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36 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Introduzione 3 Indice Perché l analisi non lineare...5 Il metodo POR...5 Sintesi delle caratteristiche del metodo POR...6 Modellazione con elementi finiti di superficie...6 Sintesi delle caratteristiche del metodo ad elementi finiti di superficie...8 Il metodo a telaio equivalente...8 Previsioni di intervento Strutture miste Calcolo automatico delle eccentricità accidentali Sintesi delle caratteristiche del metodo Il modello 3Muri...16 Confronto metodo POR - metodo a Macroelementi 3Muri Applicabilità del metodo POR secondo la Circolare del Osservazioni Confronto modellazione ad elementi finiti con modellazione a macroelementi (3Muri) Conclusioni Pareti...23 Costruire il modello...27 Inizio... 27

37 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 4 Parte 2 Teoria

38 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 5 Perché l analisi non lineare Nel tempo sono stati sviluppati diversi metodi di analisi delle strutture in muratura, a partire dal metodo POR sino alla più recente analisi non lineare (push-over). Nel seguito sono illustrate le diverse metodologie di calcolo, con la sintesi dei vantaggi e svantaggi per ciascun metodo. Il metodo POR Il primo metodo esaminato è il cosiddetto metodo POR, sviluppato negli anni 80, cioè in un periodo di ancora scarsa diffusione dei computer. Uno degli obiettivi di questo metodo era infatti rendere possibile, nonostante le difficoltà connesse all analisi incrementale a collasso, l applicazione anche attraverso procedimenti di calcolo manuale. Per questo il metodo POR schematizza la struttura in modo molto semplificato, tenendo conto del contributo resistente dei soli elementi murari disposti verticalmente (,, della figura seguente [Fig.1]) senza prendere in esame la rigidezza reale delle fasce orizzontali di muratura. La scelta di considerare il solaio a rigidezza infinita, come sistema di collegamento tra le diverse pareti murarie in sostituzione dell effettiva rigidezza del sistema solaio più fascia, equivale ad utilizzare un modello di calcolo in cui gli elementi murari verticali sono da considerarsi a rotazioni impedite all estremità [Fig.2]. (1) (2) (3) [Fig.1] [Fig.2] Solaio e Fascia deformabili sono assimilati ad un impalcato Rigido. Elementi murari a rotazione impedita

39 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 6 Sintesi delle caratteristiche del metodo POR - Il modello è semplificato, di facile implementazione numerica ed eventualmente calcolabile anche a mano - Si deve assumere l ipotesi di solai infinitamente rigidi - Non sono previsti meccanismi di danneggiamento delle fasce - La rigidezza strutturale è sovrastimata - La duttilità strutturale è fortemente sottostimata Modellazione con elementi finiti di superficie Un edificio in muratura può essere analizzato discretizzando le pareti mediante elementi finiti di superficie con programmi FEM classici. L analisi è tanto più significativa quanto maggiore è il grado di dettaglio della mesh, quindi risulta mesh dependent e fortemente condizionata dalle operazioni di definizione del modello. Questi tipo di analisi risulta decisamente più onerosa in termini computazionali ed è solo realizzabile con programmi di calcolo automatico. Nel caso in cui venga considerata una legge costitutiva non lineare del materiale, il metodo può prendere in esame il corretto degrado della muratura, riducendo la resistenza degli elementi danneggiati. La definizione dei parametri richiede una accurata conoscenza del materiale murario ad un livello di dettaglio non esplicitamente contemplato nelle normative la cui valutazione si può ricavare solo attraverso accurate analisi sperimentali. La mancanza di questi parametri o la non corretta valutazione, equivale ad ottenere, come risultato di un analisi statica non lineare, una curva pushover che non prende in esame il tratto discendente che si forma a causa del danneggiamento strutturale [Fig.3]. L ordinanza invece definisce il valore ultimo in corrispondenza al decadimento del taglio del 20% rispetto al valore massimo. Non è quindi possibile definire il collasso, in accordo a quanto richiesto dall Ordinanza.

40 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 7 Decadimento del 20% [Fig.3] I risultati di analisi di questo tipo forniscono mappe [Fig.4] che mettono in luce il livello tensionale localizzato della muratura. Il valore puntuale di tensione superiore al valore limite non rappresenta la rottura del pannello murario. I criteri di resistenza per gli elementi murari dipendono infatti da valori delle caratteristiche di sollecitazione che non hanno una corrispondenza diretta con lo stato tensionale, considerando quindi non gli effetti puntuali delle tensioni, ma anche possibili ridistribuzioni dovute al comportamento non lineare ed al degrado. Per eseguire una analisi corretta e coerente, è quindi necessario rielaborare i risultati della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione. [Fig.4]

