Distribuzioni campionarie

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1 Distribuzioni campionarie Campioni casuali Perché è necessario effettuare un campionamento? Difficoltànelraccoglieretuttele informazionidi unapopolazione. Costilegatiallaraccoltadelleinformazioni. Informazioni non replicabili. Tempo necessario alla raccolta delle informazioni. Adeguatezza delle tecniche statistiche nell inferenza. Prima fase: definire la popolazione, ossia, l insieme di tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data variabile o ad un dato fenomeno Esempio: Variabile: altezza degli studenti che frequentano l Università in Italia Popolazione target: la popolazione oggetto di studio (ossia gli studenti che frequentano l università in Italia) Popolazione accessibile: la popolazione dalla quale si estrae il campione casuale (non è detto siano accessibili le altezze di tutti gli studenti che frequentano l università in Italia) 1

2 Tecniche di campionamento Non probabilistico Di convenienza -i primi 25 pazienti con una certa diagnosi al reparto di - le prime 100 persone che rispondono al telefono A scelta ragionata -(studi clinici: arruolamento) -si utilizza quando l ampiezza del campione è limitata Per quote -per gruppi (dati censuari o altre fonti) in base a determinate caratteristiche (all interno di ogni gruppo, a scelta ragionata) A valanga -soggetti che tendono ad occultare la loro identità (contattato uno vengono contattati gli altri) I risultati valgono solo per il campione. Seguono l orientamento dello sperimentatore. Errori di rilevazione Esempio: Vogliamo effettuare indagini sulle persone con alimentazione vegana. Non potendo esaminare tutti gli individui della città in esame, decidiamo di esaminare un campione di persone. Per comodità, lo sperimentatore sceglie di svolgerel intervista presso punti vendita che vendono anche alimenti macrobiotici. I risultati dell indagine hanno una validità limitata, poiché danno preferenza a coloro che usano cibi macrobiotici. Esempio: Il rapporto tra massa corporea e pressione arteriosa è influenzato dall età. Se gli intervistati hanno un età media inferiore a quella nazionale, le conclusionitratte non possono essere applicate alla comunità nazionale. Bias o distorsione nella selezione Quando la scelta degli individui che compongono il campione è dettata dal caso, è possibile prevedere e calcolare la differenza tra campione e popolazione. Altri errori: nella definizione della popolazione, nello strumento di rilevazione, nelle mancate risposte, nella codifica o elaborazione dei dati 2

3 Tecniche di campionamento Probabilistico Non probabilistico Si attribuisce ad ogni unità della popolazione una determinata probabilità positiva di essere selezionata. Si utilizzano tecniche per la selezione casuale del campione. Sistematico Partendo dal numero 2 si seleziona l unità con passo 3. Casuale semplice Ogni elemento della popolazione è etichettato da un numero. Si estraggono 5 numeri a caso da 1 a 16, ad esempio 11, 5, 16, 3, 13. Con reimmissione Ogni elemento ha la stessa probabilità di occorrenza di essere estratto Ogni elemento ha probabilità di estrazione pari a Popolazione infinita Fattore di correzione: ~ Senza reimmissione Gli elementi estratti sono tutti diversi. Ad ogni estrazione la probabilità di estrazione viene decrementa di una unità al denominatore. 3

4 Stratificato La popolazione viene suddivisa in strati Per cilindrata 11 3 Da ogni strato viene prelevato un numero kdi elementi con un campionamento casuale semplice. A grappolo A B Si estraggono a caso dei sottogruppi. B C Ad esempio Be C. D C Da ogni sottogruppo si estrae un campionamento semplice Distribuzione della media campionaria E la distribuzione di probabilità associata alle medie campionarie calcolate su campioni casuali. Esempio: Uno studio di associati ha 5 partners. A fine settimana ognuno di loro comunica il numero di ore che sono state fatturate. Si seleziona un campione casuale di taglia 2. Determinare la distribuzione di probabilità del numero di ore lavorate in media per settimana. Labels Partner Ore Rossi 22 Bianchi 26 Neri 30 Esposito 26 Bruno 22 Ad esempio, se sono selezionati Rossied Esposito: = 48 La media è 24 4

