Equation Chapter 3 Section 1POLITECNICO DI BARI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2006/2007 OPTOELETTRONICA II

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1 Equation Chapter 3 Section 1POLITECNICO DI BARI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2006/2007 OPTOELETTRONICA II CAPITOLO 3 AMPLIFICATORI OTTICI APPUNTI DALLE LEZIONI DEL PROF. MARIO N. ARMENISE

2 INDICE CAPITOLO 3 AMPLIFICATORI OTTICI 3.1 A cosa serve l amplificazione ottica Principi di funzionamento degli amplificatori ottici Amplificatori in fibra drogata con erbio Dispositivi in guida planare drogata con erbio Dispositivi in vetro Vantaggi e limiti degli EDWA Applicazioni Dispositivi in niobato di litio Guide d onda con drogaggio in erbio Amplificatori ottici in guida Amplificatori ottici a semiconduttori Descrizione dei SOA Principio di funzionamento dei SOA Caratteristiche dei SOA Struttura di base di un SOA Soppressione delle risonanze Strutture insensibili alla polarizzazione SOA con regione attiva a sezione quadrata SOA con guida ridge SOA con struttura a superreticolo strained Strutture con elevata potenza di uscita di saturazione Bulk e Quantum Well SOA Modello stazionario dei SOA Modello dinamico dei SOA Applicazioni degli amplificatori ottici 37 i

3 CAPITOLO 3 AMPLIFICATORI OTTICI 3.1 A cosa serve l amplificazione ottica Le fibre ottiche sono caratterizzate da due fattori negativi : l attenuazione e la dispersione. La prima provoca una perdita di potenza del segnale trasmesso, mentre la seconda genera un allargamento dell impulso ottico trasmesso e, quindi un aumento del bit error rate (BER) ed una riduzione della larghezza di banda. Lo spettro di attenuazione (curva attenuazione [db/km]- lunghezza d onda [μm]) presenta un minimo a 1.55 μm, mentre lo spettro di dispersione (curva dispersione [psec mm -1 km -1 ]-lunghezza d onda [μm]) ha il minimo (zero) a 1.3 μm. Per questa ragione le lunghezze d onda più utilizzate nei sistemi in fibra ottica sono quelle su indicate. Si usa anche μm, ma solo per sistemi di breve distanza, che non richiedono amplificazione, e a moderata velocità. Poiché l attenuazione e la dispersione aumentano all aumentare della lunghezza della fibra, in un collegamento con fibra è richiesta la rigenerazione del segnale. La rigenerazione 3R (reshaping-retiming-retransmission) comprende una fase di rivelazione (conversione otticoelettrica), una di amplificazione elettrica, una di ridefinizione dei tempi, una di restituzione della propria forma all impulso trasmesso ed una di ritrasmissione (conversione elettrico-ottica). Questa tecnica ha però una serie di svantaggi : è necessario interrompere il collegamento, non è esente da perdite ottiche, il processo di rigenerazione dipende dal formato di modulazione e dal bit rate e, quindi, non è esente da perdite elettriche. Tutto ciò rende difficoltoso l aggiornamento (upgrading) del collegamento. Inoltre, i rigeneratori sono sistemi complessi e situati spesso lontano o, comunque, di difficile accesso, come ad esempio nei collegamenti sottomarini, il che riduce l affidabilità della rete. Nei sistemi dove le perdite nelle fibre sono il fattore dominante, si può utilizzare un amplificatore ottico in linea, invece di un rigeneratore. In condizioni ideali un amplificatore ottico (AO) in linea è compatibile con le fibre a singolo modo, produce un guadagno elevato ed è otticamente trasparente (cioè non dipende dalle caratteristiche ottiche del segnale in ingresso). Inoltre, gli amplificatori possono essere usati come power boosters, per compensare perdite quali,ad esempio, quelle di splitting nelle reti di distribuzione, e come pre-amplificatori ottici per migliorare la sensibilità del ricevitore. 2

4 Esistono due tipi di amplificatori: l amplificatore in guida ottica ottica ( Optical Fiber Amplifier, OFA, e Erbium Doped Waveguide Amplifier, EDWA) e l amplificatore ottico a semiconduttori (SOA). Gli OFA hanno dominato fino ad alcuni anni fa, mentre i SOA hanno negli anni recenti suscitato molto interesse sia come dispositivi di base sia come elementi funzionali nelle reti di comunicazioni ottiche e nei dispositivi per l elaborazione ottica dei segnali. In alcuni paragrafi successivi verranno trattati gli EDWA. L amplificatore in fibra drogata con erbio (EDFA) fu inventato nel 1985 e rivoluzionò l industria delle telecomunicazioni in quanto fu possibile eliminare i rigeneratori 3R nei collegamenti limitati dall attenuazione, superando i problemi (bottleneck) presentati dall elettronica dei 3R. Gli EDFA furono usati ben presto nei collegamenti long haul ed in applicazioni digitali e analogiche multicanale a 1.55 µm. Questi amplificatori presentano un elevato guadagno, basse perdite di inserzione, bassa figura di rumore e non linearità trascurabili. I primi studi sui SOA sono stati fatti negli anni 60, contemporaneamente all invenzione del laser. Progressi significativi furono fatti negli anni 80. I SOA hanno un guadagno inferiore e non linearità più significative rispetto agli EDFA, ma sono compatibili con l integrazione monolitica (e, perciò, potenzialmente sono a basso costo) e possono essere usati in un gran numero di applicazioni, inclusa l elaborazione di segnali ottici, cosa non possibile con gli EDFA. 3.2 Principi di funzionamento degli amplificatori ottici L amplificazione ottica è prodotta dal processo di emissione stimolata indotta da un inversione di popolazione in un mezzo attivo oppure da scattering non lineare in una fibra ottica. La prima tecnica riguarda gli amplificatori ottici a semiconduttori oppure amplificatori in fibra drogata con terre rare (erbio, neodimio, praseodimio, ), la seconda si riferisce agli stimulated Raman scattering optical amplifiers oppure stimulated Brillouin scattering optical amplifiers. Gli amplificatori ottici a semiconduttori comprendono gli amplificatori Fabry-Pérot (FPA), gli amplificatori injection locked (ILA) e i traveling wave (TWA). Gli FPA e gli ILA funzionano sfruttando le caratteristiche dei risonatori, mentre i TWA utilizzano amplificazione per singolo passaggio. Ricordiamo qui brevemente i concetti di emissione spontanea ed emissione stimolata. Consideriamo per semplicità un sistema a due livelli di energia W 1, W 2 (>W 1 ). Gli atomi allo stato energetico 2 decadono al livello 1, emettendo, con una certa probabilità, luce a frequenza ν tale che h ν = W 2 - W 1, con h costante di Planck. Questo processo si chiama emissione spontanea ed è governato dalla relazione 3

