SEMINARIO: LA RICERCA EMPIRICA E LA STATISTICA DESCRITTIVA

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1 SEMINARIO: LA RICERCA EMPIRICA E LA STATISTICA DESCRITTIVA

2 INTRODUZIONE AL CORSO: L UTILITà DELLA PSICOMETRIA Psicodiagnosi Aggiornamento Analisi bibliografica della tesi di laurea Analisi dei dati (tesi, valutazione dell efficacia dell intervento psicologico, ecc.)

3 CONSIGLI PER LO STUDIO Leggere il programma più volte focalizzandosi sulla comprensione e non sulla memorizzazione Creare esercizi in autonomia Autosomministrarli estrapolati dal contesto di spiegazione

4 LA PSICOMETRIA E LE ALTRE DISCIPLINE Metodologia della ricerca Statistica è usata dalle discipline che usano il procedimento scientifico per la verifica delle ipotesi Descrivere - predire - spiegare

5 L INDAGINE EMPIRICA 1. quesito ipotesi di ricerca (affermazione che mette in relazione due variabili: se x allora y) 2. COSTRUTTI TEORICI (VARIABILI LATENTI) OPERAZIONALIZZAZIONE INDICATORI OSSERVABILI (VARIABILI MANIFESTE) (variabile qualsiasi caratteristica che cioè che può assumere valori diversi) 3. MISURAZIONE

6 DEFINIRE LE VARIABILI ESAUSTIVITA : devono essere classificati tutti i casi ESCLUSIVITA : ogni caso deve essere assegnato ad una sola categoria QUALITATIVE: caratterizzate da categorie (nominali e ordinali) QUANTITATIVE: caratterizzata da valori che variano in grandezza (a intervalli e a rapporti) CONTINUE: possono assumere qualsiasi valore in un insieme continuo DISCRETE O DISCONTINUE: prevedono categorie distinte e possono assumere solo valori interi INDIPENDENTE: manipolata dallo sperimentatore o dagli eventi DIPENDENTE: ciò che consegue alla manipolazione D ERRORE/INTERVENIENTI: che producono errori (casuali o sistematici)

7 RELAZIONI TRA VARIABILI E LIVELLI DI INDAGINE EMPIRICA 1) L INDAGINE DESCRITTIVA: dare una rappresentazione 2) L INDAGINE CORRELAZIONALE: si ipotizza una compresenza sistematica, senza alcuna relazione di causa ed effetto 3) L INDAGINE SPERIMENTALE: ha l'obiettivo di spiegare il comportamento y in funzione di una causa x; ipotizza una relazione di causa ed effetto tra x e y 4) L INDAGINE QUASI SPERIMENTALE: i soggetti da assegnare alle diverse condizioni sono selezionati da gruppi già esistenti

8 LA MISURAZIONE Misurare significa costruire un omomorfismo (f) tra un sistema relazionale empirico (E) e un sistema relazionale numerico (N) [la funzione f di omomorfismo rappresenta la regola sistematica che consente l'assegnazione dei numeri (N) a oggetti ed eventi (E)] Si distinguono diversi livelli di misura a seconda delle proprietà che caratterizzano il sistema empirico e il sistema numerico. [In psicologia ci sono quattro livelli di misura: la scala nominale, la scala ordinale, la scala ad intervalli e la scala a rapporti.]

9 SCALA NOMINALE sistema empirico classificatorio: sistema in cui esiste solamente la suddivisione in categorie distinte, esaustive e mutualmente escludentesi (classi di equivalenza). sistema numerico classificatorio ha la sola proprietà di simbolo ragion per cui si potrebbero usare altrettanto bene le lettere dell'alfabeto o altri sistemi simbolici

10 CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA NOMINALE

11 SCALA NOMINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI Ogni funzione numerica che stabilisca una corrispondenza biunivoca tra sistema relazionale empirico e sistema relazionale numerico ESEMPIO: A (colori) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (rosso) = {a, b, c}, C (verde) = {d, e}, D (giallo) = {f, g, h, i}

12 SCALA ORDINALE sistema empirico ordinato : gli elementi componenti godono della stessa caratteristica ma in quantità o grado diverso, ordinabile rispetto a tale grado sistema numerico ordinato : indica la posizione reciproca degli elementi quindi i numeri non implicano alcuna nozione di grandezza ma l assegnazione non è arbitraria come nella scala nominale (graduatoria).

