2.1 Permutazioni aleatorie Cicli. La squadra per le pulizie si ottiene applicando ripetutamente la permutazione s all elemento 1:

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1 64 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi. Perutazioi aleatorie Coe già visto el paragrafo..4 del capitolo, deotiao co S l isiee delle fuzioi biuivoche dall isiee {,,...,} i sé. Osserviao che S è u gruppo rispetto alla coposizioe di applicazioi, che è o coutativo se 3. Ricordiao che S =, dove è stato defiito i (.0). Idichiao co P la probabilità uifore sull isiee S, pesato coe spazio capioario. Lo spazio di probabilità (S,P ) è u buo odello per l esperieto aleatorio che cosiste el escolare accurataete oggetti e quidi osservare l ordiaeto otteuto. I questo paragrafo esaiiao alcue proprietà iteressati dello spazio (S,P ), prededo sputo da alcui problei. Per defiizioe di probabilità uifore (si ricordi l Esepio.3), si ha P (A) = A S = A, per ogi A S, quidi il calcolo di probabilità si ricoduce a u calcolo di cardialità. Per seplicità, quado ciò o causi cofusioe, oettereo la dipedeza da ella probabilità P, idicadola sepliceete co P... Cicli Coiciao co u problea i cui copare i odo aturale il cocetto di ciclo di ua perutazioe coteete u dato eleeto. Problea.. U gruppo di aici affitta ua casa per ua vacaza. Dopo alcui giori tutti covegoo che sia il caso di fare delle pulizie, a si steta a trovare dei volotari. Laura, che è voloterosa e bizzarra, avaza la seguete proposta. Oguo scrive il proprio oe su ua carta. Quidi le carte vegoo accurataete escolate e distribuite. Laura allora leggerà ad alta voce il oe sulla sua carta. Quidi la persoa il cui oe è stato letto leggerà a sua volta il oe sulla sua carta; si prosegue così fiché o viee letto il oe di Laura. A questo puto, le persoe il cui oe è stato chiaato forerao la squadra per le pulizie. (i) Qual è la probabilità che Laura si trovi a dover fare le pulizie da sola? (ii) Qual è la probabilità che tutti debbao fare le pulizie? (iii) Più i geerale, qual è la probabilità che la squadra delle pulizie sia coposta da persoe? Soluzioe.. Etichettiao gli aici co i ueri,,...,, assegado il uero a Laura. L esito del escolaeto delle carte può allora descritto i odo aturale co ua perutazioe s S : la carta i ao alla persoa i ha il oe della persoa s(i). Il fatto che le carte siao escolate accurataete corrispode a cosiderare la probabilità uifore P su S.. Perutazioi aleatorie 65 La squadra per le pulizie si ottiee applicado ripetutaete la perutazioe s all eleeto : s(), s s() =: s (),... s k (), s k ()=, dove k è il più piccolo uero itero tale che s k () =. I questo odo,, s(), s (),...,s k () soo eleeti distiti di {,...,}. La sequeza,s(),s (),...,s k () viee detta ciclo coteete, e l itero k viee detto lughezza del ciclo. Il quesito (iii), che cotiee gli altri due coe casi particolari, può essere pertato riforulato coe segue: qual è la probabilità che il ciclo coteete abbia lughezza? Itroducedo per ogi N l eveto C S defiito da C := {s S : il ciclo coteete ha lughezza }, dobbiao duque calcolare P(C ) per ogi apple apple. Coiciao co il quesito (i), che corrispode a =. Si oti che l eveto C = {s S : s()=} corrispode l isiee delle perutazioi di {,...,} i cui viee adato i sé stesso. C è pertato ua aturale corrispodeza biuivoca tra C e l isiee delle perutazioi di {,3,...,}, da cui si deduce che C =( ) =) P(C )= C =. I altre parole, la probabilità che Laura si trovi da sola a fare le pulizie è pari a. Cosideriao ora la doada (ii), cioè calcoliao P(C ). Le perutazioi s C soo tali che il ciclo coteete ha lughezza, ossia si può rappresetare ella fora,s(),s (),...,s (). Osserviao che la scrittura precedete è ua -upla i cui copaioo tutti e soli gli eleeti di {,...,} co al prio posto. Tali -uple, che soo i corrispodeza biuivoca co le perutazioi i C, possoo essere deteriate ediate le segueti scelte successive: si sceglie s() i {,,...,}\{}, per cui ci soo esiti possibili; si sceglie s () i {,,...,}\{,s()}, per cui ci soo esiti possibili; e così via fio a s (), per cui resta u solo esito possibile. Di cosegueza, per il pricipio fodaetale del calcolo cobiatorio, C =( )( ) =( ) =) P(C )= C =. A questo puto abbiao gli strueti per calcolare C per ogi valore di, cioè per rispodere alla doada (iii). Ifatti, gli eleeti s C possoo essere

