Lezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia

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1 Facoltà di Ingegneria Lezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia 4. Elementi di Statistica: Frequenza e Probabilità Curva di Gauss e Teoria di Student

2 Indice 1. Frequenza e Probabilità. Parametri Statistici 3. Curva di Gauss 4. Altre Distribuzioni

3 Me spiego: da li conti che se fanno secondo le statistiche d adesso risurta che te tocca un pollo all anno E se nun entra ne le spese tue, t entra ne la statistica lo stesso perché c è un altro che ne magna due Trilussa

4 Eventi aleatori e deterministici Un evento aleatorio può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si possono distinguere variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Le variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo. Il risultato di una misura può intendersi sempre come una variabile aleatoria o più precisamente la somma di un evento deterministico, che vogliamo misurare, e di altri eventi aleatori sovrapposti che abbiamo definito errori di misura. Pertanto, per effettuare una stima corretta, sia della grandezza che vogliamo misurare, sia dell entità degli errori, è necessario applicare correttamente le metodologie statistiche per il trattamento dei dati aleatori (nel caso in cui siamo in grado di effettuare una stima a posteriori ) oppure la teoria della probabilità (nel caso in cui tale stima debba essere effettuata a priori ).

5 Definizione di Unità, Campione e popolazione l unità statistica rappresenta l elemento su cui vengono osservati determinati caratteri qualitativi (colore, ) o quantitativi (volume, massa) la popolazione e l insieme delle unità statistiche di interesse (omogenee rispetto a uno o più caratteri) il campione è un sottoinsieme di unità della popolazione

6 l unità statistica (evento) un autovettura il risultato di un lancio di dadi un errore di misura la popolazione le autovetture circolanti a Roma i lanci effettuati durante un gioco i possibili errori il campione le autovetture parcheggiate in un garage i primi 0 lanci gli errori commessi in una prova ripetuta

7 L indagine statistica può essere: totaleo censuaria (si rilevano i caratteri di tutte le unità della popolazione) campionaria (si rilevano i caratteri di un campione della popolazione e per induzione si ottengono informazioni su tutta la popolazione) L indagine campionaria necessita di un attenta progettazione per: individuare univocamente la popolazione evitare distorsioni sistematiche (indirettamente randomizzando la collezione delle unità o direttamente controllando l esperimento) collezionare un numero significativo di eventi

8 ERRORI CAMPIONARI campionare gli alunni per valutare l altezza media nelle scuola senza avere definito l età degli alunni (chi?), la regione dove si vuole fare l indagine (dove?), il periodo di interesse (quando?) campionare i pezzi prodotti all inizio o al termine della produzione effettuare solo 5 analisi per conoscere il numero medio di glucosio nel sangue degli Italiani ERRORI NON CAMPIONARI effettuare misure su bilance starate per difettto (portano evidentemente ad una stima distorta) campionare confezioni di sale prodotto da una catena (per stimarne il peso medio) in un giorno in cui c è un elevato tasso di umidità

9 Concetti elementari di Statistica Parametri statistici Istogramma di frequenza Tendenza centrale (Media, moda, mediana) X = 1 n x i i= 1, n Dispersione (scarto tipo, varianza, percentili) Frequenza F = k ( xi X ) s = n 1 n eventi favorevoli n eventitotali Trim. 3 Trim. Est Ovest Nord

10 Una misura è sempre una variabile casuale e può essere intesa come somma di un evento deterministico (misurando) e di altri eventi aleatori sovrapposti (errori di misura/correzioni) Per una stima corretta della misura e degli errori è necessario applicare tecniche statistiche per il trattamento dei dati aleatori (stima a posteriori ) e la teoria della probabilità (stima a priori ) Probabilità (stima a priori) se ciascun evento è equiprobabile la probabilità di accadimento risulta pari al numero di eventi favorevoli diviso il numero di eventi possibili la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 (tra 0 e 100%), in particolare risulta pari a zero quando l evento è impossibile; risulta invece pari ad uno (100%) quando l evento è certo - testa/croce probabilità 50% (1/) - dado probabilità 16,7% (1/6)

