Modelli Input/Output Teoria ed Applicazioni

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1 Corso di LOGISTICA TERRITORIALE DOCENTE prof. ing. Agostino Nuzzolo Modelli Input/Output Teoria ed Applicazioni

2 Introduzione Si deve all economista Wassily Leontief l elaborazione degli schemi contabili e analitici che costituiscono gli elementi della moderna analisi Input-Output. L economia nazionale è immaginata come un insieme di unità produttive. Ciascuna di queste unità realizza un duplice ordine di transazione: da un lato come acquirente dalle altre unità produttive di beni e servizi che impiega successivamente nella propria attività produttiva; dall altro come venditore del suo prodotto. 2

3 Tavola Input/Output Si può schematizzare il tutto con una tavola (matrice) a doppia entrata (m x n) dove: per riga m figurano i reimpieghi produttivi del settore considerato (m) utilizzati per la produzione degli altri settori economici (venditore) per colonna n figurano i beni ed i servizi di ciascun settore m necessari per la produzione del settore considerato (n), Settore1 Settore n acquirente K mn = valore della produzione del settore m necessario per la produzione del settore n Settore 1 Settore m K mn 3

4 Tavola Input/Output Possono essere definite come delle tavole di interdipendenza settoriale e sono una rappresentazione contabile dei flussi di scambio che avvengono: in un determinato sistema economico (es. nazione, regione, etc.); in un determinato arco temporale (es. un anno). L unità elementare di riferimento della tavola è il settore economico (branca produttiva). 4

5 Tavola Input/Output Settori delle attività economiche L Istat rende disponibili le tavole delle risorse e degli impieghi (o tavole I/O oppure supply e use) con una disaggregazione di 60 branche di attività economica (settori economici) e 60 prodotti Classificazione NACE-CLIO Alcuni Istituti di Ricerca Nazionali provvedono, invece, all aggregazione di questi 60 settori economici. Per es. l IRPET per la costruzione delle matrici I/O regionali prevede 30 branche di attività economica (settori economici), risultato di un aggregazione di quelle ISTAT. 5

6 Settori delle attività economiche Denominazione settori (IRPET, 2006) Agricoltura, caccia e silvicoltura Macchine elettriche ed ottiche Pesca, piscicoltura e servizi connessi Mezzi di trasporto Estrazione di minerali energetici Altre industrie manifatturiere Estrazione di minerali non energetici Prod. e distr.di energia, gas e acqua Alimentari, bevande e tabacco Costruzioni Tessili ed abbigliamento Commercio e riparazioni Concia, prodotti in cuoio, pelli, calzature Alberghi e ristoranti Legno e prodotti in legno Trasporti, magazzinaggio e comunicazioni Carta, stampa ed editoria Intermediazione monetaria e finanziaria Raffineria di petrolio Informatica, ricerca, altre attività Prodotti chimici, fibre sintetiche e artificiali Pubblica amministrazione e difesa Articoli in gomma e materiale plastico Istruzione Prodotti lavorazioni minerali non metalliferi Sanità ed altri servizi sociali Fabbricazione di prodotti in metallo Altri servizi pubblici, sociali e personali Macchine ed apparecchi meccanici Attività immobiliari e noleggio Benvenuti Casini,

7 Tavola Input/Output Produzione Lettura della tavola per colonna consente di analizzare, per ciascun settore economico, il processo di acquisizione dei beni/servizi dagli altri settori economici dell area di studio e/o esternamente all area stessa (import). I totali di ogni colonna rappresentano la produzione di ciascun settore economico. Settore1 Settore n Settore m Settore 1 K mn 7

8 Tavola Input/Output Impieghi Lettura della tavola per riga consente di analizzare la produzione dei settori economici dell area di studio secondo il settore di utilizzo (destinazione), ossia come il risultato dell attività produttiva di un settore si ripartisca per gli impieghi intermedi e i consumi finali. I totali di ogni riga rappresentano la domanda (vendite) di ciascun settore economico. Settore 1 Settore1 Settore n Settore m K mn 8