41 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 8 Sintesi delle caratteristiche del metodo ad elementi finiti di superficie - Dipendenza dell analisi dalla mesh (mesh dependent) e tempo di calcolo fortemente dipendente dalle dimensioni del modello; per grandi modelli il tempo di calcolo può essere notevole. - Definizione puntuale delle leggi costitutive del materiale di difficile reperimento - L ordinanza non contiene tutti i parametri necessari a definire il comportamento non lineare ed il degrado, senza i cui valori non è possibile applicare coerentemente i criteri di resistenza ed i limiti di spostamento associati al decadimento della resistenza globale della curva di capacità. - Per l applicazione dei criteri di resistenza a taglio e pressoflessione alla muratura è necessario integrare gli effetti nodali sui singoli elementi murari, almeno a controllo e verifica di quanto ottenuto con il modello costitutivo non lineare. - L Ordinanza non presenta riferimenti espliciti a modellazione dei pannelli mediante discretizzazione in elementi di superficie ma propone una modellazione a telaio equivalente con maschi, travi in muratura ed eventuali altri elementi strutturali in c.a. ed acciaio. Il metodo a telaio equivalente L Ordinanza 3274, con la modifica OPCM 3431, fornisce alcune considerazioni generali (punto 4.4) sulle modalità di modellazione delle strutture con la finalità dell analisi sismica globale. Per gli edifici esistenti in muratura ordinaria vengono inoltre precisate alcune particolarità e suggeriti i relativi concetti per la loro modellazione (punto ). Il modello di riferimento è quello a telaio equivalente tridimensionale, in cui le pareti sono interconnesse da diaframmi orizzontali di piano (solai). Nello specifico degli edifici in muratura, la parete potrà essere adeguatamente schematizzata come telaio, in cui vengono assemblati gli elementi resistenti (maschi e fasce) ed i nodi rigidi. Le travi di accoppiamento in muratura ordinaria, o fasce, saranno modellate solo se il progettista le riterrà adeguatamente ammorsate alle pareti. Dividendo la parete in tratti verticali corrispondenti ai vari piani e nota l'ubicazione delle aperture, vengono automaticamente determinate le porzioni di muratura, maschi murari e fasce di piano in cui si concentrano deformabilità e danneggiamento (come è

42 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 9 verificabile dalle osservazioni dei danni da sismi reali, da simulazioni sperimentali e numeriche). Quindi maschi e fasce sono modellate con i macroelementi finiti bidimensionali, rappresentativi di pannelli murari, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo (u x, u z, rot y ). Le restanti porzioni di parete vengono dunque considerate come nodi rigidi bidimensionali di dimensioni finite, a cui sono connessi i macroelementi; questi ultimi trasmettono, ad ognuno dei nodi incidenti, le azioni lungo i tre gradi di libertà del piano. Nella descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di coordinate (x,z) nel piano della parete; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente u x, u z, rot y (nodi bidimensionali). Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete diviene quindi del tutto assimilabile a quello di un telaio piano. NODO RIGIDO FASCIA MASCHIO La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi, individuate nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità. Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello prevede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono sprovviste di rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano compresse. Questa loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità nel modello. L Ordinanza ha, tra i suoi presupposti, il carattere prestazionale: le indicazioni sulle modalità di modellazione e verifica degli elementi costituiscono un riferimento per un affidabile modellazione non lineare.

43 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 10 L Ordinanza richiede la formulazione di meccanismi che considerino sia la risposta flessionale, sia la risposta a taglio (cfr. Ordinanza punto ): il meccanismo di pressoflessione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l effettiva ridistribuzione delle compressioni dovute sia alla parzializzazione della sezione, sia al raggiungimento della resistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo associato al meccanismo di pressoflessione è determinato sulla base del valore massimo di drift previsto per questo meccanismo: 0.6% (Ordinanza punto e punto ). Il meccanismo di taglio, descritto secondo il legame sviluppato da Gambarotta- Lagomarsino, riesce a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza dell elemento, attraverso le grandezze descrittive del danneggiamento. La deformazione ultima a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift previsto dalla normativa: 0.4% (cfr. Ordinanza punto e punto ). La struttura risulta così modellata dall assemblaggio di strutture piane: le pareti e gli orizzontamenti, entrambi privi di rigidezza flessionale fuori dal piano. Il modello così realizzato mette in luce il comportamento spaziale della struttura. Per questo masse e rigidezze sono distribuite su tutti i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. nel piano (nodi bidimensionali). I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di libertà nel piano di riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti (localizzati nelle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di gradi di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali). Previsioni di intervento Potenzialità di tale tecnica di modellazione è quella di individuare i punti di debolezza strutturale mediante una mappatura colorata (ad ogni colore viene associato un livello di degrado localizzato).

44 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 11 Il degrado strutturale di ogni singola parete, come conseguenza del progressivo caricamento della struttura è evidenziato mediante mappe di danneggiamento riportate sulle pareti. La figura a fianco riporta le scale di colore che individuano i diversi gradi di danneggiamento dei vari elementi strutturali (pareti, pilastri, cordoli, travi, setti) secondo le varie gradazioni raggiunte. Le figure nella pagina seguente riportano i diversi stadi di degrado della struttura in funzione del livello di carico raggiunto.

45 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 12 Struttura non caricata Mediamente caricata Elementi E71 ed E73 raggiungono la rottura per presso flessione Fortemente caricata Elementi da E71 a E78, E100, E101 raggiungono la rottura per presso flessione

46 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 13 Grazie a questo strumento è possibile individuare i punti in cui intervenire per eseguire opere di adeguamento mirato. Strutture miste Elemento caratterizzante di tale modellazione è la possibilità di esaminare strutture in muratura miste, in cui la presenza del c.a., legno, acciaio forniscono un notevole contributo alla resistenza della struttura. Sebbene la resistenza degli elementi strutturali in c.a. sia quasi sempre maggiore di quella degli elementi murari, tale procedura di calcolo permette di monitorare le sequenze di rottura dei vari elementi indipendentemente dalla tipologia strutturale e dal materiale a cui appartengono andandoli ad escludere dal contributo alla resistenza complessiva quando si rompono. La possibilità di tenere in conto del contributo di resistenza di elementi strutturali differenti dalla muratura permette al progettista di superare i limiti progettuali del metodo POR.