13 LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA ORDINALE

14 SCALA ORDINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI Ogni funzione monotòna crescente ossia qualsiasi modificazione che preservi l ordine tra i membri. ESEMPIO: A (stadi piagettiani) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (sensomotorio) = {a, b, c}, C (preoperatorio) = {d, e}, D (operatorio concreto) = {f, g}, E (operatorio formale) = {h, i, l}

15 SCALA A INTERVALLI sistema empirico delle differenze: è possibile stabilire un'unità di misura sistema numerico delle differenze: l unità di misura indica l'entità delle differenze di intensità della caratteristica parte da uno 0 che non è assoluto, ma arbitrario possiamo fare rapporti tra intervalli, che rimangono costanti, non possiamo fare rapporti diretti tra valori, ovvero dire che un valore e il doppio, metà, un quarto dell altro. ESEMPIO: Agli elementi A, B, C, D, E, sono associati rispettivamente i numeri 4, 6, 12, 14, e 18. Possiamo affermare che la differenza di caratteristica associata ad A e B è uguale a quella associata a C e D, e inoltre che la differenza di intensità di caratteristica tra B e C e tripla di quella tra A e B o tra C e D. NON possiamo però dire che il valore di C è doppio rispetto a quello di B.

16 LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A INTERVALLI

17 SCALA A INTERVALLI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 (coefficiente angolare a maggiore di 0): funzione monotòna crescente e lineare o trasformazione lineare positiva (aggiunta di una costante, moltiplicazione per una costante positiva). ESEMPIO: Si consideri la prestazione in un test di vocabolario composto da 20 parole per ognuna delle quali bisogna scegliere il sinonimo fra 5 alternative. Anche se un soggetto desse 0 risposte corrette, questo non significa che ha una conoscenza del vocabolario pari a 0. Quale unità di misura si sceglie una differenza pari a 1 risposta corretta.

18 SCALA A RAPPORTI sistema empirico additivo: è possibile stabilire un'unità di misura e un elemento di intensità nulla sistema numerico additivo : godrà di tutte le proprietà dei numeri reali il valore 0 è assoluto la regola di trasformazione potrà comprendere anche l'uguaglianza del rapporto diretto tra valori la scala non può assumere valori negativi

19 LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A RAPPORTI

20 SCALA A RAPPORTI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 e b (intercetta) = 0 Sono dette anche similitudini dirette o trasformazioni moltiplicative (moltiplicazione per una costante positiva).

21 IDENTIFICARE IL LIVELLO DI MISURA La conoscenza del tipo di scala su cui sono misurati i dati è importante perché non si arrivi a conclusioni sbagliate Differenza tra livello teorico e uso pratico: le scale Likert

22 RELAZIONI TRA SCALE E QUANTITA DI INFORMAZIONE Ogni scala di livello superiore ha le caratteristiche della scala precedente con l'aggiunta di una propria peculiare caratteristica. È sempre possibile trasformare le misure ottenute su una scala superiore in misure su scale inferiori sopportando una inevitabile perdita di informazione; non è mai possibile compiere l'operazione inversa

23 STATISTICA Una statistica è una qualunque funzione che associa un numero reale, chiamato statistica, a un sistema relazionale numerico. Quindi, dato un sistema numerico, una statistica associa (secondo qualche regola) a ogni insieme di numeri n tratto dal sistema numerico un numero reale.

24 STATISTICA DESCRITTIVA Lo scopo è di descrivere e riassumere i dati attraverso un numero limitato di indici, senza dover elencare tutti i casi che lo costituiscono Popolazioni parametri (lettere dell alfabeto greco) Campioni indici statistici o statistiche (lettere dell alfabeto latino). Distribuzione di frequenza, tabelle di frequenza rappresentazioni grafiche Tre classi di misure riassuntive: indici di tendenza centrale indici di variabilità/dispersione indici di posizione