9 Domanda Intermedia vs Domanda finale Impresa1 Impresa 3 Impresa2 Settore m (latte) Domanda finale Domanda intermedia Mercato Impresa ζ 1 Impresa ζ 3 Impresa ζ 2 Domanda finale Settore n (dolci) Esempio: il latte prodotto da alcune imprese (es. imprese 1, 2 e 3) può essere consumato direttamente dalle famiglie (mercato), oppure può essere utilizzato da imprese dolciarie per la produzione di torte (imprese ζ 1, ζ 2, ζ 3 ). 9

10 Tavola Input/Output Settori economici n Output Consumi finali Input Settori economici m K mn Domanda intermedia Domanda finale R Valore aggiunto Imposte indirette nette Produzione effettiva Trasferim. di produzione Importazioni Imposte su importazioni Redditi da lavoro/capitale ed importazioni INPUT = origine di beni e servizi OUTPUT = destinazione dei beni e dei servizi C 10

11 Tavola Input/Output Domanda intermedia Settore1 Output Settori economici Settore n Settore 1 Input Settori economici Settore m K mn K m valore (in ) della domanda intermedia della produzione del settore m necessaria per la produzione del settore n Vettore Domanda Intermedia Totale K 11

12 Tavola Input/Output Domanda finale Componenti Consumi delle famiglie, valore della domanda finale relativa ai consumi privati. Consumi pubblici, valore della domanda finale relativa ai consumi di enti pubblici o collettivi. Investimenti, valore degli investimenti fissi (lordi). Variazione scorte, valore della variazione annuale di scorte (capitale circolante immobilizzato). Esportazioni, valore dei beni espostati al di fuori dell area di studio. 12

13 Tavola Input/Output Domanda finale Cons. Famiglie Cons. Pubblici Output Impieghi finali Investimenti Variazione Scorte Export Input Settori economici Settore m Settore 1 Y m valore (in ) della domanda finale relativa al settore m Vettore Domanda Finale Y 13

14 Tavola Input/Output Redditi da lavoro/capitale ed importazioni Componenti Valore Aggiunto, per i beni fisici, rappresenta il valore direttamente correlato ai redditi da lavoro (ISTAT), mentre per i servizi a questi si dovrà aggiungere un aliquota relativa agli asset intangibili, inclusa nel prezzo di vendita; i prezzi vengono considerati al netto di IVA; è stimato come somma di: salari e gli stipendi lordi; gli oneri sociali; altri redditi; ammortamenti; Imposte Indirette Nette, riguardano le imposte di fabbricazione di alcuni beni (alcolici, zucchero, olii di semi e margarina), le imposte che gravano sul consumo di alcuni beni (metano, energia elettrica, tabacco, ecc.), nonché le imposte di bollo e di registro, esclusa l IVA e le imposte sulle esportazioni dall estero; 14

15 Tavola Input/Output Redditi da lavoro/capitale ed importazioni Componenti Produzione Totale (Effettiva), somma delle componenti di domanda intermedia per settore, del valore aggiunto e delle imposte indirette nette (al netto di IVA non desumibile); Trasferimenti di Produzione, valore che assume segno positivo se il bene/servizio del settore m viene prodotto in un'altra zona ma venduto nella zona considerata, assume invece segno negativo se il bene/servizio è prodotto nella zona considerata ma viene venduto in un altra zona; 15

16 Tavola Input/Output Redditi da lavoro/capitale ed importazioni Componenti Importazioni, valore dei beni importati da altre zone al di fuori dell area di studio; Imposte su importazioni, differenza data dal totale degli introiti (imposte + IVA non desumibile) delle circoscrizioni doganali più l IVA riscossa sulle importazioni desumibile dalle Statistiche della Finanza Pubblica. 16

17 Tavola Input/Output Redditi da lavoro/capitale ed importazioni Output Settori della produzione e dei servizi Settore1 Settore n Input Redditi da lavoro/capitale ed importazioni Valore Aggiunto + Imposte Ind.Nette Produzione Totale (Effettiva) Trasferimenti di Produzione Importazioni Imposte su Importazioni X n J n valore (in ) della produzione totale del settore n valore (in ) delle importazioni del settore n 17

18 Tavola Input/Output Gli impieghi della tavola Input/Output 1. Analisi nel lungo periodo Analisi strutturale, le tavole I/O consentono di osservare: i settori trainanti dell economia; l incidenza del Valore Aggiunto per settore economico; la dipendenza dell import/export per settore economico; l incidenza di ciascun settore sulla produzione di un altro settore 2. Analisi nel breve periodo Analisi di impatto, è possibile stimare gli effetti generati sul sistema da un fattore scatenante (es. investimenti in un settore). 18

