Analisi semantica. Type Assignment System

Transcript

1 Analisi semantica Type Assignment System Descrizione formale del sistema di tipi. Univ. di Udine Terza fase del compilatore Controllo statico sul codice (albero sintattico) estrarre informazioni eseguire controlli non liberi dal contesto type checking, il controllo principale Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 1 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 2 / 46 Type system In precedenza, discussione informale sui sistemi di tipi nei linguaggi. Type system definizione formale del controllo di tipo statico (tempo di compilazione) attraverso un sistema di regole (simile deduzione naturale) derivo giudizi nella forma M : A quando un espressione M del mio linguaggi ha tipo A, nell ambiente statico (con le ipotesi), assegna un tipo alle variabili di M, ha forma x1:a1, x2:a2,... xn:an Type checking: codice, algoritmo, che implementa il type system Altri giudizi ausiliari A, A è un espressione di tipo corretta, l ambiente è ben formato. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 3 / 46 di derivazione simili alla deduzione naturale, un insieme di giudizi premessa, porta ad un giudizio conclusione Gamma1 - M1 : A1... GammaN - Mn : An Gamma - M : A regole senza premesse sono gli assiomi regole date per induzione sulla struttura di M ad ogni costrutto del linguaggio si associa una regola (più o meno) all arricchirsi del linguaggio, aumentano le regole, approccio modulare singole regole restano valide, all arricchirsi del linguaggio regole piuttosto semplici Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 4 / 46

2 Derivazioni Type checking, type inference problema di controllo di tipo, type checking, hanno una struttura ad albero, Permettono di derivare i giudizi validi dato un termine M, un tipo A un ambiente Gamma, determinare se Gamma - M : A sia valido problema di inferenza di tipo, type inference, dato un termine M, e ambiente Gamma, trovare A tale che Gamma - M : A sia valido errore di tipo, non esiste A tale che Gamma - M : A definizione indiretta l inferenza di tipo può essere un problema complesso: vedi Haskell, linguaggio polimorfo l inserimento di dichiarazioni di tipo nel codice lo semplifica Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 5 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 6 / 46 Type soundness Esempi di regole Nel seguito presentiamo, in maniera incrementale Collegamento tra computazione e type system, il sistema di tipi deve assicurare che alcune proprietà siano preservate nella computazione questo permette di garantire l assenza di alcuni errori. semplici linguaggi di programmazione relative regole di tipo. illustrative linguaggi diversi usano, regole diverse, simili nello spirito, singolarmente semplici ma sistema di tipi complesso, numero di regole elevato piccole modifiche, ad una singola regolo, possono portare ad inconsistenze Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 7 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 8 / 46

3 Sistemi di tipi al prim ordine. Prim ordine, perché nessuna variabile di tipo non ci sono i tipi polimorfi Presentiamo alcuni esempi linguaggio base un insieme di estensioni ogni estensione richiede nuove regole le regole precedenti vengono preservate struttura modulare. Sistema F1, (lambda calcolo tipato semplice) quasi un frammento minimo di Haskell Tipi... A, B un insieme di tipi base K in Basic tipi funzioni A -> B Termini, codice... M, N variabili x costanti c : K funzioni \ x:a -> M applicazioni M N associo un tipo al parametro formale di ogni funzione diversamente da Haskell similmente a quasi tutti gli altri linguaggi Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 9 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 10 / 46 ovvie per i giudizi di buona formazione e buon tipo, (Var) definibili mediante sintassi G, x:a, G' - x : A (Fun) G, x : A - M : B G - (\ x:a -> M) : A->B (App) G - M : A->B G - N : A G - M N : B Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 11 / 46 Tipi base e costanti Ad ogni costante devo associare una regola che gli assegna tipo (Unit) G - unit : Unit (True) (False) G - true : Bool (ite) G - false : Bool G - (if _ then _ else _) : Bool -> A -> A -> A o alternativamente G - M : Bool G - N1 : A G - N2 : A G - if M then N1 else N2 : A Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 12 / 46

