Presentazione. Semantica e Concorrenza Modulo di Semantica

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1 Presentazione Modulo di 6 crediti (48 ore), Semantica e Concorrenza Modulo di Semantica Pietro Di Gianantonio corso di laurea in informatica Semantica dei linguaggi di programmazione Definire in maniera formale e rigorosa il comportamento dei programmi. Vedremo 3 diversi approcci, metodi, alla semantica. Metodi applicati ad una serie linguaggi di programmazione via via più complessi. Alcuni argomenti si sovrappongo al corso di Metodi Formali. Propedeutico a: Modulo sulla Concorrenza (Lenisa), Interpretazione Astratta (Comini), una qualsiasi trattazione formale e rigorosa dei programmi. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 1 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 2 / 149 Semantica dei linguaggi di programmazione Obiettivo: definire in maniera formale il comportamento dei programmi, e dei costrutti di programmazione. In contrapposizione alle definizioni informali, comunemente usate. Utile per: evitare ambiguità nella definizione di un linguaggio di programmazione: si mettono in evidenza i punti critici di un linguaggio di programmazione (es. ambiente statico dinamico, valutazione e passaggio dei parametri) utile nella costruzione di compilatori, ragionare sui singolo programmi (definire logiche, principi di ragionamento, sui programmi): provare che un certo programma soddisfa una certa proprietà, una specifica, che è corretto. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 3 / 149 Approcci alla semantica Semantica Operazionale. Descrivere come avviene l esecuzione del programma, non su un vero calcalalatore, troppo complesso, su una semplice macchina formale (nello stile della macchine di Turing). Semantica Operazionale Strutturata (SOS). La macchina formale costituita da un sistema di riscrittura: sistema di regole, sintattiche, di riscrittura. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 4 / 149

2 Approcci alla semantica SOS pro Semantica Denotazionale. Il significato di un programma descritto da un oggetto matematico. Funzione parziale, elemento in un insieme ordinato. Un elemento di un insieme ordinato rappresenta il significato di un programma, di una parte del programma, di un costrutto della programmazione. Alternative, action semantics, semantica a giochi, categoriale. Semantica Assiomatica. Il significato di un programma espresso in termini di pre-condizioni e post-condizioni. Tante semantiche perché nessuna completamente soddisfacente. Ognuna descrive un aspetto del comportamento dei programmi, ha un diverso obiettivo. Semplice, sintattica, intuitiva. Piuttosto flessibile. Può facilmente gestire linguaggi di programmazione complessi. La struttura delle regole resta costante nei diversi linguaggi. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 5 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 6 / 149 SOS contra Semantica denotazionale La semantica dipende dalla sintassi, è formulata usando la sintassi. Difficile correlare programmi scritti in linguaggi differenti. La semantica non è composizionale (la semantica di un elemento dipende dalla semantica dei suoi componenti). Induce una nozione di equivalenza tra programmi difficile da verificare (ed utilizzare). Obiettivi: una semantica indipendente dalla sintassi, si possono confrontare programmi scritti in linguaggi differenti. una semantica composizionale (la semantica di un elemento dipende dalla semantica dei suoi componenti). più astratta, fornisce strumenti per il ragionamento sui programmi. Caratteristica principale: descrivere il comportamento di un programma attraverso un oggetto matematico. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 7 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 8 / 149

3 Diverse caratteristiche dei linguaggi di programmazione Semantica assiomatica non terminazione, store (memoria, linguaggi imperativi) environment, (ambiente) non determinismo, concorrenza, funzioni di ordine superiore (linguaggi funzionali), eccezioni,... Descrizione indiretta di un programma, mediante un insieme di asserzioni: {Pre} p {Post} Fornisce immediatamente una logica per ragionare sui programmi. Complementare, e giustificata, dalle altre semantiche. Al crescere della ricchezza del linguaggi cresce (rapidamente) la complessità della semantica denotazionale. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 9 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 10 / 149 Libro di testo Propedeuticità Glynn Winskel: The Formal Semantics of Programming Languages. An introduction. Un classico, presentazione semplice, completa, con pochi fronzoli, e poche considerazioni generali. Tre copie in biblioteca. Presentiamo buona parte del libro, saltando le dimostrazioni. Argomenti aggiuntivi. Alcuni argomenti della logica: calcolo dei predicati, costruzione insiemistiche: prodotto, somma disgiunta, spazio di funzione, insiemi delle parti, grammatiche (libere dal contesto), definizione induttive e principio di induzione, dualità: linguaggio e modello, (sintassi e semantica). P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 11 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 12 / 149

4 Un semplice linguaggio imperativo: IMP Categorie sintattiche: Numeri interi (N): n, valori booleani (T), locazioni (Loc): X, Espressioni aritmetiche (AExp): a ::= n X a 0 + a 1 a 0 a 1 a 0 a 1 Espressioni booleane (BExp): b ::= true false a 0 = a 1 a 0 a 1 not b b 0 or b 1 b 0 and b 1 Comandi (Com): c ::= skip X := a c 0 ; c 1 if b then c 0 else c 1 while b do c Sintassi astratta, più semplice della sintassi concreta IMP Sintassi incompleta: non definiti la sintassi per le costanti intere, le locazioni. Poco interessanti, ortogonali alla nostra trattazione. Linguaggio minimale capace di calcolare tutte le funzioni computabili (Turing-completo), se le locazioni possono memorizzare interi arbitrariamente grandi. Manca: le variabili (l ambiente, (environment)), definizioni di procedure, funzioni, definizioni ricorsive. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 13 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 14 / 149 Semantica operazionale per IMP Un insieme di regole per descrivere il comportamento di espressive aritmetiche, booleane, comandi. All espressioni aritmetiche si associano asserzioni, giudizi (judgments) a, σ n dove σ : Loc N, stato (memoria, store). Giudizi derivati attraverso regole in deduzione naturale, Regole guidate dalla sintassi (stuctured operational semantics). Alle espressioni base si associano assiomi: n, σ n X, σ σ(x ) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 15 / 149 Alle espressioni composte regole di derivazione: a 0, σ n 0 a 1, σ n 1 a 0 + a 1, σ n... IMP: regole SOS n 0 + n 1 = n Valutare un espressione aritmetica è banale, quindi: regole banali. Ad ogni espressione associata una, o più regole determinate dal suo connettivo principale. Regole sottintendono un algoritmo di valutazione (deterministico). Regole assumono che un preesistente meccanismo di rappresentazione dei numeri e di calcolo delle operazione aritmetiche. Si astrae dal problema di eseguire le operazioni. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 16 / 149