2 66 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi deteriati dalle segueti tre scelte successive: si scelgoo gli eleeti di {,...,} che copogoo il ciclo coteete, per cui ci soo esiti possibili (uo degli eleeti dev essere ); si sceglie uo dei cicli forati da questi eleeti: coe abbiao appea visto ella risposta alla doada (ii), ci soo ( ) tali cicli; si scelgoo i valori di s sui riaeti eleeti: dato che s peruta i odo arbitrario tali eleeti, per questa scelta ci soo ( ) esiti possibili. Per il pricipio fodaetale del calcolo cobiatorio, si ottiee C = ( )( ) =( ) =) P(C )=. Cocludedo, la probabilità che la squadra per le pulizie sia coposta da eleeti è, i particolare o dipede da. Nel problea precedete abbiao itrodotto, per ua perutazioe s S fissata, la ozioe di ciclo coteete l eleeto. I odo aalogo, si può costruire il ciclo coteete ogi altro eleeto i {,...,}. È chiaro che, se i appartiee al ciclo coteete, il ciclo coteete i coicide co il ciclo coteete (a eo di ua traslazioe dei suoi eleeti); viceversa, se i o appartiee al ciclo coteete, il ciclo coteete i è disgiuto dal ciclo coteete. Di cosegueza, ogi perutazioe s S idividua ua partizioe i cicli di {,,...,}. Problea.. Lo stesso gruppo di aici del Problea. decide di giocare a Trivial Pursuit. Decidoo quidi di usare il etodo proposto da Laura per suddividersi i squadre, corrispodeti alla partizioe i cicli deteriata della perutazioe. (Il uero di squadre o è duque fissato a priori, e le squadre o soo ecessariaete della stessa uerosità.) Qual è la probabilità che si fori ua squadra, ecessariaete uica, co strettaete più di / persoe? Soluzioe.. Muiao acora S della probabilità uifore P. Itroduciao gli eveti D e D, per {,...,}, defiiti da D := {s S : s ha u ciclo di lughezza strettaete aggiore di /}, D := {s S : s ha u ciclo di lughezza }. Il quesito del problea richiede di calcolare P(D). Notiao che D è l uioe degli eveti D per > /, e che tali eveti soo disgiuti, pertato P(D) = <apple P(D ), (.) e ci resta da deteriare P(D ) per > /. L osservazioe fodaetale è che, se > /, u ciclo di lughezza è ecessariaete uico (etre ciò o è vero se apple /). I effetti, se > /, gli eleeti s D possoo essere deteriati attraverso le segueti scelte successive:. Perutazioi aleatorie 67 si scelgoo gli eleeti che copaioo el ciclo grade, per cui ci soo esiti possibili; si sceglie uo dei possibili cicli forati da questi eleeti, per cui ci soo (coe abbiao visto el Problea.) ( ) esiti possibili; si fissao i odo arbitrario i valori di s sui riaeti eleeti, per cui ci soo ( ) esiti possibili. Pertato D = ( )( ) = =) P(D )=. (Per apple, la possibile o uicità dei cicli di lughezza coduce a cotare più di ua volta la stessa perutazioe, e quidi il precedete coteggio è scorretto.) Ricordado (.), la risposta al quesito del problea è data da P(D) = <apple = =b c =: p, dove abbiao idicato co p la probabilità richiesta, per evideziare la dipedeza da, e dove b c idica la parte itera di. Abbiao duque otteuto ua forula esplicita, a o olto trasparete. Cerchiao di studiare il coportaeto per valori gradi di. Sostituedo la soa co u itegrale si ottiee p Z b/c dx log x log(/) =log. Precisiao ora questa relazioe i odo rigoroso. Usado le segueti disuguagliaze (che possoo essere verificate per esercizio), valide per ogi x > 0, abbiao che pertato 0 apple x log( + x) apple x, 0 apple + log = log + apple, 0 apple <apple log <apple <apple log + apple <apple apple 4, dove ell ultia disuguagliaza abbiao usato il fatto che i terii della soa soo iori o uguali a 4/, perché > b c, e che ci soo o più di terii. Dato che log(b/a)=logb loga, si ha ua soa telescopica + + = log b c +.