19 Tavola Input/Output Ipotesi modellistiche Ipotesi di base: Mercato in concorrenza perfetta (equilibrio economico tra domanda e offerta) Il totale di quanto prodotto od importato nel settore m risulta essere uguale a quanto impiegato internamente (consumato come domanda finale o reimpiegato come domanda intermedia) più quanto esportato al di fuori dell area di studio (Leontief, 1936): X m + J m = Σ n K mn + Y m m Produzione totale Importazioni Domanda intermedia Domanda finale Somma elementi di riga (offerta complessiva) = Somma elementi di colonna (domanda totale) 19

20 Tavola Input/Output Definizioni e notazioni n s numero di settori delle attività economiche (produzione e consumo) K mn valore della domanda intermedia della produzione del settore m necessaria per la produzione del settore n nella zona considerata Y m Y X m valore della domanda finale del settore m nella zona considerata vettore della domanda finale di dimensioni (n s 1) ottenuto ordinando gli elementi Y m per ciascun settore valore della produzione totale del settore m X vettore della produzione totale di dimensioni (n s 1) J m valore delle importazioni del settore m nella zona considerata J vettore delle importazioni di dimensioni (n s 1) 20

21 Tavola Input/Output Ipotesi di tecnologia lineare La quantità di input utilizzata in ogni attività produttiva è proporzionale al volume dell output X n Tra i valori della produzione e della domanda intermedia esiste la seguente relazione: mn a = K X mn n coefficienti tecnici K mn = a mn X n I coefficienti tecnici esprimono il valore del prodotto del settore m (input) necessario per produrre un unità di valore del settore n (output) e dipendono dalle tecnologie produttive disponibili nella zona stessa. Esempio: i coefficienti tecnici indicano il valore del bene latte che deve essere impiegato per produrre una unità di valore di torte (es. 1 ). 21

22 Tavola Input/Output La matrice dei coefficienti tecnici Gli elementi a mn relativi ad una data regione possono essere ordinati in una matrice quadrata A (n s n s ) nota come matrice dei coefficienti tecnici. Regione A Settore1 Settore2 Settore3 Settore a a a Settore2 a a a Settore a a a Nella pratica si assume che i coefficienti tecnici siano costanti. Limiti: non vengono considerate né le economie di scala, né di apprendimento. uova 1U 2U 3U 1L 2L 3L 3 torte 2 torte 1 torta latte 22

23 Tavola Input/Output Modello di Leontief (1936) La produzione (X) e le importazioni (J) sono utilizzati in parte per soddisfare la domanda finale (Y) e in parte per produrre gli input intermedi necessari (AX). X m + J m = Σ n K mn + Y m K mn = a mn X n m m 23

24 Tavola Input/Output Modello di Leontief (1936) In termini vettoriali: X m + J m = Σ n a mn X n + Y m X + J = AX + Y X - AX = Y - J X(I A) = Y - J X = (I - A) -1 (Y J) m Matrice inversa di Leontief Sommando i valori per colonna si ottiene l incremento di produzione determinato da un incremento unitario della domanda finale per il settore economico intestatario della colonna I = matrice identità 24

25 Esempio 1 La Regione Alfa è caratterizzata da una particolare realtà economica in cui non vi sono né importazioni, né esportazioni (sistema chiuso). Ciò implica che tutto ciò che viene prodotto nel sistema viene consumato nel sistema stesso e viceversa. Si supponga inoltre che il sistema economico della Regione sia rappresentabile attraverso 3 soli settori: Agricoltura; Macchinari; Plastica e Latta. La matrice I/O è la seguente. (in migliaia di euro) Agricoltura Macchinari Plastica, latta Cons famiglie Scorte Agricoltura Macchinari Plastica, latta Valore Aggiunto Totale produzione

26 Esempio 1 Analisi strutturale Agricoltura Macchinari Plastica, latta Cons famiglie Scorte Agricoltura Macchinari Plastica, latta Valore Aggiunto Totale produzione Settore trainante dell economia Incidenza del Valore Aggiunto per settore economico Dipendenza dell import/export per settore economico Incidenza di ciascun settore sulla produzione di un altro settore 26

