Dalla costante Cosmologica all Energia Oscura

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1 Dalla costante Cosmologica all Energia Oscura Cent anni di Relatività Generale Dipartimento di Fisica, Uni. Tor Vergata January 25, 2017

2 Le pubblicazioni del 1915 Le idee fondamentali della teoria della Relativita Generale e l applicazione di questa teoria all Astronomia Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1915 (part 1), 315 Sulla Teoria della relativita generale Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1915 (part 2), , Spiegazione del moto del perielio di mercurio nella teoria della Relativita Generale Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1915 (part 2), Le equazioni di campo della gravitazione Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1915 (part 2),

3 Geometria e Dinamica La massa/energia dice allo spazio-tempo come curvarsi Lo spazio-tempo dice alla massa/energia come muoversi

4 La geodetica La geodetica generalizza il concetto di "retta" in uno "spazio curvo". Una geodetica e definita come la curva il cui vettore tangente rimane parallelo a se stesso. Una geodetica e "localmente" il percorso piu breve tra due punti nello spazio.

5 La Circonferenza: curva 1D immersa in 2D Metrica di uno spazio euclideo in 2D: l 2 = r 2 + r 2 θ 2 Sulla circonferenza di raggio r = R, la metrica diventa: l 2 = R 2 dθ 2 Esempio di spazio 1D omogeneo e isotropo: la distanza di P 2 da P 1 non dipende dalla posizione di P 1 non dipende dal fatto che P 2 "preceda" o "segua" P 1

6 La sfera: superficie 2D immersa in 3D Metrica di uno spazio euclideo in 3D: l 2 = r 2 + r 2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2 ) Sulla superficie di raggio r = R, la metrica diventa: l 2 = R 2 ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) Esempio di spazio 1D omogeneo e isotropo: la distanza di P 2 da P 1 non dipende dalla posizione di P 1 dipende solo dalla posizione relativa di P 2 rispetto a P 1

7 L ipersfera: superficie 3D immersa in 4D Spazio Euclideo in 4D: l 2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 La ipersfera è definita dalla condizione } r 2 + w 2 = R 2 2r r + 2w w = 0 (r + r) 2 +(w + w) 2 = R 2 w = r w r Sulla superficie della ipersfera di raggio R, la metrica diventa l 2 = r 2 + r 2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2 r 2 )+ R 2 r 2 r 2 = R 2 r 2 R 2 r 2 + r 2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2 ) l 2 = R 2 [ u 2 1 ku 2 + u2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2 dove u r/r eprof. k Nicola =+1 Vittorio è il segno Dalla costante della Cosmologica curvatura. all Energia Oscura ]

8 Espressione generale della metrica di uno spazio a 3D omogeneo e isotropo [ ] u l 2 = R 2 2 (t) 1 ku 2 + u2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2 +1 curvatura positiva k = 0 curvatura nulla 1 curvatura negativa Analogo in 2D

9 Lo spazio-tempo Relatività speciale (Einstein, 1905) Metrica di Minkowsky s 2 = c 2 t 2 l 2 Formalizzazione dell invarianza della velocità della luce Relatività Generale Metrica di Friedmann s = 0 c = l t = l t = l t =... [ ] u s 2 = c 2 t 2 R 2 2 (t) 1 ku 2 + u2 ( θ 2 + sin θ 2 φ 2

10 Lo spazio-tempo di Friedmann

11 Approssimazione Newtoniana per la dinamica del fattore di scala Consideriamo un punto su di una superficie sferica di raggio R. Assumiamo una distribuzione omogenea di massa entro questa superficie M = 4 3 ρr3 Equazione del moto: R = GM/R; Conservazione dell energia Ṙ2 /2 GM/R = E Allora 1 2Ṙ2 4π 3 GρR2 = E ) 2 (Ṙ 2E R R 2 = 8πG 3 ρ

12 La funzione R(t) Approssimazione newotniana ) 2 (Ṙ 2E R R 2 = 8πG 3 ρ Soluzione relativistica esatta (Ṙ R ) 2 + kc2 R 2 = 8πG 3 ρ Rapporto tra energia potenziale ed energia cinetica dove Ω 0 = U T = GM/R(t 0) Ṙ 2 (t 0 )/2 = 8πGρ 0 3H 2 0 Ω 0 è il parametro di densità ρ crit = 3H0 2 /(8πG) is the critical density H 0 = Ṙ(t 0)/R(t 0 ) is the Hubble constant = ρ 0 ρ crit

