ESERCITAZIONE LABORATORIO DI MATEMATICA CLASSE IV SEZ.A MERCURIO FUNZIONI GONIOMETRICHE IN AMBIENTE DERIVE

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1 ESERCITAZIONE LABORATORIO DI MATEMATICA CLASSE IV SEZ.A MERCURIO FUNZIONI GONIOMETRICHE IN AMBIENTE DERIVE 1. IL SUONO E LA GONIOMETRIA 1.1 La natura del suono Generalmente, nel linguaggio comune, quando si parla di suono si intende la sensazione psicologica legata all'ascolto. Per descrivere un suono, in effetti, spesso usiamo aggettivi, come ad esempio gradevole oppure fastidioso, che sono legati alla sfera delle nostre emozioni. Ma come possiamo definire in modo più esatto e oggettivo un suono? Per rispondere a questa domanda ci conviene partire dalle origini e quindi, per prima cosa, cercare di capire da dove nasce un suono. Se facciamo un piccolo esperimento e pizzichiamo la corda di una chitarra ci accorgiamo che, in questo caso, il suono è prodotto e nasce proprio dalla vibrazione della corda. Figura 1 - vibrazione di una corda pizzicata Per essere più precisi possiamo dire che per vibrazione si intende un movimento oscillatorio di un corpo attorno alla sua posizione di equilibrio come quello mostrato dalla figura precedente. La cosa interessante è che qualsiasi tipo di suono, non solo quello di una corda di chitarra, è prodotto proprio da un fenomeno di questo tipo in cui c'è un corpo, chiamato sorgente del suono, che vibra. Ma come riesce questa vibrazione ad arrivare fino al nostro orecchio per essere percepita? Quello che accade è che, quando un corpo vibra, la sua vibrazione si propaga nell'ambiente circostante sotto forma di un onda di pressione, ed è proprio quest'onda che viene chiamata suono. Per visualizzare questo fenomeno possiamo pensare all'onda che si genera sulla superficie dell'acqua quando agitiamo una mano nel liquido: più la vibrazione della mano è ampia e più sarà alta l'onda che si propaga nell'acqua. Allo stesso modo più è ampia l'oscillazione della corda e più sarà forte il suono che ascolteremo. Figura 2 - onda di pressione generata nell'aria dalla corda Da quello che abbiamo appena detto ne deriva che noi possiamo ascoltare un suono solo se esiste un mezzo attraverso il quale la vibrazione del corpo si può propagare e generalmente questo mezzo di propagazione è proprio l'aria che ci circonda. In realtà, però, il suono si propaga in qualsiasi tipo di mezzo, solido liquido o gassoso anche se con velocità diverse, come possiamo vedere nella tabella

2 che segue, da dove si deduce che la velocità del suono cresce con la densità del mezzo in cui si propaga. MEZZO VELOCITÀ (metri al secondo) Aria 331 Acqua 1450 Piombo 1230 Ferro 5130 Granito 6000 Tabella 1 - la velocità del suono in alcuni materiali Anche l'attenuazione che subisce il suono - ovvero la diminuzione del suo volume mentre viaggia - dipende dalla densità del mezzo di propagazione e infatti per esempio, nell'acqua un suono si può percepire ad una distanza molto maggiore che nell'aria. 1.2 Le caratteristiche di un suono Se andate a guardare su un qualsiasi libro di musica vedrete che il suono si definisce usando tre proprietà: altezza, intensità e timbro. Ma cosa rappresentano questi nomi? Per capire come si collegano queste grandezze al suono ci conviene osservare la forma dell'onda di pressione che nasce da un corpo che oscilla e si propaga nel mezzo circostante. Possiamo rappresentare quest'onda su di un grafico come quello che segue. Figura 3 - grafico di un onda sonora Se osservate la figura vi accorgete che un onda sonora è caratterizzata dal fatto che una stessa forma si ripete periodicamente. L'altezza di un suono, chiamata più comunemente frequenza, è proprio l'inverso del tempo che dura ogni ripetizione, che, a sua volta, viene chiamato il periodo dell'onda. L'onda sonora in figura, per esempio, ha un periodo che dura 1/100 di secondo e quindi una frequenza pari a 100 oscillazioni al secondo. L'unità di misura della frequenza si chiama Hertz, o in breve Hz, e quindi questa frequenza vale 100 Hz. Ma come possiamo sentire la frequenza di un suono? Niente di più facile! Più un suono è acuto e più la sua frequenza cresce. Per dare un po' di numeri considerate che una frequenza minore di 200 Hz è un suono basso mentre una frequenza maggiore di 800 Hz è un suono acuto. Passiamo ora alla seconda proprietà di un suono, l'intensità. Come potete immaginare con questo nome si intende l'ampiezza di un suono, il suo volume. Ma come si misura questa volume? Così come per la frequenza esiste un'unità di misura ad hoc, gli Hertz, anche in questo caso per misurare l'ampiezza di un suono si usa un unità particolare chiamata Decibel, e quando usiamo questa unità facciamo riferimento proprio alla sensibilità dell'udito: un suono appena percepibile infatti ha un ampiezza di 0 decibel - abbreviato in Db - mentre un suono spacca timpani ha un ampiezza di 120 Db. Ma diamo qualche altro esempio tra questi due estremi:

3 Decibel Condizione ambientale 140 Soglia del dolore 120 Clacson potente, a un metro 100 Interno della metropolitana 80 Strada a circolazione media 70 Conversazione normale, a un metro 60 Ufficio commerciale 40 Biblioteca 20 Studio di radiodiffusione 0 Soglia di udibilità Tabella 2 - Ampiezza sonora (Decibel) L'ultima, e più complessa, caratteristica di un suono è chiamata timbro. Possiamo dire che il timbro rappresenta la carta di identità del suono. Per convincersene facciamo suonare, per esempio, ad un violino e a un pianoforte la stessa nota alla stessa ampiezza. Questi due suoni quindi avranno la stessa altezza, la stessa intensità ma un timbro, e quindi un identità, differente. Figura 4 - Grafico dell'onda di pressione generata da un piano e da un violino Come vedete la forma dell'onda è molto diversa nei due casi e si sarebbe tentati di affermare che è proprio lei la responsabile del timbro. Ma purtroppo questo non è del tutto esatto. In effetti ci possono essere delle forme d'onda che appaiono differenti ma hanno lo stesso suono. A prima vista potrebbe sembrare di essere arrivati in un vicolo cieco, ma in realtà una via di uscita esiste e la scoprì nel 1701 il francese Sauveur. Questo scienziato, studiando le vibrazioni di una corda, intuì che qualsiasi suono in realtà è formato da una somma di onde elementari chiamate sinusoidi o armoniche. E questa scoperta venne formalizzata, verso la fine del '700, dal matematico J. B. Fourier che ne ricavò un celebre teorema che porta il suo nome. Usando questo teorema si vede che il timbro di un suono in effetti dipende dalla quantità e dall'ampiezza delle sinusoidi che contiene così come il sapore di una pietanza dipende dagli ingredienti che usiamo per prepararla. Quindi, così come possiamo descrivere una pietanza attraverso la lista dei suoi ingredienti, allo stesso modo possiamo caratterizzare un suono specificando le sinusoidi che lo formano. Questa lista degli ingredienti di un suono ovvero delle sinusoidi che lo compongono, si chiama spettro. Ma come si legge lo spettro di un suono? Se osservate la figura seguente, che rappresenta uno spettro, potete osservare che sull'asse orizzontale sono rappresentate, in ordine crescente, le frequenze delle armoniche che compongono il suono, mentre, l'ampiezza di ognuna di queste armoniche è rappresentata dall'altezza della riga che la rappresenta.

4 Figura 5 - Lo spettro Figura 6 Nella figura 6 sono riportati i profili d onda dei suoni generati da diversi strumenti che stanno emettendo la medesima nota ( si osservi come la frequenza fondamentale delle vibrazioni sia identica)

