INFLUENZA DEL PERCORSO DI CARICO SULLA RISPOSTA DI FONDAZIONI SUPERFICIALI E PROFONDE SOTTO CARICHI CICLICI

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1 INFLUENZA DEL PERCORSO DI CARICO SULLA RISPOSTA DI FONDAZIONI SUPERFICIALI E PROFONDE SOTTO CARICHI CICLICI Andrea Galli Politecnico di Milano andrea.galli@polimi.it Iman Farshchi Politecnico di Milano iman.farshchi@gmail.com Marco Caruso Politecnico di Milano marco.caruso@polimi.it Sommario La previsione della risposta meccanica di fondazioni superficiali e profonde a carichi di natura ciclica risulta ancora oggi obiettivo particolarmente complesso e non pienamente chiarito in tutti i suoi aspetti, data la natura fortemente non lineare e accoppiata dei fenomeni coinvolti. La ben nota teoria del macroelemento consente di cogliere in modo speditivo alcuni di tali aspetti, e può essere impiegata convenientemente negli approcci progettuali di tipo prestazionale ad oggi in vigore. Tali approcci, tuttavia, non tengono debitamente in conto l evoluzione della risposta meccanica del sistema al crescere del numero di cicli, né la dipendenza dal percorso di carico. Nella nota vengono presentate alcune considerazioni desunte dai risultati di una campagna sperimentale in piccola scala e si evidenzia una forte dipendenza della risposta meccanica del sistema dal percorso di carico. 1. Introduzione La comprensione e modellazione del comportamento meccanico di fondazioni superficiali e profonde soggette a carichi ciclici è uno degli aspetti di maggior interesse e difficoltà nella pratica ingegneristica. Per effetto dei carichi ciclici vengono attivati molteplici meccanismi di interazione tra terreno e struttura, caratterizzati da comportamenti altamente non lineari e irreversibili, quali ad esempio il rocking e l uplift di fondazioni superficiali (Grange et al., 2009) o il distacco tra palo e terreno coesivo nel caso di fondazioni profonde soggette a carichi orizzontali. In generale, alcuni di questi meccanismi possono anche essere vantaggiosi, dal momento che, ad esempio in condizioni sismiche, possono essere sede di dissipazioni localizzate che riducono la duttilità richiesta alla struttura. Una corretta descrizione e modellazione di questi fenomeni consentirebbe quindi di ottimizzare la progettazione del sistema di fondazioni, pensandolo come un vero proprio isolatore sismico (Pender, 2007). Vista la complessità e la dimensione del problema, i comuni metodi numerici FEM o FDM risultano spesso troppo onerosi (sia in termini computazionali, sia per quanto riguarda la calibrazione dei parametri costitutivi) e non rappresentano una soluzione percorribile, specie quando è richiesto un predimensionamento speditivo in fase progettuale. Fin dai primi anni 90 uno degli approcci più promettenti per la modellazione del comportamento di fondazioni sotto carichi complessi in particolare ciclici e/o dinamici è rappresentato dalla Teoria del Macroelemento, e dai successivi sviluppi e ampliamenti (Nova e Montrasio, 1991; Cremer et al., 2001; di Prisco et al., 2003), basati su differenti approcci teorici (elastoplasticità classica con strain-hardening, ipoplasticità, modelli

2 multimeccanismo ). Nell ottica di un approccio progettuale di tipo prestazionale, quale ad esempio il Direct Displacement-Based Design (Priestley et al., 2007), questi modelli possono anche essere convenientemente impiegati per la definizione della rigidezza equivalente della fondazione e delle sue proprietà dissipative; tali informazioni sono usualmente implementate in forma di abachi (Paolucci et al., 2007; di Prisco et al., 2009), che però non tengono esplicitamente in conto la dipendenza dal numero di cicli, né l influenza del particolare percorso di carico considerato. Nella presente memoria si vuole proprio investigare su base sperimentale tali effetti, discutendo criticamente i risultati di prove di carico cicliche in piccola scala su fondazioni superficiali e profonde, in materiali granulari sciolti. In particolare si farà riferimento a fondazioni rigide nastriformi equivalenti, soggette ad un sistema di forze verticali (V) e orizzontali (H) a cui corrispondono cedimenti verticali (v) e spostamenti orizzontali (u); per semplicità verrà vincolato il grado di libertà rotazionale della fondazione (θ=0) e si trascurerà la misura del momento reagente (M) sulla fondazione. Si confronteranno le risposte di una fondazione superficiale (Figura 1a) e di diverse fondazioni profonde (Figura 1b) al variare del numero e della disposizione dei pali (ipotizzati come corpi rigidi di lunghezza L, diametro