47 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 14

48 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 15 Calcolo automatico delle eccentricità accidentali Definita la pianta dell edificio, le eccentricità accidentali richieste dalle normative vengono calcolate in modo automatico. Questo comporta la creazione di una tabella per il calcolo di 24 condizioni di carico, quante sono quelle previste da normativa. Sintesi delle caratteristiche del metodo - Modellazione a telaio equivalente con tutte le specifiche richieste da normativa - Gli elementi del modello, maschi e fasce, consentono il calcolo diretto delle sollecitazioni per confrontarle con i valori limite forniti dalla normativa. - Presa in esame di strutture miste (muratura, trave, pilastri, setti in c.a., acciaio e legno) con comportamento non lineare di tutti gli elementi. - La modellazione delle pareti a telaio equivalente permette di realizzare l assemblaggio spaziale delle pareti, collegandole tramite elementi deformabili per la simulazione dell effettiva rigidezza dei solai. - Lettura dei risultati semplice ed intuitiva: possono essere individuate le cause di danneggiamento locale e globale per taglio o presso-flessione potendo intervenire efficacemente per consolidare la struttura. - La notevole velocità di calcolo non lineare è poco sensibile alla dimensione del modello.

49 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 16 Il modello 3Muri Confronto metodo POR - metodo a Macroelementi 3Muri Calcolare un edificio con elementi a rotazione impedita e piano infinitamente rigido (Metodo POR) equivale solitamente a sovrastimare la rigidezza e a sottostimare la duttilità strutturale. Si consideri ad esempio un edificio in muratura a 3 piani, senza cordoli a livello dei piani, rappresentativo quindi di molti edifici esistenti. Solaio Rigido Solaio Deformabile Differenza di Spostamento Ultimo [Fig.5]

50 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 17 Il confronto tra i modelli non è esattamente un confronto tra il metodo POR e i metodi a telaio equivalente: il POR analizza separatamente i singoli piani e poi va a "sovrapporne" la risposta. Il diagramma precedente [Fig.5] mette in luce, oltre alla maggiore rigidezza del modello ad impalcato rigido con rotazioni bloccate, rispetto a quello reale (deformabile e valutato con 3Muri), anche valori di duttilità decisamente inferiori. La curva di colore rosso (intermedia alle altre due), corrisponde ad una struttura il cui piano è stato irrigidito dalla presenza di cordoli, il cui comportamento è intermedio tra i due casi estremi precedentemente illustrati. Da quanto qui descritto emerge il seguente confronto tra le due normative:

51 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 18 OPCM 3274 NON Verificata DM 96 Verificata

52 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 19 OPCM 3274 Verificata DM 96 NON Verificata Applicabilità del metodo POR secondo la Circolare del Il metodo di calcolo POR è riportato nell appendice della circolare del ed è considerato un metodo semplificato applicabile solo in condizioni ben precise chiaramente illustrate nella normativa: Nel caso di pareti poco snelle e quindi funzionanti prevalentemente a taglio, quali possono generalmente considerarsi quelle di edifici di limitata altezza (2 o 3 piani) e con fasce di piano fra file di aperture contigue e sovrapposte molto rigide e di sufficiente resistenza, il collasso si realizza in genere con la rottura a taglio degli elementi murari verticali (maschi) e la verifica può essere condotta con il procedimento POR (esaurientemente illustrato in appendice). Quando invece le ipotesi precedenti non sono soddisfatte: Edifici relativamente alti (4 piani ed oltre), o per l'insufficiente rigidezza o resistenza delle fasce di piano, il collasso si realizza in genere con una preventiva rottura a taglio delle fasce di piano, seguita da quella dei maschi murari per effetto combinato di flessione e taglio. La verifica dovrà allora condursi con metodi di calcolo che tengano

53 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 20 opportunamente conto delle prevedibili modalità di collasso. Le pareti possono essere verificate schematizzandole come telai piani. Il metodo di calcolo più generico, già prescritto nella circolare del 1981, per tutti i casi in cui non era applicabile il metodo semplificato (POR), indirizza il progettista verso il nuovo metodo di calcolo attualmente adottato nell OPCM. Il metodo di calcolo descritto prevede una modellazione a telai piani che è attualmente impiegata nella teoria a macroelementi implementata nel software 3muri. Osservazioni La scelta di adottare impalcati rigidi (metodo POR) si mostra notevolmente restrittiva per l impiego della Normativa OPCM Il metodo POR presuppone la modellazione delle travi in muratura come infinitamente rigide, escludendo così la possibilità che queste possano danneggiarsi e rompersi: oltre a non essere coerente con il comportamento effettivo delle costruzioni, il metodo non fornisce nemmeno le sollecitazioni agenti su tali elementi non consentendone la verifica. A differenza dei metodi a telaio equivalente, il metodo POR non consente di effettuare analisi che rispettino l equilibrio, né a livello locale né globale: analizzando separatamente la risposta dei singoli piani della costruzione non è possibile valutare la variazione delle azioni verticali connesse all applicazione delle forze orizzontali, né garantire l equilibrio nel passaggio tra un maschio e quello corrispondente al piano superiore. Oltre agli aspetti legati al superamento o meno delle verifiche prescritte dalle diverse normative, è opportuno rilevare come l analisi a telaio equivalente (macroelementi) sia in grado di simulare in maniera più corretta la risposta reale, consentendo quindi una valutazione più affidabile ed una consapevole scelta dei più efficaci metodi di consolidamento.