5 dn2 N - = A21N2 = 2 dt τ sp (3.1) che esprime il numero di atomi che si trasferiscono al livello 1 per unità di tempo. N 2 è il numero di atomi, per unità di volume, al livello 2 all istante t = 0, A 21 è il tasso di emissione spontanea detto coefficiente di Einstein e τ sp è il tempo di vita dell emissione spontanea legato alla transizione 2 1. Se un onda elettromagnetica di frequenza ν ~ W 2 - W 1 incide sul materiale, essa genererà assorbimento ossia gli atomi dal livello 1 salgono al livello 2 con conseguente passaggio inverso, che produrrà emissione di luce. La probabilità di transizione p i è uguale nei due casi ed è proporzionale all intensità della luce incidente I ν i ( ) p ( ν ) =σ( ν) I hν (3.2) ν dove σ(ν) è la cross section della transizione laser (cioè la porzione, per unità di area, di numero di fotoni incidenti (I ν/hν) che contribuiscono alla transizione laser) ed è data da 2 cg() ν σν ( ) = (3.3) 8πn ν τ 2 2 sp con c velocità della luce nel vuoto, n indice di rifrazione del mezzo e g(ν) è la distribuzione spettrale normalizzata ( 0 g(ν) dν = 1) della fluorescenza dovuta alla transizione 2 1. Un sistema atomico all equilibrio termico obbedisce alla legge di distribuzione di Boltzmann N N 2 1 hν = exp (3.4) kt T è la temperatura assoluta e k la costante di Boltzmann. All equilibrio termico il sistema atomico si comporta da assorbitore perché N 2 < N 1, perciò per avere amplificazione mediante emissione stimolata occorre creare un inversione di popolazione. Se invece viene creata inversione, N 2 > N 1, ed il sistema è illuminato da luce a frequenza ν e intensità I ν, la potenza per unità di volume prodotta è 4

6 -3 ( ) ( ) P= p i( ν) N2-N1 hν= N2-N 1 σ( ν)iν Wm (3.5) Si può dimostrare che l intensità della luce nel mezzo attivo può essere espressa come {[ ] } I ν(z) = I ν( 0)exp γ( ν) α z (3.6) dove γ(ν) = (N 2 N 1 ) σ(ν) [m -1 ] è il coefficiente di guadagno ed α il coefficiente di perdita. Se γ > α, l intensità della luce all uscita aumenta esponenzialmente. Poiché γ è proporzionale all inversione di popolazione N 2 N 1, se l intensità della luce nel mezzo attivo diventa elevata ed N 2 è svuotata sempre più, si avrà un effetto di saturazione del guadagno dovuto alla riduzione dell inversione di popolazione. L intensità di luce di saturazione per un sistema a quattro livelli è data dalla seguente espressione: hν -2 IS4 = Wm σντ ( ) 2 (3.7) con τ 2 tempo di vita complessivo del livello superiore quando non c è luce (1/τ 2 = 1/τ sp + 1/τ nr, τ nr è il tempo di vita di transizioni non radiative). 3.3 Amplificatori in fibra drogata con erbio Figura 3.1. Il diagramma dei livelli di transizione per l erbio (della famiglia dei lantanidi) è riportato in 5

7 Figura 3.1 Diagramma dei livelli di transizione dell erbio Con un pompaggio in una qualunque regione di lunghezza d onda, si crea il livello 2, che ha il più lungo tempo di vita. Si ha così un sistema a tre livelli, compreso il livello 1 ground, come in Figura 3.2. Figura 3.2 Modello a tre livelli 6

8 La lunghezza d onda corrispondente alla transizione 2 1 utilizzata è nella banda 1.55 µm e coincide con la zona di minimo di attenuazione delle fibre in silice. Per tale ragione vengono prodotti amplificatori in fibra con drogaggio in erbio. Lo studio del comportamento di un amplificatore in fibra drogata con erbio (EDFA) è eseguito utilizzando le rate equations per ciascuno dei tre livelli. Dopo aver ricavato il coefficiente di guadagno lungo l asse della fibra, si può adottare il divided model, che permette di calcolare il guadagno non saturato complessivo come prodotto dei guadagni delle numerose sezioni in cui viene suddivisa la fibra. Le caratteristiche tipiche di un EDFA sono riportate in Tabella.3.1. PARAMETRO Guadagno Uscita Efficienza Rumore Larghezza di banda Polarizzazione Connessione Altro PRESTAZIONI Elevato guadagno ( μm Uscita elevata ( dbm in fibra) Efficienza elevata (efficienza di guadagno 6 10 db/mw, efficienza di conversione %) Basso rumore (NF = 3 5 db) Larga (da diverse centinaia di GHz a diversi THz) Nessuna dipendenza dalla polarizzazione Semplice accoppiamento alle altre fibre (perdita di connessione < 0.5 db) Peso ridotto, possibilità di una fabbricazione compatta Semplicità della struttura, connessione in fibra ad altri componenti Tabella 3.1 Caratteristiche dell amplificatore in fibra drogata con erbio In Figura. 3.3 sono illustrate le diverse tecniche impiegate per creare l inversione di popolazione negli EDFA. 7

9 Figura 3.3 Amplificatori in fibra drogata con erbio In Figura 3.4 è illustrata l efficienza di conversione, definita come rapporto fra l energia di pompa e l energia di segnale. Un efficienza del 60% può essere ottenuta come valore tipico. Il limite quantico è definito da η = λ pompa /λ segnale. 8

10 Figura 3.4 Potenza d uscita in funzione della potenza di pompa In un EDFA, contemporaneamente all amplificazione stimolata, viene prodotta anche amplified spontaneous emission (ASE), che rappresenta un rumore sommato al segnale. Valori della figura di rumore (NF) fra 3 e 5 db possono essere ricavati. In Figura 3.5 si può osservare la variazione del guadagno con la temperatura per due valori di lunghezza d onda. Per λ = μm, si ha 0.15 db C -1. Figura 3.5 Sensibilità alla temperatura del mezzo di guadagno in un amplificatore in fibra drogata con erbio 9