5 Espressione booleane: regole SOS Esercizi Assiomi... a 0, σ n a 1, σ n a 0 = a 1, σ true Dare regole alternative per in connettivo and. Attraverso le regole posso definire in maniera esplicite per le operazione aritmetiche. Senza demandare alle side condition. Semplificazione: rappresentiamo i naturali e non gli interi... a 0, σ n a 1, σ m a 0 = a 1, σ false n m n ::= 0 Sn Regole per l addizione, prodotto, confronto. b 0, σ t 0 b 1, σ t 1 b 0 and b 1, σ t dove t true se t 0 true e t 1 true. Altrimenti t false. Dove n : 0 = 2 n e n : 1 = 2 n + 1 n ::= 0 n : 0 n : 1 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 17 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 18 / 149 Comandi L esecuzione di un comando ha l effetto di modificare la memoria, store: c, σ σ Per rappresentare lo store modificato si usa la notazione σ[m/x ] σ[m/x ](X ) = m σ[m/x ](Y ) = σ(y ) se X Y In un approccio completamente operazionale lo stato dovrebbe essere un oggetto sintattico: grammatica per definire gli stati, insieme di regole che ne definiscono il comportamento. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 19 / 149 skip, σ σ a, σ n X := a, σ σ[n/x ] Comandi, regole c 0, σ σ c 1, σ σ c 0 ; c 1, σ σ b, σ true c 0, σ σ if b then c 0 else c 1, σ σ... b, σ true c, σ σ while b do c, σ σ while b do c, σ σ P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 20 /

6 Equivalenze Dalla semantica, una nozione di equivalenza tra espressioni, comandi. Esercizi c 0 c 1 se per ogni coppia di store σ, σ : c 0, σ σ se e solo se c 1, σ σ Più nozione di equivalenza: Codificare in Haskell le regole della semantica operazionale. Posto: w while b do c dimostrare che: w if b then c; w else skip c 0 c 1 Se i comandi c 0 e c 1, formulati nella sintassi astratta, sono uguali. e w if b then w else skip σ 0 = σ 1 se σ 0 e σ 1 sono la stessa funzione Loc N P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 21 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 22 / 149 Le regole sono deterministiche: Determinismo Formulazione forte: Per ogni c, σ esiste al più un σ ed una singola dimostrazione di: c, σ σ Formulazione debole: Per ogni c, σ esiste al più un σ per cui valga c, σ σ P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 23 / 149 Big-step, small-step SOS Formulazione alternativa: descrive un passo di computazione. Nuove regole per il while c, σ c, σ b, σ true while b do c, σ c; while b do c, σ Seconda regole per il while... Vengono usate entrambe le formulazioni: Per alcuni linguaggi è più semplice fornire la big-step semantics. Più astratta. Nei linguaggi per la concorrenza è fondamentale considerare la small-step semantics. Contiene informazioni aggiuntive sui passi di computazione, e sull ordine di esecuzione. può essere non banale dimostrare l equivalenza tra le due formulazioni. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 24 / 149

7 In matematica e informatica molte definizione induttive: numeri naturali, liste, grammatiche, derivazioni, dimostrazioni Insiemi di costruttori: zero, successore; lista vuota, concantenazione; costrutti della grammatica; assiomi, regol di derivazione. Induzione Sulle strutture induttive: definizioni per ricorsione, dimostrazioni per induzione. Rafforzamenti, estensioni: induzione generalizzata, n. ( m < n. P(m)) P(n) allora n. P(n) insiemi ben fondati. Induzione P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 25 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 26 / 149 Semantica denotazionale per IMP Funzioni di interpretazione Associo a espressioni di IMP oggetti matematici (funzioni (parziali)) in maniera composizionale. Elementi basi della costruzione: N = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, l insieme dei numeri interi. T = {true, false}, l insieme dei valori booleani. Σ = Loc N, l insieme dei possibili stati (configurazioni della memoria,dello store). Notare la differenza tra N e N. A ogni categoria sintattica si associa una funzione di interpretazione: A : AExp (Σ N) un espressione aritmetica rappresenta una funzione da stato a numero intero. B : BExp (Σ T ) C : Com (Σ Σ) un comando rappresenta una funzione parziale, da stato in stato. Riprendo le idee della semantica operazionale ma le esprimo in maniera differente. Uso la doppia parentesi per racchiudere gli elementi della sintassi P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 27 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 28 / 149

8 Semantica delle espressioni (aritmetiche, booleane) Le funzioni di interpretazione vengono definite per induzione sulla grammatica (sulla struttura del termine).... A n (σ) = n A X (σ) = σ(x ) A a o + a 1 (σ) = (A a o (σ)) + (A a 1 (σ)) B a o a 1 (σ) = (A a o (σ)) (A a 1 (σ)) Ogni elemento, ogni operatore, viene interpretato con il suo corrispondente semantico. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 29 / 149 Comandi rappresentano funzioni parziali. Semantica dei comandi Nelle definizioni, rappresento le funzioni parziali attraverso il loro grafi (l insieme di coppie argomento, valore ). C skip = {(σ, σ) σ Σ} C X := a = {(σ, σ[n/x ]) σ Σ, A a (σ) = n} C if b then c 0 else c 1 = C c 0 ; c 1 = C c 1 C c 0 {(σ, σ ) C c 0 B b (σ) = true} {(σ, σ ) C c 1 B b (σ) = false} P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 30 / 149 Il caso difficile: il costruttore while C while b do c = C if b then c; while b do c else skip = {(σ, σ) σ Σ, B b (σ) = false} {(σ, σ ) (C while b do c C c ) B b (σ) = true} Definizione ricorsiva. Esistenza delle soluzione: riduco il problema ad un problema di punto fisso, considero l operatore: Γ(R) = {(σ, σ) σ Σ, B b (σ) = false} {(σ, σ ) (R C c ) B b (σ) = true} Γ trasforma una relazione tra Σ e Σ in un altra relazione. Γ : Rel(Σ, Σ) Rel(Σ, Σ) Definisco C while b do c come minimo punto fisso per Γ. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 31 / 149 Idea di fondo Posto Ω while true do skip Definisco C while b do c Come limite delle sue approssimazioni: C Ω C if b then c; Ω else skip C if b then c; (if b then c; Ω else skip) else skip P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 32 / 149