5 Partners Totale Media 1, , , , , , , , , , La media della popolazione è: = =25,2 Raggruppiamo le medie così ottenute in tabella Partners Valori Freq.ass. Freq.rel , , , ,2 Totale 10 1 Distribuzione della media campionaria []=22 0,1+24 0,4+26 0,3+28 0,2 Popolazione Ore Rossi 22 Bianchi 26 Neri 30 Esposito 26 Bruno 22 =25,2 La media della popolazione coincide con la media della media campionaria. Un po di terminologia Campione casuale semplice: 22,26) Rossi Esposito Stima puntuale: il valore =24 rappresenta una stima (=approssimazione) 2 puntuale (=numerica) della media della popolazione, che è in genere incognita. Il valore 24 appartiene al rangedi = 22,24,26,28 Cambiando campione casuale, il valore della stima puntuale della media della popolazione cambia. Neri Esposito 30,26) =28 2 Quanto è variabile questa stima puntuale? 5

6 La varianza della popolazione è: = ,2) ,2) ,2) =8,96 Partners Popolazione Ore Rossi 22 Bianchi 26 Neri 30 Esposito 26 Bruno 22 Distribuzione media campionaria Valori Freq.ass. Freq.rel , , , ,2 Totale 10 1 ) = 22 25,2 0, ,2 0, ,2 0, ,2 0,2=3,36 Osserviamo che Quando la quantità = ) 1 1 Si ha =, = ) Quando,si effettua un campionamento da una popolazione infinita che equivale ad una estrazione con reimmissione. Distribuzione della media campionaria Si assuma di effettuare un campionamento di 2 unità statistiche da una popolazione di cardinalità1000. L esperimento consiste nel chiedere alla persona selezionata il numero di mesi trascorsi prima di trovare un acquirente per il proprio garage. Si assuma che il numero di mesi varia da 1 a4 e che abbiano la stessa percentuale di occorrenza nella popolazione. Determinare la distribuzione della media campionaria. Sia Xil numero di mesi necessari. La distribuzione risulta I possibili campioni (con ordinamento) sono: X Prob. 0,25 0,25 0,25 0,25 =0, =2,5 =0,25 [1 2,5) + 2 2,5) +3 2,5) +4 2,5) ]=1,25 Per ogni coppia, valutiamo le frequenze assolute 6

7 La distribuzione di probabilità della media campionaria risulta essere: Per una estrazione senza reimmissionesi ha =2,5 =0,625= 1,25 2 Per questa seconda tabella la distribuzione di probabilità della media campionaria risulta essere: =2,5 =0,41= 1, La deviazione standard della media campionaria si dice anche precisione della media campionaria. Popolazione gaussiana standard = ) Popolazione infinita Estrazione con reimmissione = ) Popolazione finita Estrazione senza reimmissione Al crescere di n, la deviazione standard della media campionaria diminuisce. 7

8 Con quale distribuzione di probabilità? Esempio: Si consideri la seguente v.a. uniforme discreta sui valori 1,2,3 X Prob. 1/3 1/3 1/3 Distribuzione di probabilità Si consideri la sommadi due copie indipendenti di X: X_1+X_ Prob. 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 Somma dei Punteggi Distribuzione di probabilità (X_1+X_2)/2 1 1,5 2 2,5 3 Prob. 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 La forma del grafico non cambia se si considera la media campionaria Media campionaria Si consideri la sommadi tre copie indipendenti di X: X_1+X_2+X_ Prob. 1/27 3/27 6/27 7/27 6/27 3/27 1/27 La forma del grafico non cambia se si considera la media campionaria Distribuzione di probabilità Il profilo comincia a diventare gaussiano. Somma di 1000 copie di X 8

9 Questo è quello che accade lanciando più di un dado: ~ Teorema del limite centrale: Se si considerano ncopie indipendenti di una v.a.,ossia,,, ),la loro somma al crescere di nsi distribuisce secondo una legge gaussiana. Con quale media? = = Con quale varianza? = = Se si considerano le medie (ossia le somme vengono divise per le taglie) il profilo della distribuzione di frequenza ottenuta non cambia così come la media: Cambia invece la varianza, che si riduce essendo normalizzata alla taglia. 9