11 d onda. In Tabella 3.2 sono messe a confronto le caratteristiche degli EDFA a due diverse lunghezze LUNGHEZZA D ONDA DEL SEGNALE LUNGHEZZA D ONDA OPERATIVA λ = μm λ = ~ μm λ = μm λ = ~ μm Guadagno 25 ~ 36 db 20 ~ 30 db Larghezza di banda 2 nm (260 GHz) 4 nm (520 GHz) Indice di rumore 5.0 db 4.5 db Potenza di saturazione all uscita + 2 dbm + 5 dbm Perdita della linea di trasmissione 0.20 db* 0.20 db* Dispersione della linea di trasmissione ~ - 1ps/nm/km ~ 0.5ps/nm/km < 0.5ps/nm/km * Solo db/km maggiore rispetto al valore a 1.55 μm: equivalente ad un NF di 0.5 db su 100 km Tabella 3.2 Caratteristiche di amplificazione della fibra drogata con erbio (core di silice pura) In Tabella 3.3 invece si confrontano le caratteristiche degli EDFA a quelle dei SOA. PARAMETRO EDFA OSA Massimo guadagno interno (typ.) [db] Perdite di inserzione (typ.) [db] Sensibilità alla polarizzazione No Lieve (< 2 db) Sorgente di pompa Ottica Elettrica Larghezza di banda a 3 db [nm] Effetti non lineari Trascurabili Sì Potenza di saturazione all uscita [dbm] Figura di rumore intrinseca (typ.) [db] dbm Compatibilità con circuiti fotonici integrati No Sì Possibilità di dispositivi funzionali No Sì Tabella 3.3 Confronto delle principali caratteristiche degli EDFA e dei SOA 3.4 Dispositivi in guida planare drogati con erbio 10

12 3.4.1 Dispositivi in vetro Il primo amplificatore ottico integrato in vetro planare fu proposto nel Da allora sono stati sperimentati numerosi dispositivi. L amplificatore in guida drogata con erbio (EDWA) opera nella banda 1.55 μm e consiste di una guida drogata con erbio immersa o integrata in un substrato amorfo. Il collegamento con l esterno (ingresso e uscita) è realizzato con fibre ottiche; i fasci in ingresso (segnale e pompa) vengono portati da fibre, cioè la guida è pompata da un estremità. Il segnale ed il fascio di pompa si sovrappongono in modo da ridurre la potenza richiesta per raggiungere il desiderato valore di inversione di popolazione. Il comportamento di un EDWA può essere descritto da un modello che comprende una rate equation ed un equazione di propagazione, qui di seguito riportate: rate equation dn2 dn1 N = = R 2 13N1 A21N2 + A12N1 dt dt τ2 (3.8) dove R 13 è il pump rate dal livello 1 al livello 3, A 21 e A 12 sono i tassi di emissione ed assorbimento ed 1/τ 2 è il tasso di decadimento spontaneo. equazione di propagazione di(z) = I(z)N tot[ σen 2(z) σon 1( ς )] (3.9) dz dove I(z) è l'intensità del fascio che si propaga in direzione z, N tot è la concentrazione di drogante, σ e e σ ο sono le cross section per l'emissione e l'assorbimento. Questa equazione vale per ogni fascio (segnale, pompa e rumore) che si propaga; naturalmente i valori delle cross section sono diversi per i diversi fasci. In prima approssimazione, il coefficiente di guadagno di piccolo segnale (con livelli di potenza fra 0.1 e 100 μw) di un amplificatore in guida drogata con erbio, può essere posto pari a: 11

13 χ - 1 g = χ + 1 (3.10) dove χ è proporzionale al tasso di pompaggio. Per χ = 0, si ha g = -1 e la guida è completamente assorbente; per χ = 1, risulta g = 0, cioè la guida è trasparente, mentre per χ =, il guadagno tende al massimo valore 1. La figura di rumore NF, definita come il rapporto fra il segnale ed il rumore all uscita, diviso lo stesso rapporto all ingresso, si può esprimere come: 2N NF = 3 (3.11) 2N 3-1 con N 3 popolazione del livello 3 metastabile. Negli amplificatori booster i livelli di potenza sono compresi fra 1 e 10 mw. Se i livelli richiesti sono fra 10 e 100 mw si può verificare il fenomeno della saturazione, che comporta una riduzione del guadagno all aumentare del segnale in ingresso. I parametri che definiscono le prestazioni degli EDWA sono: Guadagno massimo per unità di lunghezza della guida Risolvendo la rate equation si può ricavare il guadagno locale γ quando tutti gli ioni erbio sono eccitati (il che equivale ad assumere un pump rate infinito), fatta eccezione della frazione k e di ioni soggetti a clustering. γ diminuisce all aumentare di k e. Andamento del guadagno con la potenza di pompaggio Il guadagno aumenta all aumentare della potenza di pompaggio. E necessario anche tenere conto del parametro k e che fa diminuire il guadagno. Figura di rumore Per un sistema a tre livelli la NF è il rapporto fra la popolazione dello stato metastabile e quella di inversione. La NF aumenta rapidamente all aumentare di k e e, per k e = 0 risulta NF = 3 db, mentre per k e = 0.4 si ha già NF 10 db Vantaggi e limiti degli EDWA 12

14 I vantaggi degli EDWA derivano dalla loro capacità di fornire un guadagno elevato in percorsi ottici molto brevi. Questo risultato però, può essere ottenuto solo con forti concentrazioni di erbio, condizione che presenta una limitazione : all aumentare della concentrazione di ioni erbio, diminuisce la loro distanza, per cui, una volta eccitati essi possono scambiare energia, riducendo in tal modo la loro efficienza. Inoltre, con livelli di drogaggio molto elevati (> atomi/m 3 ) gli ioni si avvicinano sempre più creando i cluster e diventando del tutto inefficienti per il processo di amplificazione. E necessario, dunque, un compromesso per individuare il valore di concentrazione di drogante più idoneo ad evitare l effetto su descritto. Un altra importante considerazione è che non tutti i materiali di vetro possono accettare elevati livelli di drogaggio, ad esempio, la solubilità delle terre rare è molto bassa nella silice, mentre i vetri fosfati o silicati vanno bene e possono accettare fino a atomi/m 3. Se si modifica la composizione di questi vetri, contenenti diversi componenti, è possibile controllare lo spettro del guadagno e spostarlo verso lunghezze d onda più corte o più lunghe. Inoltre questi stessi materiali presentano altre proprietà fisiche (fotosensibilità, fotocromismo, non linearità ottica, ) che aprono prospettive di altre applicazioni in cui l amplificazione è combinata con altre funzioni. La varietà di composizioni di vetro utilizzabili è limitata dalla tecnologia in quanto le tecniche di fabbricazione impiegate (scambio ionico, sputtering, etching, sol-gel, plasma enhanced CVD, flame hydrolysis deposition) dipendono dalla composizione del vetro. La contaminazione dovuta agli ossidrili OH è da evitare perché creano livelli di energia fotonica che favorisce la diseccitazione non radiativa dell erbio. Per ottenere un elevato valore del guadagno per unità di lunghezza è necessario un grande assorbimento della potenza di pilotaggio per avere l inversione di popolazione. Poiché l itterbio ha un elevata cross section di assorbimento a 980 nm (circa sei volte più grande di quella dell erbio alla stessa lunghezza d onda), esso viene usato come co-drogante e trasferisce l energia assorbita al livello metastabile dell erbio con un efficienza che supera l 80% in alcuni casi. L itterbio serve anche a ridurre il clustering in quanto alle coppie Er-Er si sostituiscono coppie Er-Yb, che non abbassano l efficienza di amplificazione. In Tabella 3.4 è riportato un confronto fra le prestazioni degli EDWA e quelle degli EDFA. PARAMETRO EDWA EDFA 13