9 Teoremi di punto fisso (su ordini) Forniscono soluzione al problema precedente. teorema di Knaster-Tarski: in un reticolo completo, ogni funzione monotona ha un minimo (e un massimo) punto fisso, (importante in matematica) in un ordine parziale completo ogni funzione monotona e continua ha un minimo punto fisso. (fondamentale nella semantica denotazionale) (si indeboliscono le proprietà dell ordine, si rafforzano le proprietà della funzione). in uno spazio metrico completo, ogni funzione contrattiva ha un unico punto fisso, (usata in analisi) Strutture ordinate Un ordine parziale (P, ) è formato da un insieme P e una relazione binaria su P t.c. per ogni p, q, r P p p, (riflessiva) p q e q r allora p r, p q e q p allora p = q, Dato sottoinsieme X di P, (transitiva) (antisimmetrica) X ha un maggiorante (upper bound) se esiste p P t.c per ogni q X, q p. l estremo superiore di X, X se esiste, è un maggiorante più piccolo di tutti gli altri, q X, q X, inoltre per ogni p se q X. q p allora X p l estremo superiore è unico (dimostrare per esercizio). P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 33 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 34 / 149 Reticoli Teorema di Knaster-Tarski Definizione Un reticolo (lattice) è un ordine parziale in cui ogni coppia di elementi ha un estremo superiore, ed estremo inferiore. Possiamo scrivere {p, q} come p q. Segue che in un reticolo ogni insieme finito ha insieme superiore. Un reticolo completo è un ordine parziale in cui ogni sottoinsieme ha estremo superiore. Esercizio. Mostrare che in un reticolo completo ogni sottoinsieme ha anche estremo inferiore. Definizione Una funzione f : P Q tra ordini è monotona se rispetta l ordine. Se p 1 p 2 allora f (p 1 ) f (p 2 ) Teorema (Knaster-Tarski) Ogni funzione monotona f su un reticolo completo P possiede un minimo (massimo) punto fisso. Si mostra che {p f (p) p} è un punto fisso per f (ossia {p f (p) p} = f ( {p f (p) p}) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 35 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 36 / 149

10 Relazioni Relazioni Le funzioni parziali non formano un reticolo. Le relazioni sono un estensione delle funzioni parziali e formano un reticolo. Funzioni e funzioni parziali possono essere viste come casi particolari di relazioni. Definizione Una relazione tra X e Y è caratterizzata da un sottoinsieme di X Y. Una funzione parziale f : X Y è un relazione tale che x X, y, y Y. (x, y) f (x, y ) f y = y una funzione totale è una funzione parziale tale che x y(x, y) f Definizione (Composizione) Data due relazione R tra X e Y e S tra Y e Z definiamo S R come (x, z) S R y. (x, y) R (y, z) S Notare l inversione nell ordine. Nel caso che le relazioni siano funzione, questa composizione coincide con la composizione di funzioni. (x, y) f si scrive anche y = f (x) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 37 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 38 / 149 Applicazione alla semantica Strutture per la semantica denotazionale l insieme di relazioni su Σ Σ forma un reticolo completo, l operatore: è monotono, Γ(R) = {(σ, σ) B b (σ) = false} {(σ, σ ) (R C c ) B b (σ) = true} il teorema di Knaster-Tarski prova l esistenza un punto fisso per l operatore Γ (soluzione delle definizione ricorsiva della semantica). La definizione ricorsiva possiede più soluzioni, la soluzione minima è quella che descrive correttamente il comportamento del programma.. È preferibile usare funzioni parziali e non relazioni. La soluzione precedente non prova che il punto fisso sia una funzione parziale, potrebbe essere una relazione generica. In IMP la semantica di un comando : Σ Σ. Lo spazio delle funzioni parziali forma un ordine, f g quando le seguenti condizioni equivalenti sono soddisfatte: g è più definita di f, x.f (x) f (x) = g(x) come insieme di coppie (argomento, risultato) f g questo spazio non è un reticolo. È necessario usare un secondo teorema di punto fisso. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 39 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 40 / 149

11 Definizione Ordini parziali completi Nuovo teorema di punto fisso In un ordine parziale P, una catena è una sequenza di elementi p 1 p 2 p 3,..., ciascuno maggiore del precedente. Un ordine parziale completo (CPO) P è un ordine parziale in cui ogni catena possiede un estremo superiore. Un ordine parziale completo con bottom è un ordine parziale completo contenente un elemento minimo. CPO sono le strutture tipiche i cui interpretare programmi. Un esempio di CPO le funzioni parziali da N in N. Definizione (Continuità) Una funzione f : D E tra CPO è continua se preserva l estremo superiore delle catene. Per ogni catena p 1, p 2, p 3,..., i N f (p i) = f ( i N p i). P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 41 / 149 Teorema Ogni funzione continua su un CPO con bottom f : D D possiede un minimo punto fisso. Proof. Il minimo punto fisso è l estremo superiore della catena, f ( ), f (f ( )), f 3 ( ),.... Completare per esercizio. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 42 / 149 Definizione per approssimazioni del while Applicando il teorema precedente, la funzione C while b do c è il limite della seguente catena di funzioni parziali: C C if b then (c; ) C if b then (c; if b then (c; )) C if b then (c; if b then (c; if b then (c; )))... dove indichiamo con un programma sempre divergente. con if b then c si indica il comando if b then c else skip zucchero sintattico, arricchisce il linguaggio senza aggiunge nuove definizioni semantiche. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 43 / 149 Una categoria per la semantica denotazionale Astraendo dall esempio precedente: si interpretano i linguaggi di programmazione (tipi di dato, classi di elementi) utilizzando: 1 ordini parziali completi (CPO) ordine: l information order rappresenta l assenza di informazioni, il programma che diverge sempre, completi per dare soluzione alle equazioni ricorsive, di punto fisso. 2 funzioni tra CPO che sono monotone continue: preservano l estremo superiore di catene crescenti. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 44 / 149