d e spaziatura s). I risultati verranno interpretati in termini di rigidezza media del ciclo, di energia dissipata durante il ciclo, definita come l integrale della curva carico-spostamento durante un ciclo di periodo T, e cedimento netto cumulato durante i cicli, definito come differenza tra il cedimento massimo (u max) al termine del ciclo n-esimo e il cedimento al termine del primo ciclo (u 1). In Figura 1c si dà una definizione schematica di tali grandezze, in riferimento per semplicità ad una prova di carico ciclico lungo la direzione orizzontale. (a) (b) (c) Fig 1. Geometria, variabili statiche e cinematiche definite per una fondazione superficiale (a) e profonda (b). Definizione delle grandezze caratteristiche per cicli di carico verticali (c). 2. Descrizione dell apparato sperimentale L apparato sperimentale è costituito da un cassone di prova a pareti rigide (altezza 400 mm, larghezza 900 mm e profondità 200 mm; Figura 2a) entro il quale viene depositata per pluviazione sabbia del Ticino, caratterizzata da un diametro medio dei grani D 50 = 0,55 mm e da un valore di angolo di attrito allo stato critico φ cv = 34,6 (Fioravante, 2000). La procedura di deposizione è stata calibrata per ottenere un deposito il più possibile omogeneo alla densità relativa di circa il 40%, corrispondente ad un peso secco dell unità di volume pari a circa γ d = 14,7 kn/m 3 (Farshchi, 2014). I carichi verticale e orizzontale vengono imposti per mezzo di due pistoni pneumatici controllati elettronicamente. Il modello di fondazione è costituito di una piastra rigida di acciaio di larghezza B = 100 mm e lunghezza pari alla profondità del cassone (200 mm; così da avvicinarsi il più possibile alla condizione di deformazione piana), mentre la presenza dei pali è stata simulata mediante verghe rigide in acciaio di diametro d = 15 mm e lunghezza L = 150 mm, avvitate alla piastra e successivamente infisse staticamente nella sabbia. Al fine di simulare un angolo di attrito realistico all interfaccia terrenofondazione, sulla faccia inferiore della piastra è stato incollato uno strato di sabbia.

3 (a) (b) (c) Fig 2. (a) vista d insieme della fondazione modello e del sistema di carico; (b) configurazione di platea con tre pali in riga; (c) configurazione di platea con tre pali in colonna. In Figura 2 sono rappresentate alcune configurazioni di prova, corrispondenti al caso di tre pali disposti parallelamente alla direzione di carico orizzontale (Figura 2b, rapporto s/d = 2,22) e tre pali disposti perpendicolarmente alla direzione di carico orizzontale (Figura 2c, s/d = 4,44). Oltre a queste, si sono provate anche la configurazione di palo singolo (corrispondente, in virtù della condizione deformazione piana, ad una spaziatura relativa s/d = 13,33) e nove pali in gruppo (3x3). 3. Descrizione dei percorsi di carico Il programma sperimentale ha previsto la conduzione di alcune prove preliminari con percorsi di carico monotono nel piano V-H (a carico verticale costante) fino a rottura, al fine di individuare il dominio di interazione per ciascun tipo di fondazione (Figura 3a). Due tipologie di prove di carico cicliche orizzontali sono state quindi progettate in funzione dei domini di rottura così determinati (Figura 3b), prevedendo sia prove simmetriche (a carico orizzontale medio H 0=0 e carico verticale costante V 0), sia prove asimmetriche (a carico orizzontale medio H 0= H/2). Tra queste, solo per il caso di fondazione superficiale, si sono realizzate prove con cicli a differente inclinazione, da puramente verticale ( H/ V=0) ad obliqua ( H/ V=1), oltre a quelle con cicli puramente orizzontali ( H/ V ). (a) (b) Fig 3. (a) domini di interazione per la fondazione superficiale, per la fondazione su un palo, su tre pali (disposti parallelamente o trasversalmente alla direzione di carico orizzontale) e su nove pali in gruppo; (b) percorsi di carico ciclico imposti durante le prove. 4. Rigidezza media dei cicli e dissipazione di energia Le prove cicliche descritte in precedenza sono state interpretate in termini di rigidezza media e dissipazione di energia entro ogni ciclo di carico. A titolo di esempio, in Figura 4a-b sono riportate le curve carico-spostamento ottenute per una fondazione superficiale, rispettivamente per una prova asimmetrica e per una simmetrica puramente orizzontali, mentre in Figura 4c sono riportati i rispettivi andamenti della rigidezza media del ciclo K H in funzione del numero di cicli (gli andamenti riferiti alle altre prove non sono riportati qui per brevità, essendo qualitativamente molto simili).