15 Guadagno [db] Figura di rumore [db] Potenza d uscita [dbm] Guadagno per unità di lunghezza[db/cm] 30 dimostrati nessuna limitazione 3.1 misurati prossima al limite fondamentale 14 misurati limitata da effetti parassiti dovuti all alto livello di drogaggio 4.2 limitato dal livello di drogaggio di Er, dal rapporto di Er nei cluster e dalle cross section di emissione 50 dimostrati nessuna limitazione tranne la back-reflection 3.1 osservati 31 misurati limitata dall efficienza quantica e dalla potenza di pompa disponibile 0.05 limitato dal livello di drogaggio di Er e dalle cross section di emissione Lunghezze d onda di pompa [nm] 980 e , 980, 1060 e 1480 db/mw 0.1 osservati limitato dal confinamento modale e dal profilo di drogante 5 Perdite di propagazione 0.1 db/cm 1 db/km Perdite di accoppiamento con la fibra [db] Spettro di guadagno [nm] 0.2 generalmente è richiesto un mode expander in relazione al vetro utilizzato < 0.2 generalmente è richiesto un fibre core expander in relazione alla composizione della fibra Flatness del guadagno - ± 0.2 db/32 nm Tabella 3.4 Confronto delle principali caratteristiche degli EDWA e degli EDFA La Tabella 3.5 mostra invece le prestazioni misurate di EDWA fabbricati con diverse tecnologie in vari laboratori. 14

16 Tecnologia Materiale ospite db/cm Guadagno Area del Figura di Perdita FPC* Laboratorio [livello di drogante netto modo rumore [db/cm] at/cm 3 ] [120 mw ] [μm 2 ] [db] Sputtering Soda-lime (4.3) Fosfato Y 2 O 3 (1.3) > 4.1 (25 mw) > 5.7 (10 mw) Sì No No Lucent TNO MESA Scambio ionico Fosfato (1.98) Vetro silicato (2.4) Sì Sì GeeO Corning FHD P 2 O 5 :SiO 2 (0.64) Sì NTT PECVD P 2 O 5 :SiO IM-DD 0.17 Sì NTT Impiantazione Al 2 O 3 (2.7) 0.75 > 3 (10 mw) 2 FSK-DD 0.35 No FOM ionica * Componente con pigtail in fibra Tabella 3.5 Confronto fra le prestazioni misurate di diversi amplificatori in guida d onda Applicazioni Un guadagno fino a 30 db, una figura di rumore di circa 3 db ed una potenza di uscita disponibile fino a 14 dbm rendono gli EDWA particolarmente adatti per i sistemi di telecomunicazioni. Essi, infatti, sono stati usati in sistemi a 10 Gb/sec come pre-amplificatori, amplificatori in linea e amplificatori di potenza con soddisfacenti risultati. Gli EDWA sono stati usati anche in sistemi WDM perché possono beneficiare del grande spettro di guadagno entro cui far propagare un elevato numero di lunghezze d onda. Altre applicazioni riguardano gli splitter ed i combiner di lunghezza d onda, come illustrato in Figura 3.6. Figura 3.6 Configurazione che combina un EDWA con uno splitter passivo 1x8 senza perdite 15

17 Gli EDWA possono essere combinati con qualunque componente con perdite, ad esempio phased arrayed waveguides, add and drop multiplexers, modulators, switches oppure optical cross-connects per realizzare dispositivi compatti e con perdite compensate. Un altra interessante applicazione riguarda l uso degli EDWA come mezzo amplificante nei laser. E stata, infatti, dimostrata la fattibilità di laser distributed Bragg reflector (DBR) a singolo modo longitudinale in vetro, per uso in sistemi WDM Dispositivi in niobato di litio Negli ultimi anni si è riscontrato un interesse crescente per gli amplificatori ed i laser pompati otticamente in niobato di litio drogato con terre rare e, particolarmente, con erbio. Tale interesse dipende anche dalla combinazione delle proprietà di amplificazione ottica dell erbio e delle proprietà elettroottiche e piezoelettriche del niobato di litio. Un altro vantaggio dimostrato da questo materiale è la compatibilità con l integrazione e, perciò, la possibilità di realizzare circuiti ottici integrati in quanto si possono fabbricare e combinare sullo stesso chip, laser, modulatore, amplificatore ed una grande varietà di altri componenti e dispositivi in guida d onda Guide d onda con drogaggio in erbio Per fabbricare guide drogate in erbio si possono utilizzare wafer omogeneamente drogati (durante la crescita del cristallo) oppure wafer con drogaggio superficiale (ottenuto con impiantazione e riscaldamento successivo oppure per diffusione termica di strati di erbio depositati mediante sputtering). La diffusione di erbio può essere descritta dalle leggi della diffusione termica (Leggi di Fick); l erbio è sostitutivo del litio nella struttura cristallina del materiale. In Figura 3.7 sono mostrati i profili di concentrazione di erbio prima e dopo la fabbricazione di una guida Ti:LiNbO 3 ed il profilo di Ti, in un substrato di taglio Z. 16

18 Figura 3.7 Concentrazioni di erbio e titanio in funzione della profondità in un wafer di LiNbO 3 taglio Z misurate rispettivamente con SNMS (Er) e SIMS (Ti). (a) Profilo di Er dopo la diffusione di uno strato di Er spesso 22 nm a 1130 C per un tempo di 100 h; (b) Profilo di Er dopo un ulteriore diffusione di uno strato di Ti spesso 95 nm a 1030 C per un tempo di 9 h; (c) Distribuzione di Ti corrispondente SNMS = Secondary Neutral Mass Spectrometry SIMS = Secondary Ion Mass Spectrometry L uso del taglio Z dipende dal fatto che la diffusività dell erbio dipende dall orientazione del cristallo a causa della struttura anisotropa del LiNbO 3 e presenta il suo massimo valore proprio lungo l asse Z. I migliori risultati (0.1 db/cm) riguardo alle perdite per scattering nella guida sono stati ottenuti in guide Ti:LiNbO 3 con concentrazione di erbio superficiale di circa 5x10 19 cm Amplificatori ottici in guida In Figura 2.8 sono mostrati i livelli energetici del sistema Er: LiNbO 3. 17