4 linguaggio minimale G - 0 : Nat G - pred : Nat -> Nat estensioni G - succ : Nat -> Nat Naturali G - iszero : Nat -> Bool insieme infinito di regole per infinite constanti G - 1 : Nat G - 2 : Nat G - 3 : Nat... operazioni aritmetiche G - (+) : Nat -> Nat -> Nat... Esempio \ y:nat -> \ z:nat -> y + y + z Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 13 / 46 nuovo costruttore di tipi A x B (Pair) G - M : A G - N : B G - (M,N) : AxB (First) (Second) G - first : AxB -> A Esempio Tipi prodotto G - second : AxB -> A \ y : (Int, Int) -> (first y) + (second y) Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 14 / 46 in alternativa posso usare il costrutto case (pattern matching) (With) G - M : A1 x A2 G, x1:a1, x2:a2 - N:B G - case M of (x1:a1,x2:a2) -> N : B sintassi: in alternativa case M of (x1:a1,x2:a2) -> N si scrive: with (x1:a1,x2:a2) := M do N Esempio \ y : (Int, Int) -> case y of (y1 : Int, y2: Int) -> y1 + y2 Semplice la generalizzazione al prodotto di n tipi. Tipi unione nuovo costruttore di tipi A + B (InLeft), (InRight) G - inleft : A -> A+B G - inright - B -> A+B (IsLeft), (IsRight) G - IsLeft : A+B -> Bool G - isright - A+B -> Bool (AsLeft), (AsRight) G - asleft : A+B -> A G - asright - A+B -> B possono causare errore di tipo a tempo di esecuzioni Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 15 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 16 / 46

5 evitati con (case) G - M : A1 + A2 G, x1:a1 - N1:B G, x2:a2 - N2:B G - case M of(inleft(x1:a1) ->N1)(inRight(x2:A2) -> N2) : B sintassi: in alternativa case M of (inleft(x1:a1)->n1) (inright(x2:a2)->n2) : B si scrive case M of x1:a1 then N1 x2:a2 then N2 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 17 / 46 Estensione del tipo prodotto un numero arbitrario di componenti sistema di etichette l Record (structure) nuovo costruttore di tipo { l1 : A1,..., ln : An } regole (Record) G - M1 : A1 G - M2:A2... G - Mn:An G - { l1:m1,..., ln:mn } : { l1:a1,..., ln:an } (Record Select) G - M : { l1 : A1,..., ln : An } G - M.li : Ai Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 18 / 46 Variant type (Record With) G - M:{l1:A1,..., ln:an} G, x1:a1,..., xn:an - N : B G - case M of {x1:a1,..., xn:an} -> N of B Estensione del tipo unione un numero arbitrario di componenti sistema di etichette l Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 19 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 20 / 46

6 definiscono locazioni di memoria introducono la memoria, lo stato distinguo in maniera esplicita la locazione di memoria dal suo contenuto separazione sfumata in altri linguaggi costrutto simile in ML costruttore di tipo Ref A Reference type Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 21 / 46 (Ref) G - ref M : Ref A creo una nuova locazione di tipo che inizializzo con valore M posso tradurre var x = M; N con let x = ref M in N oppure con (\ x -> N) (ref M) (Deref) accedo al contenuto G - deref : (Ref A) -> A Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 22 / 46 (Assign) G - M : Ref A G - N : A G - M := N : Unit Esempio (\ x :(Ref Nat) -> x := x + 1) (ref 3) (\ x :(Ref Nat) -> x := (deref x) + 1) (ref 3) Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 23 / 46 Tipi di dati ricorsivi Il tipo data di Haskell ne sono un esempio. Introduco variabili di tipo Y Un funzione di punto fisso mu sui tipi mu Y. A Con mu Y. A indico il tipo tipo isomorfo a A [ mu Y. A / Y] Analogia con Haskell liste di naturali data ListInt = Nil Cons Int ListInt` diventa, F1 mu Y. Unit + (Int x Y) Per costruire valori di tipo ricorsivo, si usa una famiglia di costruttori fold_(mu Y.A) uno per ogni tipo ricorsivo. Per esaminare valori di tipo ricorsivo, si usa una famiglia di distruttori unfold_(mu Y.A) Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 24 / 46

