La distribuzione di Poisson. del tutto casual valor medio

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1 La distribuzione di Poisson. La distribuzione di Poisson riguarda una variabile discreta, che è l occorrenza di un evento, noto il numero delle osservazioni. Descrive il verificarsi di eventi ben definiti, che accadono in un certo intervallo di tempo e/o in un certo luogo definito, a patto che la probabilità dell evento singolo (o del suo contrario) sia piccola. La distribuzione di Poisson è il modello più usato in molte discipline per rappresentare il numero di eventi rari. Ad esempio: il numero di telefonate ricevute da un centralinista in un ora; il numero di errori tipografici per pagina di battitura di una segretaria; il numero di nuclei radioattivi presenti in un ambiente che decadono in 30 secondi. Ciò che accomuna questi numeri è che si tratta di eventi del tutto casuali, cioè senza alcuna connessione, fisica o di qualunque altra natura, che li colleghi tra loro. Ad esempio siamo sicuri che il decadimento di un nucleo in un certo istante non condiziona l istante nel quale decadrà un secondo nucleo radioattivo nella stanza. Per un evento casuale che risponda alle caratteristiche precedenti, si può dimostrare che la probabilità di osservare n eventi (con n un numero intero, 0) in un intervallo spaziale o temporale finito, vale: n µ µ P( n) = e ( n= 0, 1, 2, K ) (1) n! dove µ è il valor medio del numero di eventi per intervallo. Come si vede, questo modello è rappresentato da una formula ad un solo parametro, il valor medio µ, che deve essere calcolato dalla media di un numero N molto grande di osservazioni, in intervalli di tempo assolutamente identici. Notare che n è il numero di risultati favorevoli attesi, e deve necessariamente essere un numero intero positivo, mentre il valor medio µ è un numero reale, positivo. Dalla definizione e ancor meglio dalle figure 1 e 2, si vede che c è una probabilità maggiore di zero di non osservare alcun evento o comunque un numero di eventi favorevoli molto minore del valor medio. Siamo in presenza cioè di una distribuzione asimmetrica, nella quale è sempre favorito un numero di eventi favorevoli nell intervallo minore del valor medio µ, compreso il valore zero. La forma della distribuzione di probabilità di Poisson cambia invece, e diventa sempre più simmetrica, se µ 10. Fig. 1. L andamento di varie curve di Poisson, cioè della probabilità di ottenere n eventi favorevoli, al variare del valor medio µ degli eventi attesi nello stesso intervallo. 1

2 Fig. 2. La probabilità di ottenere n valori di eventi favorevoli nell intervallo, secondo la statistica di Poisson, in funzione del valor medio µ della distribuzione. Dalle figure si nota inoltre che le curve si allargano e il valore del massimo diminuisce all aumentare del valor di µ nell intervallo. E facile intuire infatti che l area sottesa da ciascuna curva è costante, ed in particolare è uguale all unità. In altre parole per poter paragonare diversi risultati sperimentali, che si suppone seguano la distribuzione di Poisson con diversi valori della media µ, bisogna normalizzare i risultati ottenuti nei singoli intervalli. Cioè il numero di volte, N i, che si sono ottenuti n risultati nell intervallo, deve essere diviso per il numero totale N = N di eventi ottenuti, per poterli paragonare con la corrispondente probabilità P(n) della distribuzione di Poisson. i i Esperienza col Geiger. Lo scopo dell esperienza è quello di paragonare diverse distribuzioni di probabilità di eventi assolutamente casuali, che si verificano nel laboratorio, in una successione di intervalli temporali identici. In particolare si tratterà di misurare la distribuzione di probabilità di conteggi di eventi dovuti alla cosiddetta radiazione di fondo. In laboratorio, oltre ai raggi cosmici, che arrivano sulla Terra prodotti dal sole e dalle galassie lontane, sarà interessante misurare anche la parte di radiazione dovuta alla radioattività naturale, cioè a quella dovuta: 1. alle emissioni di particelle (α, β, γ) dovute agli isotopi radioattivi di elementi dotati di tempo di dimezzamento paragonabile con l età della Terra, e che si trovano nei sali minerali distribuiti uniformemente nella crosta terrestre; 2. alle emissioni di particelle (α, β, γ) dovute agli isotopi radioattivi a vita media breve (alcuni anni) di sostanze gassose, che sono creati continuamente nell alta atmosfera, o che sono prodotti dal decadimento delle sostanze radioattive del punto precedente; 3. alle emissioni di particelle (α, β, γ) dovute agli isotopi radioattivi, sia del primo che del secondo tipo, che sono stati metabolizzati dentro i corpi degli sperimentatori; 4. alle emissioni di particelle (α, β, γ) dovute a sorgenti radioattive naturali sufficientemente intense, che sono tenute sotto controllo. È possibile registrare manualmente il numero di eventi che sono stati contati dal rivelatore di particelle in dotazione, in successivi intervalli di tempo identici, tipicamente pari a 30 secondi. Questo intervallo di tempo è sufficiente esteso per avere un valor medio di conteggi pari ad alcune unità, ed è sufficientemente breve per permettere di raccogliere un centinaio di misure in un tempo ragionevole, di circa un ora. I dati raccolti, normalizzati, possono essere paragonati alla distribuzione di Poisson che abbia lo stesso valor medio µ, dopo aver scelto un numero congruo di classi (non superiore a 10), e si 2