11 Concetti elementari di probabilità Definizione Classica La probabilità di accadimento di un evento A si ottiene mediante enumerazione (oppure mediante calcolo combinatorio) degli n modi semplici favorevoli rispetto a tutti gli n modi possibili se tutte le modalità sono equiprobabili P( A) = n modi favorevoli n moditotali Calcolo Combinatorio Il calcolo combinatorio permette di determinare, senza enumerazione diretta, il numero degli elementi di un insieme o il numero dei possibili risultati di un dato esperimento. Una regola fondamentale del calcolo combinatorio consente, data una sequenza di due eventi in cui il primo può presentarsi in m modi diversi e il secondo in n modi diversi, di calcolare l insieme dei modi possibili dei due eventi mediante il prodotto m*n Esempio: Un convertitore analogico/ digitale ad 8 bit: Quanti valori diversi può assumere? * * * * * * * = 56 Quale è la probabilità di ottenere il valore ? P(A)=1/56

12 Frequenza (stima a posteriori) la frequenza di un evento è il numero di volte in cui l evento si è manifestato, diviso il numero totale delle prove effettuate la frequenza è quindi diversa dalla probabilità dell evento la differenza tra frequenza e probabilità può essere tanto più grande quanto minore è il numero di prove effettuate se si fa tendere il numero delle prove ad infinito, il valore della frequenza tende a coincidere con quello della probabilità. per funzioni discrete F k mk = P = lim n n m n k per funzioni continue f k 1 mk = p( x) = limδ x 0, n Δx n 1 Δx m n k

13 Concetti elementari di probabilità Definizione Frequentista La probabilità di accadimento di un evento si ottiene ripetendo un esperimento un congruo numero di volte (numero totale di ripetizioni - nt) e contando il numero di volte in cui si verifica l evento (numero di eventi favorevoli - nf) rispetto al numero totale di eventi P ( A) = n eventi favorevoli n eventitotali La legge dei grandi numeri Se un esperimento viene ripetuto molte volte la probabilità stimata tramite la frequenza relativa di un evento tende ad avvicinarsi alla vera probabilità di quell evento

14 Esempio calcolo probabilità: definizione frequentista Durante una serata di giochi il numero 17 è uscito 10 volte su 400 giocate alla roulette. Quale è la probabilità di ottenere il numero 17? P(A)=10/400=1/40

15 Esempio 1 - Probabilità di essere colpiti da un fulmine durante un anno S spazio campionario è costituito da eventi semplici: - A essere colpiti da un fulmine - B non esserlo L approccio classico non si può applicare in quanto i due eventi (fortunatamente) non sono equiprobabili L approccio soggettivo ci porta a scommettere sulla rarità dell evento: P(A) = 1 su 1 milione L approccio frequentista invece ci consente analizzando i casi di italiani stati colpiti da un fulmine nel 001 (80 persone) di scrivere: P(A) = 80 / 58 milioni = 0,

16 Esempio - Probabilità che l errore di misura sia inferiore ad EMP Evento A E<Em Evento B E Em I due eventi non sono equiprobabili e l approccio classico non si applica. possiamo usare l approccio soggettivo (esperienza nelle verifiche effettuate dall ispettore X durante la sua carriera): P(A) = 5 su 100 oppure quello frequentista: nel 003 i, su verifiche periodiche effettuate sugli utenti metrici in Italia P(A) = 5673 / 100 mila = 0,05673

17 Proprietà della probabilità La probabilità di un evento impossibile è zero P( A) = 0 La probabilità di un evento complementare P( Ac) = 1 P( A) La probabilità che accada un evento A oppure un altro evento B (Se A e B sono mutuamente esclusivi) P ( A B) = P( A) + P( B) La probabilità che accada un evento A ed un altro evento B (Se A e B sono indipendenti) P( A B) = P( A) P( B)