12 Esempi di CPO N con l ordine piatto: n m n = m (ordine completo per catene). N = N { }, n m (n = m n = ), l insieme dei naturali con, T = {true, false}, T O = {, } con, il CPO con due elementi. N N con l ordine puntale: f g sse per ogni n, f (n) g(n), isomorfo a N N (con l ordine visto in precedenza) si internalizza la divergenza: f (n) = indica che f (n) non termina, si evitano le funzioni parziali Nat { }, i numeri naturali con l ordine lineare. streams di valori booleani: stringhe parziali, arbitrariamente lunghe. Significato intuitivo. Monotonia e continuità Consideriamo un programma con tipo funzionale F : (N N) N La sua semantica F : (N N ) N è una funzione: monotona, perciò se F (f ) 3 allora F (g) 3 per ogni funzione g più definita di f. Preserva l information order. Continua perciò se F (f ) = 3 allora F genera 3 dopo aver valutato f su di un numero finito di valori, ossia, esiste un funzione parziale g, definita su di un numero finito di elementi tale che g f e F (g) = 3 Finitarietà: per ottenere una parte finita di informazione sul risultato è sufficiente esaminare una parte finita di informazione dell argomento. Esercizio: mostrare che la composizione preserva la continuità P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 45 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 46 / 149 Lambda (λ) notazione In matematica definisco le funzioni mediante equazioni nella forma: f (x) = sin(x) + cos(x). Con la λ notazione scrivo direttamente: λx. sin(x) + cos(x), oppure λx R. sin(x) + cos(x) oppure f = λx. sin(x) + cos(x) In Haskell: \ x -> (sin x ) + (cos x) Vantaggi: name less functions, posso definire una funzione senza darle un nome, definizione funzioni più sintetica, funzioni assimilate agli altri elementi, concettualmente più chiara: sin(x)dx diventa λx. sin(x) oppure sin. Costruttori di CPO Per dare semantica a linguaggi complessi si associa a tipi: CPO opportunamente strutturati programmi e sottoespressioni di programmi: elementi di CPO, funzioni su CPO nel fare questo costruiamo CPO complessi a partire ad CPO, usiamo funzioni e operatori standard su questi costruzioni. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 47 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 48 / 149

13 CPO senza bottom CPO discreti Ad un insieme di valori D, (es. N l insieme dei numeri interi, B) associo il CPO D con ordine piatto d 1 d 2 sse d 1 = d 2. Dal punto di vista informativo, elementi inconfrontabili: informazioni diverse, tutte completamente definite, nessuna più definita dell altra. Insieme di valori tutti completamente definiti. Definizione D = D { } con relazione d ordine: d 1 d 2 sse d 1 = oppure (d 1, d 2 D d 1 d 2 ) Lifting Dal CPO D, costruisco il CPO D delle computazioni, eventualmente divergenti, che generano elementi di D. Funzioni associate: : D D, dato un valore d, costruisce la computazione d che restituisce l elemento d. da una funzione f : D E definita su valori (E CPO con bottom), si deriva la funzione (stretta) f : D E definita su computazioni. Notazione. (λx.e) (d) si scrive anche let x d. e. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 49 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 50 / 149 Osservazioni si usa approccio ispirato dalla teoria delle categorie: per ogni costruttore si definisce le funzioni che lo caratterizzano. ingredienti base per la costruzione di altre funzioni continue i costruttori di CPO hanno una costruzione corrispondente in Haskell in teoria delle categorie l operazione di Lifting definisce una monade, corrispondente Haskell: la monade Maybe corrispondenza non perfetta: in Haskell posso definire test :: Maybe a -> Bool test Nothing = True test (Just _) = False P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 51 / 149 Prodotto Definizione D E l insieme delle coppie con la relazione d ordine puntuale: d 1, e 1 d 2, e 2 sse d 1 d 2 e e 1 e 2 Si generalizza al prodotto finito. Costruisce i CPO associati a coppie, record, vettori. Funzioni associate: proiezioni π 1 : (D E) D, π 1 ( d, e ) = d, da una coppia di funzioni f : C D, g : C E si deriva la funzione f, g : C (D E) f, g (c) = f (c), g(c) (restituisce coppie di elementi). π 2 : (D E) E Definiscono un isomorfismo tra (C D) (C E) e C (D E) Dato da... P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 52 / 149

14 Proprietà ed esercizi Mostrare che le definizioni sono ben date: l ordine D E è un CPO, le funzioni π i, f, g sono continue. Costruire O O(= O 2 ), O 3. A quali ordini sono isomorfi? Costruire (T ) 2 Proposizione Una funzione f : (C D) E è continua sse è continua in ciascuno degli argomenti. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 53 / 149 Spazio di funzioni Definizione [D E] l insieme funzioni continue da D in E con l ordine puntuale f g sse per ogni d D, f (d) g(d). Costruisco CPO per linguaggi funzionali. Mostrare che [D E] è un CPO. Funzioni associate. applicazione app : ([D E] D) E app( f, d ) = f (d) currying da (Haskell Curry), una funzione f : (D E) F induce una funzione curry(f ) : D [E F ] curry(f )(d)(e) = f ( d, e ) Definiscono un isomorfismo tra C [D E] e (C D) E), dato da... P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 54 / 149 Proprietà ed esercizi Mostrare che l operatore di punto fisso Y : [D D] D è continuo. Mostrare che [T D] è isomorfo a D 2. Disegnare i CPO: [0 T ], [N T ], [0 T ], [N T ]. Definizione D + E = { 1, d d D} { 2, e e E} con ordine: 1, d 1, d sse d d 2, e 2, e sse e e 1, d incomparabile con 2, e Mostrare che D + E è un CPO. CPO associati ai variant type. Somma disgiunta inserzioni: in 1 : D (D + E), in 1 (d) = 1, d, in 2 : E (D + E) dalle funzioni f : D C, g : E C si deriva la funzione [f, g] : (D + E) C [f, g]( 1, d ) = f (d), [f, g]( 2, e ) = g(e), Definiscono un isomorfismo tra (D C) (E C) e [D + E] C P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 55 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 56 / 149