13 La funzione R(t) Sulla base delle considerazioni precedenti kc 2 = 2E Ω 0 = 1 E/T = ρ 0 /ρ crit Possiamo quindi concludere che k E Ω 0 +1 <0 Ω 0 > 1 0 =0 Ω 0 = 1-1 >0 Ω 0 < 1

14 L inizio della Cosmologia moderna Sulla curvatura dello Spazio "Lo scopo di questa nota e... dimostrare la possibilita di un mondo in cui la curvatura dello spazio e indipendente delle tre coordinate spaziali, ma dipende dal tempo" (A. Friedmann, 1922) Ipotesi Tesi Principio Cosmologico Equazione della Relativita Generale Un universo dinamico, omogeneo e isotropo

15 I commenti di Einstein Nota sul lavoro di Friedmann "Il lavoro citato contiene un risultato riguardante un universo non-stazionario che mi sembra sospetto" A. Einstein, 1922 Nota sul lavoro di Friedmann "ho in una precedente nota criticato il lavoro citato. La mia obiezione si basava su di un errore di calcolo. Sono convinto che i risultati di Friedmann siano entrambi corretti e significativi" A. Einstein, 1923

16 L equazione di Friedmann Riscriviamo l equazione di Friedmann (Ṙ R ) 2 + kc2 R 2 = 8πG 3 ρ Al presente H kc2 R 2 0 = 8πG 3 ρ kc2 H 2 0 R2 0 = 8πG 3H 2 0 ρ 0 1 Ω k =Ω 0 Per la conservazione della massa ρ(t)r(t) 3 = ρ 0 ρ(t) = ρ 0 a 3 (t) a(t) = [ ] R(t) Quindi, in maniera equivalente, l equazione di Friedmann diventa (ȧ ) 2 [ = H0 2 Ω0 a a 3 + Ω ] k a 2 R 0

17 La funzione a(t) =R(t)/R(t 0 ) (ȧ a ) 2 = H 2 0 [ Ω0 a 3 + Ω k a 2 ] ; I modelli di Friedmann sono in espansione decelerata Questo crea una serie di problemi e di inconsistenza con le osservazioni.

18 Il problema della piattezza Possiamo estendere la definizione di parametro di densità ad un tempo arbitrario Ω 0 = 8πG 3H 2 0 ρ 0 ; Ω(t) = 8πG ρ(t); H(t) =ȧ 3H(t) 2 a 1 Ω(t) = 3H2 0 8πG 1 Ω(t) 1 = [ Ω0 a Ω ] 0 a 3 a 2 ρ 0 [ ] 1 1 a(t) Ω 0 Se a(t) 0, allora Ω(t) 1, indipendentemente dal valore di Ω 0

19 Il problema della piattezza

20 Il problema della piattezza Ω(t) =1 E T (t)

21 Il primo lavoro di cosmologia relativistica A. Einstein, 1917 Considerazioni cosmologiche sulla base della relativita generale Ipotesi Principio Cosmologico Equazione della Relativita Generale Tesi Un universo statico La Costante Cosmologica "Il termine necessario per il solo scopo di rendere possibile una quasi-distribuzione statica della materia, come richiesto dal fatto della piccola velocita delle stelle" (Einstein, 1917)

22 Un universo statico? Le equazioni della Relatività Generale per un fluido senza pressione ) 2 (Ṙ + kc2 R R 2 = 8πG 3 ρ R R = 4 3 πgρ non ammettono una soluzione statica, che implicherebbe ρ = 3kc2 8πGR 2 ; k =+1 ρ = 0 condizioni impossibili da soddisfare per fluidi reali, con densità e pressioni positive.

23 Ci si ferma a mezz aria?

24 ...solo se controbilanciamo la gravita...