18 Esempi: calcolo delle probabilità Esempio 1 Lancio di un dado S={1,,3,4,5,6}; A= {0}; P(A) = Probabilità di fare somma zero P(A) = 0 Esempio Lancio di un dado S={1,,3,4,5,6}; A= {1}; Ac= {,3,4,5,6} P(Ac) = Probabilità di non fare 1 P(Ac) = 1- P(Ac) = 1-1/6 = 5/6 Esempio 3 Lancio di un dado S={1,,3,4,5,6}; A= {,4,6}; P(A) = Probabilità di lanciare un numero pari P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6=3/6 Esempio 4 Lancio di due dadi S={1-1,1-,1-3,,6-6}; A= {6-6}; P(A) = Probabilità di lanciare due 6 P(A) = 1/6 * 1/6 =1/36

19 Media μ / Valore atteso della variabile x, E(x): per una variabile casuale continua μ = + E ( x) = p( x) xdx per una variabile discreta μ = E(x) = N i= 1 (Pi xi ) nel caso di N eventi equiprobabili il valore medio può essere valutato più semplicemente mediante la media aritmetica μ = E( x) = 1 N N x i i= 1

20 La Varianza è il valore atteso E([x-μ] ) della variabile (x-μ) per una variabile casuale continua risulta pari a: σ = E( + [ x μ] ) = p( x)( x μ) dx per una variabile discreta risulta pari a: σ = N [ x μ] ) = ( E( p i x i μ) i= 1 Lo scarto tipo è la radice quadrata della varianza; nel caso di N eventi equiprobabili lo scarto tipo può essere anche valutato mediante la relazione semplificata : σ = 1 N N i= 1 ( x i μ)

21 Una variabile casuale z, può essere la composizione di più variabili casuali z = ax + by se x e y sono non correlate tra loro: E ( x y) = E( x) E( y) σ z = a σ x + b σ y se x e y sono correlate tra loro : E( x y) E( x) E( y) σ = a σ + b σ + abσ z x y x, y dove σ x,y èla covarianza delle due variabili, definita come: σ xy = E [( x μ )( y μ )] variabili aleatorie correlate sono l altezza e il peso di un individuo x y

22 I gradi di libertà di un campione sono pari al numero degli elementi meno il numero dei parametri che sono determinati dal campione e vengono presi in considerazione: ν = n p Ad esempio, nel calcolo della varianza del campione, dovendo introdurre il valor medio stimato (un parametro, p=1), allora il numero di gradi di libertà è pari a ν=n-1 ed ecco il motivo per cui è più corretto scrivere: σ = 1 N N 1 i= 1 ( x i μ)

23 Regole fondamentali per una analisi statistica corretta ed affidabile: numero degli elementi costituenti il campione sufficientemente grande campione collezionato in modo casuale elementi campionati appartenenti alla medesima popolazione Parametri Popolazione Campione Media μ = + p ( x) xdx 1 x = xk n Varianza = + p( x)( x μ) dx 1 s = xk x n 1 σ ( ) Parametri Statistici di una distribuzione

24 Esempio di distribuzione di frequenze di misure

25 quanto più piccolo è Δx, tanto più l istogramma tende alla curva continua

26 Il modello di Gauss funzione di distribuzione della densità di probabilità fu proposta per la prima volta dall'astronomo tedesco Karl Frederick Gauss. La funzione di Gauss (normale) é completamente individuata da: - media (posizione della curva lungo l asse) - scarto (forma della curva) autoriproduzione la risultante della composizione di più variabili aventi distribuzione normale presenta anch'essa una distribuzione normale distribuzione limite data una popolazione di varianza non infinita, le medie di N elementi tratti dalla popolazione tendono ad assumere la distribuzione normale (teorema del limite centrale)