10 Teorema del limite centrale Come nel caso della somma di v.a., qualsiasi sia la distribuzione della popolazione, quando si costruisce la distribuzione della media campionaria, al crescere della taglia, si ottiene una distribuzione gaussiana Regola empirica: Si assume valida la approssimazione per n> 30 Con quale media? Con quale varianza? Se la popolazione ha media µ allora la media campionaria ha la stessa media: = Se la popolazione ha deviazione standard σ allora la deviazione della media campionaria è pari alla deviazione σdiviso la radice quadrata della taglia : D = Esempi Distribuzione uniforme Distribuzione triangolare Distribuzione a parabola Distribuzione inversa di una gaussiana (dal sito web: Charles Annis, P.E.) 10

11 Esempio: Il tempo di attesa ad uno sportello presso un ufficio postale può essere rappresentato da una variabile aleatoria con media 176 sec e varianza256 sec^2. Qual è la probabilità che la media campionaria calcolata su un campione casuale di 100 clienti sia compresa tra 175 sec e 178 sec? In tal caso non si conosce la distribuzione della popolazione. Essendo la taglia superiore a 30, per il teorema del limite centrale ~ 176, mediante standardizzazione:. = /100 = /100 = 0,063 = /100 =1,25 ossia bisogna calcolare 0,061,25 0,060,13 = 0,8944-0,4761 Esempio: Il contenuto di Coca-Cola in una singola bottiglia può subire piccole variazioni. I dati indicano che il contenuto delle bottiglie segue una legge gaussiana con media 33cc e deviazione standard 1,5cc. Oggi, alle 8am, il responsabile del controllo di qualità ha selezionato 16 bottiglie, trovando una media campionaria di 32,87cc. i) Quanto vale la precisione della media campionaria? ii) Selezionando un nuovo campione di 30 bottiglie, quale risulta essere la probabilità che la media campionaria differisca da quella vera meno di 0,1? i) La precisione della media campionaria è, ii) Si tratta di calcolare 0,1. 0,1 = 0,1 0,1 = 0,1 1,5/ 30 0,1 1,5/ 30 1,5/ 30 = 0,370,37 =0,6443 0,3557 Ricordando che si ha = 0,1 0,1 1,5/ 30 1,5/ 30 11

12 iii) Se si richiede che la media campionaria differisca da quella vera per meno di 0,1 con probabilità 95%, quante bottiglie bisogna selezionare? Si tratta di determinare il valore di ntale che 0,1 =0,95. Come nel caso precedente 0,1 = 0,1 0,1 =0,95 Quando si passa alla standardizzazione, si ha 0,1 1,5/ 0,1 1,5/ 1,5/ =0,95 e quindi bisogna determinare i quantili della gaussiana standard tali che =0,05, =0,025 e, =0,975 0,95 Per determinare la taglia è necessario calcolare 0,1 1,5/ =1,96 0,1 1,96 = 1,5, = 1,96, =1,96 1,96 0,1 = 1,5 =865 =29,4 Variabile aleatoria binomiale =0,5 Una distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione gaussiana. Diretta conseguenza del teorema del limite centrale. 0 1 Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui si è verificata Testa (0 o 1) nel lancio (simulato) di una moneta, N= volte ~1;0,5) Una v.a. binomiale di parametro 1 viene anche detta variabile aleatoria di Bernoulli: X 0 1 P(X=x) q p 12

13 0 1 2 Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui si è verificata Testa lanciando N= volte 2 monete: 0 volte (per due Croci); 1 volta (una Testa e una Croce); 2 volte (due Teste) ~ 2;0,5) = +, ~1;0,5) Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui si è verificata Testa lanciando N= volte 3 monete: 0 volte (per tre Croci); 1 volta (una Testa e due Croci); 2 volte (due Teste e una Croce); 3 volte (tre Teste) ~ 3;0,5) = + +,, ~1;0,5) Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui si verifica Testa lanciando N= volte 5 monete: 5 Croci (somma 0); 4 Croci e 1 Testa (somma 1); 3 Croci e 2 Teste (somma 2); 2 Croci e 3 Teste (somma 3); 1 Croci e 4 Teste (somma 4); 5 Teste (somma 5) ~ 5;0,5)= ,,,, ~1;0,5) Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui si verifica Testa lanciando N= volte 10 monete: 10 Croci (somma 0); 9 Croci e 1 Testa (somma 1); 8 Croci e 2 Teste (somma 2); ; 1 Croce e 9 Teste (somma 9); 0 Croci e 10 Teste (somma 10) ~ 10;0,5)= + + +,,,,, ~1;0,5) 13