3 68 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi Dalle precedeti disuguagliaze si deduce che + + log b c + apple p apple log b c + +, e dato che li ( + )/(b c + )=, si ottiee ifie li p = log. I altre parole, per gradi valori di, la probabilità che si fori ua squadra co più di / persoe è approssiativaete log ' 0.69 e duque (approssiativaete) o dipede da, u risultato o evidete a priori. Per > 50, p log apple 0.0. Il risultato appea otteuto perette di trovare ua soluzioe al seguete difficile problea. Problea.3. Il docete di u corso di Probabilità frequetato da 00 studeti propoe ai suoi allievi quato segue. Si preparao 00 buste, uerate da a 00, e 00 carte, su ciascua delle quali è scritto il oe di uo studete del corso (seza ripetizioi, si escludao ooiie). Quidi le carte vegoo iserite, casualete, ua i ogi busta. Le buste, chiuse a o sigillate, vegoo quidi disposte sulla cattedra di u aula. Gli studeti etrao ell aula uo per volta. Ogi studete apre a suo piacieto 50 buste, ua dopo l altra, e couica al docete se, tra le buste aperte, c è quella co il proprio oe. Quidi le richiude ed esce dall aula, seza poter i alcu odo couicare co i colleghi che acora devoo etrare i aula. Il docete alzerà il voto dell esae di tre puti a tutti gli studeti solo el caso i cui ciascuo studete trovi la busta coteete la carta co il proprio oe. Gli studeti o possoo couicare dopo l iizio delle aperture, a possoo cocordare ua strategia a priori. Si deterii ua strategia che coduca al successo (cioè all aueto di tre puti per tutti) co probabilità o trascurabile. Pria di descrivere la soluzioe, otiao che è assolutaete o ovvio otteere ua probabilità di successo o trascurabile. Le strategie baali falliscoo iseraete. Suppoiao che gli studeti o si accordio per ulla, ad esepio che oguo di essi scelga a caso, idipedeteete dagli altri, le 50 buste da aprire. I questo caso è facile ostrare che oguo avrebbe probabilità di trovare il proprio oe e, vista l idipedeza delle scelte, la probabilità che tutti trovio il proprio oe sarebbe ' : irrisoria Si può fare aturalete di peggio: se fossero così sciocchi 00 da accordarsi di aprire tutti le stesse 50 buste, la probabilità di successo sarebbe ulla. Quello che o è ovvio è se sia possibile fare eglio. Soluzioe.3. Poiao := 00 ed etichettiao i ceto oi degli studeti co i ueri,,...,. Deotiao ioltre co s(k), il uero (oe) all itero della busta k. Tale s è evideteete u eleeto di S e la probabilità uifore su S corrispode al fatto che i oi elle buste vegoo iseriti a caso. Lo scopo dello studete k è di aprire la busta che cotiee al suo itero il uero k, ossia la busta j co s( j)=k. Suppoiao che gli studeti si accordio per. Perutazioi aleatorie 69 seguire la seguete strategia. Ogi studete k apre per pria la busta k e e legge il coteuto s(k); quidi apre la busta s(k) leggedoe il coteuto s (k), e così via. Se, ella perutazioe s, il ciclo coteete k ha lughezza apple, la -esia busta aperta dallo studete k è la busta s (k), il cui coteuto è proprio s (k)=k: questo sigifica che lo studete k trova la carta col proprio oe Pertato, se tutti i cicli di s hao lughezza iore o uguale a /, ogi studete troverà sicuraete la busta coteete il proprio oe. Viceversa, se u ciclo di s ha lughezza strettaete aggiore di /, gli studeti il cui uero appartiee a quel ciclo o troverao il loro oe tra le prie 50 buste aperte. Di cosegueza, idicado co p è la probabilità calcolata el problea precedete, probabilità di successo della strategia = p ' log ' 0.3, ua probabilità decisaete o trascurabile Sottolieiao che il liite iferiore otteuto alla probabilità di successo è approssiativaete idipedete da, se è abbastaza grade. (Per scrupolo, per = 00, si calcola p ' e duque p 0.3.) Per capire eglio la strategia, defiiao gli eveti B k := {lo studete uero trova la carta col proprio oe}, \ B := {tutti gli studeti trovao la carta col proprio oe} = B k. No è