate ma non omogenee o per una maggiore leggibilità. Così l unità di misura per una forza, che in termini di grandezze fondamentali è kg m/s 2, è chiamata brevemente Newton; il valore del modulo del momento di una forza si esprime in Newton metro, ma quello di un energia in Joule; il valore dell intensità di un campo elettrico si esprime in Volt/metro, non in chilogrammi per metro diviso Ampere e diviso per secondi al cubo. 3 Il Sistema Internazionale Il Sistema Internazionale (S.I.) di unità di misura ha le sue lontane origini nel sistema metrico decimale, introdotto dalla repubblica francese nel Oggi, esso fa riferimento a 7 grandezze fondamentali, per le quali vengono fissate le unità. Le grandezze sono: lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente, temperatura termodinamica, quantità di materia e intensità luminosa. Vediamo di seguito le definizioni delle unità di misura di tali grandezze. 5

6 3.1 Lunghezza L unità di misura per la lunghezza è il metro (simbolo: m), che è definito come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/( ) volte un secondo. 3.2 Massa L unità di massa è il chilogrammo (simbolo: kg), che uguaglia la massa del prototipo internazionale di chilogrammo. 3.3 Tempo L unità di tempo è il secondo (simbolo: s), definito come la durata di periodi della radiazione corrispondente alla transizione fra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di Cesio Intensità di corrente L unità per l intensità di corrente elettrica è l ampere (simbolo: A). Essa è definita come quell intensità che, percorrendo due conduttori filiformi indefiniti disposti parallelamente a distanza di un metro, nel vuoto, produce una forza di newton per metro di lunghezza. 3.5 Temperatura Il kelvin, unità di temperatura termodinamica (simbolo: K), è la frazione 1/ della temperatura termodinamica del punto triplo dell acqua. 3.6 Quantità di sostanza La mole (simbolo: mol) è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, le entità elementari vanno specificate e possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, altre particelle, o gruppi specifici di tali particelle. 3.7 Intensità luminosa La candela (simbolo: cd) è l intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette radiazione monocromatica di frequenza hertz e che ha intensità radiante in quella direzione di 1/683 watt per steradiante. 6

7 3.8 Unità ausiliarie A queste sette unità fondamentali vanno aggiunte due unità ausiliarie per la misura degli angoli piani e di quelli solidi, il radiante e lo steradiante (citato anche nella definizione della candela). Il radiante (simbolo: rad) è la misura di un angolo piano che, tracciato dal centro di una generica circonferenza, intercetti su questa un arco (interno) di lunghezza uguale al raggio. Lo steradiante (simbolo: sr) è l angolo solido che, tracciato dal centro di una generica superficie sferica, intercetti su questa una calotta di area uguale al quadrato del raggio. 4 Commenti sulle unità Quantitativamente, le unità di misura dovranno essere scelte in modo che i valori numerici che si ottengono utilizzandole nei casi più comuni non siano né troppo grandi né troppo piccoli. Da questo punto di vista, il metro, ad es., è ben adeguato per misure di lunghezza nella vita di tutti i giorni. Peraltro, il campo di variabilità di molte grandezze fisiche è talmente vasto che è impossibile che una qualsiasi unità non risulti a volte piccolissima e a volte grandissima. Per lunghezze relative a sistemi atomici, il metro è un unità enorme, mentre è piccolissima per misurare la distanza fra astri. Si pensi che la stella più vicina alla Terra, la Proxima Centauri, dista m (e in questi casi si preferisce usare unità ad hoc, come l anno luce, distanza percorsa dalla luce in un anno). Inoltre, anche se si sono trovate unità relative alle grandezze fondamentali che siano adatte ai casi più frequenti, può succedere che alcune delle unità per le grandezze derivate risultino sproporzionate. Tanto per fare un esempio, l unità di misura della capacità elettrica, il Farad, è decisamente grande, come si capisce notando che la capacità dell intera Terra, assimilata ad una sfera conduttrice, è inferiore ad un millesimo di Farad. Comunque, l uso dei multipli e sottomultipli elencati nella tabella del paragrafo 1 (che coprono 36 ordini di grandezza) rende trascurabili gli inconvenienti di questo tipo. Un altro punto essenziale per quanto riguarda le unità è che esse dovrebbero essere associate a campioni dotati della massima stabilità nello spazio e nel tempo. Per fare qualche esempio, si pensi all unità chilogrammo-peso di cui si è parlato in precedenza. Tale unità era definita come la forza peso agente su un corpo di massa un chilogrammo. Siccome il peso è dato dal prodotto della massa per l accelerazione di gravità e quest ultima cambia da un punto all altro della superficie terrestre, è evidente che una simile unità non è invariante spazialmente. Similmente, l unità di tempo (il secondo) era inizialmente definita con riferimento alla durata della rotazione terrestre intorno al proprio asse. Ma tale durata va lentamente decrescendo col passare degli anni, cosicché la definizione detta portava ad un unità che non era invariante nel tempo.va poi osservato che i campioni delle unità fondamentali dovrebbero essere riproducibili negli uffici metrici in modo tale da garantire, con la massima precisione, l uguaglianza fra campioni originali e campioni riprodotti. Per questi motivi, le definizioni delle unità sono state progressivamente 7