27 Esempio 1 Analisi di impatto X = (I - A) -1 Y Si stimi il vettore della produzione nell ipotesi che, per motivi occupazionali, sia aumentato il numero di famiglie residenti nella Regione e, conseguentemente, sia aumentata la domanda delle famiglie di prodotti agricoli per un valore pari a m. A = 0,08 0,05 0,01 0,01 0,26 0,04 0,00 0,91 0,05 = ( I A) 1 = 1,08 0,09 0,02 0,02 1,43 0,06 0,02 1,36 1,10 Y 7000 = Produzione X = ( I A) 1 Y = 1,08 0,09 0,02 0,02 1,43 0,06 0, , , = Agricoltura Macchinari Plastica, latta 27

28 Esempio 2 La Regione Beta è caratterizzata da una struttura economica analoga a quella della Regione Alfa ma, a differenza di quest ultima, in Beta sono presenti anche importazioni ed esportazioni. La matrice I/O è la seguente. 28

29 Esempio 2 Analisi strutturale Settore trainante dell economia Incidenza del Valore Aggiunto per settore economico Dipendenza dell import/export per settore economico Incidenza di ciascun settore sulla produzione di un altro settore 29

30 Esempio 2 Analisi di impatto X = (I - A) -1 Y Si supponga che, grazie alla stipula di nuovi accordi internazionali, le imprese della Regione Beta debbano incrementare le esportazioni di Macchinari per un valore pari a 200 m. A 0,12 0, 21 0, 00 = 0, 04 0, 21 0,93 0,01 0,03 0,05 1,16 0,32 0,31 I A = 0, 01 0, 05 1,10 1 ( ) 0, 07 1,34 1,31 Y 7000 = J 100 = Produzione 1,16 0,32 0, X = ( I A) ( Y J) = 0,07 1,34 1, = 0,01 0,05 1, Agricoltura Macchinari Plastica, latta 30

31 Modello Input/Output Multi-Regionale La zona j di consumo della produzione intermedia K mn j e del consumo finale Y jm può essere diversa dalla zona i della produzione X im e dell importazione J im. I modelli I/O consentono di simulare lo scambio (in valore) tra settori dell economia e zone dell area di studio (es. regioni di una nazione). Regione 1 Regione 3 Regione N Regione 2 31

32 Modello Input/Output Multi-Regionale Definizioni e notazioni (1/2) Z ij mn valore della domanda intermedia del settore m prodotta nella zona i e necessaria per la produzione del (consumata dal) settore n nella zona j K j mn valore della domanda intermedia della produzione del settore m necessaria per la produzione del settore n nella zona j, con n z n s K j mn = Σ i Z ij mn numero di zone (es. regioni di una nazione) numero di settori dell economia (produzione e consumo) 32

33 Modello Input/Output Multi-Regionale Definizioni e notazioni (2/2) Y j m valore della domanda finale del settore m nella zona j: W ij m Y X i m Y jm = Σ i W ij m valore del settore m prodotto nella zona i necessario per soddisfare la domanda finale nella zona j vettore della domanda finale di dimensioni (n z n s 1) ottenuto ordinando gli elementi Y im per ciascun settore e per ciascuna regione valore della produzione totale del settore m nella zona i X vettore della produzione totale di dimensioni (n z n s 1) J i m valore delle importazioni del settore m nella zona i J vettore delle importazioni di dimensioni (n z n s 1) 33

34 Modello Input/Output Multi-Regionale Modello di Isard (1960) L offerta complessiva (produzione e importazione) del settore m nella zona i è uguale alla domanda totale (intermedia e finale) del settore m prodotta nella zona i, a sua volta data dalla somma della domanda intermedia (in qualunque zona e qualunque settore) e della domanda finale (in qualunque zona): X m i + Jm i = Σ j Σ n Zmn ij + Σ j Wm ij m,i Produzione totale Importazioni Domanda intermedia Domanda finale Somma elementi di riga (offerta complessiva) = Somma elementi di colonna (domanda totale) 34