difficile covicersi del fatto che, qualuque sia la strategia seguita, ogi studete fissato ha probabilità / di trovare la busta co il suo oe I altri terii, P(B k )=0.5 per ogi k =,...,, idipedeteete dalla strategia seguita dagli studeti. Dato che B B k, per ogi k, segue che P(B) apple 0.5. Co la strategia proposta abbiao ostrato che P(B)=P( T B k ) 0.3. Questo sigifica che gli eveti {B k } applekapple soo olto sovrapposti, ossia tutt altro che idipedeti. L efficacia della strategia è proprio dovuta al fatto che, se si verifica il prio eveto A, co grade probabilità si verificao tutti gli altri eveti A k co k... Puti fissi Cosideriao ora u problea i cui giocao u ruolo fodaetale i puti fissi di ua perutazioe. Problea.4. Ua coitiva di turisti si sta ibarcado per u viaggio aereo. La loro guida ha tutte le carte d ibarco (oiative), che deve distribuire ai turisti pria dell ibarco. Per la fretta e la cofusioe le distribuisce a caso. Qual è la probabilità che qualcuo dei turisti riceva effettivaete la propria carta d ibarco? Qual è la probabiltà che esattaete turisti ricevao la propria carta d ibarco? Soluzioe.4. Etichettiao co {,,..., } gli turisti e idichiao co s(i) il uero (oe) sulla carta d ibarco ricevuta dal turista i. Si oti che s S. Coe al solito, cosideriao su S la probabilità uifore, che idichiao co P.

4 70 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi Osserviao che l i-esio turista riceve la propria carta d ibarco se s(i) =i, cioè se i è u puto fisso della perutazioe s. Duque, i quesiti del problea si possoo riforulare coe segue: qual è la probabilità che ua perutazioe abbia aleo u puto fisso? E qual è la probabilità che abbia esattaete puti fissi? Per = 0,,..., e i =,,...,, itroduciao gli eveti A := {s S : s ha esattaete puti fissi}, C i := {s S : s(i)=i}, così che ci resta da calcolare P (A c 0 ) ep (A ). Coiciao da P (A c 0 ). Notiao che A c 0 = C [C [ [C, pertato, per la forula di iclusioe-esclusioe (Proposizioe.4), P (A c 0 )= ( ) k+ \ P C i. (.) J {,,...,} tali che J =k Fissiao duque k {,,...,}, e sia J {,,...,} tale che J = k. Si oti che ij \ C i = {s S : s(i)=i per ogi i J}, ij ossia l isiee delle perutazioi che lasciao fissi gli eleeti di J. Queste soo i aturale corrispodeza biuivoca co le perutazioi di {,,...,}\J, pertato \ \ ( k) C i =( k) =) P C i =. ij Poiché i sottoisiei J di {,,...,} co k eleeti, ossia le cobiazioi di k eleeti estratti da {,,...,}, soo k, si ha J {,,...,} tali che J =k \ P C i = ij ij ( k Iseredo quest ultia uguagliaza i (.) otteiao P (A c 0 )= ( ) k+ = k k) = k. ( ) k. k È oto dai corsi di aalisi che ( ) k k = e e che il resto tra la soa parziale e il liite della serie è aggiorato dal terie successivo della successioe, ossia. Perutazioi aleatorie 7 ( ) k k Quidi li P (A c 0 )= e apple, 8 N. ( + ) e, e l approssiazioe P (A c 0 ) ' e ' 0.63 è eccellete per valori o troppo piccoli di (già per = 6 i due ueri hao le prie tre cifre deciali uguali). Duque, la probabilità che aleo u passeggero riceva la sua carta di ibarco è quasi idipedete dal uero di passeggeri Resta da deteriare P (A ) per. Notiao che dove A = [ J {,,...,}: J = B J, B J := {s S : s( j)= j per ogi j J, s(i) 6= i per ogi i 6 J}. Dato che B J e B J 0 soo disgiuti se J 6= J 0, segue che P (A )= P (B J ), (.3) J {,,...,}: J = e ci resta da deteriare P (B J ). Itroduciao per N la otazioe q := ( ) k, k che, coe visto sopra, è la probabilità dell isiee delle perutazioi di u isiee di eleeti che o hao alcu puto fisso, cioè P (A 0 )=q. Di cosegueza, il uero di tali perutazioi vale q. Dato che ogi eleeto di B J può essere idetificato co ua perutazioe dell isiee {,,..., }\J che o ha alcu puto fisso, segue che, se J =, B J =( )q =) P (B J )= Ricordado (.3), otteiao P (A )= ( ) q = q, ( ) q. da cui segue che, per ogi N fissato, li P (A )=e /. Di cosegueza, se o è troppo vicio a, si ha l eccellete approssiazioe P (A ) ' e.

