STATISTICA A D (72 ore) Verifica d ipotesi. H 0 e H 1 16/04/2013. Marco Riani, Univ. di Parma 1. Formalizzazione di un test
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1 STATISTICA A D (72 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Verifica d ipotesi Formalizzazione di un test = parametro ignoto dell universo (ad es.:, ) (=probabilità di rispondere rettamente ai quiz) T = indice campionario (ad es: P) statistica test (è variabile aleatoria) (X=numero risposte rette nel test) H 0 = ipotesi nulla ipotesi da sottoporre a verifica H 0 : = 0 ( =0.25) 0 = valore fissato a priori in base al problema (non dipende dai dati) H 0 e H 1 H 1 = ipotesi alternativa ipotesi che contraddice H 0 H 1 : 0 alternativa bilaterale H 1 : > 0 alternativa unilaterale destra H 1 : < 0 alternativa unilaterale sinistra La scelta di H 1 è di tipo logico e non dipende dai dati Distribuzione campionaria di T suddivisa in 2 zone: zona di rifiuto di H 0 ( regione critica ) = insieme di valori di T a cui è associata una piccola probabilità di verificarsi se H 0 è vera; zona di accettazione di H 0 = comprende i restanti valori di T. In pratica si osserva lo specifico valore T = t Se: t cade nella zona di rifiuto si ritiene H 0 falsa (e H 1 vera) t cade nella zona di accettazione non si può ritenere H 0 falsa ( accetto H 0 ) Marco Riani, Univ. di Parma 1
2 Conclusioni (p. 89) Approccio diretto Realtà Accetto H 0 Rifiuto H 0 H 0 è vera Decisione retta Errore di prima specie H 0 è falsa Errore di seconda specie Decisione retta Livello di significatività () = probabilità di commettere un errore di prima specie Interpretazione: principio del campionamento ripetuto si fissa sufficientemente piccolo (ad es: = 0,05; = ) si definiscono le rispondenti zone di rifiuto e di accettazione tramite la distribuzione campionaria della v.a. T si prende una decisione in base al valore osservato nel campione T = t Approccio inverso Livello di significatività osservato (P-value) = probabilità che la v.a. T assuma valori più estremi di quello osservato nel campione (t obs ) quando H 0 è vera. f(t) P - value H 1 unilaterale destra H 1 : > 0 P-value = P{T t obs, dato che = 0 }. P-value Pr(T>t obs ) t obs P - value H 1 unilaterale sinistra H 1 : < 0 P-value = P{T t obs, dato che = 0 }. P - value H 1 bilaterale: H 1 : 0 P-value = P{T t obs, dato che = 0 } + P{T t obs, dato che = 0 } f(t) Pr(T<t obs ) Pr(T<- t obs ) Pr(T> t obs ) t obs - t obs + t obs Marco Riani, Univ. di Parma 2
3 Significato P-value: evidenza campionaria contro H 0 se il P-value è piccolo rifiuto H 0 V. Pag. 92 H 0 : = 0 TEST SULLA MEDIA (grandi campioni) ( 0 = valore prefissato, in es. confezioni 0 =200 g) Consideriamo come statistica-test la media campionaria che, sotto H 0, gode delle seguenti proprietà: 2 X 0 E( X ) 0 VAR( X ) Z( X ) ~ N(0,1) n n Quindi la media campionaria standardizata secondo H 0 è distribuita secondo N(0,1). Rifiutiamo H 0 quando osserviamo medie campionarie lontane da 0 medie campionarie standardizzate lontane da 0 sulle code della distribuzione legate a probabilità basse. Ad esempio: H 1 : 0 Calcolo sui dati di: 2 x s Scostamento standardizzato: x 0 z( x) s n s s( X ) n α/2 1 - α α/2 α/2 1 - α α/2 Se Accetto H0 -z(α/2) 0 +z(α/2) Rifuto accettazione Rifiuto -z(α/2) 0 +z(α/2) Rifuto accettazione Rifiuto Se Rifiuto H0 2 approcci H 1 : 0 APPROCCIO DIRETTO: si fissa α (livello di significatività) APPROCCIO INVERSO: si fornisce il p value Esempio 1: macchina riempitrice tarata su 200 g H 0 : = 200 H 1 : 200 Campione=100 confezioni x 199g x 0 z( x) s n s 8g s( X ) 0, 8g z( x) 1,25 0,8 Marco Riani, Univ. di Parma 3