3 potrà infine valutare, tramite il test del χ 2, se è accettabile l ipotesi di distribuzione Poissoniana dei dati raccolti. Strumenti in dotazione. Su ogni postazione di lavoro sono presenti tre elementi necessari: 1. un Rivelatore di Particelle Geiger-Mueller, della ditta PASCO, mod. SN-7927A; 2. un Cronometro Calcolatore (Smart Timer), della stessa ditta, mod. ME-8930; 3. una confezione da 1 kg di KCl, un sale presente in tutti gli alimenti. 1. Il rivelatore. Il contatore Geiger-Mueller in dotazione è alimentato con la bassa tensione (5 V) fornita dallo Smart Timer cui è collegato elettricamente, ed è completo dei componenti necessari per ottenere una scarica elettrica nei gas contenuti al suo interno, ogni volta che un decadimento radioattivo provoca una radiazione ionizzante (beta o gamma) che supera la finestrella di mica (protetta da un cappuccio) e ionizza i gas. Questa provetta è riempita in parte di gas nobili (Ne, Ar) e in parte di alogeni, poco ionizzabili i primi, facilmente ionizzabili i secondi. La provetta con i gas è di forma cilindrica e contiene al suo interno due elettrodi coassiali, tra i quali è mantenuta una tensione sufficiente ( 500 V) a provocare la scarica elettrica tra il catodo e l anodo. Nel suo funzionamento il rivelatore Geiger ha una scarsa efficienza (1 10 %), non è in grado di distinguere né il tipo, né l energia delle particelle rivelate. 2. Lo Smart Timer. Modi di funzionamento Display Alimentatore 9V (parete laterale) Interruttore on/off (parete laterale) Vano batterie Tasti funzione Ingresso n 2 Ingresso n 1 Lo Smart Timer è un computer di ridotte dimensioni sulla cui parete anteriore sono chiaramente evidenziate le diverse misure di tempo, di velocità, di accelerazione e di conteggio che si possono fare, a seconda che si adoperino uno o due segnali di ingresso. Lo Smart Timer e acceso portando l interruttore di accensione nella posizione I. Appena acceso appare sul display la scritta: Premendo il tasto rosso 1 (Select Measurements) appaiono nella prima riga del display, in sequenza, le cinque funzioni che sono scritte in rosso nella colonna di sinistra della faccia anteriore dello strumento. Premere ripetutamente il tasto 1 finché appare la scritta Count:. A questo punto si può scegliere tra le quattro opzioni offerte: premendo sul tasto blu 2 (Select Mode). 3