5 7 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi Duque ache la probabilità che passeggeri ricevao la propria carta di ibarco, per ogi N fissato, è quasi idipedete dal uero totale di passeggeri.. La passeggiata aleatoria seplice I questo paragrafo studiao u oto aleatorio sull isiee dei ueri iteri Z che evolve a tepo discreto: più precisaete, l isiee dei tepi è {0,,...,}, dove l istate fiale N è u paraetro fissato. Idichiao co s k la posizioe al tepo k e desigiao co il terie caio il vettore delle posizioi (s 0,s,...,s ). Il oto avviee co le segueti seplici regole: la posizioe all istate iiziale è il puto 0 Z, ossia s 0 = 0; se x Z è la posizioe all istate k, ossia se s k = x, allora le posizioi possibili all istate successivo k + soo x + ex, ossia s k+ {x,x + }; tutti i caii possibili (s 0,s,...,s ) soo equiprobabili. L isiee dei caii possibili è dato duque da W = (s 0,s,...,s ) : s 0 = 0, s k s k = per ogi k {,...,}. La richiesta che tutti i caii siao equiprobabili coduce a uire W della probabilità uifore P. Lo spazio di probabilità ( W,P) è detto passeggiata aleatoria seplice e sietrica su Z di passi (l aggettivo seplice sta ad idicare che gli icreeti s k s k possoo assuere solo i valori ±). Si tratta del più seplice odello per u oto aleatorio, tuttavia di rilevaza teorica e applicativa fodaetale. Ci soo olte doade aturali su questo odello che, a dispetto della seplicità di forulazioe, hao risposte o baali e per certi versi sorpredeti. Noi ci cocetrereo sulla seguete doada classica: co quale probabilità la passeggiata ritora al puto di parteza? Pria di affrotare questo problea, aticipiao alcue osservazioi iportati... Cosiderazioi preliiari Itroduciao u uovo spazio capioario W, defiito da W := {,+} = (x,...,x ) : x i {,+} per ogi i {,...,}. Notiao che s k è defiito per k {0,,...,} etre x k è defiito per k {,...,}. Se le variabili s k rappresetao le posizioi del caio ei diversi istati, le variabili x k rappresetao gli icreeti del caio. È chiaro che u caio può essere equivaleteete descritto i terii delle posizioi o degli icreeti. Più foralete, esiste ua corrispodeza biuivoca (s 0,s,...,s ) 7 (x,x,...,x ) tra gli isiei W e W, defiita sepliceete da x k := s k s k (la cui iversa è. La passeggiata aleatoria seplice 73 data da s 0 := 0es k := x +...+x k per k ). I particolare, W = W =, ossia ci soo caii possibili che teriao all istate. Se uiao ache l isiee W della probabilità uifore P, è idifferete lavorare co lo spazio di probabilità delle posizioi ( W,P) o co quello degli icreeti (W,P): ifatti, data la corrispodeza biuivoca appea citata, ogi eveto di uo spazio è i corrispodeza biuivoca co u eveto dell altro spazio, ed eveti corrispodeti hao la stessa probabilità. Coe vedreo, per alcue questioi risulta più seplice lavorare co lo spazio degli icreeti (W,P). Osservazioe.. Il lettore atteto ricorderà lo spazio di probabilità ({0,},P) che descrive prove ripetute e idipedeti co probabilità di successo p, itrodotto el paragrafo.3.4. Nel caso speciale p = si ha che P è la probabilità uifore su {0,}, coe segue dall equazioe (.5). Pertato, se rioiiao 0, lo spazio di probabilità ({0,},P) per p = diveta lo spazio di probabilità (W,P) degli icreeti della passeggiata aleatoria seplice e sietrica, itrodotto sopra. Questo sigifica che gli icreeti della passeggiata aleatoria seplice e sietrica costituiscoo prove ripetute e idipedeti co probabilità di successo p =, dove co successo (risp. isuccesso ) si itede che l icreeto valga + (risp. ). Per iciso, l aggettivo sietrica si riferisce proprio al fatto che gli icreeti della passeggiata assuoo i valori +e co la stessa probabilità p =. Pria di aalizzare i dettaglio la doada sopra euciata, c è ua