5 Fig. 7 La figura mostra la somma di tre armoniche (sin(x), sin(3x)/3, sin(5x)/5) Una nota storica. Durante i molti anni trascorsi dall età di Pitagora ( VI sec. A.C.) all Ottocento, matematici e musicisti, greci, romani, arabi ed europei, cercarono di comprendere la natura dei suoni musicali ed estendere la relazione tra matematica e musica. Si attribuisce a Pitagora l invenzione della scala musicale. Tutti possono verificare con una chitarra che, se si riduce la lunghezza di una corda conservandone la tensione, il suono diventa più acuto del suono iniziale; Pitagora avrebbe supposto a priori che riducendo la lunghezza di una corda vibrante secondo certi rapporti semplici, armoniosi, si suoni così prodotti, che in una scala immaginaria seguono o precedono il suono iniziale, non potrebbero che produrre un concatenamento felice, nel senso di consonante. Immaginiamo di partire da un suono corrispondente ad un mi qualunque; la metà della corda dà un suono con una frequenza doppia, il suono ottenuto è il mi successivo della tastiera del pianoforte ( ottava rispetto al suono iniziale). Se la corda viene ridotta di 2/3, il suono ottenuto è la quinta ( rapporto 2/3, nota di frequenza una volta e mezzo quella iniziale, è il si che lo segue); ridotta ai 3 /4 il suono è la quarta ( rapporto 3 /4, frequenza una volta e un terzo di quella del mi iniziale, è il la che lo segue) Con un monocordo, strumento musicale antico, con una sola corda, diviso in dodici, era dunque possibile ottenere tutti questi suoni considerati estremamente armoniosi, in quanto i rapporti che permettevano di ottenerli erano belli in se stessi. Inoltre questi rapporti erano ottenuti a partire dai numeri 1,2,3,4, la cui somma era uguale a 10 e 10 era il numero ritenuto dai pitagorici perfetto. E a partire da Pitagora che la musica fa il suo ingresso nella matematica; il culmine della lunga serie di studi, da un punto di vista matematico, fu segnata dall opera di Fourier ( ), il quale dimostrò che tutti i suoni, vocali e strumentali, semplici o complessi, sono descrivibili

6 completamente in termini matematici. A causa dell opera di Fourier, neppure la bellezza elusiva della musica si sottrae alla sottomissione ad una formulazione matematica. Fourier giunse alla conclusione che un onda periodica può essere descritta nel seguente modo y t) = A + A sin ω t + A sin 2ω t + A sin3ω t B cosω t + B cos2ω t + B cos3ω t... ( Pitagora si accontentò di pizzicare la corda del suo monocordo, Fourier suonò l intera orchestra (M.Oleine La matematica nella cultura occidentale - Feltrinelli 1976) 5. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E LE TRASFORMAZIONI AFFINI 5.1 Sullo stessa finestra traccia il grafico delle funzioni: y=sin(x) y = 0.5sin( x) y = 2sin( x) y = 2sin( x) Dal grafico noti che il coefficiente 0.5 determina: un aumento o dilatazione verticale dell AMPIEZZA una diminuzione o contrazione verticale dell AMPIEZZA il grafico si è ribaltato rispetto all asse.. Dal grafico noti che il coefficiente 2 determina: un aumento o dilatazione verticale dell AMPIEZZA una diminuzione o contrazione verticale dell AMPIEZZA Dal grafico noti che il coefficiente -2 determina: un aumento o dilatazione verticale dell AMPIEZZA una diminuzione o contrazione verticale dell AMPIEZZA

7 CONCLUSIONE: LA TRASFORMAZIONE AFFINE y = af (x) con a>0 è tale che: a > 1 l'ampiezza aumenta 0 < a < 1l'ampiezza non muta 1l'ampiezza diminuisce 0 l'ampiezza si annulla LA TRASFORMAZIONE AFFINE y = af (x) con a<0 è tale che: il grafico si ribalta rispetto all asse delle y. 1 < a < 0 l'ampiezza diminuisce a < 1-1 l'ampiezza non muta l'ampiezza aumenta 5.2. Sullo stessa finestra traccia il grafico delle funzioni y = sin(x) y = sin(0.5x) y = sin(2x) y = sin( 2x) Dal grafico noti che il coefficiente 0.5 determina: un aumento o contrazione orizzontale della FREQUENZA una diminuzione o dilatazione orizzontale della FREQUENZA Dal grafico noti che il coefficiente 2 determina: un aumento o contrazione orizzontale della FREQUENZA una diminuzione o dilatazione orizzontale della FREQUENZA Dal grafico noti che il coefficiente -2 determina: un aumento o contrazione orizzontale della FREQUENZA una diminuzione o dilatazione orizzontale della FREQUENZA

8 CONCLUSIONE: LA TRASFORMAZIONE AFFINE y = f (ax) con a>0 è tale che: a > 1 la frequenza aumenta 0 < a < 1la frequenza non muta 1la frequenza diminuisce 0 la frequenza si annulla LA TRASFORMAZIONE AFFINE y = f (ax) con a<0 è tale che: il grafico si ribalta rispetto all asse y 1 < a < 0 la frequenza diminuisce a < 1 la frequenza non muta -1 la frequenza aumenta Traccia il grafico della funzioni y = sin(3x) subiscono modifiche: 3 l ampiezza? la frequenza? Traccia il grafico della funzioni y = sin x + sin(3x) + sin(5x) cosa osservi? 3 5