54 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 21 Confronto modellazione ad elementi finiti con modellazione a macroelementi (3Muri) Si riassumono le problematiche dell analisi agli elementi finiti rispetto al modello a macroelementi. - Tempi di calcolo rilevanti dovuti ad un consistente onere computazionale. - L'Ordinanza fa esplicito riferimento ai modelli a telaio equivalente, sia quando tratta dei metodi di analisi (8.1.5), sia quando precisa come eseguire le verifiche (8.1.6 e 8.2.2). Si parla infatti sempre di elementi murari o strutturali. - Nell Ordinanza le verifiche sono eseguite in termini di caratteristiche di sollecitazione (N, T e M) e non di tensione puntuale nella muratura: una analisi ad elementi finiti richiede la successiva integrazione su tutto l elemento murario poiché i criteri di resistenza forniti dalla normativa sono espressi in termini globali per il pannello. - Una analisi di dettaglio, come quella ad elementi finiti, richiede legami costitutivi puntuali definiti da un numero di parametri maggiore di quelli forniti dall ordinanza che il progettista si trova a dover definire in modo arbitrario (approssimati) o mediante accurate analisi sperimentali. - Anche la lettura finale dei risultati dell analisi può non essere agevole o univoca, nel caso dei metodi agli elementi finiti, e richiede notevole esperienza e competenza specifica. Conclusioni Da quanto fino ad ora detto emerge come sia complesso effettuare una verifica con un modello FEM continuo, rispettando in modo inequivocabile le indicazioni dell'ordinanza. Per le difficoltà che pone, tale strategia di modellazione è indicata per analisi specialistiche di strutture particolari o monumentali (chiese, torri, ponti in muratura), ma non adeguata a rispondere alle esigenze correnti, di accuratezza, velocità e semplicità di lettura dei risultati, proprie della pratica ingegneristica.

55 Parte 2 Pratica

56 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 23 Pareti Nella Parte 1 abbiamo già visto come inserire le pareti della struttura; spieghiamo ora meglio il concetto di parete e come interviene nella modellazione. Le linee che rappresentano le pareti sono la base per la definizione di pannelli murari, travi, catene e pilastri. La parete rappresenta la sintesi, tratta dal disegno architettonico, della struttura da modellare sia sul piano orizzontale che verticale. Per sintesi si intende che è necessario cogliere gli aspetti resistenti principali della struttura, semplificando, se è il caso, lo schema da introdurre graficamente. Nell immagine seguente si vede come le pareti possano sintetizzare un insieme di muri rappresentandoli con il loro asse (le linee di colore rosso rappresentano le pareti). Esplodendo il sistema di pareti si può notare come diversi segmenti contigui che possiedono definizione nell ambiente struttura, appartenenti alla medesima retta, debbano essere modellati mediante una parete unica.

57 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 24 Le due figure riportate nel seguito chiariscono quale sia il modo corretto di realizzare il modello. La parete 1 deve restare unica e non spezzata in 4 pareti. Parete Unica : MODELLO CORRETTO Pareti Separate : MODELLO NON CORRETTO Il concetto di sintesi nella definizione di un modello, richiede che il progettista sappia distinguere gli elementi strutturalmente significativi ai fini della modellazione. Se ad esempio ritroviamo nella pianta architettonica dei disassamenti tra i piani medi delle murature e se questi disassanmenti un unica parete come illustrato nel seguito.

58 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 25 MODELLO NON CORRETTO: Seguire rigidamente l asse delle murature può comportare il formarsi di piccoli tratti di parete poco significativi che forvierebbero la natura del calcolo. MODELLO CORRETTO: Il concetto di sintesi della muratura è rappresentato nella figura seguente. Quando sul medesimo allineamento vi sono differenti elementi strutturali non si devono definire pareti distinte (vedere figura). Sebbene gli elementi strutturali presenti sul medesimo allineamento siano differenti la parete inserita deve rimanere unica (b), usufruendo del comando apposito per se-

59 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 26 parare la parete in più parti quando si arriverà alla definizione degli elementi strutturali. In base alla tecnica di inserimento qui descritta la soluzione (a) NON è corretta.

60 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 27 Costruire il modello Inizio INIZIO APRI Avviamo 3Muri facendo doppio clic sull'icona 3Muri nel menù Start Programmi S.T.A.DATA. Apriamo il modello iniziato nella parte precedente del corso mediante il pulsante apri. Nella finestra di dialogo, selezionare il nome del progetto Ritroviamo così sullo schermo la pianta del modello Esempio con la quale avevamo lavorato nella lezione precedente.

61 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 28 AMBIENTE STRUTTURA Attiviamo la cartella dell ambiente struttura. MATERIALE Premiamo il pulsante per visualizzare la finestra di definizione dei materiali. Questa finestra è dotata di una libreria base di materiali classificati per tipologia. Se è selezionata la voce muratura, come nella figura precedente, si possono eseguire modifiche del materiale predefinito. MODIFICA MATERIALE Premiamo il pulsante che permette di editare il materiale Muratura selezionato.

62 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 29 Premiamo questo pulsante per visualizzare un estratto dalla norma che ci aiuterà nella scelta del materiale più consono. La tabella ci mostra le caratteristiche del materiale predefinito, tipico di una muratura in mattoni pieni e malta di cal-

63 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 30 ce. Decidiamo di mantenere le caratteristiche già inserite per la muratura. Chiudiamo la tabella delle tipologie murarie. Confermiamo l inserimento nella finestra proprietà materiale. Chiudiamo la finestra materiali ELEMENTI STRUTTURALI Attivando questo pulsante è possibile definire le caratteristiche degli elementi strutturali che possono essere assegnate a ciascuna parete. Premendo il pulsante cambia la forma del puntatore facendolo diventare puntatore di selezione.