8 modificate, facendo riferimento a fenomeni che si ritengono dotati delle caratteristiche di invarianza spazio-temporale volute (tipicamente fenomeni atomici). Nei sottoparagrafi che seguono aggiungiamo qualche osservazione sulle unità fondamentali 4.1 lunghezza Nelle intenzioni dei primi proponenti, il metro doveva essere la quarantamilionesima parte del meridiano terrestre. In realtà, determinazioni geodetiche più accurate portarono ad una stima della lunghezza del meridiano terrestre che eccedeva per circa 7.5 km i 40 milioni di metri. Comunque, per lungo tempo, il metro è stato definito come la distanza fra due incisioni fatte su una sbarra, costruita con una lega (Platino-Iridio) scelta per offrire le massime garanzie di stabilità nel tempo. Tale sbarra, caratterizzata da una sezione ad X per limitarne le deformazioni, era conservata a Sevres (vicino a Parigi) e ogni nazione che aderiva al S.I. (inizialmente Sistema Metrico Decimale) ne conservava delle copie. Tenendo conto delle esigenze dette sopra, si passò poi a definire il metro come un opportuno multiplo della lunghezza d onda di una radiazione (quasi-monocromatica) emessa dal Kripton in una fissata transizione atomica. Nel frattempo, le determinazioni della velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto (o, come si dice, della luce nel vuoto) diventavano sempre più precise e lo stesso accadeva per l unità di tempo riferita a fenomeni atomici. Si decise perciò (1983) che la velocità della luce nel vuoto sarebbe stata presa come una costante universale nota (pari a m/s) e che l unità di lunghezza sarebbe stata ricondotta a tale costante e all unità di tempo. Le unità usate nel Sistema Inglese degli Ingegneri si riconducono al metro. La relazione fondamentale è quella fra metro e pollice (abbreviato con in.) ed è data da 1 m = in. Invertendola si ottiene 1 in. = cm In realtà questa relazione fra pollice e centimetro è stata sostituita nell industria statunitense dalla seguente 1 in. = 2.54 cm (esatti) La differenza fra i due standard è di circa 2 parti per milione. Su una distanza di 600 km (Roma-Milano) ciò corrisponde ad uno scarto di 1.2 m. 4.2 massa Il chilogrammo è tuttora definito con riferimento ad un campione di massa conservato a Sevres e costituito da un cilindro di Platino-Iridio di 38 mm di diametro e 38 mm di altezza. Tale campione è mantenuto sotto vuoto e si valuta che la massa sia nota con un incertezza non superiore a una parte per miliardo. E presumibile che nei prossimi anni si arrivi a definirlo con riferimento a sistemi atomici. 8

9 4.3 tempo Il 133 Cs (uno degli isotopi del Cesio) ha uno stato fondamentale (cioè di minima energia) diviso in due sottolivelli separati da un salto d energia dell ordine di 35 µev. Quando l atomo transisce dal livello superiore a quello inferiore, esso emette una radiazione elettromagnetica nella regione delle microonde, la cui frequenza è nota con grande precisione ( GHz). E possibile realizzare degli orologi al 133 Cs che forniscono i campioni di tempo. Essi sono dotati di una tale stabilità che, su un periodo di un secolo, l errore commesso da uno di questi orologi non supera i 3 ms. 4.4 intensità di corrente Consideriamo due conduttori rettilinei paralleli, indefiniti e filiformi (cioè molto lunghi e molto sottili rispetto alla loro distanza) e supponiamo che in essi scorrano due correnti elettriche di intensità i 1 e i 2. Sia d la distanza fra i fili e assumiamo che fra di essi ci sia il vuoto. Allora i fili si scambiano delle forze. Più precisamente, su un tratto di lunghezza l di uno dei fili si esercita una forza il cui modulo è dato da F = µ 0 i 1 i 2 l 2π d, (11) dove µ 0 è la permeabilità magnetica del vuoto. E a questa forza che fa riferimento la definizione dell Ampere. Si noti che dalla definizione segue che µ 0 =4π L unità di misura per µ 0, che dalla (11) risulta essere newton diviso ampere al quadrato, viene chiamata henry su metro (H/m), dove henry (= omh s) è l unità per l induttanza. 4.5 temperatura Il punto triplo dell acqua è quello stato termodinamico in cui coesistono le fasi liquida, solida e aeriforme. Esso è caratterizzato da una pressione di 610 Pa (1 pascal = 1 N/m 2 ) e da una temperatura che viene assunta come K. 4.6 quantità di sostanza Il senso della definizione, che fa riferimento all isotopo 12 del Carbonio, è semplicemente che una mole rappresenta un numero di enti elementari (atomi, molecole, ioni,...) pari al numero di Avogadro. Ricordiamo che tale numero è, approssimativamente dato da N A = intensità luminosa L opportunità di introdurre un unità per l intensità luminosa ha origine dal fatto di voler includere nel sistema di unità anche grandezze fotometriche. Queste ultime intervengono 9

10 quando si voglia rendere conto degli effetti della radiazione luminosa sull occhio umano (medio). L occhio risponde a radiazioni di lunghezza d onda comprese, all incirca, fra 400 e 700 nm. Entro tale intervallo, tuttavia, la risposta non è piatta, per cui una radiazione di fissata potenza fisica viene percepita come più o meno intensa a seconda della sua lunghezza d onda. La sensibilità massima dell occhio è nella regione del verde (intorno a 555 nm), ovvero in corrispondenza alla frequenza di cui parla la definizione di candela. E a tale frequenza che la definizione stabilisce il legame con l unità fisica di potenza. 10