4 (a) (b) (c) Fig 4. Curve carico-spostamento per la fondazione superficiale in prove cicliche puramente orizzontali asimmetrica (a) e simmetrica (b); (c) evoluzione della rigidezza media del ciclo. Tali andamenti possono essere convenientemente interpolati per mezzo della seguente espressione K H = 1+ α ( log N ) n 10 cyc, [1] K H,1 in N cyc è il numero di cicli, K H,1 rappresenta la rigidezza del primo ciclo, mentre α e n sono parametri di interpolazione (i valori dei parametri sono riportati nelle figure stesse). Analogamente (anche se non riportati qui per brevità) è possibile definire un espressione interpolante anche per i valori di energia dissipata: EH = ( N ) b cyc, [2] E H,1 in cui E H,1 rappresenta l energia dissipata al primo ciclo, e b è un parametro di decadimento. Le espressioni [1] e [2] possono essere utilizzate anche per interpretare i risultati di cicli di carico lungo la direzione verticale, sostituendo il pedice V al pedice H. Concentrandosi qui solo su rigidezza e dissipazione al primo ciclo, è possibile sintetizzare i risultati delle prove come in Figura 5a-b, in cui sono riportati tali valori dei parametri in funzione del carico verticale V 0 applicato. Per brevità si riportano i dati relativi al solo caso di fondazione superficiale (per le prove simmetriche si è assunto H 0,55 kn/m, mentre per quelle simmetriche H 1,2 kn/m). (a) (b) Fig 5. Dipendenza dei valori di (a) rigidezza e (b) dissipazione al primo ciclo dal percorso di carico per la fondazione superficiale. Si osserva come i valori di rigidezza verticale K V,1 risultino fortemente dipendenti dalla direzione di carico, riducendosi di circa il 75-80% nel passare da cicli verticali ( H/ V=0) a cicli inclinati ( H/ V=1), mentre risultino meno affetti dal valore del carico verticale mediov 0. Al contrario, le rigidezze K H,1 sono per lo più influenzate dalla possibile inversione del segno di H piuttosto che dalla direzione di carico, dal momento che in cicli simmetrici si sono misurate rigidezze di quasi un ordine di grandezza inferiore rispetto a quelle misurate in cicli asimmetrici, siano essi puramente orizzontali o inclinati. Analogamente, anche i valori di E V,1 appaiono altrettanto influenzati dalla direzione di carico, e crescono di circa un ordine di grandezza tra la condizione di cicli puramente verticali ( H/ V=0) e quella di cicli inclinati ( H/ V=1). Per quanto riguarda i valori di E H,1, invece, si ha ancora una prevalente dipendenza dalla possibile inversione nel segno dei valori del carico orizzontale H. Tali differenze possono essere principalmente imputate al comportamento volumetrico della sabbia

5 nella condizione (sciolta) di prova: a seguito dell applicazione di sforzi di taglio, il materiale tende fortemente a compattare, andando a riarrangiare a livello microstrutturale la configurazione dei grani, meccanismo che comporta una notevole perdita di rigidezza del sistema ed un aumento della dissipazione di energia. Considerazioni analoghe valgono anche nel caso di fondazioni profonde (i cui risultati per brevità non sono riportati qui in forma di abachi), per le quali si osserva, nel passaggio da prove orizzontali asimmetriche a prove simmetriche, una riduzione media della rigidezza orizzontale K H,1 di circa il 70% e un aumento medio di E H,1 di circa un ordine di grandezza. 5. Risposta cinematica Nell ottica della modellazione per macroelementi, oltre a definire la risposta meccanica del sistema, occorre anche definirne il comportamento cinematico, cioè descrivere gli spostamenti della fondazione in funzione del percorso di carico. A tal proposito, in Figura 6a sono riportati per la fondazione superficiale in prove cicliche orizzontali simmetriche gli andamenti dello spostamento orizzontale netto in funzione del cedimento verticale netto, caratterizzati da una pendenza pressoché costante ψ = dvmax cyc du, [3] max che gioca il ruolo di pseudodilatanza, relativa alla sola fase ciclica. (a) (b) (c) (d) Fig 6. (a) spostamenti netti della fondazione superficiale in prove cicliche orizzontali asimmetriche; (b) valori di pseudodilatanza per fondazioni superficiali; (c)-(d) valori di pseudodilatanza per fondazioni profonde. I valori di tale parametro, mostrati in Figura 6b, mostrano una pronunciata tendenza ad aumentare all aumentare del rapporto V 0/V m, e sono sensibilmente maggiori di quelli relativi a prove cicliche asimmetriche inclinate. Da un punto di vista interpretativo, ciò può essere spiegato considerando che prove con cicli orizzontali (cioè a carico verticale costante, con V=0) mobilitano nel terreno di fondazione livelli di carico molto maggiori di quelli indotti da cicli inclinati, per i quali la variazione di carico verticale induce anche un aumento ciclico dei valori della pressione di confinamento. Di conseguenza, per cicli orizzontali si hanno valori di deformazione (quindi di cedimento), significativamente maggiori di quelli attesi per cicli inclinati. In Figura 6b sono anche mostrati sia i valori sperimentali di pseudodilatanza ottenuti dalle prove di carico monotono, sia quelli (teorici)