19 Figura 3.8 Schema dei livelli energetici di Er:LiNbO 3 Le frecce verso l alto rappresentano le possibili transizioni per il pompaggio ottico per popolare il livello metastabile 4 I 13/2. Se si realizza l inversione di popolazione rispetto allo stato ground (a energia zero) si può sviluppare la funzione di amplificazione. La banda di assorbimento preferita per il pompaggio ottico è intorno a 1480 nm. Lunghezze d onda nel visibile ( nm) e nel vicino IR (808 nm e 980 nm) generano il cosiddetto ESA, cioè excited-state absorption, indicato in figura con frecce punteggiate verso l alto. Diversi decadimenti, radiativi e non, al livello ground sono possibili, indicati con frecce punteggiate verso il basso. Si tratta di processi che riducono il guadagno in quanto riducono la popolazione al livello 4 I 13/2 e che non sono presenti con pompaggio a 1480 nm. Un altro vantaggio presentato dalla lunghezza d onda di 1480 nm è che si possono fabbricare guide a singolo modo sia per la lunghezza d onda di pompaggio sia per quella di segnale. E opportuno anche sottolineare che sono disponibili laser commerciali a 1480 nm. In Figura 3.9 è mostrato l andamento della trasmissione di segnale al variare della potenza di pompaggio e della lunghezza d onda per un amplificatore in guida taglio Z Ti:Er: LiNbO 3. Si tratta di polarizzazione TE sia per il fascio di pompa sia per il segnale. A sinistra le curve punteggiate sono ottenute con simulazioni numeriche mentre quelle a tratto intero sono state misurate. La migliore condizione, un picco di guadagno di 13.8 db, è stato ottenuto a 1531 nm con una potenza di pompaggio di 230 mw. 18

20 Figura 3.9 Trasmissione del segnale (assorbimento netto/guadagno) di un amplificatore in guida Ti:Er:LiNbO 3 (taglio Z) pompato otticamente in funzione della lunghezza d onda del segnale a diversi livelli della potenza di pompa accoppiata (destra) ed in funzione della potenza di pompa accoppiata (sinistra) (λ p = 1480 nm) alle lunghezze d onda corrispondenti ai valori massimi di guadagno. Sia il segnale che la pompa sono a polarizzazione TE. Linee continue: dati sperimentali; linee tratteggiate: dati calcolati 3.5 Amplificatori ottici a semiconduttori Descrizione dei SOA In Figura 2.10 è riportata la struttura di base di un SOA. Figura 3.10 Diagramma schematico di un SOA Una corrente elettrica esterna fornisce l energia che permette di sviluppare il guadagno nella regione attiva. Il confinamento ottico è, in generale, debole per cui una parte del segnale viene 19

21 perduto nelle regioni circostanti. Il segnale di uscita comprende anche il rumore, generato dal processo di amplificazione e, pertanto, inevitabile. A causa della riflettività delle sezioni estreme si può produrre ripple nello spettro del guadagno. In Figura 3.11 è schematizzata la classificazione dei SOA: Figura 3.11 Tipi fondamentali di SOA e associati spettri di guadagno. Un SOA TW ideale ha uno spettro di guadagno con oscillazioni molto meno evidenti. Lo spettro di guadagno di un SOA FP mostra ripple causati da riflessioni alle estremità. Nella figura i ripple di guadagno sono esaltati. Nei SOA Fabry-Pérot (FP-SOA) le riflessioni alle estremità sono significative perché il segnale subisce diversi passaggi all interno dell amplificatore, mentre nei TW-SOA le riflessioni sono trascurabili (si ha un solo passaggio). Le riflettività possono essere ridotte a valori <10-5 utilizzando rivestimenti ottici antiriflettenti Principio di funzionamento dei SOA Gli elettroni iniettati dalla sorgente esterna nella regione attiva, occupano stati energetici nella banda di conduzione (BC) lasciando le lacune nella banda di valenza(bv). Si possono verificare tre meccanismi radiativi : assorbimento stimolato (un fotone fa passare un elettrone dalla BV alla BC; in questo passaggio il fotone si estingue, cioè perde la sua energia), emissione stimolata (la ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna nella BV si accompagna a rilascio di energia, un fotone, con le stesse caratteristiche di quello incidente interazione coerente. Entrambi i fotoni possono stimolare altre transizioni e così via. Si può produrre inversione di popolazione con corrente di iniezione sufficientemente elevata, quando la popolazione nella BC è superiore a quella nella BV), emissione spontanea (esiste una probabilità non nulla che un elettrone nella BC si 20

22 ricombini spontaneamente con una lacuna nella BV, con conseguente emissione di un fotone con fase e direzione casuali. I fotoni emessi spontaneamente coprono un grande intervallo di frequenze e rappresentano un rumore che non può essere eliminato perché intrinseco al processo di amplificazione e si aggiunge al segnale). a due livelli) è Il tasso di transizione spontanea dei portatori fra i livelli energetici E 2 ed E 1 (ipotesi: sistema r 21 = A spon 21N 2 (3.12) e quello di emissione stimolata vale r = B ρ( ν) N (3.13) 21 stim 21 2 con B 21 coefficiente di emissione stimolata e ρ(ν) densità di energia di radiazione incidente alla frequenza ν. Ιl tasso di assorbimento stimolato vale r12 = B 12ρν ( )N1 (3.14) con B 12 parametro di assorbimento stimolato. Si può dimostrare che B 21 = B 12 e che 2 A21c l( ν)i N r 2 21 = ν stim 2 3 8πnr hν (3.15) con l(ν) lineshape function (l(ν)dν è la probabilità che un evento di emissione spontanea fra i livelli 2 e 1 dia luogo ad un fotone con frequenza compresa fra ν e ν + dν), Ι ν è l intensità del campo inducente (W/m 2 ) ed n r è l indice di rifrazione del materiale. Ancora nell ipotesi di sistema a due livelli e utilizzando la formula del tasso di emissione stimolata su riportata, nel caso di un onda piana monocromatica che si propaga nella direzione z, si 21

23 può determinare la potenza dp ν generata dal volume Adz di materiale, come la differenza fra i tassi di transizione indotta, moltiplicata per l energia di transizione hν e per il volume stesso : ( 21 21) dpν = r r h ν Adz (3.16) stim Questa radiazione si somma all onda che si propaga e questo processo di amplificazione viene dunque espresso dalla seguente equazione: dpν dz ( ) = r21 r stim 21 hν A= g m ( ν )P ν (3.17) in cui g m (ν), il coefficiente di guadagno del materiale, risulta espresso da ( ) 2 A21c l( ν) N2 N1 m ν = 2 2 8πnr ν g ( ) (3.18) Da questa formula si nota che per avere un guadagno positivo deve essere N 2 > N 1 ; inoltre, per la presenza di A 21, il processo di guadagno ottico è sempre accompagnato da emissione spontanea, cioè da rumore. E stato dimostrato che la potenza complessiva all uscita per un mezzo di lunghezza L è: P = GP + n G 1 hνb (3.19) out in sp ( ) dove Pin è la potenza del segnale in ingresso, G = exp(g m L) è il guadagno di singolo passaggio, n sp = N 2 /( N 2 N 1 ) è il fattore di emissione spontanea e B la larghezza di banda di emissione di un volume elementare entro un angolo solido elementare. Il termine N,out sp ( ) P = n G 1 hνb (3.20) rappresenta la potenza di rumore che si aggiunge a quella di segnale GP in. Questo rumore non può essere eliminato ma può essere ridotto con l uso di filtri ottici a banda stretta. 22