4 Approccio diretto Approccio inverso: P-value si fissa = 0,05 z(0,025) = 1,96 0,025 0,025-1, ,96-1, z( x) 1,25 0,8-1,25 non è un valore estremo cade infatti nella zona di accettazione il campione non dà evidenza per rifiutare H 0 e non possiamo dire che il processo è fuori controllo -1, ,25 Pvalue alto (molto maggiore di 5% o 1%) differenza tra media campionaria =199g e 0 = 200g non è significativa il processo di produzione è sotto controllo Esempio 2: valutazione orario flessibile H 0 : = 6,3 giorni H 1 : < 6,3 si riduce l assenteismo Campione =100 dipendenti: x = 5,5 giorni, s = 2,5 s(x ) = 0,25 Approccio diretto si fissa = 0,05 -z(0,05) = -1,64 5,5 6,3 z( x) 3,2 0,25 H 1 : < 6,3 0,05-3,2-1,64 0 z( x) x s 0 n 5,5 6,3 z( x) 3,2 0,25-3,2 è un valore estremo cade infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo H 0 e concludiamo che con l orario flessibile l assenteismo si riduce Approccio inverso Calcolo del P-value H 1 : < 6,3 P-value = P{Z( X ) -3,2} = F(-3,2) = 0,00069 valore molto basso (molto minore dell 1%) differenza tra X =5,5 giorni e 0 = 6,3 giorni è significativa l orario flessibile porta a una riduzione dell assenteismo TEST SULLA MEDIA piccoli campioni -3,2-1,64 0 Marco Riani, Univ. di Parma 4
5 TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni) Assunzione: distribuzione Normale dell universo H 0 : = 0 ( 0 = valore prefissato, in es confezioni 0 = 200g) Consideriamo come statistica-test la media campionaria che, sotto H 0, gode delle seguenti proprieta : E( X ) X Z( X ) 0 s 2 n / 0, VAR( X ), oppure n X 0 Z( X ) / n ~ t(n 1) ~ N(0,1) TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni) Valutare assunzione che il fenomeno considerato presenti nell universo distribuzione Normale. Se σ 2 è noto la media campionaria standardizzata secondo H 0 è Normale. Se invece σ non è noto e lo si stima con s, la media campionaria standardizzata si distribuisce secondo t(n- 1). Le zone di rifiuto e di accettazione devono quindi essere definite con riferimento alla v.a. t(n 1) (NON z) calcolo t(): F[-t(/2)] = /2 Rifiutiamo H 0 quando osserviamo medie campionarie lontane da 0 medie campionarie standardizzate lontane da 0 sulle code della distribuzione legate a probabilità basse. Esempio 1: macchina riempitrice tarata su 200 g H 0 : = 200 (valore standard) H 1 : 200 (valore fuori controllo) Campione=12 confezioni x =207,75g, s = 11,14g, s(x ) =3,22 X Z( X ) 0 s / n z( x) 2, Distribuzione normale dei pesi assunzione ragionevole Approccio diretto = 0,05 t 0,025 (11)= 2,201 oppure = t 0,005 (11) = 3,106-3,106-2, ,201 +3,106 Nel campione: 207, z( x) 2,41 3,22 Se si vuole test con = 0,05 z(x) = 2,41 è un valore estremo cade infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo H 0 e concludiamo che il processo è fuori controllo; Se si vuole test con = z(x) = 2,41 NON è un valore estremo cade infatti nella zona di accettazione non possiamo rifiutare H 0 e NON possiamo concludere che il processo è fuori controllo. Approccio inverso: P-value P-value = P{ Z (X ) +2,41} + P{ Z(X ) 2,41} = 2P{ Z(X ) +2,41} Dalle tavole della t con 11 gradi di liberta : 0,02 < P-value < 0,05 Discreta (ma non fortissima) evidenza contro H 0 decisione incerta Marco Riani, Univ. di Parma 5
6 Il contenuto di nicotina di una certa marca di sigarette è 0,25 milligrammi con una deviazione standard di 5. Un associazione di consumatori sostiene che il contenuto di nicotina dichiarato è al di sotto di quello effettivo. Si effettui il test opportuno sapendo che in un campione casuale di 20 sigarette si è osservata una media campionaria pari a 0,264 milligrammi. Si ponga α= Si calcoli il relativo p-value x 0,264 Soluzione H 0 : = 0,25 milligrammi H 1 : > 0,25 contenuto superiore a quello dichiarato σ=5 noto a priori n=20 Ip. di distribuzione normale X 0 Z( X ) ~ N(0,1) / n 0,264 0,25 4,17 5/ 20 H 1 : > 0,25 α= F(2,33)=0,99 Densità della v.c. normale standardizzata Calcolo del p-value P-value = P{ >4,17} = 1-F(4,17) = 0,00002 valore molto basso (molto minore dell 1%) Zona di accettazione 2,33 Zona di rifiuto 0,264 0,25 4,17 t obs = = 4,17 cade nella 5/ 20 zona di rifiuto P-value = P{ >4,17} Da una sperimentazione geologica vengono estratte 10 piccole porzioni di roccia che vengono successivamente sottoposte ad analisi per verificare il contenuto percentuale di cadmio. Si osserva una percentuale media di 17,4 di cadmio con s =4,2. L estrazione del minerale è economicamente conveniente se il contenuto medio percentuale di cadmio è maggiore di 15. (continua) Si definiscano l ipotesi nulla e l ipotesi alternativa Si stabilisca se le osservazioni campionarie supportano la convenienza economica dello sfruttamento del giacimento (si utilizzi α=) Si calcoli e si commenti il p-value del test Marco Riani, Univ. di Parma 6
