8. MACCHINA A INDUZIONE (ASINCRONA). 1. Cenni costruttivi e generalità.

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1 8 MACCHINA A INDUZIONE (ASINCONA) Cenni cotruttivi e generalità Le macchine aincrone trifai ono macchine rotanti a corrente alternata, cotituite da due armature cilindriche coaiali, eparate tra loro da un piccolo traferro: i tratta dunque della ituazione trutturale coniderata per lo tudio del campo rotante In linea di principio, come tutte le macchine rotanti, anche la macchina aincrona ha un funzionamento reveriile: quando aore potenza elettrica ai moretti e, tramite una converione di energia, la eroga in forma meccanica allalero, la macchina funziona come motore Se il fluo di potenza i inverte, ea funziona come generatore Nel eguito i tudierà prevalentemente il funzionamento della macchina aincrona come motore Dal punto di vita della truttura magnetica i può oervare quanto egue: allo copo di limitare le perdite nel materiale ferromagnetico (cauate dalle correnti paraite), le armature magnetiche ono realizzate in lamierini di acciaio a ao tenore di caronio e di olito con una modeta percentuale di ilicio Inoltre, lo peore è pari a (05 065) mm ed i piani di laminazione riultano perpendicolari allae della macchina Uualmente larmatura eterna cotituice la parte fia della macchina (tatore) mentre quella interna, calettata u un alero (per la tramiione della potenza meccanica), è rotante (rotore) Ciacuna truttura ha cave tutte uguali e uniformemente ditriuite lungo la periferia, nella zona propiciente il traferro (v fig 0) Fig 0 appreentazione di un lamierino tatorico e di uno rotorico di una macchina aincrona Queta macchina elettrica è detta "a induzione", in quanto entrami i gruppi di avvolgimenti preenti (quello avvolto nelle cave di tatore e quello dipoto ul rotore) ono ede di fem Lavvolgimento dipoto nelle cave di tatore è dotato di moretti: per la alimentazione della macchina, tali moretti vengono connei ad una rete di alimentazione in ca Queta macchina è anche detta "aincrona", in quanto la ua velocità di rotazione meccanica non dipende univocamente dalla frequenza di alimentazione (come invece avviene per il campo magnetico rotante), ma anche dalle condizioni di carico Lavvolgimento conneo alla rete di alimentazione, detto primario, è olitamente di tipo polifae Lavvolgimento dipoto ul rotore, detto econdario, è empre polifae, ha lo teo numero di poli di quello dello tatore e può eere fondamentalmente di due tipi: permanentemente chiuo in corto circuito Tale tipo di avvolgimento, cotituito da conduttori attivi con forma di arre (connee fra loro ulle parti frontali da due anelli di corto circuito) è detto avvolgimento a gaia: queta può eere di tipo emplice 7

2 (come chematizzato in fig 0), multipla (con due o più ordini di arre ovrappote radialmente), o con arre di forma particolare (profonda, trapezoidale, rettangolare); di tipo aperto, detto anche "a rotore avvolto", dotato di avvolgimento trifae: queto può eere collegato a triangolo o a tella Nel eguito i farà riferimento al collegamento a tella (cui ci i può ricondurre in termini di equivalenza anche nel cao di collegamento a triangolo): in queta ipotei, ognuno dei tre capi lieri è conneo ad un anello conduttore (collettore ad anelli) Durante la rotazione del rotore, u ciacuno dei tre anelli (iolati fra loro, coaiali e olidali con lalero) poono triciare altrettante pazzole (fie ripetto allo tatore): quete pazzole cotituicono tre moretti per il collegamento degli avvolgimenti rotorici con eventuali circuiti fii, eterni alla macchina Fig 0 Avvolgimento a gaia di coiattolo poto ul rotore In fig 03a è motrata una ezione chematica della truttura della macchina con rotore di tipo avvolto: vi ono tre moretti (a,, c ) per lavvolgimento di tatore (primario) ed altri tre (a r, r, c r ) per lavvolgimento di rotore (econdario) In fig 03, che i riferice empre al tipo con rotore avvolto, gli avvolgimenti ono imolicamente chematizzati come foero oine concentrate in corripondenza dei ripettivi ai magnetici, e ono mei in evidenza gli anelli Il funzionamento di quete macchine i aa ul principio del campo magnetico rotante (tudi di G Ferrari, nel 890); nel tempo lo viluppo è tato tale che queta macchina è una delle più diffue, ia nelle applicazioni indutriali che dometiche Fig 03a Sezione chematica della truttura della macchina con rotore di tipo avvolto 8