25 STATISTICA DESCRITTIVA indici di tendenza centrale: statistiche che esprimono la tendenza prevalente o principale che emerge da un campione di dati. i dati non si presentano uniformemente distribuiti in tutte le classi in cui possono cadere, ma hanno la tendenza a comparire con frequenze più elevate al centro della distribuzione. indici di variabilità/dispersione: descrivere quantitativamente la dispersione rispetto al valore di tendenza centrale; indicano quindi se i dati di un campione sono molto diversi o molto simili tra loro. indici di posizione: consentono di individuare la posizione di un punteggio in relazione agli altri presenti nella distribuzione

26 SCALA NOMINALE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA È una funzione, che ad ogni classe di equivalenza di un sistema relazionale (empirico o numerico) associa tramite un operazione di classificazione il numero (detto frequenza) degli elementi che appartengono alla classe stessa L insieme delle frequenze nelle varie classi da origine appunto ad una distribuzione di frequenze. La sommatoria (Σ) di tutte frequenze (f) delle classi (i) è uguale a N k f i i =1 = N

27 SCALA NOMINALE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA ESEMPIO Sistema relazionale numerico A = {1, 7, 4, 2, 1, 4, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 7, 2, 1, 4, 2}. La sua distribuzione di frequenza è rappresentata dalle 4 classi di equivalenza 1, 2, 4, 7 e dal numero di elementi appartenenti a ciascuna di esse La sommatoria di tutte le frequenze delle 4 classi è uguale a 18: k i=1 4 fi = fi = = 18 i=1

28 SCALA NOMINALE TABELLE DI FREQUENZA 1. Tabella semplice o a entrata singola 2. Tabella o tavola di contingenza detta anche tabella a doppia entrata 3. Tabella ad entrata plurima o multipla La scelta dipende dal numero delle variabili

29 SCALA NOMINALE FREQUENZE RELATIVE E PERCENTUALI Per attuare dei confronti tra distribuzioni. Confronto non eseguibile direttamente se il numero delle osservazioni all'interno delle distribuzioni è differente. Proporzione (o frequenza relativa): rapporto tra la frequenza di una classe o categoria (f k ) e il numero totale delle osservazioni compiute (N) Percentuale: proporzione moltiplicata per 100 somma delle proporzioni = 1; somma delle percentuali = 100 non si calcolano le percentuali se la frequenza nelle classi è molto bassa (20) riportare il valore di proporzioni e percentuali assieme al valore assoluto della frequenza calcolabili sui marginali di riga, di colonna o totali fk x100 N fk N

30 SCALA NOMINALE RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Diagramma a barre (semplice, complesso, composto) Grafico a torta (semplice,fetta esplosa, torta esplosa)

31 SCALA NOMINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MODA Mo o Md: classe che compare con frequenza più alta all interno della distribuzione Distribuzioni: unimodale, bimodale, multimodale/plurimodale, amodale. È utile accompagnare la moda con la sua frequenza percentuale ESEMPIO:

32 SCALA NOMINALE INDICE DI DISPERSIONE: NUMERO DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA NdE: statistica che associa ad un insieme di elementi il numero di categorie in cui viene ripartito il sistema Non permette di capire se i dati sono distribuiti in modo uniforme nelle varie classi o se si concentrano quasi tutti in una o in poche classi. Ogni classe di equivalenza deve contenere almeno un elemento; non si contano le categorie vuote ESEMPIO:

33 SCALA NOMINALE INVARIANZE Mo o Md: di riferimento NdE: assoluta ESEMPIO:

34 SCALA ORDINALE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E TABELLE Le classi di equivalenza sono disposte secondo il loro giusto ordine di successione, monotono, crescente ESEMPI:

35 SCALA ORDINALE FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE Proporzione (o frequenza relativa) N fk Percentuale x100 N Frequenze cumulate (f c ) indicano quante frequenze si accumulano fino a una certa misura, comprendendo la misura stessa - La somma delle frequenze deve coincidere con la frequenza cumulata dell'ultima categoria ESEMPIO: fk

36 SCALA ORDINALE FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE Frequenze cumulate relative (f c relative) non sono altro che le frequenze cumulate espresse in proporzione. Si calcolano dividendo la frequenza cumulata per il totale N dei casi osservati fc N Frequenze cumulate percentuali non sono altro che le frequenze cumulate espresse in percentuale (f c %). Si calcolano moltiplicando la frequenza relativa cumulata per 100. fc x100 N