14 Distribuzione di frequenza (assoluta) del numero di volte in cui, lanciando N= volte 100 monete, si ottengono 0 Teste, 1 Testa,, 50 Teste. ~ 100;0,5)= + + +,,,,, ~1;0,5) Quando una v.a. binomiale è normalizzata al numero dei lanci si ottiene una media campionaria ~ =. Al crescere di n la varianza diminuisce La distribuzione si concentra attorno al valore medio 14

15 Nel lancio simulato di una moneta al computer Questo risultato è noto come legge dei grandi numeri Al crescere del numero delle prove la frequenza relativa converge alla probabilità di occorrenza dell evento Proporzioni/Frequenze relative Esempio: Alle ultime elezioni politiche, in un certo seggio hanno votato 1000 persone. Si sa che nelle precedenti elezioni, il partito A aveva ricevuto il 51% delle preferenze. Basandosi sul dato precedente, calcolare la probabilità che alle ultime elezioni il partito abbia avuto una percentuale di preferenze tra il 48% e il 53%. Il numero di voti ricevuti dal partito A è una v.a. binomiale 1000;0,51) Il numero di voti ricevuti dal partito A normalizzato a 1000 rappresenta la media campionaria di un campione casuale estratto da una popolazione bernoulliana. Quale? 1000;0,51) 1000 X 0 1 P(X=x) 0,49 0,51 ;,) ~ 0,51;,, Per calcolare è necessario standardizzare, ossia =-1,90 = 0,8980 0,0287 = 86% =1,27 15

16 y 06/05/2015 Il problema inverso Esempio: Alle ultime elezioni politiche, in un certo seggio hanno votato 1000 persone. Si sa che nelle precedenti elezioni, il partito A aveva ricevuto il 51% delle preferenze. Qual è l intervallo in cui la percentuale di preferenze attuali ricadrà presumibilmente con una confidenzadel 95%. 1 =0,95 2 =0, =0,975, =0,025, = 1,96 95%, =0,975, =1, x/1000 Per determinare tale intervallo è necessario 1000;0,51) trasformare Z nella v.a e fare la stessa operazione per i quantili La risposta al quesito si ottiene trasformando i quantili della v.a. gaussiana standard negli estremi, tali che ;,) =0,95. Il problema inverso Esempio: Alle ultime elezioni politiche, in un certo seggio hanno votato 1000 persone. Si sa che nelle precedenti elezioni, il partito A aveva ricevuto il 51% delle preferenze. Qual è l intervallo in cui la percentuale di preferenze attuali ricadrà presumibilmente con una confidenzadel 95%. 0,51 0,51 0, =-1,96 =0,48 0,51 0,51 0, =1,96 =0,54 Con una probabilità del 95%, alle nuove elezioni, il partito A riceverà una percentuale di preferenzetra il 48% e il 54%. 16

17 Esempio: Nell esempio esaminato, si conosce la percentuale di preferenze alle precedenti elezioni. Cosa accade se tale percentuale non è nota? E possibile determinare l intervallo in cui la percentuale di preferenze attuali ricadrà presumibilmente con una confidenza del 95%? Exit Pool: A 100 cittadini all uscita dal seggio elettorale viene chiesto per quale partito hanno votato. Ad esempio, il partito A ha ricevuto il 52,3% delle preferenze. 52,3% rappresenta una stima puntuale del valore p(la percentuale di preferenze effettiva) e può essere usato come valore «storico» per il calcolo dell intervallo, ossia negli estremi calcolati nell esercizio precedente si sostituisce a 0,51 il valore 0,523 0,523 Al posto di 0,49 si inserisce 1-0,523=0,477 =0,425 [42,5%;62,1%] =0,621 L intervallo ; con Intervalli di confidenza per proporzioni si dice intervallo di confidenza al 95% per la percentuale p dell evento etichettabile come successo. Cambiando campione casuale, cambia tale intervallo. Ad esempio per il 51%, l intervallo è[41,2%;60,8%]; per il 52,3% l intervallo risulta [42,5%;61,2%] (n=100). 17