4 Dopo la prima pressione il display mostra la scritta Count: 30 sec, che significa che lo Smart Timer è pronto a contare gli impulsi digitali che gli arrivano all ingresso 1 o 2 (è indifferente), per un intervallo di tempo pari a 30 s. Rimanere in questa opzione (se si continua a premere il tasto 2 si passa ciclicamente attraverso le altre, opzioni che non sono utili in questa esperienza) e inserire a fondo lo spinotto del Geiger nell ingresso n 1, sulla destra dello Smart Timer, se non è stato già inserito. A questo punto alla pressione del tasto nero 3 (Start/Stop) succedono le seguenti cose: 1. compare la scritta 0 nella seconda riga del display; 2. si accende la spia gialla Power Indicator sul Geiger; 3. si ode un flebile bip provenire dal Geiger e si vede incrementare contemporaneamente il numero dei conteggi, per segnalare l arrivo di una particella ionizzante nel Geiger. Non bisogna fermare il conteggio manualmente, né è necessario controllare lo scorrere del tempo, perché quando i 30 s sono trascorsi: 1. si sente un secondo bip provenire dallo Smart Timer ; 2. si spegne la spia sul Geiger; 3. scompare l asterisco ma rimane scritto, nella seconda riga, il numero corrispondente al conteggio finale raggiunto nell intervallo di tempo appena concluso. Questo numero deve essere trascritto su un foglio Excel, per le successive elaborazioni, perché esso scompare quando si preme nuovamente il tasto nero 3 (Start/Stop), pressione che fa ripartire una seconda misura. E così via. Conviene sottolineare che è bene raccogliere un centinaio di conteggi, perché l analisi statistica dei risultati ottenuti abbia significato fisico. Non vale la pena di prolungare il numero di prove, per non consumare del tutto il tempo a disposizione. 3. KCl. Nel materiale in dotazione è presente una confezione di cloruro di potassio, un sale che è comunemente presente in tracce in tutti i nostri alimenti. Nella esperienza in oggetto, questa confezione di cloruro di potassio ha due scopi: 1. ricordare che gli elementi radioattivi a vita media lunga, tra i quali l isotopo K 40, sono parte normale della vita quotidiana degli individui; 2. mettere in evidenza come la concentrazione in un volume ristretto di un elemento radioattivo possa cambiare il valor medio della radiazione di fondo. 9 Il potassio 40 è un radionuclide naturale, con un tempo di dimezzamento pari a 1,3 10 a, che costituisce solo lo % degli altri due isotopi naturali, K 39 e K 41, che sono stabili. Il K 40 decade in Ca 40 emettendo un raggio β (di energia massima 1,3 MeV), oppure decade in Ar 40 emettendo un fotone con energia 1,46 MeV. In ambedue i casi si tratta di particelle ionizzanti molto penetranti. La scarsa percentuale dell isotopo radioattivo e la sua lunga vita media potrebbe far pensare che ben piccolo sia il suo contributo alla radiazione di fondo. Ma bisogna ricordare che il numero di Avogadro è grande, e fa sì che 140 g di potassio, che sono la quantità media di questo elemento all interno delle cellule del corpo di un individuo di 70 kg, producano una media di 4400 disintegrazioni al secondo. Sono noti 17 isotopi del potassio, ma in natura se ne trovano solo tre: il 39 K (93.3%), il 40 K (0.01%) e il 41 K (6.7%), mentre gli altri sono artificiali. Il 40 K decade in 40 Ar (11.2%, stabile) per cattura elettronica ed emissione di positroni, e in 40 Ca (88.8%, stabile) per decadimento beta meno; il 40 K ha una emivita di anni. Il decadimento di 40 K in 40 Ar è usato comunemente per datare le rocce; il metodo convenzionale K-Ar dipende dal presupposto che la roccia non contenesse argon al momento della sua formazione, e che perciò tutto il 40 Ar che contiene, intrappolato nella roccia, sia dovuto al decadimento del 40 K. I minerali sono datati misurando la loro concentrazione di potassio, e poi il loro contenuto di argon. A parte la datazione geologica, gli isotopi di potassio sono usati estesamente come tracciante radioattivo negli studi sul clima. Inoltre si usa per studi sul ciclo dei nutrienti, perché il potassio è un macronutriente necessario per la vita. Il 40 K è abbastanza abbondante rispetto al potassio normale da rendere grosse quantità di sali di potassio una sorgente percettibile di radiazioni, adatta per dimostrazioni in classe. 4

5 Analisi dei dati. Dopo aver raccolto un centinaio di conteggi di 30 secondi ciascuno, senza il barattolo di KCl nelle vicinanze, bisogna raggrupparli in un certo numero di classi, non più di 10, i cui confini vanno scelti in modo che nessun dato giaccia nel confine tra due classi, e che sia ben definito il valore centrale della classe. Nel caso dei conteggi del Geiger la scelta del confine tra le classi è semplificata dal fatto che i numeri sono sempre interi: sarà sufficiente scegliere i confini delle classi a metà strada tra due numeri interi. Ad esempio in un esperimento di N = 100 prove di 30 s ciascuna, si è ottenuto un conteggio complessivo pari a 887, con una media µ= 8,87 eventi favorevoli per prova, con la seguente distribuzione statistica, riportata in Tabella 1: eventi favorevoli frequenza valor medio µ = 8,87 Tab. 1. Distribuzione dei conteggi in 30 s dovuti ai cosmici e alla radioattività naturale. Geiger 30 s Frequenza Conteggi I dati raccolti sono riportati nel grafico accanto, insieme ai punti della previsione con la statistica di Poisson, con lo stesso valor medio ma moltiplicati per N = 100, il numero complessivo di misurazioni effettuate. Come si nota i punti sperimentali stanno a cavallo della curva teorica, la Poissoniana con µ = 8,87 con i dati numerici moltiplicati per 100, il numero di misurazioni complessive, curva che è stata disegnata solo per facilitare l occhio. 5