24 3.5.3 Caratteristiche dei SOA Per l applicazione più comune dei SOA e cioè come elemento di guadagno ottico, le caratteristiche che vengono richieste sono : Elevato guadagno ed elevata larghezza di banda di guadagno Riflettività trascurabili alle estremità Bassa sensibilità alla polarizzazione Elevata potenza di uscita di saturazione Rumore addizionale prossimo al limite teorico Insensibilità alle caratteristiche di modulazione del segnale in ingresso Amplificazione multicanale senza diafonia Assenza di non linearità Struttura di base di un SOA La struttura dei primi SOA era basata su quella di diodi laser a doppia eterostruttura con rivestimenti antiriflettenti, mostrata in Figura Figura 3.12 Sezione trasversale schematica di un SOA a doppia eterostruttura La regione attiva è non drogata e si trova fra regioni tipo p e tipo n. Le interfacce fra regione attiva e cladding sono eterogiunzioni (=giunzione fra due materiali semiconduttori con diversa energia di bandgap), come ben illustrato in Figura

25 Figura 3.13 Confinamento dei portatori e confinamento ottico in un SOA a doppia eterostruttura I portatori vengono iniettati nella regione attiva dalla corrente di polarizzazione applicata. Le cariche devono attraversare parte di materiale semiconduttore prima di giungere alla regione attiva, che, essendo piccola, sarà interessata solo da un numero ridotto di portatori. Per rimediare a tale inconveniente, che comporta una forte riduzione dell efficienza del dispositivo, è necessario realizzare un soddisfacente confinamento dei portatori nella regione attiva. Perciò si usa la doppia eterostruttura (DH), che permette di confinare le cariche nella regione attiva per effetto della differenza di bandgap alle interfacce. In tal modo nella regione attiva si raggiunge un valore di densità di cariche tale da produrre guadagno e da poter anche ridurre la corrente di polarizzazione. Anche la differenza di indice di rifrazione induce un maggior confinamento del campo nella regione attiva. L effetto guidante può essere valutato mediante il fattore di confinamento ottico Γ, definito come la frazione di energia di un modo guidato confinata nella regione attiva. Una guida sufficientemente stretta può supportare un singolo modo trasversale con due diverse polarizzazioni, TE o TM Soppressione delle risonanze Come è già stato osservato, per far funzionare un TW-SOA è necessario eliminare le riflettività delle sezioni estreme per evitare che si instauri un regime di cavità risonante. Fra le diverse tecniche per eliminare le riflettività citiamo i rivestimenti ottici antiriflettenti (AR) a multistrato, che permettono di ridurre le riflettività a valori < E opportuno osservare 24

26 che i valori di riflettività ottenibili dipendono dalla polarizzazione della luce e, pertanto, sono diversi per i TE ed i TM. I principali materiali che si usano per realizzare i rivestimenti AR sono SiO 2, SiN, SiO 2 -Si 3 N 4 e PbO-SiO 2. La tecnologia più utilizzata è la tecnica di deposizione sotto vuoto, cioè l evaporazione o lo sputtering. Un altra tecnica è quella di realizzare sezioni di estremità angolate, come in Figura Figura 3.14 Top view di un SOA angled facet In questo caso la riflettività dipende dall angolo fra la direzione di propagazione e la normale alla sezione di estremità, nel senso che essa diminuisce all aumentare dell angolo θ f Strutture insensibili alla polarizzazione Poiché lo stato di polarizzazione del segnale in ingresso può cambiare nel tempo, è necessario avere SOA che siano insensibili alla polarizzazione. La principale causa della sensibilità alla polarizzazione è la differenza fra i fattori di confinamento dei modi TE, Γ ΤΕ, e TM, Γ TM. Il progetto di strutture non sensibili alla polarizzazione mira, dunque, alla compensazione di quella differenza mediante un progetto specifico della regione attiva SOA con regione attiva a sezione quadrata In Figura 3.15 è mostrata la sezione trasversale e la vista dall alto di una struttura con regione attiva InGaAsP a sezione quadrata. 25

27 Figura 3.15 Sezione trasversale e top view di un SOA stripe con ridge sepolta e con estremità rastremate e con regioni window. La guida d onda centrale ha sezione quadrata con lati lunghi 0.4 μm Nel dispositivo la barriera di potenziale dell omogiunzione InP tipo n-tipo p è più grande di quella della regione attiva InGaAsP- InP tipo n, per cui si ha un buon confinamento, migliorato anche dall uso di regioni InP altamente resistive impiantate con protoni. Nella top view si nota un tapering della guida, che serve a ridurre la divergenza del far field ; si nota anche la presenza di regioni window, cioè la guida non arriva alle due estremità del dispositivo, che contribuiscono a ridurre le riflettività delle sezioni estreme. Con questo dispositivo si ottengono valori di sensibilità alla polarizzazione < 1dB SOA con guida ridge In Figura 2.16 è schematizzata la sezione trasversale di un SOA con guida ridge. La regione attiva è piuttosto ampia con possibilità di variarne la geometria allo scopo di ridurre la differenza fra Γ ΤΕ e Γ TM. In questo dispositivo non sono necessarie le regioni window ma sono presenti rivestimenti AR e facce di estremità tilted. Figura 3.16 Sezione trasversale di un SOA bulk con guida d onda ridge 26

28 SOA con struttura a superreticolo strained Se si usa materiale bulk nella regione attiva, per ridurre la sensibilità alla polarizzazione, come si è visto, si può operare solo sul fattore di confinamento utilizzando una guida a sezione quadratica o una guida ridge. Un altra soluzione conserva la geometria convenzionale, a sezione rettangolare, della guida e usa nella regione attiva materiale strained (sottoposto a sforzi) per aumentare il coefficiente di guadagno dei modi TM rispetto a quello dei modi TE in modo da compensare il maggior confinamento dei modi TE, essendo, come già sappiamo, Γ ΤΕ > Γ TM. Sono state proposte in letteratura strutture MQW con sforzi di tensione, altre con sforzi di compressione o con alternate tensione e compressione ed altre ancora con superreticoli a sforzi bilanciati. Questa ultima configurazione permette di ridurre la sensibilità alla polarizzazione e, contemporaneamente, di controllare il picco del guadagno del dispositivo. L applicazione di sforzi di tensione o compressione nella regione MQW deforma il diagramma a bande, come si vede in Figura Il risultato che si ottiene è un aumento del guadagno dei modi TM con sforzi di tensione ed un aumento del guadagno dei modi TE per sforzi di compressione. Figura 3.17 Profilo del band edge per quantum well con strain di conpressione, senza strain e con strain di tensione Strutture con elevata potenza di uscita di saturazione Per studiare i parametri che influenzano il comportamento del SOA in presenza di elevate potenze in ingresso, si ricorre ad un modello con rate equation. Assumiamo che il coefficiente di guadagno g m del materiale alla lunghezza d onda del segnale sia una funzione lineare della densità di portatori N: 27