64 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 31 SELEZIONE La selezione può avvenire con due modalità differenti: 1. Selezionando in sequenza tutte le pareti una per una. 2. Selezionando tutte le pareti insieme attraverso l individuazione di una finestra di selezione (trascinando il mouse) Si può scegliere la modalità di selezione preferita in modo da ottenere tutte le pareti evidenziate in rosso (vedere figura seguente)

65 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 32 TASTO DESTO MOUSE Premiamo il tasto destro del mouse per confermare la selezione. Viene presentata la finestra di definizione delle caratteristiche degli elementi strutturali. La finestra permette di assegnare le caratteristiche alle pareti secondo la seguente classificazione: Pannello murario (muratura) Pannello+Cordolo (muratura+cordolo c.a.) Pannello+Trave (muratura+cordolo Avviaio o Legno) Pannello+Catene (muratura+catena) Setti c.a. Travi c.a. /Acciaio/Legno Catena

66 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 33 Quanto elencato sopra costitusce l insieme degli oggetti strutturali disponibili in 3Muri. Maggiori dettagli sono riportati manuale tecnico disponibile del programma. Selezioniamo la voce Pannello murario A video appare la seguente finestra: Inseriamo il valore dello spessore della muratura pari a 40 cm. FONDAZIONE Notiamo che, in basso a sinistra, appare selezionata in grigio la casella associata al vincolo di fondazione. Stiamo inserendo il primo piano dell edificio, sotto ad esso sono presenti le strutture di fondazione. Confermiamo l inserimento delle murature premendo il pulsante OK della finestra.

67 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 34 MODIFICHE Modifichiamo una parete per sostituire la muratura appena inserita con una trave. TASTO DESTRO MOUSE Posizioniamo il puntatore sulla parete da modificare (sopra evidenziata) e premiamo il tasto destro del mouse. Appare così il menu contestuale. MODIFICA Richiamiamo il comando Modifica Il programma ci ripropone la finestra per la definizione delle caratteristiche con le proprietà della muratura precedentemente definita. Premiamo il pulsante Trave C.A. Appare quindi:

68 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 35 COMPILAZIONE CARATTERISTICHE TRAVE Si devono inserire le caratteristiche geometriche e meccaniche. Inseriamo i parametri della trave come indicato nell immagine riportata sotto (lasciamo i materiali già definiti). Confermiamo l inserimento della trave premendo il

69 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 36 pulsante OK presente nella finestra. Se vogliamo inserire un pilastro è necessario inserire prima un nodo di elemento da usarsi come punto di inserimento per il pilastro. INSERIMENTO NODO Premiamo il pulsante per l inserimento del nodo e spostiamoci nell area grafica in corrispondenza del punto medio della trave. Il programma individua automaticamente il punto medio della trave mediante gli snap alla grafica che fanno assumere al puntatore la forma. TASTO SINISTRO MOUSE Premendo il tasto sinistro del mouse viene inserito il nodo. TASTO DESTRO MOUSE Chiudiamo con la pressione del tasto destro del mouse il comando di inserimento del nodo.

70 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 37 Nodo di Elemento inserito PILASTRO Premendo il pulsante di inserimento del pilastro viene richiesto di selezionare ( inserire i pilastri. ) i nodi in cui si intendono Selezioniamo il nodo appena inserito. TASTO DESTO MOUSE Chiudiamo con la pressione del tasto destro del mouse il comando di selezione dei nodi. Si attiva così l ambiente di definizione delle caratteristiche dei pilastri.

71 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 38 I pilastri possono essere in : c.a. muratura acciaio/legno Nel caso in esame il pilastro viene realizzato in c.a. Procediamo ad aggiornare la finestra con i valori da definire per il pilastro (vedere finestra aggiornata qui nel seguito).

72 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 39 Confermiamo l inserimento del pilastro premendo il pulsante OK presente nella finestra. A video compare lo schema come illustrato dalla figura seguente

73 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 40 VISTA PIANTA LIVELLO In questa vista, presentata nell ambiente struttura, compaiono i vari elementi strutturali inseriti nel modello. Ciascun elemento ha una particolare codifica: M: muratura T: trave P : pilastro Il numero che segue la lettera, indica l identificativo dell elemento strutturale esaminato. VISTA PIANTA LIVELLO Premiamo nuovamente il pulsante Vista Pianta del Livello per ritornare alla vista standard. Le operazioni comprese in questa parte sono riprodotto in un filmato disponibile al link: Scarica Filmato Arrivederci al prossimo appuntamento: 26 settembre 2006.