25 La Costante Cosmologica L equazione di Friedmann viene modificata ) 2 (Ṙ + kc2 R R 2 = 8πG 3 ρ ) 2 (Ṙ + kc2 R R 2 = 8πG 3 ρ Λc2 e si può scrivere come segue ) 2 [ (Ṙ = 1 R 3 c2 Λ = 1 3 c2 [Λ Q(R) ( )] 3k R 2 8πG c 2 ρ ] con soluzione Λ Q(R) 3k R 2 8πG c 2 ρ

26 La costante cosmologica e il caso k =+1 Λ Q(R) 3 R 2 8πG c 2 La funzione Q(R) ha un massimo per ρ 1 R 2 E = 4πG c 2 ρ E

27 The cosmological constant: k =+1 Poiché scegliendo 1 R 2 E = 4πG c 2 ρ E Λ E = Q(R E )= 3 R 2 E 8πG c 2 ρ E 1 R 2 E ritroviamo la soluzione statica di Einstein ) 2 (Ṙ = 1 R 3 c2 [Λ E Q(R E )] = 0 R R E = 4 3 πgρ E Λ Ec 2 = 0 RE

28 L universo di Einstein Universo a curvatura positiva: k =+1 Ipersfera Principio cosmologico Universo omogeneo Universo isotropo Assumendo ρ g/cm 3, possiamo stimare R E ( c 2 4πGρ 0 ) cm Λ E = 1 R 2 e cm 2 M = 2π 2 ρ 0 R 3 E g

29 1923: da Einstein a Weyl Wenn schon keine quasi-statische Welt, dann fort mit dem kosmologischen Glied Se l universo non e quasi-statico, la costante cosmologica va messa da parte!

30 L universo di de Sitter ) 2 (Ṙ + kc2 R R 2 = 8πG 3 ρ Λc2 Consideriamo un universo vuoto (ρ = 0) con curvatura spaziale nulla (k = 0) ) 2 (Ṙ = 1 R 3 Λc2 R(t) =R exp [ ] Λc 2 /3(t t ) L universo si espande esponenzialmente, in maniera accelerata

31 Confronto con le osservazioni la metrica di Friedmann per universi piatti (k = 0) ds 2 = c 2 dt 2 a(t) 2 [ R 2 0 du2 + R 2 0 u2 ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2)] Studiamo un segnale luminoso (ds = 0) che si propaga da una sorgente lì ed allora fino a noi, qui e ora cdt R 0 u = a(t) = cda a 2 (ȧ/a) dove (ȧ ) 2 [ ] = H0 2 Ω0 a a 3 +Ω Λ relazione tra luminosità intrinseca L di una sorgente e il flusso F osservato L (abs) L(abs) F = 4π(1 + z) 2 R0 2 = u2 4πDL 2 The γ s energy is smaller by a factor of a(t) The # of γ s crossing a shell decreases as a(t)

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33 il Magnesio Effetti sugli stati d ansia Il magnesio e indicato nel trattamento di depressione e situazioni in cui si verificano ipocondria, attacchi di panico o paura eccessiva. I benefici del magnesio in queste situazioni sono dovuti al fatto che un aumento degli stati di ansia o di stress provoca un maggior consumo di magnesio. Di conseguenza se non si assume magnesio quando ci si sente stressati o ansiosi si rischia di andare incontro a carenza di questo minerale. Proprieta energizzante Il magnesio e utile negli stati di stanchezza sia mentale che fisica. Aiuta a rilassarsi e apporta benefici nei casi di astenia e affaticamento per la sua caratteristica di intervenire in processi enzimatici relativi allõenergia.

34 Supernovae di tipo Ia

35 Le Supernovae di tipo Ia

36 Supernovae di tipo Ia Proprietà SN Ia possono essere osservate ad alto redshift Sono utilizzate come "candele standard" A grandi redshift, la loro distanza risulta maggiore di quella aspettata per un universo di Friedmann Curve di luce

37 Il diagramma magnitudine-redshift m B M corr B + αs βc = 5 log 10 c H log 10 d L + 25

38 Il piano Ω m Ω Λ

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40 Il ritorno della costante cosmologica Scoperta dell anno, 1998 L espansione dell universo e accelerata! Riess et al., 1998 Perlmutter et al., 1999 Cosa genera l accelerazione? Qualcosa di molto simile alla costante cosmologica di Einstein Effetto repulsivo su grande scala