18 Notazioni: = 1,96 1 ) = +, 1 ) =, 1 ) = +1,96 1 ) = +, 1 ) = +, 1 ) Al crescere del livello di confidenza l intervallo si allarga Quale valore viene modificato al crescere del livello di confidenza? Esempio: Qual è l intervallo in cui la percentuale di preferenze attuali ricadrà presumibilmente con una confidenza del 90%? 1 =0, =0,95 2 =0,05, =0,95, =1,64 1,64 1,64 =0,51, 0,51 0,49 =48,4% =53,6% 1000 =0,51+, 0,51 0, Esempio: Qual è l intervallo in cui la percentuale di preferenze attuali ricadrà presumibilmente con una confidenza del 99%? 1 =0, =0,995 2 =0,005, =0,995, =2,57 2,57 2,57 =0,51, 0,51 0, =46,9% =0,51+, 0,51 0, =55,1% 18

19 L'episodio pilota è un singolo episodio di una serie o di un serial televisivo trasmesso prima del primo episodio regolare. Di solito viene prodotto, e trasmesso, per valutare il primo responso del pubblico e per vendere il programma ad una rete televisiva. Spesso viene effettuata una proiezione in anteprima dell'episodio pilota a un pubblico selezionato per analizzarne preventivamente le reazioni e valutare il target commerciale. Quante persone selezionare? Determinare il valore di ntale che la percentuale di gradimento stimata differisca da quella vera per meno di, ad esempio 0,01, con probabilità 95%.,) (frequenza relativa = media campionaria popolazione di Bernoulli) (percentuale di gradimento vera) Sample size: i telefilm Pilota 0,01 =0,95,) 0,01 =0,95,) 1 ) 0,01 1 ) =0,95 0,01 1 ) =, Per quale valore di p? Assegnata una v.a. di Bernoulli, si ha 0,25 =1 ) La funzione assume il suo valore massimo 0,25 in corrispondenza di p=0,5. 0,01 1 ) Il valore risultante è =, 0,01 0,5 1 0,5) =, Supponiamo che il database dal quale possano essere estratti i nominativi delle persone disponibili alla visione del telefilm pilota sia costituito da 2000 unità. E necessario decrementare 9604 secondo un fattore di proporzionalità che tenga conto della popolazione finita. Determinare il valore di tale che dove è la taglia della popolazione (2000) e è il valore determinato con l ausilio dell intervallo di confidenza (9604) Nel caso esaminato, n=1655,3 ossia

20 Popolazione finita Esempio: Un paesino conta 250 famiglie. Sono state campionate 40 famiglie, e di queste 15 leggono con assiduità il giornale locale. Determinare un intervallo di confidenza al 95% per la percentuale di famiglie che legge il giornale locale. La popolazione da cui viene estratto il campione casuale ha numerositàlimitata. Il fattore di correzione viene usato per aggiornare la varianza della popolazione di Bernoulli. ± / ) = =0,375, =1,96 1 ) =0,076 = 0,91 =23,72% =51,27% Se non fosse stato usato il fattore di correzione di continuità, allora =22,49% =52,50% Intervalli di confidenza per la media L intervallo di confidenza è un intervallo di valori plausibili che accompagna la stima puntuale di un parametro. E possibile costruire intervalli di confidenza per la media della popolazione. Come? Popolazione Non Gaussiana Approssimazione gaussiana se n > 30 (TCL) Approssimazione gaussiana se popolazione di Bernoulli Popolazione Gaussiana Distribuzione gaussiana 20