15 Esercizi e proprietà Metalinguaggio Funzioni su CPO possono essere costruite da un linguaggio facente uso di: Definire la somma n-aria (di n CPO). Posso ridurre la somma n-aria ad applicazioni ripetute della somma binaria? Definire, tramite funzioni e costruttori standard, la semantica dell if then else Definire, tramite funzioni e costruttori standard, la semantica delle funzioni booleane. variabili con tipo un dominio: x 1 : D 1,..., x i : D i costanti: true, false, 1, 0, 1,... funzioni base:, π i, app, in i, fix costruttori: ( ),,, curry( ), [, ], applicazione, lambda astrazione, composizione di funzioni. Esempi: π 2, π 1 λx. f (gx) λx. f (π 1 x)(π 2 x) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 57 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 58 / 149 Metalinguaggio Linguaggi funzionali Proposizione Ogni espressione del metalinguaggio di tipo E e con solo le variabili x 1 : D 1,..., x i : D i, denota un elemento nel CPO [(D 1... D i ) E], ossia una funzione continua. Proof. Per induzione sulla struttura dell espressione e, si definisce il significato di e e da qui la continuità. Semantica (operazionale e denotazionale) di due semplici linguaggi funzionali con due differenti meccanismi di valutazione call-by-value (eager) come: Standard ML, OCaml. call-by-name (lazy) come Haskell, Miranda. Metalinguaggi permette di definire oggetti matematici, con una sintassi simile alla definizione di programmi Haskell. Metalinguaggi e Haskell definiscono oggetti di natura diversa. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 59 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 60 / 149

16 t ::= x n t 1 op t 2 (t 1, t 2 ) fst t snd t λx.t (t 1 t 2 ) if t 0 then t 1 else t 2 let x t 1 in t 2 rec x.t Espressioni Non tutte le espressioni hanno senso, esempio (1 3), ((λx.x + 1)(2, 3)) Controllo di tipo: determina le espressioni corrette, si deriva t : τ tipi: τ ::= int τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 regole induzione sulla struttura del termine ogni costrutto sintattico ha una regola del tipo: x : τ 1 t 1 : τ 1 t 2 : τ 2 let x t 1 in t 2 : τ 2 Type checking P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 61 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 62 / 149 Nessun polimorfismo Semantica operazionale Mediante un sistema di regole descrivo come un termine riduce. Due alternative: ogni variabile ha associato un unico tipo, proprietà: ogni espressione ha tipo unico, nessun polimorfismo: sistema di tipi e semantica denotazionale più semplice, big-step reduction: t c (t c) descrive il valore c generato dalla computazione di t più vicina alla semantica denotazionale, meno semplice da definire. small-step reduction t 1 t 2 descrive come un passo di computazione trasforma il termine t 1 nel termine t 2. Nelle semantiche small step per linguaggi funzionali, spesso, un passo di computazione è definito come una sostituzione termine per variabile. Questo non è un passo di computazione elementare. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 63 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 64 / 149

17 Call-by-value, Big-step reduction Per ogni tipo, un insieme dei valori o forme canoniche: risultati della computazione, termini che non posso essere ridotti ulteriormente. int (tipi ground), le costanti numeriche... 1, 0, 1, 2... τ 1 τ 2, le coppie (v 1, v 2 ), con v i valore. Riduzione eager, elementi completamente definiti. τ 1 τ 2, le λ-astrazioni λx.t, con t non necessaria mente un valore. Sono possibili definizione alternative: λx.v con v termine non riducibile, esempi x + 3, (x 1) Per definizione valori sono termini chiusi: posso valutare solo termini chiusi; questa restrizione semplifica le definizioni. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 65 / Regole di riduzione: per induzione su struttura termine t 0 m t 1 n t 0 + t 1 o o = m + n t 0 0 t 1 c if t 0 then t 1 else t 2 c t 0 n t 2 c if t 0 then t 1 else t 2 c t 1 c 1 t 2 c 2 (t 1, t 2 ) (c 1, c 2 ) t (c 1, c 2 ) fst t c 1 n 0 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 66 / 149 Regole di riduzione Proprietà della riduzione t 1 λx.t 1 t 2 v 2 t 1 [v 2/x] c (t 1 t 2 ) c t 1 c 1 t 2 [c 1 /x] c let x t 1 in t 2 c rec x.λy.t λy.t[rec x.λy.t / x] riduzione deterministica, ogni termine riduce al più ad un valore, esiste al più una regola applicabile; le riduzioni preservano il tipo: subject reduction. rec derivazioni infinite corrispondono a computazioni infinite. Esempio: ((rec f N N. λy. (f 1)) 2) Esercizio: ((rec f.λx. if x then 0 else (f (x 1)) + 2) 2) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 67 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 68 / 149

18 Domini per la semantica denotazionale Si distingue tra: domini per interpretare valori; domini per interpretare computazioni. Domini per valori: per induzione sul struttura del tipo. V int = N V τ1 τ 2 = V τ1 V τ2 V τ1 τ 2 = [V τ1 (V τ2 ) ] Domini per le computazioni: (V τ ) Ambiente L interpretazione di un termine aperto dipende da come interpretiamo le variabili (dall ambiente). Nei linguaggi call-by-value, le variabili denotano valori. Env, l insieme delle funzioni da variabili nei domini per le computazioni ρ : Var τ T che rispettano i tipi x : τ implica ρ(x) V τ. L interpretazione di un termine t : τ, V τ t : Env (V τ ) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 69 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 70 / 149 Definizioni per induzione sul termine Proprietà della semantica denotazionale x = λρ. ρ(x) n = λρ. n t 1 op t 2 = λρ. t 1 ρ op t 2 ρ (t 1, t 2 ) = λρ. let v 1 t 1 ρ. let v 2 t 2 ρ. (v 1, v 2 ) (fst t) = λρ. let v t ρ. π 1 (v) substitution lemma Se s ρ = v allora t[s/x] ρ = t ρ[v/x] Si dimostra per induzione sulla struttura del termine t per ogni valore c, c λx.t = λρ. λv : V σ. t (ρ[v/x]) (t 1 t 2 ) = λρ. let v 1 t 1 ρ. let v 2 t 2 ρ. v 1 (v 2 ) rec x.λy. t = λρ. Fix(λv 1 : V σ τ. λv 2 : V σ. t ρ[v 1 /x, v 2 /y]) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 71 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 72 / 149