29 ( ) g a N N m = 0 (3.21) dove a è il differenziale di g m rispetto ad N e qui è assunto costante. La densità N deve soddisfare l equazione ( ) dn J N a N N I = dt ed τ hν 0 s (3.22) e la propagazione del segnale di intensità I s lungo la direzione z è descritta da dis dz ( ) = Γa N N0 α Is (3.23) Γ è il fattore di confinamento del modo, J è la densità di corrente nella regione attiva, e la carica dell elettrone, d lo spessore della regione attiva, τ il tempo di vita dei portatori spontanei, h la costante di Planck, ν la frequenza ottica del segnale ed α il coefficiente di perdita della guida. Prima si risolve la rate equation per N ottenendo una relazione per N, che dipende da I s e dalla intensità di saturazione I sat = hν/aτ, quindi si determina l'intensità della luce all'uscita I s,out. In Fig.3.18 si può osservare l andamento del guadagno G dell amplificatore (= rapporto fra le intensità all uscita e all ingresso) in funzione del rapporto I s,out / I sat : G = G0 exp ( G 1) I s,out GIsat (3.24) dove G 0 = exp(γg 0 L) è il guadagno non saturato, g 0 è il coefficiente di guadagno non saturato, L è la lunghezza del dispositivo. Da questa formula si può ricavare l intensità di uscita a 3 db (alla quale il guadagno diventa la metà di quello non saturato): I Isat s,out = 3dB ln(2)g 0 G 0 2 ( ) (3.25) e la potenza di uscita di saturazione dell amplificatore 28

30 AI P = o,sat s,out 3dB Γ (3.26) con A area della sezione trasversale della regione attiva. Figura 2.18 Caratteristiche di saturazione del guadagno di un SOA. Il parametro è il guadagno non saturato Per aumentare la potenza di uscita di saturazione P o,sat si può aumentare I sat riducendo il parametro a e/o τ. Poiché τ è inversamente proporzionale alla densità di carica, se si lavora con elevate correnti di polarizzazione si ottiene l aumento desiderato. Tuttavia, all aumentare della densità di carica, nelle strutture bulk aumenta anche il guadagno dell amplificatore rendendo così più significativi gli effetti di risonanza. Nelle strutture MQW, però, il guadagno è meno sensibile alla densità di portatori e ciò produce un aumento di potenza all uscita. E anche possibile aumentare P o,sat aumentando il rapporto Α/Γ e cioè realizzando un taper nella guida (andando dall ingresso all uscita aumenta la larghezza e, quindi, la sezione trasversale della guida ossia della regione attiva). Oltre all assorbimento intrinseco del materiale, in un SOA esistono altri meccanismi di perdite. Il coefficiente di perdita totale nel SOA è dato da: α (N) = K0 +ΓK1N (3.27) dove K 0 e Κ 1 sono i coefficienti di perdita indipendente dai portatori e dipendente dai portatori, rispettivamente; K 0 rappresenta le perdite del materiale intrinseco e della guida; Κ 1 dipende dall'assorbimento in banda e dalle perdite di scattering dipendente dai portatori. 29

31 Il coefficiente di guadagno netto di un SOA è pari a g = Γg m α (N) (3.28) con g m coefficiente di guadagno del materiale. Quando usati in un qualunque sistema, i SOA devono presentare un accoppiamento ad elevata efficienza con l esterno in ingresso e uscita. Un basso valore della perdita di accoppiamento consente anche di ridurre la figura di rumore. Sono state usate lenti cilindriche (rod lenses) con indice graduale (GRIN lenses) e fibre con terminazione a lente schiacciata (tapered). L efficienza di accoppiamento fra un SOA ed una fibra a singolo modo con le tecniche su descritte è dell ordine di circa 4 db Bulk e Quantum Well SOA I SOA Bulk sono dispositivi le cui dimensioni sono maggiori della lunghezza d onda di debroglie dei portatori λ B = h/p, con p momento dei portatori. Se la regione attiva ha una o più delle sue dimensioni (di solito è lo spessore) dell ordine di λ B il SOA è detto Quantum Well SOA. Naturalmente esistono anche i MQW SOA. I materiali che si usano sono semiconduttori a banda diretta, il cui diagramma energiamomento è in Figura Figura 3.19 Struttura a bande energetiche semplificata di un semiconduttore a bandgap diretto. Nella realtà il momento è un vettore nello spazio tridimensionale. Sono mostrati solo i portatori minoritari sia nella banda di conduzione che nella banda di valenza 30

32 In questa figura si notano tre bande di valenza, che vengono determinate risolvendo l equazione di Schrödinger. La banda heavy hole e la light hole si differenziano per il valore della massa effettiva delle lacune in esse, ma hanno lo stesso valore massimo per lo stesso valore di momento (cioè zero). La banda split-off è separata dalle prime di una quantità finita di energia. In Figura 3.20 sono illustrati i diagrammi a bande di strutture con pozzi quantici. Figura 3.20 Diagrammi a bande di energia di SQW, GRIN SQW, MQW e MQW modificate e senza sforzi. La Figura 2.17, come già riportato, mostra i diagrammi a bande di pozzi quantici con sforzi La larghezza di banda a 3dB del coefficiente di guadagno di un pozzo quantico, alle densità di cariche utilizzate nei SOA, è più grande di quella del materiale semiconduttore bulk e ciò è soprattutto dovuto alla diversa forma della funzione densità degli stati, come in Figura Figura 3.21 Forma delle funzioni densità degli stati per semiconduttori bulk e quantum-well 31