6 In un esperimento successivo, si sono raccolti i conteggi con il contatore Geiger in vicinanza del barattolo contenente KCl, sempre per N = 100 misurazioni di 30 s ciascuna. I conteggi ottenuti sono stati complessivamente 1947, con valor medio µ = 19,47 e i risultati sono riportati in tabella 2. classe di conteggi frequenza valor medio µ = 19,47 Tab. 2. Distribuzione dei conteggi in 30 s dovuti ai cosmici, alla radioattività naturale e alla radiazione del K 40 contenuto in un barattolo da 1 kg di KCl. Come si nota dalla tabella 2 e nel grafico corrispondente, rispetto a quella dell esperimento precedente, è aumentato parecchio il valor medio µ, Distribuzione conteggi KCl che è passato da 8,87 a 19,47, dimostrando che la concentrazione di un elemento radioattivo naturale in uno spazio limitato, può dar luogo ad un considerevole aumento della radiazione di fondo in quelle vicinanze. Si nota inoltre anche che sono diminuiti mediamente i conteggi ottenuti per ciascuna classe, mentre è notevolmente aumentato il numero delle classi di conteggio. I conteggi complessivi del fondo sono più che raddoppiati rispetto al caso precedente, senza KCl. E aumentato invece sia il valore che il numero delle classi, che ora sono 23 e vanno da 10 a 32, mentre prima erano 15 e andavano da 3 a Possiamo dire di aver verificato sperimentalmente che Conteggi le previsioni fatte a proposito della distribuzione di Poisson: all aumentare del valor medio la distribuzione si allarga e si abbassa. Frequenze 6

7 In questo caso può essere interessante, vista la numerosità delle classi e la grande dispersione dei dati, cercare di ridurre sia l una che l altra raggruppando le classi e sommando i dati corrispondenti. Ad esempio, se si raggruppano terne di classi in una soltanto, si ottiene la seguente tabella: confini della classe valore centrale frequenza Poisson X 3 9,5-12, ,9 12,5-15, ,5 15,5-18, ,6 18,5-21, ,4 21,5-24, ,3 24,5-27, ,7 27,5-30, ,5-33, ,7 valor medio µ = 19,47 Tab.2. Come la Tab. 1 ma con i valori delle classi comprendenti tre di quella precedente. Come si vede dal grafico corrispondente, questa operazione di raggruppamento tra le classi porta sia ad una minore dispersione dei dati sperimentali, sia ad una migliore aderenza dei dati stessi alla previsione teorica della distribuzione Poissoniana con valor medio µ = 19,47. I valori previsti dalla distribuzione teorica devono essere moltiplicati per 100, il numero N delle misurazioni fatte, e ancora per 3, il numero delle classi che sono state raggruppate, come compare nella scritta dell ultima colonna della Tab. 2: Poisson X 3. Frequenze Frequenze dei conteggi KCl (30 s) Conteggi Sia l esperienza precedente della radiazione di fondo del laboratorio, sia quest ultima con l aggiunta dei decadimenti di K 40, sono esperienze identiche, che avvengono nei dieci tavoli del laboratorio. Notiamo che sono diverse le efficienze dei rivelatori Geiger; sono diverse le durate delle finestre temporali di ciascuno Smart Timer, che sono 30 s solo nominalmente, e andrebbero controllate con un orologio campione ; sono diverse le distanze di ciascun Geiger dai muri del laboratorio, nei quali sono dispersi i sali contenenti i diversi nuclei radioattivi e i loro prodotti di decadimento; sono diverse le dislocazioni degli studenti ed è diverso il contenuto di K 40 in ciascuno di essi. Tutte queste differenze fanno aumentare le differenze delle varie misurazioni nelle stesse classi di conteggioi. NOTA: Su Excel è possibile ricostruire la Poissoniana ideale mediante il comando =POISSON(n di eventi;valore medio eventi;falso) 7