19 Correttezza della semantica operazionale Proposizione Per ogni termine t, e valore c, Confronto tra semantiche t c implica t = c Si dimostra per induzione sulla derivazione di t c. Le regole della semantica operazionale rispettano quella denotazionale. L implicazione opposta non è valida, perché esistono valori diversi con la stessa semantica denotazionale. c = c ma c c Vale una relazione più debole: Proposizione Per ogni termine t, e valore c, Confronto tra semantiche t = c implica l esistenza di c tale che t c. Se t è diversa da allora le computazioni su t terminano. Dimostrazione non ovvia; usa tecniche sofisticate, logical relations. Corollario Per ogni t : int e valore intero n t n sse t = n P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 73 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 74 / 149 Call-by-name, Big-step reduction Regole di riduzione Differenti insiemi di valori, sui vari tipi. int (tipi ground), le costanti numeriche... 1, 0, 1, 2... τ 1 τ 2, le coppie (t 1, t 2 ), con t i chiusi, non necessariamente valori. Riduzione lazy? Definendo valori in questo modo posso gestire liste infinite, indipendentemente dal meccanismo di riduzione. τ 1 τ 2, le λ-astrazioni λx.t, con t chiuso non necessariamente un valore. Differenze rispetto alla semantica call-by-name: t 1 λx.t 1 t 1 [t 2/x] c (t 1 t 2 ) c t 2 [t 1 /x] c let x t 1 in t 2 c t[rec x.t / x] c rec x.t c Manca la regola per le coppie P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 75 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 76 / 149

20 valutazione degli argomenti call-by-name, Principali differenze per uniformità, valutazione call-by-name anche per il costrutto let, la ricorsione applicabile tutti gli elementi, il diverso insieme di valori per il tipo coppia forza regole diverse. Proprietà preservate: riduzione deterministica, ogni termine riduce al più ad un valore, esiste al più una regola applicabile; le riduzioni preservano il tipo; (subject reduction). P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 77 / 149 Domini per la semantica denotazionale Domini per valori: V int = N V τ1 τ 2 = (V τ1 ) (V τ2 ) V τ1 τ 2 = [(V τ1 ) (V τ2 ) ] Domini per le computazioni. (V τ ) Appunto: nei linguaggi call-by-name è possibile semplificare i domini non distinguendo domini per valori e per espressioni. Ambiente. Nei linguaggi call-by-name, le variabili denotano computazioni. Env, l insieme delle funzioni da variabili nei domini per le computazioni ρ : Var (V τ ) τ tipo che rispettano i tipi. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 78 / 149 t : Env (V τ ) Definizioni per induzione sul termine Insiemistica e categoriale Proprietà della semantica denotazionale x = λρ. ρ(x) = π x n = λρ. n = n 1 t 1 op t 2 = λρ. t 1 ρ op t 2 ρ = op t 1, t 2 (t 1, t 2 ) = λρ. ( t 1 ρ, t 2 ρ) = t 1, t 2 (fst t) = λρ. let v t ρ. π 1 (v) fst = ((π 1 ) ) λx.t = λρ. λv : (V σ ). t (ρ[v/x]) = curry( t (in y f y )) y Var (t 1 t 2 ) = λρ. let v t 1 ρ. v( t 2 ρ) = app (id) t 1, t 2 rec x.t = λρ. Fix(λv : (V σ ) t (ρ[v/x])) = Fix curry( t (in y f y )) dove f x = π 1 e f y = π y π 2 se x y y Var P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 79 / 149 substitution lemma Se s ρ = v allora t[s/x] ρ = t ρ[v/x] Si dimostra per induzione sulla struttura del termine t per ogni valore c, c P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 80 / 149

21 Confronto tra semantiche: correttezza e adeguatezza Proposizione (Correttezza) Per ogni termine t, e valore c, Proposizione (Adeguatezza) Per ogni termine t, e valore c, t c implica t = c t = c implica l esistenza di c tale che t c. Corollario Per ogni t : int e valore intero n t n sse t = n P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 81 / 149 Uguaglianza osservazionale e full-abstraction Due termini t 1, t 2 sono uguali per la semantica operazionale, t 1 t 2, se: per ogni contesto C[ ] Per il teorema di adeguatezza: C[t 1 ] C[t 2 ] t 1 = t 2 implica t 1 t 2 L implicazione contraria (full abstraction) è vera solo per poche semantiche denotazionali. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 82 / 149 Tipi somma Semantica denotazionale di Haskell Possiamo arricchire il linguaggi funzionale con tipi somma τ ::=... τ 1 + τ 2 Costruttori e distruttori t ::=... inl(t) inr(t) case t of inl(x 1 ).t 1, inr(x 2 ).t 2 Estendiamo le semantiche operazionale e denotazionale del linguaggio funzionale lazy sino a comprendere buona parte di Haskell. Punti critici. Definizioni di tipi (non ricorsive). Definizioni ricorsive per pattern matching. Definizioni ricorsive di tipi. Polimorfismo P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 83 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 84 / 149

22 Core (Kernel) Language Core Language per Haskell Nel definire la semantica di un linguaggio, o la sua implementazione e utile considerare i core Language: linguaggio semplice, insieme ridotto di costruttori primitive, sottoinsieme ridotto del linguaggio principale, linguaggio principale può essere (facilmente) tradotto nel linguaggio core, approccio modulare all implementazione, alla semantica Dal punto di vista teorico i linguaggi core risaltano: i meccanismi fondamentali della computazione, similitudini: differenze tra linguaggi. System FC Lambda calcolo tipato : applicazione e λ-astrazione; tipi di dato algebrici (ricorsivi): un insieme di funzioni basi, costruttori e distruttori; tipi polimorfi equivalenze tra tipi: operatori di coercizione. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 85 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 86 / 149 Definizione di tipi (non ricorsive) Ad ogni tipo definito associamo un tipo Fun. Ad ogni costruttore una funzione. data TypeId = Const1 TypeExp11... TypeExp1M Const2 TypeExp21... TypeExp2N... Dominio di valori: V TId = ((V TExp11 )... (V TExp1M ) ) + (TExp21)... (V TExp2N ) ) +... data Nat = O S Nat Tipi di dato, Costruttori e distruttori La definizione genera due funzioni costruttori di tipo: O :: Nat S :: Nat -> Nat una funzione distruttore di tipo case. Const1 ρ = λv 1 : (V TExp11 )... λv N : (V TExp1N ). in i v 1,..., v N Distruttore costrutto case. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 87 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 88 / 149