questioe che erita di essere approfodita. Cosideriao u eveto che dipede solo dalle prie posizioi della passeggiata aleatoria, o equivaleteete dai prii icreeti, coe ad esepio la posizioe s al tepo è uguale a 0. Per descrivere questo eveto, è aturale cosiderare il sottoisiee di W dato da A := (x,...,x ) W : x + x + + x = 0. (.4) La scelta di W o è tuttavia obbligata: è altrettato legittio adottare coe spazio capioario W N, per u qualuque valore di N, e defiire l aalogo sottoisiee di W N i terii delle prie variabili x,...,x : A N := (x,...,x N ) W N : x + x + + x = 0. Questa abiguità o crea problei, perché le probabilità degli eveti A ea N soo le stesse: più precisaete, idicado per chiarezza co P ep N le probabilità (uifori) su W e W N rispettivaete, si ha P (A )=P N (A N ) per ogi N. La diostrazioe è seplice: dato che A N = A {,} N, si può scrivere P N (A N )= A N W N = A N N = A = P (A ). Si oti che o si è usata i alcu odo la fora esplicita dell eveto A, data dall equazioe (.4), a solo il fatto che A W e che A N = A {,} N. Abbiao duque otteuto u iportate coclusioe: per calcolare la probabilità di u eveto che dipede solo dai prii icreeti o, equivaleteete, dalle prie posizioi della passeggiata aleatoria, si può scegliere coe spazio capioario W N, per u qualuque valore di N.

6 74 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi Osservazioe.. Data questa arbitrarietà ella scelta dello spazio W N, risulta aturale (aleo per u ateatico... ) cosiderare lo spazio capioario dato dai caii di lughezza ifiita W := {,} N, che cotiee i odo caoico W N per ogi N N. Il problea è di defiire la giusta probabilità su W, che esteda (i u seso da precisare) la probabilità uifore su W. Si oti che lo spazio W è ifiito (più che uerabile), duque la probabilità uifore o ha seso. Più i geerale, essua probabilità discreta su W va bee, coe ostrereo ell Osservazioe 3.8. Questo problea aette ua soluzioe positiva, che però richiede ua ozioe più geerale di spazio di probabilità, e sarà affrotato el capitolo 5. Chiudiao questa parte itroduttiva co u iportate relazioe asitotica, di uso frequete, che perette di stiare il valore di per grade. Proposizioe. (Forula di Stirlig). Per ogi Di cosegueza = e p pe q(), 8. e p p per, itededo che il rapporto tra i due ebri ha liite. esiste q() [0, ] tale che Diostrazioe. Diostriao che esiste ua costate C (0, ) tale che = C e p e q(), 8, (.5) co q() [0,]. Il fatto che C = p p sarà ostrato el paragrafo Se defiiao d := log + log +, la relazioe (.5) è equivalete a diostrare che esiste ua costate reale c (= logc) tale che c apple d apple c +, 8. (.6) Afferiao che: (i) la successioe d è decrescete; (ii) la successioe d è crescete. Da queste proprietà segue facilete (.6), co c = li d (esercizio). Restao da diostrare le afferazioi (i) e (ii). Co seplici calcoli si ottiee: d d + = + log + = + log Ricordado la serie di Taylor log(+t) = ( )k+ tk k, covergete per t <, si ha log +t t = log( +t) log( t) = ( ) k+ tk k +. t k k = t k+ k +,. La passeggiata aleatoria seplice 75 che coverge ach essa per t <. Usado tale serie per t = + si trova d d + =( + ) k + ( + ) k+ = essedo quest ultia ua serie a terii positivi. Ciò diostra (i). Usado di uovo (.7) e il fatto che k + 3 per k, si ottiee d d + = = k + ( + ) k apple 3 3[( + ) ] = ( + ) = dove abbiao usato la soa della serie geoetrica Abbiao duque diostrato che cioè la relazioe (ii). d apple d +.. Il problea della ricorreza k + ( + ) k 0, (.7) ( + ) k = ( + ) 3 ( + ) ( + ), ( + ), xk = x x per x <. Studiao fialete la probabilità che la passeggiata aleatoria ritori al puto di parteza. Più precisaete, per N poiao r := P(s k = 0 per qualche k apple ). (.8) Il ostro obiettivo è di studiare il coportaeto