37 SCALA ORDINALE RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma: (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali) l ordine delle barre deve rispettare l ordine implicito nella variabile poligono cumulativo o ogiva (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)

38 SCALA ORDINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI Me o Mdn: è la misura che occupa la posizione centrale in un campione di dati disposti in ordine crescente in base al loro valore. Divide la distribuzione di frequenza a metà in modo tale che il 50% dei casi cadono al di sotto e il 50% al di sopra di esso. Quando n è dispari, rango Mdn = posizione n +1 2 Quando n è pari, posizione n n < rango Mdn < posizione

39 SCALA ORDINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI Quando n è dispari, rango Mdn = posizione ESEMPIO n +1 2 I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 8, 2} con n = 13, I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8} Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8) = 4 Quando n è pari, posizione n 2 < rango Mdn < posizione n 2 +1 ESEMPIO I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12, I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7} Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7) 3<Mdn<4.

40 SCALA ORDINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI Nel caso in cui l insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione mediana della distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate ESEMPI O: n è pari n n 40 La posizione della mediana è tra e +1, cioè tra = 20 e = 21

41 SCALA ORDINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI ESEMPI O: n è dispari Il rango della mediana è n +1 2 = = 25

42 SCALA ORDINALE INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA MEDIANTE fc% Tramite tabella di dati Tramite ogiva

43 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: RANGHI Consentono di: individuare la posizione di un punteggio in relazione agli altri presenti nella distribuzione confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro due diverse distribuzioni confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni Rango R: numero che indica la posizione che quell'osservazione occupa nell'insieme ordinato a cui appartiene Se all'interno di una distribuzione ci siano dei punteggio uguali fra loro il loro rango corrisponde al rango medio dei valori uguali. Il rango è strettamente dipendente del numero delle osservazioni della distribuzione

44 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: RANGHI ESEMPIO I = {27, 12, 14, 19, 13, 17, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 18, 16, 20} con n = 15 I = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27} ESEMPIO I = {27, 12, 12, 19, 13, 22, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 22, 16, 20} con n = 15 I = {11, 12, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 26, 27}

45 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI Sono indici statistici di posizione e vengono individuati relativamente al numero di frequenze che si trovano al di sotto della loro posizione in un insieme di misure disposte in ordine crescente Terzili, quartili, quintili, decili, centili (o percentili) CALCOLO (stesso procedimento usato per la mediana): DATI DISPERSI: disporre i dati in ordine crescente DATI IN CLASSI: calcolare le frequenze cumulate.

46 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI Primo quartile (Q1): rango Secondo quartile (Q2): posizione Terzo quartile (Q3): rango n (n +1) 4 2(n +1) 4 Se n+1 non è multiplo di 4 si considera la misura immediatamente inferiore alla posizione calcolata ovvero si effettua un operazione di troncamento alla parte intera del numero. ESEMPIO con n = 5, n +1 = 1.5 e 3(n +1) 4 4 = 4.5; si considerano le posizioni 1 e 4.

47 ESEMPIO Corso di Laurea: SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI DISPERSI I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12. I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}. Q1. n = 3.25, Q1 = 2 la misura che occupa la 3 4 = posizione nella distribuzione. 4 Q2. 2(n +1) = 2(12 +1) = 6.5, Q2 = 3 la misura che occupa il 6 4 rango nella distribuzione. Q3. = 9.75, Q3 = 5 la misura corrispondente alla posizione 9 all interno dell insieme ordinato. 4 3(n +1) 3(12 +1) = 4 4

48 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI IN CLASSI Come per la Mdn, nel caso in cui l insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione dei quartili nella distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate ESEMPI O Q3. 3(n +1) = il soggetto in posizione 225 cade all interno della = 4 4 classe di equivalenza 6 quindi Q3 = 6.