74 Parte 3 Luca Borgesa Adriano Castagnone Verifiche Sismiche Edifici in Muratura

75 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Introduzione 3 Indice Il macroelemento...5 Il Macroelemento...7 Definizione dello spostamento ultimo (drift) per il macroelemento Le peculiarità di modellazione del macroelemento connesse alle prescrizioni dell Ordinanza L elemento trave non lineare in muratura Il Telaio equivalente...19 La Modellazione La modellazione della parete La modellazione tridimensionale Come opera 3Muri...28 Costruzione automatica del telaio equivalente in 3Muri Strutture non regolari Costruire il modello...35 Inizio... 35

76 Parte 3 Teoria

77 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 5 Il macroelemento L osservazione dei danni provocati dal terremoto è la fonte principale per conoscere e valutarne gli effetti sulle strutture. La complessità del problema non consente a priori analisi teoriche rigorose ed il punto di partenza è l analisi di come le strutture rispondono alle sollecitazioni sismiche. Nelle figure seguenti si evidenziano gli effetti del sisma su due strutture: L osservazione sistematica di queste strutture in muratura ha evidenziato i tre principali meccanismi di rottura riportati sotto:

78 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 6 a) presso flessione b) scorrimento c) taglio (da Lagomarsino) A seguito di questo considerazioni, sono stati sviluppati modelli di calcolo secondo l ipotesi di telaio equivalente basati sulla formulazione non lineare di macroelementi rappresentativi delle caratteristiche dei pannelli in muratura. elemento rigido elemento fascia elemento maschio aperture Come indicato in figura si individuano tre tipi di elementi: elementi fascia, posti sopra le aperture, elementi maschi posti a fianco delle aperture ed elementi rigidi, che si trova compreso tra gli altri elementi e che in genere non confina con aperture Di seguito si riporta la trattazione matematica del macroelemento implementato in 3Muri (tratto dal testo

79 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 7 Il modello di macroelemento proposto da Gambarotta e Lagomarsino (Gambarotta et al., 1996) è un modello a base meccanica in cui è formulato un legame costitutivo non lineare con danneggiamento, degrado di resistenza con softening e degrado di rigidezza, che consente di cogliere i modi di collasso tipici del pannello murario. Questo modello costitutivo è alla base del codice di calcolo strutturale TREMURI (Galasco et al., 2002, 2004, Penna, 2002). Il codice permette di effettuare le principali procedure di analisi numerica richieste in ingegneria sismica, in particolare anche in accordo con quanto descritto dall Ordinanza 3431, su strutture in muratura bidimensionali e tridimensionali. Il programma TREMURI è stato progettato, infatti, per eseguire analisi statiche incrementali non lineari (in controllo di forza o in controllo di spostamento, ed, in particolare, mantenendo una predeterminata distribuzione di forze - pushover -) e analisi dinamiche non lineari al passo. E possibile, inoltre, eseguire analisi statiche lineari ed analisi modali. Il Macroelemento La costruzione di un macroelemento, rappresentativo di un intero pannello murario, deve permettere la formulazione di equazioni d equilibrio che coinvolgano un numero limitato d incognite e deve poter rappresentare un modello cinematico capace di cogliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione delle strutture murarie. Si consideri un pannello di larghezza b e spessore s costituito di tre parti: la deformabilità assiale sia concentrata nei due elementi di estremità e di spessore infinitesimo Δ, infinitamente rigidi ad azioni taglianti, e la deformabilità tangenziale sia situata nel corpo centrale di altezza h che, viceversa, è indeformabile assialmente e flessionalmente. Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia e.

80 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 8 Δ 3 ϕ j w j u j j 2 ϕ w 2 2 u 2 M 2 2 N 2 T 2 3 M j M 2 N j j T j 2 T 2 N 2 h 2 δ φ 2 n m w 1 Δ (a) 1 ϕ 1 1 i w i b u 1 u i ϕ i s 1 T 1 M 1 N 1 (b) 1 N 1 M 1 1 T 1 i T i M i N i Figura 1.1: macroelemento Modello cinematico del Le ipotesi di rigidità introdotte consentono di semplificare la cinematica del macroelemento imponendo opportune condizioni di congruenza all interno delle singole sottostrutture, e. Avendo indicato con w gli spostamenti assiali, con u quelli trasversali e con ϕ le rotazioni, si può affermare che u 1 = u i ; u 2 = u j (infatti i corpi e hanno rigidezza tagliante infinita e spessore Δ tendente a zero) e w 1 = w 2 = δ; ϕ 1 = ϕ 2 = φ (il corpo centrale è assialmente e flessionalmente rigido e δ, φ rappresentano rispettivamente lo spostamento assiale e la rotazione). Dal punto di vista cinematico il modello è quindi descritto da otto gradi di libertà: le sei componenti di spostamento dei nodi di estremità (u i, w i, ϕ i, u j, w j, ϕ j ) e le due componenti del macroelemento (δ e φ). Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall assenza di una significativa resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto elastico monolatero nelle interfacce e, mentre il meccanismo di rottura a taglio è schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale ( si assume T i = T j ), attraverso un legame tra le componenti cinematiche u i, u j, φ, lo stato tensionale e le variabili descrittive del comportamento plastico (il grado di danneggiamento α e lo scorrimento plastico γ p ). Il danneggiamento per fessurazione sulle fasce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio-scorrimento, è, infatti, rappresentabile mediante la componente anelastica di spostamento γ p che si attiva quando viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta- Lagomarsino consente di descrivere, attraverso le variabili α e γ p, l evoluzione ciclica del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco, 2001).