23 Pattern matching Definizioni per pattern matching ridotte a uso di funzioni case su argomenti singoli Esempio: add x O = x add x (S y) = S (add x y) viene tradotta nel core language in: let add = rec add. \ x y -> case y of O -> x S y1 -> S (add x y1) in La definizione and True True = True and x False = False and False x = False diventa: Pattern con più argomenti let and = \x y -> case x of True -> case y of True -> True False -> False False -> False Il costrutto case rende esplicito rende esplicito l ordine di valutazione degli argomenti. Pattern matching porta a definizione più compatte leggibili eleganti. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 89 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 90 / 149 La definizione : leq O x = True leq (S x) O = False leq (S x) (S y) = leq x y Tradotta in: Pattern matching: altro esempio let leq = rec leq. \ x \ y -> case x of O -> True S x1 -> case y of O -> False S y1 -> leq x1 y1 in... Più complesso definire funzioni mutuamente ricorsive: si definisce ricorsivamente un enupla di funzioni, un elemento in un tipo prodotto. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 91 / 149 Necessario definire soluzioni di equazione. data Nat = O S Nat LazyNat = 1 + (LazyNat) data ListNat = Empty Cons Nat ListNat ListLazyNat = 1 + (LazyNat) (ListLazyNat) Tipi di dato ricorsivi È sufficiente trovare CPO che soddisfino l equazione a meno di isomorfismi, ossia la parte sinistra e destra dell equazione sono isomorfe tra loro. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 92 / 149

24 Tipi di dato ricorsivi Information System In Haskell posso definire tipi ricorsivi a cui non è banale associare un CPO data FunBool = Fun [FunBool -> Bool] FunBool = (Funbool T ) data Untyped = Abst [Untyped -> Untyped] Un = (Un Un ) Esistono diverse tecniche per la soluzione di equazioni di dominio. Tutte richiedo un arricchimento della teoria dei CPO. Presenteremo quella basata sugli Information System Diversa presentazione di un CPO e dei suoi elementi. Un elemento di un CPO è descritto come un sottoinsieme di informazioni elementari consistenti tra di loro. Un sistema di informazioni elementari (Information System) è dato da: un insieme A di token (informazioni elementari), Con f (A), un predicato di consistenza, Con definisce gli insiemi finiti di token consistenti. una relazione di entailment (implicazione) (Con A) X a indica che le informazioni contenute in X implicano l informazione a Esempi: N, B, 1, 1, B, [B B ], [B [B B ]] P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 93 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 94 / 149 Information System: definizione Un information system A, Con, deve soddisfare le seguenti condizioni: 1 Con(X ) e Y X implica Con(Y ), 2 per ogni a A si ha Con({a}), 3 X a implica Con(X {a}) e X, 4 Con(X ) e a X implica X a, 5 Con(X ), Con(Y ), X Y e Y a implica X a dove X Y indica b Y.X b P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 95 / 149 Da Information System a CPO Il CPO A associato all information system A = (A, Con, ) è formato da quei sottoinsieme x di A tali che: 1 Con(x), x è consistente, ossia: per ogni Y f x, Con(Y ), 2 x è chiuso per la relazione di entailment, ossia: per ogni Y f x, Y a implica a x L ordine su A è l information order x y se e solo se x y A è un CPO con elemento minimo. Definizione alternativa: Definisco il CPO A aggiungendo la condizione x, diverso da vuoto. Winskel usa questa seconda definizione. A = ( A ) A può CPO senza elemento minimo. A genera il CPO delle computazioni, A il CPO dei valori. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 96 / 149

25 Considerazioni Information system differenti possono indurre lo stesso CPO. Esistono CPO non definibili attraverso information system La classe dei CPO definibili da information system prende il nome di domini di Scott (Dana Scott). Consistently complete, ω-algebraic CPO. Esistono varianti degli information system senza la relazione di entailment, e in cui la relazione di coerenza è binaria. Questi danno luogo agli spazi coerenti. La corrispondenza Domini di Scott, Information System è un esempio si Stone Dualità, gli elementi di uno spazio posso essere descritti dalle loro proprietà. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 97 / 149 Costruzioni sugli Information System: Lifting L information system vuoto: O = (, { }, ) O = { } Dato l information system: A = (A, Con, ) definiamo A = (A, Con, ) come: A = A { } Con (X ) sse Con(Y ). (X = in l Y X = (in l Y {in r })) X a sse a = in r (Y b). a = in l b (X = in l Y X = in l Y {in r } Si ha: P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 98 / 149 A = A e A = A Prodotto Prodotto coalescente Dati: A = (A, Con A, A ) e B = (B, Con B, B ) definiamo A B = (A B, Con A B, A B ) come: Con A B (in l X in r Y ) sse Con A (X ) e Con B (Y ) (in l X in r Y ) A B (in l a) sse X A a (in l X in r Y ) A B (in r b) sse Y B b Si ha: A B = A B Dati: A = (A, Con A, A ) e B = (B, Con B, B ) definiamo A B = (A B, Con A B, A B ) come: Con A B (Z) sse Con A (π 1 Z) e Con B (π 2 Z) Z A B c sse π 1 Z A π 1 c π 2 Z A π 2 c Si ha: A B = A B P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 99 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 100 / 149