6 ottenuti assumendo una legge di flusso associata, rappresentati dalla linea punteggiata. Dal confronto si mostra chiaramente che per tale sistema non può essere considerata valida la legge di normalità. Analogamente, anche per le diverse configurazioni di fondazioni su pali in prove orizzontali asimmetriche è stato possibile stimare una pseudodilatanza in fase ciclica (Figura 6c-d). Si nota come la presenza dei pali comporti un notevole aumento dei valori di pseudodilatanza rispetto a quelli della fondazione superficiale e, quindi, a parità di spostamento orizzontale, dei valori di cedimento verticale. Tale effetto è essenzialmente spiegato dal fatto che la presenza dei pali induce un riarrangiamento dei grani (quindi una compattazione del materiale) entro un volume di terreno molto maggiore rispetto a quello interessato dalla sola fondazione superficiale. I valori di ψ cyc tendono a crescere con l aumentare di V 0 e dell ampiezza H dei cicli, ma si riducono notevolmente nel caso della fondazione disposta su nove pali in gruppo. Ciò è dovuto al fatto che questa configurazione di pali in gruppo porta il sistema a comportarsi in modo assimilabile a quello di una fondazione interrata. 6. Conclusioni La presente memoria è stata incentrata sullo studio sperimentale del comportamento di fondazioni in piccola scala, sia superficiali che profonde, soggette a carichi ciclici. I risultati mostrano che la risposta è fortemente influenzata dal percorso di carico anche a basso numero di cicli, quando cioè il sistema è spesso considerato elastico reversibile. In particolare, nel caso di cicli lungo la direzione verticale la rigidezza media e i valori di dissipazione di energia possono subire variazioni anche di un ordine di grandezza al variare dell inclinazione dei cicli di carico. Al contrario, nel caso di cicli lungo la direzione orizzontale, il parametro dominante appare essere la possibile inversione di segno del carico orizzontale applicato. Da un punto di vista cinematico, si è dimostrato come la legge di flusso che governa la risposta del macroelemento non possa essere assunta come associata, e si è evidenziato anche come, nel caso di fondazioni su pali soggette a percorsi di carico ciclici orizzontali, i valori di pseudodilatanza (e quindi di cedimento verticale a parità di spostamento orizzontale) siano notevolmente maggiori di quelli relativi alla sola fondazione superficiale. Bibliografia Cremer, C., Pecker, A., and Davenne, L. (2001). Cyclic macro-element for soil-structure interaction: material and geometrical non-linearities. Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., 25(13), di Prisco C., Galli A., Vecchiotti M. (2009). Cyclic and dynamic mechanical behavior of shallow foundations on granular deposits. Coupled Site and Soil-Structure Interaction Effects with Application to Seismic Risk Mitigation. Science+Business Media B.V T. Schanz and R. Iankov (eds.), di Prisco, C., Nova, R., and Sibilia, A. (2003). Shallow footing under cyclic loading: experimental and constitutive modelling. In: Geotechnical analysis of seismic vulnerability of monuments and historical sites. M. Maugeri & R. Nova editors, Bologna, Patron editore. Farshchi I. (2014). Non-Linear Soil-Foundation Interaction under Cyclic Loading, Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Politecnico di Milano, Milano (Italy), Tesi di Dottorato. Fioravante V. (2000). Anysotropy of small strain stiffness of Ticino and Kenya sands from seismic wave propagation measured in triaxial testing. Soils and Foundations, 40(4), Grange S., Kotronis P., Mazars J. (2009). A macro-element to simulate 3D soil structure interaction considering plasticity and uplift, International Journal of Solids and Structures, 46, Nova, R., and Montrasio, L. (1991). Settlements of shallow foundations on sand. Geotechnique, 41(2), Paolucci R., di Prisco C., Vecchiotti M., Shirato M., Yilmaz M. (2007) Seismic behavior of shallow foundations: large scale experiments vs. numerical modelling and implications for performance based design. 1 st US Italy Seismic Bridge Workshop, Eucentre, Pavia, Italy. Pender, M. J. (2007). Seismic design and performance of surface foundations. Earthquake geotechnical engineering, K. Pitilakis, ed., Vol. 6, Springer, Berlin, Priestley, M.J.N., Calvi, G.M., Kowalsky, M.J. (2007) Direct Displacement-Based Design of Structures, IUSS Press, Pavia, Italy.