7 Esempio: (Fold) G - M : A [ mu Y. A / Y] G - fold M : mu Y. A per brevità ometto l indice di tipo (Unfold) G - M : mu Y. A G - unfold M : A [ mu X. A / Y] i costruttori di liste li posso definire: Nil = fold(inleft unit) Cons a as = fold(inright (a,as) i distruttori di liste head as = tail as = first (asright (unfold as)) second (asright (unfold as)) Esempio di come usando nozione semplici (mu, fold, unfold) posso modellare sistemi di tipo ricchi. Tutti i dati ricorsivi, non mutuamente ricorsivi e non parametrici, di Haskell, trattabili in questo modo. Codifica non troppo complessa. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 25 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 26 / 46 Considero tre categorie sintattiche Espressioni Linguaggio imperativo, simil C. E ::= const id E binop E unop E Comandi C ::= id = E C; C while E {C} if E then C else C I(E,... E) {D ; C} Dichiarazione D ::= A id = E id(a1 id1,..., An idn) { C } epsilon D; D Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 27 / 46, espressioni Per le espressione, valgono le corrispondenti regole del linguaggio funzionale (Id, (Var)) G, id:a, G' - id : A G - true : Bool (ite) G - false : Bool G - (if _ then _ else _) : Bool -> A -> A -> A G - 1 : Nat G - 2 : Nat G - 3 : Nat... operazioni aritmetiche G - E1 : Nat G - E2 : Nat G - E1 + E2 : Nat Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 28 / 46

8 (Assign) G - id : A G - E : A G - id = E : Unit (Sequence) G - C1 : Unit G - C2 : Unit G - C1; C2 : Unit (While) G - E : Bool G - C : Unit G - while E {C} : Unit Comandi (If Then Else) G - E : Bool G - C1 : Unit G - C2 : Unit G - if E then C1 else C2 : Unit (Procedure) G - id : (A1 x...x An) -> Unit G - E1 : A1... G - En : A G - id (E1,..., En) : Unit (Blocco) G - D :: G1 G, G1 - C : Unit G - {D;C} : Unit Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 29 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 30 / 46 Dichiarazioni Le dichiarazione necessitano di un nuovo tipo di giudizio Una dichiarazione crea un ambiente, che viene utilizzato nel blocco della dichiarazione Giudizi nella forma G - D :: G1 (Id) G - E : A (A tipo memorizzabile) G - A id = E :: (id : A) (Proc) G, id1 : A1,..., idn : An - C : Unit G - id(a1 id1,... idn){ C } :: id : (A1 x...x An) -> Unit (Recursive Proc) G, id1 : A1,... An, id : (A1 x...x An) -> Unit - C : Unit G - id(a1 id1,... idn){ C } :: id : (A1 x...x An) -> Unit Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 31 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 32 / 46

9 (Sequenza) G - D1 :: G1 G, G1 - D2 :: G G - D1; D2 :: G1, G2 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 33 / 46 Array Devo formalizzare le due differente interpretazioni delle espressioni a sinistra della assegnazione = a destra dell assegnazione finora a sinistra solo identificatori id Tipi, aggiungo un costruttore di tipo A[B] con le opportune restrizioni A a memorizzabile B tipo enumerazione Espressioni, distinguo tra espressioni sinistre e destre LE ::= id LE[RE] RE ::= LE const RE binop RE unop RE Una nuova versione dell assegnamento C ::= LE = RE... Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 34 / 46 Per le espressioni distinguo due giudizi, G -l E : A significato: E può denotare una locazione di tipo A G -r E : A significato: E può denotare un valore di tipo A (Assign) G -l E1 : A G -r E2 : A G -l E1 = E2 : Unit (Left-Right) G -l E : A G -r E : A (Var) G, x:a, G' -l x : A Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 35 / 46 (Array) G -l E : A[B] G -r E1 : B G -l E[E1] : A Le restanti regole regole per le espressioni restano inalterate, diventando regole per giudizi right -r. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 36 / 46