di r per. Sottolieiao che gli eveti che descriviao iforalete a parole corrispodoo sepre a sottoisiei dello spazio W, o equivaleteete di W, per u opportuo N. Per esepio, el ebro destro i (.8) copare l eveto costituito dai vettori di icreeti (x,...,x ) W per cui i caii corrispodeti (s 0,s,...,s ) soo tali che s k = 0 per qualche k apple. Osserviao che la successioe r è crescete, perché vale l iclusioe di eveti s k = 0 per qualche k apple s k = 0 per qualche k apple +, 8 N. Esiste duque il liite r := li r e ioltre r apple, perché r apple per ogi N (r ua probabilità). No è chiaro a priori se r = oppure se r <. Il risultato pricipale di questo paragrafo è che r =, ua proprietà che viee detta ricorreza. Teorea.. La passeggiata aleatoria seplice e sietrica su Z è ricorrete:

7 76 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi r := li r = li P(s k = 0 per qualche k apple ) =. Verrebbe voglia di afferare che la probabilità che la passeggiata aleatoria seplice e sietrica su Z o ritori ai all origie vale 0, a per foralizzare rigorosaete questo euciato servirebbe la ozioe di spazio capioario delle passeggiate aleatorie di lughezza ifiita. Per il oeto, possiao afferare che la probabilità che la passeggiata aleatoria seplice e sietrica su Z o ritori all origie ei prii passi tede a 0 per. La diostrazioe del Teorea. si articola i diversi passi, alcui dei quali costituiscoo risultati iteressati di per sé. Osserviao iazitutto che r = r + per ogi N, perché la passeggiata può ritorare all origie solo dopo u uero pari di passi, pertato è sufficiete cosiderare r. Defiiao per N le quatità u := P(s = 0), f := P(s 6= 0,...,s ( ) 6= 0,s = 0), (.9) ossia u è la probabilità che la passeggiata aleatoria valga 0 al passo, etre f è la probabilità che la passeggiata aleatoria ritori a 0 per la pria volta al passo. Le quatità u giocherao u ruolo fodaetale tra poco. Per il oeto, ostriao coe espriere r i fuzioe delle f k. Dire che la passeggiata aleatoria visita zero i u qualche passo k apple è equivalete a dire che il prio ritoro a zero avviee pria di passi: si ha duque l uguagliaza di eveti [ {s k = 0 per qualche k apple } = {s 6= 0,...,s ( ) 6= 0,s = 0}, = e ioltre gli eveti che appaioo ell uioe soo a due a due disgiuti (perché?). Per l additività della probabilità, si ha pertato l uguagliaza r = f k. (.0) Per iciso, questa relazioe cofera che r è ua successioe crescete, perché soa di terii positivi. Grazie alla relazioe (.0), per diostrare il Teorea. resta da ostrare che kn f k =. Sarebbe possibile derivare la seguete espressioe esplicita per f k : f k = k k k k che tuttavia o è particolarete utile per deteriare il coportaeto asitotico delle soe parziali f k. Sarao ivece fodaetale i due lei segueti. Lea.. Per ogi > 0,. La passeggiata aleatoria seplice 77 u = f k u ( k). Diostrazioe. Sia A := {s = 0}, per cui u = P(A). L eveto A può essere decoposto secodo il prio istate i cui la passeggiata aleatoria ritora a zero, ossia A si può scrivere coe uioe dei segueti eveti disgiuti: [ A = A k, A k := {s 6= 0,...,s k 6= 0,s k = 0,s = 0}. Cotiao i caii i A k. La cardialità di A k è uguale al uero di caii di lughezza k che ritorao a 0 la pria volta dopo k passi, ossia k f k, oltiplicato il uero di caii di lughezza k che teriao i 0, ossia ( k) u ( k). Pertato P(A k )= A k = k f k ( k) u ( k) = f k u ( k). Essedo P(A)= P(A k), la coclusioe segue facilete. Lea.. Siao (a ) 0, (b ) due successioi di ueri reali positivi tali che Allora a 0 :=, a = b k () s := b k a k, 8. (.) = a =. Diostrazioe. Ricordiao che, per la soa a blocchi (0.9), è lecito perutare l ordie degli addedi di soe ifiite a terii positivi. Pertato s = a = b k a k = a k = = b k = a =0 =( + s) b k, b k =k avedo usato le relazioi i (.). Di cosegueza, se s <, allora b k = s + s <. Resta da diostrare che, se s =, si ha b k. Per ogi N N si ha