35 Modello Input/Output Multi-Regionale I coefficienti tecnici della zona j Tra i valori della produzione e della domanda intermedia esiste la seguente relazione: a j mn = K j X mn n j m K j mn = a j mn X j n I coefficienti tecnici di una zona j esprimono il valore del prodotto del settore m (input) necessario per produrre un unità di valore del settore n (output) dipendente dalle tecnologie produttive disponibili nella zona j. A j = matrice dei coefficienti tecnici della zona j 35

36 Modello Input/Output Multi-Regionale La matrice dei coefficienti tecnici A j Regioni diverse possono avere tecnologie di produzione e quindi matrici A j di coefficienti tecnici diverse. Le matrici A j (n s n s ), possono essere disposte in una matrice A diagonale a blocchi di dimensioni (n z n s n z n s ), in cui ogni blocco è relativo ad una zona. REGIONE A REGIONE B REGIONE C settore 1 settore 2 settore 1 settore 2 settore 1 settore 2 Reg. A settore 1 11 a A Settore 2 21 a A 12 a A 22 a A Reg. B Settore a B Settore a B 12 a 0 0 B 22 a 0 0 B Reg. C Settore a C 12 a C Settore a C 22 a C 36

37 Modello Input/Output Multi-Regionale I coefficienti di scambio e commercio Regione1 t 12 mn Regione2 t 1N mn Regione3 t 3N mn RegioneN t ij mn = aliquota di prodotto del settore m acquisito dalla zona i ed utilizzato nel settore n nella zona j, nota come coefficiente di scambio o di commercio inter-regionale. 37

38 Modello Input/Output Multi-Regionale I coefficienti di scambio e commercio Modello di Chenery-Moses (1970) Ipotesi semplificativa: le aliquote di acquisizione del prodotto del settore m della zona i sono indipendenti dal settore n nel quale tale prodotto viene impiegato: t m ij = Z K mn ij mn j Z mn' ij = mn' K j = W Y m ij m j m da cui: Z mn ij = tm ij Kmn j W m ij = tm ij Ym j 38

39 Modello Input/Output Multi-Regionale Matrice dei coefficienti di scambio I coefficienti di scambio possono essere disposti in una matrice T, detta matrice di scambio o di commercio, di dimensioni (n z n s n z n s ). Reg. A REGIONE A REGIONE B REGIONE C settore 1 settore 2 settore 1 settore 2 settore 1 settore 2 sett. 1 1 t 0 1 AA t 0 1 AB t 0 AC =1 sett t 0 2 AA t 0 2 AB t AC Reg. B sett. 1 1 t 0 1 BA t 0 1 BB t 0 BC sett t 0 2 BA t 0 2 BB t BC Reg. C sett. 1 1 t 0 1 CA t 0 1 CB t 0 CC sett t 0 2 CA t 0 2 CB t CC 39

40 Modello Input/Output Multi-Regionale Σ j Σ n Z ij mn = Σ j Σ n t ijm K j mn = Σ j Σ n t ijm a j mn X j n Σ j W ijm = t ijm Y j m m m X m i + Jm i = Σ j Σ n tm ij amn j Xn j + Σ j tm ij Ym j m X + J = TAX + TY 40

41 Modello Input/Output Multi-Regionale Tipologie di modelli (1/2) Coefficienti costanti indipendenza dei coefficienti tecnici a mn j e dei coefficienti di scambio t m ij da alcune variabili significative (economiche e trasportistiche) a mn j e tm ij si ipotizzano noti (per es. uguali a quelli attuali) 41

42 Modello Input/Output Multi-Regionale Tipologie di modelli (2/2) Coefficienti elastici dipendenza dei coefficienti tecnici a j mn e/o dei coefficienti di scambio t ijm da alcune variabili significative (economiche e trasportistiche): livello della produzione prezzo dei prodotti costo generalizzato del trasporto In molte applicazioni, i coefficienti tecnici sono generalmente ritenuti costanti, mentre esistono diversi modelli in cui i coefficienti di scambio sono considerati sia costanti che elastici. 42

43 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti costanti (1/2) Il modello I/O Multi-Regionale a coefficienti costanti, assume che gli elementi delle matrici A e T siano costanti e noti. La soluzione del modello è la seguente: X = (I - TA) -1 (TY J) I = matrice identità di dimensioni (n z n s n z n s ) 43