81 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 9 Nelle due estremità dell elemento è concentrato il comportamento a flessione: le relazioni che legano la normale di compressione N ed il momento M alle componenti di spostamento w e ϕ derivano direttamente dalle equazioni elastiche di legame. Fintanto che il centro di pressione risulta interno al nocciolo centrale d inerzia non si verifica la parzializzazione della sezione di estremità del pannello e sforzo normale e momento risultano lineari in w e ϕ e disaccoppiate (indicando con k = 2 E h la rigidezza assiale per unità di superficie): N = kbsw M k 12 3 = sb ϕ (0.1) Figura 1.2: assiale elastico Cinematica del problema La sezione si parzializza quando la risultante delle azioni esce dal nocciolo centrale d inerzia e, assumendo sezione rettangolare, ciò avviene se: k sb 12 ϕ k = = 12 = N kbsw kbs w 12 w 6 (0.2) 3 3 ϕ 2 M sb b ϕ b ovvero in termini cinematici (essendo w<0 poiché si assume che il pannello non reagisca a trazione): ϕ 2w b Questa relazione indica che se si applica un momento alla sezione, dopo aver esercitato una compressione, la rotazione ϕ aumenterà linearmente, a spostamento verticale w costante, finché sarà verificata la condizione sopraccitata. (0.3)

82 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 10 y ϕ w N d x b s Figura 1.3: Sezione parzializzata Da considerazioni geometriche, nell ipotesi di piccoli spostamenti, si possono calcolare i contributi anelatici dovuti alla pressoflessione. Separando i contributi elastici da questi ultimi, si può riscrivere: ks N = ksbw b+ w 8 ϕ ( ϕ 2 ) 2 ( ϕ b+ w) ( ϕ 2 ) k 3 ks M = sb ϕ + b + w ϕϕ 2 (0.4) Nel caso di sezione parzializzata, normale e momento non sono più sollecitazioni disaccoppiate; si può dunque esplicitare la relazione che lega le grandezze cinematiche del problema. Esplicitando w si ha: ϕ b w = 2 2 ϕ N ks (0.5) w ϕ= 2w/b ϕ=2w/b ϕ Figura 1.4: Interazione ϕ-w Se si incrementa il momento (in un sistema precedentemente compresso) prima si ha 2w un incremento lineare di ϕ, poi si raggiunge la condizione limite ϕ = oltre cui valgono le relazioni (0.4) e (0.5): fino al limite di parzializzazione = 0, oltre, aumen- b w ϕ tando il momento, aumenta la rotazione ma diminuisce la compressione verticale (figura 3.4).

83 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 11 Oltre alla non linearità dovuta alla pressoflessione il modello di macroelemento contempla il danneggiamento per compressione: si può notare come, al momento dell entrata in campo non lineare, in un generico passo di carico, caratterizzato dal superamento del valore di spostamento w R = σ R /k in una porzione della sezione di base, tale stato sia identificabile attraverso due soli parametri: ζ (=p/b), misura dell estensione della porzione di sezione interessata dalla non linearità, e μ (=w max /w R ), misura della duttilità richiesta alla fibra più esterna e, di conseguenza, del successivo degrado di rigidezza (figura 3.5). b ζb z w x φ w o w R w max = μ w R σ σ R Figura 1.5: Stato di tensione e spostamento in condizioni di non linearità a compressione In un successivo passo di carico, in cui il valore w sia minore del valore limite di w, si ha uno stato tensionale che dipende così, attraverso i parametri μ e ζ, dalla storia di carico precedente: le fibre, che per effetto del precedente stato di spostamento hanno avuto un escursione in campo plastico, sono così caratterizzati da una rigidezza degradata k * funzione della duttilità: max R * k 1 b k ( x, μζ, ) =, x ( 2 ) ; 1 ζ b μ 1 2 x + ζ b (0.6) La tensione assiale ha, dunque, andamento lineare nella zona non interessata dalla plasticizzazione ed andamento più complesso nella zona plastica: b 1 k( wo ϕx) x ;( 2 ζ) b 2 σ ( x) = bζ 1 b k( wo ϕx) x ( 2 ζ) b; ( 1) + 2 μ x ζb (0.7) Si evidenzia (Penna, 2002; Resemini, 2003) tuttavia come il tratto degradato possa essere approssimato linearmente senza commettere un errore apprezzabile. Sulla ba-

84 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 12 se di questa formulazione e di quest ultima osservazione è possibile definire una semplice procedura di correzione non lineare dei valori delle caratteristiche di sollecitazione ottenuti con il legame elastico non reagente a trazione. Per effetto della diversa distribuzione delle tensioni nei due casi, è possibile ottenere il valore dello sforzo normale di compressione ponendo: el * N = N N (0.8) dove el N è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico, mentre N * risulta : 1 (,, ) = μ μ * N μζ wmax k ζbsw max (0.9) Analogamente, la correzione non lineare del momento flettente si ottiene dalla: in cui el * M = M M (0.10) el M è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico, mentre M * risulta: ζ * * M ( μζ,, wmax ) = bn. (0.11) Tali correzioni sono valide sia nel caso in cui vi sia una riduzione delle tensioni per effetto del degrado, sia per una nuova condizione di superamento della soglia di resistenza. La risposta a taglio è espressa considerando una deformazione tagliante uniforme ui u j γ = + φ nel pannello centrale 2 ed imponendo una relazione fra le grandezze h cinematiche u, u e φ, e la sollecitazione Ti = T j. Il danneggiamento è generalmente i j riscontrato lungo la diagonale dove si evidenzia uno spostamento fra i giunti (con una componente di deformazione anelastica) attivato per il superamento della condizione limite attritiva di Coulomb. Conoscendo l effettiva deformazione tagliante del corpo 2 (indicando con G il modulo elastico di taglio) si può formulare la seguente equazione costitutiva: GA * Ti = ( ui uj + φh) + T i (0.12) h * α T = GA c i ( ui uj + φh+ h ) h 1 + cα GA f (0.13) * i dove la componente non elastica T comprende l azione attritiva che si oppone al meccanismo di scorrimento e coinvolge un parametro di danno α ed un coefficiente adimensionale c, che controlla la deformazione non elastica. In questo modello, l azione dovuta all attrito è considerata nella seguente condizione limite: f