10 Polimorfismo di sottotipo. Maggiore flessibilità permetto ad un espressione di avere più tipi Varie forme di polimorfismo ad hoc di sottotipo parametrico combinazioni dei precedenti Sottotipo ( e ad hoc) introduco una relazione di sottotipo, con relativi giudizi e regole G - A <: B (Subsumtion) G -r E : A G - A <: B G -r E : B per i giudizi di sottotipo Posso trattare il polimorfismo ad-hoc, con assiomi del tipo. G - Int <: Float Polimorfismo dei linguaggi ad oggetti: un tipo oggetto con più campi, sottoggetto di uno con meno. formalizziamolo con i tipi Record G - A1 <: B1... G - Am <:Bm m < n G - { l1:a1,..., ln:an } <: { l1:b1,..., lm:bm} Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 37 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 38 / 46 Definisco regole di sottotipo per ogni costruttore di tipi. (Prod <:) G - A1 <: B1 G - A2 <:B G - A1 x A2 <: B1 x B2 sempre covariante con eccezione (Arrow <:) G - A1 <: B1 G - A2 <:B G - B1 -> A2 <: A1 -> B2 controvariante sul primo argomento. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 39 / 46 (Arrow <:) G, X <: Y - A <: B G - mu X. A <: mu Y. B la regola (Arrow <: Wrong) G, X - A <: B G - mu X. A <: mu X. B mi permette di derivare Regola non ovvia, tipi ricorsivi. G - mu X. X -> Int <: mu X. X -> Float non corretto. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 40 / 46

11 Esempi Polimorfismo parametrico Type inference per \ y: Int -> y * 2 * 3.14 \ y: Int -> y * 2 * 3.14 { Int[0..3] V = [2, 3, 4, 5]; V[V[1]] = V[1]} Haskell (versione semplificata), ML Hindley-Milner type system (versione semplificata) linguaggio funzionale senza notazioni di tipo variabili di tipo le regole associano ad un termine il tipo più generale si basa sull algoritmo del MGU (most general unifier) dati due termine con variabile trova la sostituzione più generale che rende i due termini uguali Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 41 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 42 / 46 Frammento minimo di Haskell Tipi... A, B un insieme di tipi base K in Basic un insieme di variabili di tipo a, b,c tipi funzioni A -> B Termini, codice... M, N variabili x costanti c : K funzioni \ x -> M applicazioni M N (Var) x:a - x : a (Fun) G, x : A - M : B G - (\ x:a -> M) : A->B Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 43 / 46 Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 44 / 46

12 (App) G1 - M : A1->B G2 - N : A U (G1 + G2) - M N : U(B) side conditions: G1 A1, non hanno nessuna variabile di tipo in comune con G2 A2 U la sostituzione di variabili di tipi con tipi più generale che faccia concordare G1 con G2 (assegnano alla stessa variabile lo stesso tipo) A1 con A2 (diventano uguali) ottenibile mediante l algoritmo di MGU (most general unifier) esempi - \ y -> \ x -> y x :? - \ y -> \ x -> y (y x) :? - (\ y -> \ x -> y (y x))(\ y -> \ x -> y (y x)) :? Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 45 / 46 se: - M : (a -> b) -> a -> b Idee e limiti M può assumere tutti i tipi ottenibili, istanziando le variabili a e b al termine N = \ f -> \ (y, z) -> (f z, f y) viene assegnato tipo (a -> b) -> (a x a) -> (b x b) il termine N (\ x -> x) (2, true) corretto ma non tipabile, tipabile con un sistema di tipi più ricco, t 1 <: σ 1. τ Regola principale: G - M : \/ t <: A. B G - A1 <: A G - M : B[A1/t] M ha tutti tipi ottenibili istanziando in τ, t1 con un qualsiasi sottotipo di σ. Descrizione formale del sistema di tipi. (Univ. di Udine) Type Assignment System 46 / 46