33 Nel caso della funzione continua (bulk) il coefficiente di guadagno dipende fortemente dall energia dei fotoni, mentre nel caso quantum well si ha una minore dipendenza, che porta ad uno spettro più piatto per il coefficiente di guadagno. I SOA con struttura quantum well con sforzi, come già messo in evidenza, permettono di equalizzare i fattori di confinamento dei modi TE e TM con riduzione della dipendenza dalla polarizzazione. Inoltre, la potenza di uscita di saturazione di un SOA è inversamente proporzionale al coefficiente di guadagno differenziale a. ed il valore di questo parametro è più piccolo nelle strutture QW rispetto alle bulk. Pertanto, le strutture QW presentano una potenza di saturazione più elevata. E opportuno notare, comunque, che nelle strutture MQW si ha una riduzione di confinamento e, perciò, di guadagno rispetto a strutture bulk con lo stesso spessore di regione attiva. Ma, come abbiamo già visto, è possibile aumentare il fattore di confinamento aumentando la lunghezza del dispositivo oppure usando lenti GRIN o strutture MQW modificate (Fig.3.20) Modello stazionario dei SOA I modelli stazionario e dinamico, che definiscono il comportamento dei SOA sono strumenti utili al progettista per sviluppare dispositivi ottimizzati. Essi permettono di predire il comportamento di un singolo dispositivo o di una cascata di SOA in una specifica applicazione. Finora sono stati proposti diversi modelli stazionari, alcuni dei quali tendono alla determinazione di soluzioni analitiche, altri invece sviluppano soluzioni numeriche. Le tecniche analitiche, pur non essendo accurate e generali, permettono di conoscere il comportamento del dispositivo a cui si applicano. Le tecniche numeriche sono, in generale, più complicate ma consentono di esaminare il comportamento dei SOA in una sufficientemente grande varietà di regimi di funzionamento. L uso dei personal computer (PC) ha contribuito al maggior successo delle tecniche numeriche. Noi qui faremo riferimento al modello sviluppato da M.J. Connelly nel

34 L obiettivo principale di un modello è di mettere in relazione le variabili interne del SOA a variabili esterne misurabili come la potenza del segnale in uscita, la potenza di uscita di saturazione e lo spettro dell ASE. Il dispositivo a cui si fa riferimento è quello della Fig.3.15; si tratta di un SOA che lavora a 1.55 μm in struttura InP/ In 1-x Ga x As y P 1-y, x e y sono le frazioni molari di arsenico e gallio nella regione attiva non drogata e si assume che i reticoli siano adattati, il che corrisponde a x = 0.47y. La regione attiva ha larghezza w, spessore d e lunghezza L c. Il taper ha lunghezza L t e la sua funzione è di ridurre il fattore di confinamento da Γ (nella zona centrale) a zero (alle estremità dell amplificatore). Ciò permette l espansione laterale del profilo del modo guidato, che migliora l efficienza di accoppiamento con una fibra a singolo modo, all ingresso e all uscita. In prima approssimazione si può assumere per il SOA una lunghezza media pari a L = L c + L t Lasciando invariate le altre caratteristiche geometriche ed il fattore di confinamento. Il coefficiente di guadagno del materiale g m è ricavato utilizzando la formula (3.18). L energia di bandgap può essere espressa da: W(N) = W ekn g g0 g 1/3 (3.29) dove W g0 è l energia del bandgap senza portatori iniettati e K g è un coefficiente ( bandgap shrinkage coefficient ) che dipende dalla composizione del materiale ed il suo effetto è di spostare il picco del guadagno e gli spettri di emissione spontanea verso lunghezze d onda più lunghe. Nel modello si assume che M s segnali con frequenza ottiche ν κ (κ = 1, M s ) vengano iniettati nell amplificatore con potenze Pin κ. I segnali viaggiano nel dispositivo ed escono dalla faccia opposta. Si suppone anche che non vi siano variazioni trasversali, cioè normali alla direzione di propagazione, nei tassi di fotoni e nella densità dei portatori. La componente spazialmente variabile del campo può essere decomposta in due onde viaggianti complesse Es + κ ed Es κ, che si propagano nella direzione z positiva e negativa, rispettivamente. z è lungo l asse del SOA e ha origine sulla faccia sinistra. Le componenti Es + κ ed Es κ devono soddisfare le equazioni dell'onda viaggiante complessa 33

35 + de sκ (z) 1 + = jβ κ + [ Γgm α] Esκ (z) dz 2 de sκ (z) 1 = + jβκ [ Γgm α] Esκ (z) dz 2 (3.30) La soluzione di queste equazioni permette di ricavare il campo e la potenza all uscita (tenendo conto della perdita di accoppiamento): ( ) + out = κ 2 sκ E 1 - r E ( L) P = hν η E outκ κ out out κ 2 (3.31) in cui η out è l efficienza di accoppiamento all uscita ed r 2 è il coefficiente di riflettività di ampiezza della faccia di uscita. Si determina anche il coefficiente di propagazione del segnale 2πn eff ν β κ κ = (3.32) c con n eff indice effettivo della guida. L amplificazione del segnale dipende anche dalla quantità di rumore emesso spontaneamente e generato nell amplificatore stesso. L emissione spontanea non è un segnale coerente perché esso si distribuisce in una larga banda di lunghezze d onda con fasi random fra due lunghezze d onda adiacenti. Se le riflettività delle facce estreme sono non nulle il rumore contribuirà alla presenza di modi di cavità longitudinali. Perciò, i fotoni di rumore esistono solo a frequenze discrete, che corrispondono a multipli interi delle frequenze di risonanza della cavità. La distanza fra una frequenza e quella successiva dei modi longitudinali vale : m c 2neff L Δν = (3.33) I tassi di emissione spontanea devono soddisfare le equazioni travelling-wave, risolvendo le quali si può derivare la formula del rumore totale all uscita, espresso in fotoni/sec. 34

36 Anche la densità dei portatori, nella sezione z, deve soddisfare ad una rate equation. Questa equazione dipende dalla iniezione di portatori nella regione attiva mediante la corrente di polarizzazione, dai meccanismi di ricombinazione radiativi e non radiativi e dalla ricombinazione radiativa di portatori dovuta al segnale amplificato e all ASE. Poiché le equazioni del modello del SOA non possono essere risolte analiticamente, si ricorre alla soluzione numerica. Nel modello numerico il SOA è suddiviso in un numero di sezioni, in ciascuna delle quali viene stimato (alle estremità della sezione) il campo e l emissione spontanea seguendo un appropriato algoritmo. Lo stesso algoritmo permette anche di valutare il valore medio della densità spettrale di fotoni spontanei (rumore) all uscita. La figura di rumore viene calcolata con la formula: σ NF 10 log ASE ηout = 10 + hνg( ν) G( ν) (3.34) in cui G(ν) è il guadagno fibra(ingresso)-fibra(uscita) alla frequenza ν e σ ASE è data da: σ ASE = ( ) R2 ηouthνn j (L) KmΔνm (3.35) dove K m è un coefficiente numerico, N j + (L) è il tasso di fotoni di rumore che viaggiano in direzione z positiva, calcolato all uscita dell amplificatore, più prossimo alla lunghezza d onda del segnale, R 2 è la riflettività di potenza alla faccia di uscita. In Figura 3.22 è riportato un tipico spettro di uscita di un SOA. 35