41 Energia oscura

42 The Nobel Prize in Physics, 2011 Assegnato per meta a Saul Perlmutter e per l altra meta a Brian P. Schmidt e Adam G. Riess "per la scoperta dell espansione accelerata dell Universo attraverso le osservazioni di supernovae lontane"

43 La radiazione cosmica di fondo A measurement of excess antenna temperature at 4080 MCS (A.A. Penzias and R. Wilson, 1965) Measurements of the effective zenith noise temperature of the 20-foothorn-reflector antenna... have yelded a value about 3.5 K higher than expected

44 The Nobel Prize in Physics, 1978 One half awarded to Pyotr Leonidovich Kapitsa "for his basic inventions and discoveries in the area of low-temperature physics" The other half jointly to Arno Allan Penzias and Robert Woodrow Wilson "for their discovery of cosmic microwave background radiation"

45 COBE/FIRAS: T=(2.275±0.002)K

46 La fotosfera cosmica

47 I primi tre minuti Nucleosintesi primordiale Non si formano nuclei piu pesanti dell 4 He Frazione in massa di nuclei di 4 He Rapporto tra deuteroni e idrogeno Frazione di materia barionica Ω b 4%

48 La massa oscura

49 Formazione di struttura Consideriamo un universo con k = E = 0 Prendiamo due regioni sferiche "gemelle" stessa massa M, raggio R i e densità ρ i Aggiungiamo alla seconda una massa δm presa per esempio da un guscio sferico circostante. allora, M = M + δm, R i, ρ i definiamo il contrasto di densità δ i = ρ i ρ i ρ i

50 Linear Theory The cycloid solution R = R M 2 (1 cos η) t = t M (η sin η) π Per t << t M, il cosiddetto regime lineare R R ( 1 δr R ) = R m 4 ( 6π t ) [ 2/3 1 1 t m 20 ( 6π t ) ] 2/3 t m The corresponding linear density fluctuation is δ(t) ρ(t) ρ(t) ρ(t) = 3 δr R = 3 20 ( 6π t ) 2/3 t m

51 Density Fluctuations In universo spazialmente piatto (k = 0) COMMENTI δ(t) =δ i a(t) a(t i ) 1 δ cresce linearmente con il fattore di scala La crescita è lenta Per raddoppiare δ, bisogna raddoppiare a 2 Inizialmente l universo non era esattamente omogeneo La gravità fa crescere le disomogeneità solo se δ i 0 3 Per formare galassie e ammassi di galassie, δ i deve avere una ampiezza adeguata 4 Le osservazioni di δ(t 0 ) consentono di leggere le ampiezze δ i at t i,

52 Instabilità gravitazionale I

53 Instabilità gravitazionale II

54 Instabilità gravitazionale III

55 La prima missione spaziale per studiare la CMB Il satellite COBE La mappa di COBE/DMR δt rms (30 ± 1)µK δ rms (t rec ) 1 3 δt T 10 5 t rec anni t 0 = anni

56 The Nobel Prize in Physics, 2006 Attribuito congiuntamente a John C. Mather e George F. Smoot "per la scoperta della forma di corpo nero e delle anisotropie della radiazione cosmica di fondo"

57 La seconda missione spaziale dedicata alla CMB Wilkinson Microwave Anisotropy Probe - WMAP

58 COBE->Boomerang->WMAP

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60 La terza missione spaziale dedicata alla CMB Figure: Launched 14 May Planck is measuring the fluctuations of the CMB with an accuracy set by fundamental astrophysical limits. In other words, it may be impossible to ever take better images of this radiation than those obtained from Planck.

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63 La mappa del satellite Planck

64 Sviluppo in armoniche sferiche δt T ( x obs, ˆγ) = l beam l=2 a lm (x obs )Y lm (ˆγ); C l = a lm 2

65 La "chimica" del nostro universo Osservazioni astrofisiche e cosmologiche quantificano i seguenti parametri Ω b Protoni e neutroni contribuiscono solo per il 4.9% Ω m La materia contribuisce per circa il 30% La maggior parte di questa materia e oscura, sotto forma di particelle fredde e debolmente interagenti Ω k 0 La sezione spaziale del nostro universo ha geometria euclidea Ω DE L espansione dell universo oggi e accelerata La componente di energia oscura e diventata dominante