21 Esempio: Il contenuto di Coca-Cola in una singola bottiglia può subire piccole variazioni. I dati indicano che il contenuto delle bottiglie segue una legge gaussiana con media 33cc e deviazione standard 1,5cc. Oggi, alle 8am, il responsabile del controllo di qualità ha selezionato 16 bottiglie, trovando una media campionaria di 32,87cc. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 95% per il contenuto medio delle bottiglie. 32,87cc rappresenta una stima puntuale del contenuto medio delle bottiglie. E possibile determinare un intervallo, tale che il valore del contenuto medio delle bottiglie (teorico) appartiene a tale intervallo con probabilità 95%?,, =0,95 0,95,, =0,95, =, = 1,96, =1,96,, =0,95 32,87 1,5, +, =0,95 32,87 0,735;32,87+0, Statistiche corrette La v.a. ;) = con,,, v.a. indipendenti ed identicamente distribuite, con legge di probabilità, è un esempio di statistica. Il vettore,,, è un esempio di campione casuale : preferenza per il partito A o B :Andrea : ) = preferenza partito di Andrea La v.a. è tale che = ): prima unità statistica :Giuseppe ) = preferenza partito di Giuseppe La v.a. è una copia della v.a.. La v.a. è tale che = ): seconda unità statistica La v.a. è indipendente dalla v.a. poiché la prima si riferisce ad un primo campionamento casuale e la seconda si riferisce ad un secondo campionamento casuale. Lo stimatore ;) = si dice correttoperché ;) =. 21

22 La v.a. = con distribuite, con legge di probabilità è un esempio di statistica.,,, v.a. indipendenti ed identicamente Il vettore,,, è un esempio di campione casuale : altezza studente UNIBAS :Andrea : ) = altezza di Andrea La v.a. è tale che = ): prima unità statistica :Giuseppe ) = altezza di Giuseppe La v.a. è una copia della v.a.. La v.a. è tale che = ): seconda unità statistica La v.a. è indipendente dalla v.a. poiché la prima si riferisce ad un primo campionamento casuale e la seconda si riferisce ad un secondo campionamento casuale. La stimatore si dice correttoperché = μ. = Varianza non nota Parliamone davanti ad un bicchiere di birra In compagnia di A Student of Statistics William S. Gosset( ) Quando non si conosce la varianza della popolazione al suo posto si può usare la varianza campionaria. In tal caso la distribuzione di è descritta dalla variabile aleatoria T-Student. Gradi di libertà Ai percentili della v.a. gaussiana vanno sostituiti quelli della variabile aleatoria T-Student 22

23 Esempio: Il contenuto di Coca-Cola in una singola bottiglia può subire piccole variazioni. I dati indicano che il contenuto delle bottiglie segue una legge gaussiana con media 33cc. Oggi, alle 8am, il responsabile del controllo di qualità ha selezionato 16 bottiglie, trovando una media campionaria di 32,87cc e una deviazione standard campionaria di 1,5 cc. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 95% per il contenuto medio delle bottiglie. 32,87cc rappresenta una stima puntuale del contenuto medio delle bottiglie. 1,5cc rappresenta una stima puntuale della deviazione standard campionaria delle bottiglie. = =~0,1) Al posto di si usa gradi lib=16-1,, =0,95,;,; =0,95 2,13142,1314 =0,95 2,1314 2,1314 =0,95 2,1314 2,1314 =0,95 2, ,1314 =0,95 23

24 2, ,1314 =0,95 Viene sostituito con la media campionaria 32,87cc 32,87 2, ,87+2,1314 =0,95 Viene sostituito con la deviazione campionaria 1,5cc 32,87 2,1314 1,5 32,87+2,13141,5 =0,95 32,87 2,1314 1,5 Viene sostituito con la taglia ,87+2,1314 1,5 16 =0,95 [32,07; 33,06] Con probabilità pari al 95%, il contenuto medio delle bottiglie di coca cola assume un valore compreso tra 32,07cc e 33,06cc. Cambiando campione casuale, l intervallo cambia. Esempio: Il contenuto di Coca-Cola in una singola bottiglia può subire piccole variazioni. I dati indicano che il contenuto delle bottiglie segue una legge gaussiana con media 33cc. Oggi, alle 9am, il responsabile del controllo di qualità ha selezionato 16 bottiglie, trovando una media campionaria di 32,97cc e una deviazione standard campionaria di 1,8 cc. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 95% per il contenuto medio delle bottiglie. 2, ,1314 =0,95 Viene sostituito con la media campionaria 32,97cc 32,97 2, ,97+2,1314 =0,95 Viene sostituito con la deviazione campionaria 1,8cc 32,97 2,1314 1,8 32,97+2,13141,8 =0,95 32,97 2,1314 1,8 Viene sostituito con la taglia ,97+2,1314 1,8 16 =0,95 [32,01; 33,92] L intervallo precedente è [32,07; 33,06] 24