27 la probabilità di un intervallo sotteso ad una barra dell'istogramma sarà con buona approssimazione: P k = p ( x μ ) σ n( x) Δx pn( x) = e σ 1 π distribuzione di probabilità normale o gaussiana. p(x) rappresenta la densità di probabilità. per un intervallo [a,b] finito si può stimare la probabilità: P { a < x < b} = σ ( x μ ) 1 b σ e π a d x

28 La distribuzione di probabilità Gaussiana P ( x μ ) 1 ( ) = e σ p n x σ { a < x < b} = π ( x μ ) b 0.0 e σ d x 0.01 σ π a

29 Università degli Studi di Cassino Nella pratica si rilevano istogrammi asimmetrici e irregolari a causa di: campione troppo piccolo variazione casuale di grandezze d'influenza polarizzazione dell'osservatore, limiti imposti a priori alla variabilità dell'osservazione n l'istogramma tende ad avere per inviluppo la curva continua

30 Istogramma di densità di frequenza con valori di x k equispaziati di x. con n grande (> 5/30) densità di frequenza probabilità Se l insieme di valori discreti è anche una rappresentazione di un continuo di valori, ciascuna frequenza dell'istogramma approssima la probabilità che il valore cada tra x k e x k+1 =x k+x

31 Curva di Gauss Standardizzata

32 La Curva di Gauss le aree sottese alla curva di probabilità rappresentano la probabilità che l evento casuale abbia un valore compreso tra gli estremi d integrazione. la probabilità che l evento sia inferiore ad un assegnato valore x (e quindi al valore corrispondente di z) risulta: 1 Pn ( x) = σ π P ns ( z) = 1 π z x e e z ( x μ ) σ d z d x funzione di probabilità cumulata funzione di probabilità cumulata standardizzata

33 Università degli Studi di Cassino La Curva di Gauss Valori della distribuzione normale standardizzata

34 La Curva di Gauss Distribuzione normale cumulata P ns (z)

35 La Curva di Gauss Funzione Standardizzata (f) e Cumulata (F) tra ed un valore z 0

36 Tabella Funzione gaussiana cumulata z f F z f F 0,0 0, ,500000,1 0, , ,1 0, ,53988,3 0,0837 0, , 0, ,57960,4 0,0395 0, ,3 0, ,617911,5 0, , ,4 0, ,6554,6 0, , ,5 0, ,69146,7 0, , ,6 0,3335 0,75747,8 0, , ,7 0,3154 0,758036,9 0, , ,8 0,8969 0, ,0 0, , ,9 0, , ,1 0, , ,0 0, , , 0, , , 0, , ,3 0, , ,3 0, , ,4 0,0013 0, ,4 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,6 0, , ,6 0, , ,7 0, , ,7 0, , ,8 0,0009 0, ,8 0, , ,9 0, , ,9 0, , ,0 0, ,999968,0 0, ,97750

37 Tabella Funzione errore z P

38 Caso Notevole I: Data una distribuzione gaussiana con media m e scarto tipo s e un intervallo di confidenza determinare la probabiltà di accadimento P(-3 z 3) = F(3) 1 = = 0, = = P(0 z 3) = F(3) = = 0, = = P(3 z ) = 1 - F(3) = =1-0,998650= = P(- z 3) = F(3)= = 0,998650

39 La Curva di Gauss Differenti modalità di tabulazione della curva F(z) standardizzata

40 La Curva di Gauss Esercizio N.1:

41 La Curva di Gauss Esercizio N.:

42 La Curva di Gauss Esercizio N.3:

43 Università degli Studi di Cassino Esercitazione

44 Altre Distribuzioni Misure poco numerose: t di student nel caso non sia possibile effettuare un numero di misure adeguato (n<5) la distribuzione normale non può essere più utilizzata e si ricorre ad altri modelli (t di student). al posto della semplice media e varianza devono utilizzarsi media e varianza campionaria ed in luogo della variabile standardizzata z α/ deve utilizzarsi la variabile t ν,α/, dove n è il numero di gradi di libertà pari al numero delle misure diminuito di 1 (ν=n-1). distribuzione primitiva distribuzione di un generico campione di M dati distribuzione delle medie di campioni di M dati σ x x M = AB A' B' ' 0k ' 0M = σ M 6σ 6σ x 0 x 0 M = per per M M M