26 Somma Dati gli information system A = (A, Con A, A ) e B = (B, Con B, B ) definiamo A + B = (A B, Con A+B, A+B ) come Con A B (X ) sse X = in l Y Con A (Y ) o X = in r Y Con B (Y ) (in l X ) A+B (in l a) sse X A a (in r Y ) AB (in r b) sse Y B b Si ha: A + B = somma coalescente di A, B A + B = A + B Dati A = (A, Con A, A ) e B = (B, Con B, B ) definiamo A B = (C, Con C, C ) come: C = {(X, b) X Con A, b B} Spazio di funzioni Con C ({(X 1, b 1 ),..., (X n, b n )}) sse I {1,..., n}. Con A ( i I X i) Con B ({b i i I }) {(X 1, b 1 ),... (X n, b n )} C (X, b) sse {b i (X A X i)} B b Proposizione: A B = [ A B ] P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 101 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 102 / 149 Spazio di funzioni strette Un ordine sugli IS Definiamo una relazione d ordine,, sugli IS come: Lo spazio delle funzioni (continue) strette [C D] ossia le funzioni f t.c. f ( ) = viene descritto dal IS che ripete la costruzione precedente modificando solo la definizione del primo punto: C = {(X, b) X Con A, X, b B} Proposizione: A B = [ A B ] = [ A (B) ] sse A B (A, Con A, A ) (B, Con B, B ) Con A (X ) sse X A Con B (X ) X A a sse (X {a}) A X B a Proposizione L insieme degli IS con forma un CPO con, l elemento minimo è, il sup di una catena A 0 A 1 A 2... con A i = (A i, Con i, i ) si ottiene attraverso l operazione unione i ω A i = ( i ω A i, i ω C i, i ω i ) P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 103 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 104 / 149

27 Continuità Linguaggio eager con tipi ricorsivi Tipi: τ ::= 1 τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2 X µx.τ Proposizione I costruttori di IS, +,,, sono continui rispetto a. Corollario Ogni costruttore composizione dei costruttori base ammette punto fisso. Espressioni t ::= x () (t 1, t 2 ) fst t snd t λx.t (t 1 t 2 ) inl(t) inr(t) case t of inl(x 1 ).t 1, inr(x 2 ).t 2 abs (t) rep (t) rec f.λx.t Un unico tipo base, Nat definito per ricorsione di tipo. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 105 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 106 / 149 ogni variabile ha associato un unico tipo, x τ x; regole induzione sulla struttura del termine, ogni costrutto sintattico ha una regola di tipo; nuove regole: unit: () : 1 Type checking abstraction: t : τ[µx.τ/x ] abs (t) : µx.τ representation: t : µx.τ rep (t) : τ[µx.τ/x ] type conversion, type casting esplicito; necessarie assicurare l unicità del tipo; utili se il CPO associato a µx.τ è isomorfo a quello associato a τ[µx.τ/x ], P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 107 / 149 Semantica Operazionale: insieme di valori A causa dei tipi ricorsivi deve essere definito in mediante un insieme regole induttive, e non per induzione sulla struttura del tipo c : C τ[µx.τ/x ] abs (c) : C µx.τ P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 108 / 149

28 Nuove regole per termini nei tipi ricorsivi. t c abs (t) abs (c) t abs (c) rep (t) c Regole di riduzione P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 109 / 149 Semantica Denotazionale Mediante information system Associazione tipi information system fatta mediante: un ambiente di tipo (type environment); un insieme di definizioni, per induzione sulla struttura di tipo; V 1 χ = O = ({ }, {{ }, }, {{ } }) V τ 1 τ 2 χ = V τ 1 χ V τ 2 χ V τ 1 + τ 2 χ = V τ 1 χ + V τ 2 χ V τ 1 τ 2 χ = (V τ 1 χ V τ 2 χ ) V X χ = χ(x ) V µx.τ χ = µi.v τ χ[i /X ] Nota: V τ definisce il CPO delle computazioni associate a τ, e V τ definisce il CPO dei valori associate a τ, Per semplificare non definiamo due information system (delle computazioni P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 110 / 149 e quello dei valori), Semantica Denotazionale Linguaggio lazy con tipi ricorsivi Tipi: τ ::= 0 τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2 X µx.τ Le equazioni vanno riformulate per adattarsi ai domini definiti in termini di information systems. abs e rep sono rappresentati dalla funzione identità. Valgono le usuali proprietà di correttezza e adeguatezza. Espressioni t ::= x (t 1, t 2 ) fst t snd t λx.t (t 1 t 2 ) inl(t) inr(t) case t of inl(x 1 ).t 1, inr(x 2 ).t 2 abs (t) rep (t) rec x.t 0 non contiene nessun valore, termine divergente, nessuna regola di riduzione. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 111 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 112 / 149

29 Semantica Operazionale Semantica Denotazionale Vale ancora la regola eager. Mentre, sono valori: c : C τ[µx.τ/x ] abs (c) : C µx.τ (t 1, t 2 ), inl(t), inr(t) Valgono le regole eager per termini in tipi ricorsivi: t c abs (t) abs (c) t abs (c) rep (t) c V 0 χ = O V τ 1 τ 2 χ = (V τ 1 χ V τ 2 χ ) V τ 1 + τ 2 χ = (V τ 1 χ ) + (V τ 2 χ ) V τ 1 τ 2 χ = (V τ 1 χ V τ 2 χ ) V X χ = χ(x ) V µx.τ χ = µi.v τ χ[i /X ] P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 113 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 114 / 149 Semantica denotazionale linguaggi imperativi IMP linguaggio ridotto semantica denotazionale semplice, banale. Linguaggi più complessi portano a semantiche più complesse. Presentiamo una rassegna delle tecniche idea usate nella semantica di linguaggi realistici. Problemi e soluzioni 1 Input/Output. Allo store si aggiunge la lista dei valori di input e output 2 Comandi che generano errori. Il valore errore come risultato di una computazione. 3 Espressioni che modificano lo stato, che non terminano. Semantica delle espressione più complessa, simile a quella dei comandi. 4 Due variabili posso denotare la stessa locazione. Si separa il concetto di store da quello di environment. 5 Identificatori che denotato costanti, funzioni. Si allarga il codominio dell environment. 6 Espressioni a sinistra dell assegnazione. Due tipi di valutazione. 7 Comandi che non passano il controllo al comando successivo: Eccezioni, goto, generazione di errore. Continuazioni. P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 115 / 149 P. Di Gianantonio (Udine) Semantica dei linguaggi di programmazione 116 / 149