85 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 13 φs = f μn i 0 (0.14) dove μ corrisponde al coefficiente di attrito. Queste relazioni costitutive possono rappresentare la diversa resistenza del pannello al variare dell azione assiale N = j N i. Gli effetti del danneggiamento sono evidenziati nella variabile di danno α che cresce coerentemente con il meccanismo limite : dove φd = YS ( ) R ( α ) 0 (0.15) Y 1 = 2 p2 γ è l energia dissipata per effetto delle deformazioni anelastiche, R è la 2 cα funzione di resistenza (tenacità) e S = { t n m} T è il vettore delle tensioni interne al corpo 2. Si assume R come funzione crescente di α fino al valore critico α = 1 e successivamente decrescente per valori più elevati: questo modello può rappresentare sia il decadimento di rigidezza, sia il degrado di resistenza tipico del comportamento ciclico dei pannelli murari. C Definizione dello spostamento ultimo (drift) per il macroelemento Il legame precedentemente descritto viene completato dall inserimento di un meccanismo di collasso: coerentemente con l Ordinanza 3431 (punti , e ) si è stabilito di definire deformazioni massime (drift) accettabili per il pannello, dovuti ai meccanismi di taglio e pressoflessione (figura 3.6). Se questi valori vengono superati, il pannello non è più considerato in grado di sopportare azioni orizzontali. Δm hm Figura 1.6: Calcolo del drift Nel caso di analisi su edifici esistenti in muratura, questi parametri assumono i valori in seguito riportati: δ DL m Δ Taglio m = = δu h m Pressoflessione (0.16)

86 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 14 Tali drift vengono considerati separatamente all interno del macroelemento considerando gli spostamenti e le rotazioni corrispondenti alla porzione centrale (in cui si concentra la deformabilità a taglio) ed alle porzioni di estremità (in cui si ha la pressoflessione): δ δ Taglio = ( u ) j ui + ϕe (0.17) h Pressoflessione ( + ) = ϕ ϕ i j + ϕe (0.18) 2 Il superamento di tali limiti comporta la pressoché totale perdita di resistenza flessionale e tagliante del pannello, che conserva una sia pur ridotta rigidezza assiale (diviene pertanto una biella). Le peculiarità di modellazione del macroelemento connesse alle prescrizioni dell Ordinanza 3431 Il legame, precedentemente formulato, descrive accuratamente il comportamento di un pannello murario coerentemente con prove sperimentali effettuate (Penna, 2002; Galasco et al., 2004). L Ordinanza 3431 ha, tra i suoi presupposti, il carattere prestazionale: le indicazioni sulle modalità di modellazione e verifica degli elementi costituiscono un riferimento per un affidabile modellazione non lineare. L uso di modelli costitutivi più evoluti, come quello appena descritto, non è quindi a priori escluso. Tuttavia è necessario recepire indicazioni generali e valori specifici in accordo col testo normativo. L Ordinanza 3431 richiede la formulazione di meccanismi che considerino sia la risposta flessionale, sia la risposta a taglio (punto ): il meccanismo di pressoflessione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l effettiva ridistribuzione delle compressioni dovute sia alla parzializzazione della sezione, sia al raggiungimento della resistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo associato al meccanismo di pressoflessione è determinato sulla base del valore massimo di drift previsto per questo meccanismo: 0.6% (punto e punto ). Il meccanismo di taglio è descritto da un modello attritivo alla Mohr Coulomb che, attraverso specifiche procedure non lineari (Gambarotta & Lagomarsino, 1997b), riesce a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza dell elemento, attraverso le grandezze descrittive del danneggiamento. Tale legame, in virtù della sua formulazione incrementale, è capace di modellare un comportamento isteretico, ovvero può descrivere un ciclo di carico-scarico del pannello (questa formulazione è necessaria per

87 Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 15 poter effettuare analisi dinamiche non lineari o pushover cicliche). La deformazione ultima a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift previsto dalla normativa: 0.4% (punto e punto ). Per maggiore coerenza col modello semplificato elastico-perfettamente plastico proposto dalla normativa è possibile a- gire opportunamente sui parametri non lineari del legame: il parametro β controlla il degrado di reseistenza del macroelemento una volta raggiunta la sua massima resistenza (α=1); imponendogli un valore pari a zero si annulla il decadimento ed il pannello continua ad esprimere la resistenza massima; il parametro c controlla l ampiezza della deformazione plastica che precede il raggiungimento della massima resistenza. In presenza di prove sperimentali sulla muratura è possibile assumere valori diversi di c e β che permetterebbero una descrizione più fedele del comportamento dell elemento. L elemento trave non lineare in muratura Il codice di calcolo strutturale TREMURI consente inoltre di utilizzare un elemento trave non lineare a sei gradi di libertà con resistenza limitata e degrado della rigidezza in fase non lineare. La trave è un elemento alternativo al macroelemento per simulare il comportamento dei pannelli murari (maschi e fasce) nell ambito dell approccio della modellazione delle pareti a telaio equivalente. Mj Nj Tj (uj,wj,φj ) Mi Ni Ti (ui,wi,φi) Figura 1.7: Incognite cinematiche e convenzione sui segni delle caratteristiche di sollecitazione adottate per l elemento trave non lineare in muratura Per ciascun elemento, dunque, la pendenza del ramo elastico è determinata direttamente a partire dal calcolo dei contributi di rigidezza a taglio e flessionale, computabili sulla base delle proprietà meccaniche e geometriche (modulo elastico di Young E, mo-