7 Soluzione H 0 : 0 = 15 (percentuale di cadmio) H 1 : 0 > 15 casi in cui è conveniente estrarre il minerale x 17,4 s =4,2 n=10 Ip. di distribuzione normale X 0 Z( X ) ~ t(9) s / n 17, ,4 15 1,807 4,2 / 10 1,3282 H 1 : > 15 α= F t(9) (2,821)=0,99 Zona di accettazione 2,821 Zona di rifiuto 17,4 15 1,807 4,2 / 10 Densità della v.c. T di Student con 9 gradi di libertà t obs = = 1,807 cade nella zona di accettazione Approccio inverso: P-value P-value = P{ Z(X ) +1,807} Dalle tavole della t con 9 gradi di libertà: F t(9) (1,833)=0,95 P-value leggermente superiore a 0,05 Con riferimento all esercizio precedente si determini la probabilità dell errore di seconda specie assumendo α= e µ=16 Il valore esatto del p-value è 0,052 ottenuto tramite Excel e la funzione distrib.t =distrib.t(1,807;9;1) Soluzione Con riferimento all esercizio precedente si determini la probabilità dell errore di seconda specie assumendo α= e µ=16 Errore di seconda specie = accettare un ipotesi nulla falsa Obiettivo: calcolare la probabilità di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 Errore di prima specie (α) errore seconda specie (β) e potenza del test (1-β) x α = valore soglia che separa la zona di accettazione dalla zona di rifiuto Marco Riani, Univ. di Parma 7
8 Qual è il valore soglia x α che separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? Accetto x 15 2,821 4,2 / 10 2,821 Rifiuto Densità della v.c. T di Student con 9 gradi di libertà Il valore soglia x α è 18,7467 Prob. di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467 quando µ=16 Prob. di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 = prob. di commettere un errore di seconda specie =β prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467 quando µ=16 Che probabilità è associata all area in verde? Devo calcolare F t(9) ((18,75-16)/1,3282) =F t(9) (2,07)=0,966 In Excel =1-DISTRIB.T(2,07;9;1) Un fornitore di pneumatici sostiene che la durata media di un certo tipo di pneumatici per camion è di Km. Un impresa sottopone a test l affermazione del produttore osservando un campione di 56 pneumatici utilizzati dai propri veicoli. Qual è la conclusione a cui giunge l impresa se trova una durata media di con un s =2749 km (si ponga α=) Si calcoli il p-value Soluzione H 0 : = Km H 1 : < la durata effettiva dei pneumatici è inferiore a quella dichiarata x s =2749 n=56 Teorema centrale del limite X 0 Z( X ) ~ N(0,1) s / n , / 56 H 1 : < α= F(-2,33)= -2,33 Rifiuto Accetto Il valore osservato del test (-3,43) cade nella zona di rifiuto p-value = F(-3,43) = 0,0003 Per una generica voce di inventario di una determinata impresa, sia X la differenza tra il valore inventariato ed il valore certificato. Da un campione di 120 voci un certificatore contabile ha ottenuto x=25,3 s 2 =13240 Si sottoponga a test l ipotesi che l inventario non sia gonfiato specificando opportunamente l ipotesi alternativa (si ponga α=) Si calcoli il p-value Si calcoli la prob. di rifiutare l ipotesi nulla nel caso in cui la vera media di X fosse pari a 30 Marco Riani, Univ. di Parma 8
9 Soluzione H 0 : = 0 H 1 : > 0 l inventario è gonfiato x 25,3 s =115,065 n=120 Teorema centrale del limite X 0 Z( X ) ~ N(0,1) s / n 25,3 0 2, ,065/ 120 H 1 : > 0 α= F(2,33)=0,99 p-value = 1-F(2,41)=0,008 Zona di accettazione 2,33 Zona di rifiuto 25,3 0 2,4086 t obs = = 2,41 cade nella 115,065/ 120 zona di rifiuto Soluzione (continua) Si calcoli la prob. di rifiutare l ipotesi nulla nel caso in cui la vera media di X fosse pari a 30 Pr che il valore del test cada nella zona di rifiuto quando µ=30 Qual è il valore soglia che x α separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? Qual è il valore soglia che x α separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? Accetto 2,33 Rifiuto x 0 2,33 Il valore soglia x α è 24, ,065/ 120 Prob. di rifiutare l ipotesi nulla quando µ=30 prob. di trovare un valore più grande di 24,474 quando µ=30 Distribuzione media campionaria quando è vera µ=0 Z( X ) X s 0 ~ N(0,1) / n Distribuzione media campionaria quando è vera µ=30 Z( X ) X s 30 ~ N(0,1) / n Esercizi da svolgere per LUN 22 aprile 24,474 24,474 Area rossa = prob. di rifiutare l ipotesi nulla quando µ=30 (potenza del test = 1-β)) 24, F 0,70 115,065/ 120 Marco Riani, Univ. di Parma 9