8 78 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi N N N N N N k a = b k a k = k a k = b k a = = b =k =0 pertato apple N N k a = b =0 N b k N b k + N = a, N = a + N = a, 8N N. Passado al liite per N, se s = si ottiee b k. Grazie al Lea., possiao applicare il Lea. co a = u e b = f. Nel ostro caso, ricordado (.0) e il fatto che r apple per ogi N, già sappiao che r = li r = f k apple, pertato li r = f k = () = u =. Resta solo da ostrare la divergeza della serie = u e avreo copletato la diostrazioe del Teorea.. Vale la seguete espressioe esplicita per u : u = P(s = 0) =. (.) La diostrazioe è seplice: u vettore di icreeti (x,...,x ) W deteria u caio co s = 0 se e solo se esattaete icreeti x i valgoo + (e duque gli altri valgoo ); di cosegueza, tali vettori soo tati quate le cobiazioi di eleeti estratti da u isiee che e cotiee, ossia. Grazie alla forula (.), ostriao ifie che u =. (.3) Usado la forula di Stirlig (.5) (il valore di C o è rilevate), abbiao u = = = p C p exp apple q() 4 da cui segue che, essedo 0 apple q( ) apple, () () = li q() 6 u C () e p q() e 4 C e e q() 6, / p = p C. (.4). La passeggiata aleatoria seplice 79 Per il criterio del cofroto asitotico tra serie, ricordado la relazioe (0.), si ricava (.3), e questo coclude la diostrazioe del Teorea....3 Il caso ultidiesioale Cocludiao questo paragrafo co la ozioe di passeggiata aleatoria seplice e sietrica ultidiesioale, ossia su Z d. Per d, cosideriao i caii di lughezza geerati dallo spazio di icreeti W d = {,+} d = x =(x,x,...,x ) : x i {,} d per i =,,...,. Ciò sigifica che cosideriao caii usceti dall origie di Z d e la cui posizioe al tepo k è s k := x + x + + x k Z d, dove x i {,} d. Tutti questi caii si assuoo equiprobabili, cioè la probabilità P su W d è quella uifore. Si oti che se A W = {,} allora A d = A A A W d e vale la forula A d = A d. Cosideriao allora l eveto A (d) := {s = 0} (i WN d, co N ), dove 0 deota l origie di Z d, e deotiao co u (d) la sua probabilità. I particolare, u() = u è la quatità già itrodotta i (.9) e studiata sopra. Poichè s = 0 se e solo se tutte le d copoeti soo uguali a zero, si ha pertato u (d) = P A(d) A (d) = A() d, = A(d) WN d = A() d W N d =(u ) d. (.5) I odo aalogo al caso uidiesioale, possiao defiire coe i (.9) Allora la quatità r (d), defiita da f (d) k := P(s 6= 0,...,s (k ) 6= 0,s k = 0). r (d) := f (d) k è la probabilità che la passeggiata aleatoria tori all origie etro passi, esattaete coe i (.0). Ache la relazioe u (d) = f (d) k u(d) ( k)

9 80 Spazi di probabilità discreti: esepi e applicazioi cotiua a valere e si diostra esattaete coe el caso d =. Applicado il Lea., abbiao che la passeggiata aleatoria d-diesioale è ricorrete, cioè li r (d) =, se e solo se = u(d) =. D altra parte, dalle relazioi (.5) e (.4) segue iediataete che u (d) è asitoticaete equivalete a d/. Dato che N d/ < se e solo se d >, per la relazioe (0.), possiao cocludere quato segue. Teorea.. La passeggiata aleatoria seplice e sietrica i diesioe d è ricorrete per d =, e o è ricorrete per d 3. I aalogia co le cosiderazioi espresse dopo il Teorea., u odo suggestivo per forulare il Teorea. cosiste ell afferare che la passeggiata aleatoria i diesioe 3 ha ua probabilità strettaete positiva di o ritorare ai all origie. Tuttavia, o avedo itrodotto lo spazio di probabilità delle passeggiate aleatorie di lughezza ifiita, ci dobbiao accotetare della seguete descrizioe: se d 3, esiste ua costate e > 0 tale che la probabilità che la passeggiata i diesioe 3 o sia ai torata all origie ei prii passi è aggiore di e, per ogi N.