25 Rapporto tra variabili aleatorie La v.a. Snella definizione della T-Student è la varianza campionaria, definita come: E un esempio di statistica. = Se la popolazione è gaussiana, è possibile caratterizzare la legge di probabilità di? Di quale parametro? La statistica è uno stimatore corretto? Osservazione:La v.a. T-Studentè il rapporto tra due v.a.: dove si è posto = ) = = = 1 1 = Qual è la legge di probabilità di? 1 Distribuzione campionaria della varianza Si consideri la v.a. X con distribuzione di probabilità: X f(x) 0,2 0,1 0,3 0,4 Si elenchino i possibili campioni di dimensione 2 e si ricavi la distribuzione di probabilità della varianza campionaria. Coppie =; =) Coppie =; =) (1,1) 1,0 0 0,2 0,2=0,04 (3,1) 2,0 2,0 0,3 0,2=0,06 (1,2) (1,3) (1,4) 1,5 0,5 2,0 2,0 2,5 4,5 0,2 0,1=0,02 0,2 0,3=0,06 0,2 0,4=0,08 (3,2) (3,3) (3,4) 2,5 0,5 3,0 0,0 3,5 0,5 0,3 0,1=0,03 0,3 0,3=0,09 0,3 0,4=0,12 (2,1) (2,2) (2,3) 1,5 0,5 2,0 0 2,5 0,5 0,1 0,2=0,02 0,1 0,1=0,01 0,1 0,3=0,03 (4,1) (4,2) (4,3) 2,5 4,5 3,0 2,0 3,5 0,5 0,4 0,2=0,08 0,4 0,1=0,04 0,4 0,3=0,12 (2,4) 3,0 2,0 0,1 0,4=0,04 (4,4) 4,0 0,0 0,4 0,4=0,16 Ad esempio, il valore di =0,5 corrispondente a (1,2) si ottiene calcolando [1 1,5) + 2 1,5) ]/2 1)=0,5. 25

26 X Media della popolazione =1 0,2+2 0,1+3 0,3+4 0,4=2,9 f(x) 0,2 0,1 0,3 0,4 Varianza della popolazione =1 2,9) 0,2+2 2,9) 0,1+3 2,9) 0,3+4 2,9) 0,4=1,29 0,0 0,5 2,0 4,5 = f(x) 0,30 0,34 0,20 0,16 =0 0,3+0,5 0,34+2 0,2+4,5 0,16=1,29 La v.a. chi-quadrato è somma di quadrati di v.a. gaussiane standard. =1 =2 =3 =5 26

27 La variabile aleatoria dove = ha distribuzione chi-quadrato con gradi di libertà 1. Infatti 1) = Lo stimatore è correttoperché = Esempio: L osservazione della durata (in ore) della batteria per cellulare di una data marca in 24 esemplari di prodotto ha dato luogo ai seguenti risultati: 58,7 64,9 76,9 67,8 41,7 56,7 64,5 69,7 82,1 82,5 40,8 74,9 71,5 75,4 67,3 73,0 70, ,3 90,4 86,8 72,8 71,8 54,5 La media campionaria risulta 70,9. La varianza campionaria risulta 203,45. E possibile determinare un intervallo di confidenza al 95% per la varianza della popolazione? E possibile usare una v.a. chi-quadrato con gradi di libertà =0,95 2 =0, =0,975 =11,68 /2 /2 =38,07 11, ,07 =0,95 24, 203,45 1) 38,07 1) 11, , ,45 38,07 11,68 =0,95 =0,95 27