10 Una moneta viene lanciata 80 volte, ottenendo 45 volte l esito «testa». Al livello di significatività del 5% vi è sufficiente evidenza per ritenere che la moneta sia truccata? Di seguito sono riportati i dati di durata (in migliaia di Km) di un convertitore catalitico in un campione di 15 osservazioni. 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3 69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6 109,3 Si verifichi l ipotesi che la durata media sia pari a 100 contro l alternativa che essa sia minore. Si assuma un livello di significatività α=0,05. Si calcoli il p-value del test. L Istituto Superiore di Sanità ha stimato che le spese a carico del Sistema Sanitario Nazionale per la riabilitazione di un paziente che ha avuto un ictus è di euro. L amministrazione di una ASL, per verificare se i costi nella ASL sono in linea con la media nazionale, ha raccolto le informazioni sul costo della riabilitazione di 64 pazienti. Il costo medio è risultato pari a euro con uno scarto quadratico medio (campionario) retto di 9156 euro. (a) Calcolare l'intervallo di confidenza al livello del 99% per la vera media dei costi nell ASL considerata. (b) Dopo aver impostato l'ipotesi nulla e l'ipotesi alternativa, si testi se la differenza tra il costo medio nazionale e il costo medio stimato nell ASL è significativa al livello di significatività dell'1%. Commentare i risultati ottenuti. Come sarebbero cambiate le conclusioni se il livello di significatività fosse stato del 10%? Si assuma che la pressione sistolica media di un adulto sano sia 120 (mm Hg) e lo scarto quadratico medio 5,6. Assumendo che la pressione abbia una distribuzione normale calcolare la probabilità che: selezionando un individuo sano scelto a caso questi abbia una pressione sistolica superiore a 125; scegliendo a caso 4 individui, la media della loro pressione sistolica sia superiore a 125; scegliendo a caso 25 individui, la media della loro pressione sistolica sia superiore a 125; selezionando 6 individui sani quattro di essi abbiano una pressione inferiore a 125. Si consideri la verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale. Si definisce la potenza di un test la probabilità di rifiutare un ipotesi nulla falsa (ossia la probabilità di non commettere un errore di seconda specie) Si considerino le seguenti ipotesi nulla e alternativa H 0 : = 0 H 1 : = 1 (con 1 > 0) Errore di prima specie (α) errore seconda specie (β) e potenza del test (1-β) x α = valore soglia che separa la zona di accettazione dalla zona di rifiuto Marco Riani, Univ. di Parma 10
11 Quesiti Si dimostri che la potenza del test (1-β) è Funzione crescente della dimensione campionaria (n) Funzione crescente della differenza tra 1 e 0 Funzione decrescente di σ (standard deviation dell universo) Funzione crescente di α (probabilità di commettere errore di prima specie) Nel processo di controllo del peso delle confezioni di un determinato prodotto l azienda esamina un campione di 800 confezioni e trova che 15 di esse hanno un peso fuori norma. Si determini l intervallo di confidenza al 97% della proporzione di pezzi fuori norma. Si testi, al livello di significatività dell'1%, l'ipotesi che la proporzione di pezzi fuori norma sia pari a 1,25%. Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo fosse uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi fuori norma; si scriva l'espressione che consente di calcolare la probabilità di ottenere un numero di pezzi fuori norma compreso tra due e quattro (estremi compresi). Un ricercatore desidera stimare la media di una popolazione che presenta una deviazione standard σ con un campione di numerosità h in modo tale che sia uguale a 0,90 la probabilità che la media del campione non differisca dalla media della popolazione per più dell'8% della deviazione standard. Si determini h. Sia X 1 X 2 X 3 un campione casuale estratto dalla distribuzione normale N(2,9). Si calcoli P(X 1 +4X 2-4X 3 >8) P(2X 1 +4X 2-4X 3 >8) Un tipo di componente viene fornito in confezioni da 400 pezzi. Ne testiamo un campione di 16 per stimare la frazione di difettosi: vogliamo fare un test al livello di significatività α del 5% che ci permetta di rifiutare l intera partita se vi è evidenza statistica che i pezzi difettosi (nella confezione) sono più del 15% Quesiti Qual `e il parametro incognito su cui basare il test? Come vanno scelte ipotesi nulla e alternativa? Se nel campione si trovano 3 difettosi, cosa si decide? Quanti difettosi si possono accettare al massimo nel campione senza rifiutare la fornitura? Se una confezione ha il 25% di difettosi, con che probabilità questo test la rifiuta? Marco Riani, Univ. di Parma 11
12 Si consideri un dado a 20 facce tutte uguali Qual è il valore atteso? Quante volte è necessario lanciarlo affinché la probabilità di ottenere almeno un 20 sia maggiore o uguale a 0.5? Lanciandolo 20 volte, qual è il numero medio di 20 ottenuti? Pr di ottenere almeno una volta la faccia 20 in 20 lanci? Nel gioco del lotto un numero ha una probabilità p di uscire ad ogni estrazione. Si scriva la densità della v.c. che descrive il tempo di attesa dell uscita del numero all estrazione k-esima (v. casuale geometrica), k=1, 2, 3,. Si dimostri che la somma delle probabilità è 1 Si calcoli il valore atteso Si calcoli l espressione che definisce P(X>k) Dimostrare che nel gioco del lotto la probabilità che siano necessari i+j tentativi prima di ottenere il primo successo, dato che ci sono già stati i insuccessi consecutivi, è uguale alla probabilità non condizionata che almeno j tentativi siano necessari prima del primo successo. Morale: il fatto di avere già osservato i insuccessi consecutivi non cambia la distribuzione del numero di tentativi necessari per ottenere il primo successo Soluzione X = numero di tentativi prima di ottenere il primo successo. p = prob di successo Dobbiamo dimostrare che P(X>i+j X>j) = P(X>i) P(X>i+j X>j) = P(X>i+j X>j) / P(X>j) = P(X>i+j) / P(X>j) = q i+j /q j =q i =P(X>i) Sia X una v.c. definita nell intervallo [0 + ) Calcolare il valore di c affinché f X (x) sia effettivamente una densità Rappresentarla graficamente la funzione di densità Calcolare la funzione di ripartizione e rappresentarla graficamente Calcolare P(X>x) Un gioco a premi ha un montepremi di 512 Euro. Vengono poste ad un conrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il conrente vince il montepremi rimasto. Se non si fornisce alcuna risposta esatta non si vince nulla. Un certo conrente risponde esattamente ad una domanda con probabilità p, indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Marco Riani, Univ. di Parma 12
13 Richieste Sia X la vincita di questo conrente. Scrivere la legge di X in forma compatta e determinare la sua densità p(x) Verificare che la somma delle probabilità sia 1 Calcolare il valore atteso della vincita Un modello per le variazioni del prezzo delle azioni assume che ogni giorno il prezzo di un azione salga di una unita con prob. p o scenda di un unita con prob. 1-p. Si assume che le variazioni del prezzo in giorni diversi siano indipendenti. Richieste Si formalizzi la v.c. che descrive la variazione del prezzo dell azione nel giorno i-esimo e si calcoli il valore atteso. Calcolare la probabilità: 1.che il prezzo dell azione torni a quello di partenza dopo 2 giorni; 2.che il prezzo dell azione sia salito di una unita dopo 3 giorni; 3.che il prezzo dell azione fosse salito il primo giorno, sapendo solo che dopo 3 giorni è salito di una unita. Marco Riani, Univ. di Parma 13
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