44 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti costanti (2/2) Modello di Okamoto et alii (2005) Calcolo dei coefficienti di scambio t m ij (E = esportazioni) t m ij X X m j + m m j j = m m J j Ei m m m Xj + J j Ei' i' j J se i = j se i j % di prodotto nel settore m utilizzato nella zona j (ogni uso) prodotto nella stessa regione j % di prodotto nel settore m utilizzato nella zona i (ogni uso) importato dalle regioni j % delle importazioni rispetto al totale entrante nel settore m della zona j % delle esportazioni del settore m della zona i rispetto allo stesso settore nelle altre zone dell area di studio 44

45 Esempio 3 Siano date le matrici I/O delle regioni Alfa, Beta e Gamma nel seguito riportate. Si supponga che il consumo delle famiglie residenti nella regione Alfa di prodotti tessili aumenti di m. Si determini il valore aggiornato della produzione totale delle regioni Alfa, Beta e Gamma. Si assuma che i coefficienti tecnici e quelli di scambio siano costanti. X+J = TAX+TY X = (I-TA) -1 (TY J) 45

46 Esempio 3 (in migliaia di euro) 46

47 Esempio 3 Matrice dei coefficienti tecnici e di scambio A Regione Alfa Agricoltura Tessile Regione Beta Agricoltura Tessile Regione Gamma Agricoltura Tessile Regione Alfa Regione Beta Regione Gamma Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile 0,25 0,002 0,40 0,32 0,34 0,06 0,17 0,12 0,30 0,005 0,08 0,10 T Regione Alfa Agricoltura Tessile Regione Beta Agricoltura Tessile Regione Gamma Agricoltura Tessile Regione Alfa Regione Beta Regione Gamma Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile 0,56 0,20 0,24 0,84 0,02 0,14 0,16 0,74 0,10 0,05 0,58 0,37 0,25 0,15 0,60 0,20 0,25 0,55 47

48 Esempio 3 Regione Alfa Regione Beta Regione Gamma Settore Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile J Y prima TY prima TY prima -J X prima Regione Alfa Regione Beta Regione Gamma Settore Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile Agricoltura Tessile J Y dopo TY dopo TY dopo -J X dopo

49 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti elastici (1/4) In questi modelli i coefficienti di scambio (T) e/o i coefficienti tecnici di produzione (A) dipendono da variabili trasportistiche ed economiche. In particolare, i coefficienti di scambio t ijm sono ottenuti con un modello comportamentale in cui la probabilità di scelta della zona di approvvigionamento è data da: t = p (i/ j) = prob[v +ε > V +ε ] m m m m m m ij i/j i/j i'/ j i'/ j in cui l utilità sistematica V m i/j può essere espressa come: V i/jm = V(X im, q ijm ) Produzione totale Costo medio unitario di acquisizione 49

50 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti elastici (2/4) La matrice di scambio risulta essere funzione del vettore della produzione effettiva X e della matrice dei costi di acquisizione q: T = T (V(X, q)) L espressione formale del modello Input-Output Multi-Regionale a coefficienti di scambio elastici è la seguente: X* + J = T(X*,q) AX* + T(X*,q) Y 50

51 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti elastici (3/4) Le percentuali di acquisizione possono essere simulate con un modello Logit Multinomiale: t ijm = exp(v i/jm )/Σ k exp(v k/jm ) Il costo medio unitario di acquisizione q ijm, nel caso generale, può essere espresso in funzione del prezzo medio unitario dei prodotti m in i, pz im, e del costo medio di trasporto dell unità di prodotto m da i a j, c ijm : q ijm = pz im + c ij m 51

52 Modello Input/Output Multi-Regionale Coefficienti elastici (4/4) Esempio di funzione di utilità sistematica Ipotesi: prezzi pz im = pz m i V ijm = β 1m C ijm + β 2m Reg ij + β 3m ln(x jm ) (Cascetta, 2001) dove C m ij = Logsum dei costi di trasporto, derivanti dal modello di scelta modale; Reg ij = Variabile dummy che vale 1 se i=j, 0 altrimenti; X m j = Produzione totale della regione nel settore m, espresso in mln ; β 1m, β 2m, β 3m = parametri del modello 52