45 Altre Distribuzioni n n x = x = X X 0 0 ± zσ ± tσ

46 Altre Distribuzioni L affidabilità della stima della media di un campione può essere pertanto migliorata aumentando il numero di misure n costituenti il campione. La proporzionalità inversa di tipo quadratico rende praticamente inefficace un aumento del numero di misure oltre 0-5 valori.

47 Altre Distribuzioni Distribuzione t di student cumulata P n (t) ν \ t

48 Altre Distribuzioni t di student a diversi intervalli di confidenza Se, ad esempio, P = 0.95 allora z 0.95 =1.96 e quindi l intervallo di confidenza al 95% sarà 1.96u c. Nel caso di 10 soli campioni il valore corrispondente di t diventa,6 in luogo di 1,96

49 Altre Distribuzioni Tipi di Distribuzione: Distribuzione Normale Si ipotizza una distribuzione normale per i possibili valori della grandezza in ingresso x i e si stimano due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b. In realtà per una distribuzione normale non esiste un intervallo contenente il 100% dei valori possibili, ma l intervallo 99,73% li contiene quasi tutti. La miglior stima della grandezza x i e del suo scarto tipo sarà allora: a + b = 1 x a b i u ( xi ) = 9

50 Altre Distribuzioni Distribuzione Rettangolare è la distribuzione più conservativa, ovvero quella che a parità di altre condizioni sovrastima lo scarto tipo, è quella rettangolare. in assenza di informazioni specifiche è ragionevole assumere una distribuzione rettangolare. si ipotizzano per la variabile casuale x i in ingresso due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b, tali che l intervallo tra a e b contiene il 100% dei possibili valori. si suppone inoltre che i valori compresi in questo intervallo siano ugualmente probabili ovvero che la distribuzione della probabilità è uniforme. la miglior stima della grandezza x i e del suo scarto tipo sarà allora: a x i b a + b = 1 x a b i u ( xi ) = 3

51 Altre Distribuzioni Distribuzione Triangolare Ma nel caso sia realistico supporre che i valori prossimi agli estremi siano meno probabili di quelli centrali, è ragionevole ipotizzare una distribuzione normale o, per semplicità, una distribuzione triangolare. Si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore a ed uno superiore b, tali che l intervallo tra a e b contiene il 100% dei possibili valori. Si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano distribuiti secondo una distribuzione triangolare. La miglior stima della grandezza x i e del suo scarto tipo sarà allora: a x i b x i a + b = u 1 a b ( xi ) = 6

52 Distribuzioni Correlate Una variabile casuale z, può derivare dalla composizione di più variabili casuali. Ad esempio: z = ax + Se x e y non sono correlate tra loro si ha:. E( x y) = E( x) E( y) Se, invece, vi è correlazione, si ha: E(x dove sx,y è la covarianza delle due variabili, definita come: by σz = a σx + b σy y) E(x) E(y) σ xy = E σ = + z [( x μ )( y μ )] x y a σ x + b σ y abσ x, y

53 Intervallo e Livello di Confidenza fissata la media (μ) e lo scarto (σ) di una popolazione, si vogliono conoscere gli estremi a e b dell intervallo centrato su μ e che comprenda un livello di probabilità fissato (1-α): il livello di probabilità è detto livello di confidenza l intervallo [a,b] è detto intervallo di confidenza l intervallo di confidenza statistico ±1σ (k=1) corrisponde un livello di confidenza 68.7 % ±σ (k=) il livello di confidenza è pari al 95.45% ±3σ (k=3) il livello di confidenza è pari al 99.73%