49 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI MEDIANTE fc% Tramite ogiva

50 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo. Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:

51 SCALA ORDINALE INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI Le procedure di calcolo si differenziano ancora una volta a seconda che i dati siano: 1. dispersi 2. raggruppati in classi - rango medio - frequenza cumulata

52 SCALA ORDIINALE INDICE DI DISPERSIONE: RANGE E DIFFERENZA INTERQUARTILE 1. Range o intervallo interquartile (IQ): all intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1. 2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 Q1 3. Semidifferenza interquartile: SIQ = DIQ 2 = Q3 - Q1 2

53 SCALA ORDINALE INVARIANZE Mo o Md: di riferimento e di confronto Mdn: di riferimento e di confronto NdE: assoluta Quantili: di riferimento e di confronto

54 SCALA A INTERVALLI Importanza delle trasformazioni lineari positive che rendono i dati più agevoli da usare Importante distinguere i casi in cui i dati sono realmente discreti oppure sono continui o sottendono una caratteristica di tipo continuo

55 SCALA A INTERVALLI DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Costruzione degli intervalli di classe (con perdita di informazione) limite tabulato inferiore e limite tabulato superiore limite esatto (o reale) inferiore e limite esatto (o reale) superiore valore centrale; La classe è chiusa a sinistra e aperta a destra Le frequenze relative ad ogni punteggio vanno considerate come uniformemente distribuite all interno dell intervallo Se si raccolgono in intervalli di classi i dati di una variabile discreta (purché misurata su scala a intervalli o a rapporti), la variabile andrà considerata come se fosse continua. E possibile anche costruire intervalli di classe di ampiezze diverse tra loro

56 SCALA A INTERVALLI DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA ESEMPIO

57 SCALA A INTERVALLI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma (con dati raggruppati in classi uguali o di diversa ampiezza) poligoni di frequenza (semplice, cumulata, cumulata percentuale)

58 SCALA A INTERVALLI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Grafici a dispersione o Scatterplot

59 SCALA A INTERVALLI INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI NON RAGGRUPPATI (n pari): media aritmetica dei due valori che occupano la posizione DATI RAGGRUPPATI DISCRETI: Stesso procedimento visto per dati ordinali n n e la posizione DATI RAGGRUPPATI CONTINUI: metodo dell interpolazione lineare Mdn = Limite reale inferiore classe mediana + x A Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale

60 SCALA A INTERVALLI INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale

61 SCALA A INTERVALLI INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA Media del campione o media campionaria: X M = n i= 1 n xi = x1+x2+x3+...+x n Media del campione o media campionaria con dati raggruppati: X M = n i i= 1 f xi n = f 1 x 1 +f 2 n x2+f3x3+...+fnxn n Media della popolazione: µ = n x i i = 1 N

62 SCALA A INTERVALLI INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA 1) È possibile calcolare le media di un gruppo ottenuto dall unione di due gruppi distinti senza ricorrere alle distribuzioni iniziali dei dati. 2) La media è influenzata inoltre dalla grandezza dei dati ossia sfrutta le caratteristiche quantitative dei dati. Come conseguenza la media è molto più influenzata dai valori estremi della distribuzione rispetto alla mediana. 3) La media può essere definita come il centro di gravità (o baricentro) della distribuzione dei dati. Per forza di cose, non può quindi essere inferiore al valore minimo né superiore al valore massimo. 4) Scarto di un dato x i dalla media M o deviazione: x i M Positivo significa che il numero è maggiore del valore medio; negativo significa che il numero è inferiore al valore medio. La somma di tutti gli scarti dalla media è zero ( xi - M) = 0 n =1 i

63 SCALA A INTERVALLI INVARIANZE INDICI DI TENDENZA CENTRALE Mo o Md: di riferimento Mdn: di riferimento M: di riferimento 1) Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per uno stesso numero positivo a, la moda, la mediana e la media vengono anch esse moltiplicate per lo stesso numero 2) Se a tutti i dati di una distribuzione viene aggiunta una costante b, la moda, la mediana e la media vengono tutte aumentate o diminuite di una quantità b a seconda che b sia positivo o negativo.

64 SCALA A INTERVALLI IDICI DI TENDENZA CENTRALE E FORMA DELLA DISTRIBUZIONE

65 SCALA A INTERVALLI INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI La definizione tiene conto dei rapporti di distanza intercorrenti tra i dati e delle caratteristiche di continuità CALCOLO DATI DISPERSI (stesso procedimento usato per la mediana): 1. disporre i dati in ordine crescente Se la cifra ottenuta è un numero intero si procede individuando nella distribuzione il valore relativo alla posizione trovata. Se la cifra ottenuta è un numero decimale si procede individuando nella distribuzione il valori inferiore (val inf ) e il valore superiore (val sup ) alla posizione trovata. Infine si calcolerà il quantile in base alla formula:

66 SCALA A INTERVALLI INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI CALCOLO DATI DISCRETI RAGGRUPPATI (stesso procedimento usato per la scala ordinale) CALCOLO DATI CONTINUI RAGGRUPPATI (stesso procedimento delle mediana) metodo dell interpolazione lineare Quantile = Limite reale inferiore classe del quantile + x A Possibile individuarli mediante ogiva come su scala ordinale

67 SCALA A INTERVALLI INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo. Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile: Con dati raggruppati in classi

68 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE 1. Range o intervallo interquartile (IQ): all intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1. 2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 Q1 3. Semidifferenza interquartile: DIQ Q3 - Q1 SIQ = = Campo di variazione (range, gamma, intervallo di variazione): Range = x massimo x minimo 5. Scostamento semplice medio (SSM) o scarto semplice medio o deviazione media: xi - M SSM= n =1 i n

69 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE 6. Varianza (s 2 o MS nel campione e σ 2 - sigma quadro - nella popolazione) Devianza: ss = n i =1 Formula abbreviata ( 2 xi - M ) s 2 = n i =1 ( xi - M ) n 2 = ss n = s 2 = n i = 1 x n 2 i - M 2

70 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE Varianza con dati raggruppati s 2 = n i= 1 fi ( xi - M) n 2 Formula abbreviata = s 2 = n i i =1 f x n 2 i - M 2

71 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE 7. Deviazione standard o standard deviation o scarto quadratico medio (s o DS o SD nel campione e σ - sigma - nella popolazione) = radice quadrata della varianza. s Formula abbreviata s 2 n i=1 (x i n - 2 M) = s = n i = 1 x n 2 i - M 2

72 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE Deviazione standard con dati raggruppati Formula abbreviata s = n i = 1 fi ( xi - M) n 2 = s = n i =1 fx n 2 i - M 2

73 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE La variabilità di un campione è sempre minore della variabilità della popolazione dalla quale il campione è stato estratto Denominatore formule per il calcolo della varianza e della deviazione standard: - nei campioni = n 1 - nella popolazione = n

74 SCALA A INTERVALLI DEVIAZIONE STANDARD E DISTRIBUZIONE NORMALE

75 SCALA A INTERVALLI INDICI DI DISPERSIONE 8. Coefficiente di variazione (CV) CV = s M Talvolta viene espresso mediante percentuale CV = s M 100 Consente di confrontare : distribuzioni di dati relativi a variabili che hanno unità di misura diverse la variabilità nei punteggi ottenuti su una stessa prova da gruppi diversi di soggetti

76 SCALA A INTERVALLI LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z Le distanze dalla media hanno un significato diverso a seconda della variabilità della distribuzione dei dati Serve una statistica che tiene conto degli scarti dalla media in funzione della variabilità usa la deviazione standard come nuova unità di misura z = x - M s x - μ z = σ Se esprimiamo tutti i valori della distribuzione secondo i punti z otteniamo una distribuzione standard, che è omomorfa a quella originale e ha media 0 e deviazione standard 1

77 SCALA A INTERVALLI LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z Formule inverse: per ricavare il valore di x a partire dal valore di z (media e la deviazione standard del campione o della popolazione devono essere note) x = M s z x = μ σ z

78 SCALA A INTERVALLI LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: ALTRI INDICI Trasformazione lineare dei punti z Nella costruzione di tali scale si parte quindi sempre dai punti z ottenuti dai punteggi originali Punti T. M = 50 e S = 10 T = z Sten (da standard ten). M = 5.5 e S = 2 Sten = z Stanine (da standar nine). M = 5 e S = 2 Stanine = z

79 SCALA A INTERVALLI INVARIANZE: INDICI DI POSIZIONE E DISPERSIONE Ranghi percentili: invarianza assoluta Punti z: invarianza assoluta DIQ: invarianza di confronto Campo di variazione: invarianza di confronto Varianza e deviazione standard: invarianza di confronto Se si aggiunge una costante a tutti i dati di una distribuzione, il campo di variazione, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard rimangono invariati. Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per una costante positiva, la gamma, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard risultano moltiplicati per lo stesso numero positivo.