3 Fig 03 Sezione chematica della truttura della macchina con rotore di tipo avvolto Gli avvolgimenti ono indicati come oine concentrate in corripondenza dei ripettivi ai magnetici; ono mei in evidenza gli anelli La macchina ad induzione i preta a vari modi di funzionamento: il più comune è quello come motore Per queto impiego i utilizza oprattutto il tipo con rotore a gaia mentre quello con rotore ad anelli è detinato ad impieghi particolari; per emplicità didattica i fa però qui riferimento proprio al tipo con rotore avvolto, eendo comunque otanzialmente analogo lo tudio del funzionamento per le due tipologie Funzionamento con avvolgimento econdario aperto e rotore fermo Il campo rotante e le fem indotte Si tudia dapprima il funzionamento della macchina nelle eguenti condizioni (fig 04): rotore fermo; avvolgimenti di tatore alimentati con un itema di tenioni alternate inuoidali immetriche V a, V, V c, a frequenza f e valore efficace V cotanti (fig 05); moretti di ucita degli avvolgimenti trifae di rotore non connei ad un circuito eterno; ai magnetici di avvolgimenti di fae corripondenti di tatore e di rotore allineati (queta ipotei non limita la validità dello tudio, ma conente di avere fem indotte degli avvolgimenti di tatore e di rotore in fae tra loro) Fig 04 Funzionamento a vuoto di una macchina aincrona con rotore avvolto 9

4 Lavvolgimento di tatore, alimentato con un itema immetrico di tenioni inuoidali con pulazione ω, è percoro da un itema trifae equilirato di correnti, I a m, I m, I c m, aventi valore efficace I m Ee generano pertanto nel traferro un campo principale di fmm (fig 05) avente epreione: m m (,t) M co( ω t ϑ ) ( K I ) co( ω t ϑ ) ϑ, e m e dove M m è lampiezza maima del campo di fmm rotante al traferro e ϑ e è langolo elettrico, pari al prodotto dell angolo meccanico ϑ per il numero delle paia di poli (np/); ϑ e è computato a partire da una opportuna poizione angolare lungo la periferia M m e Fig 05 Diagrammi vettoriali nel funzionamento a vuoto con rotore fermo La velocità di rotazione elettrica del campo rotante vale ω e ω La velocità di rotazione meccanica 0 vale: ovvero: ω 4 π f rad 0, p p f giri 0 f giri N0 p p min Il campo rotante di fmm produce un campo rotante di induzione magnetica, avente la medeima forma donda: leffetto di tale campo è quello di indurre delle fem in tutti i conduttori attivi della macchina, ia nello tatore che nel rotore Daltra parte, dato che i moretti eterni degli avvolgimenti rotorici ono aperti, non vi può eere circolazione di corrente in tali avvolgimenti: pertanto alla generazione del campo rotante danno contriuto le ole correnti tatoriche Per quanto riguarda le fem indotte dal campo rotante, per lipotei di rotore fermo, tutti i conduttori attivi della macchina vedono un campo rotante alla medeima velocità: pertanto le fem indotte in tali conduttori (ia di tatore che di rotore), e quindi quelle compleive di fae, ono caratterizzate dalla tea frequenza f, pari a quella delle tenioni di alimentazione Il valore maimo nel tempo della fem (avente forma donda inuoidale) indotta in un ingolo conduttore è pari a: 0

5 E c max ωφ, dove Φ è il fluo di un polo Dunque il valore efficace di tale fem è pari a: Ec max π Ec f Φ Il fluo Φ, che attravera il traferro e che induce in ogni conduttore attivo una fem di valore E c, cotituice il fluo utile della macchina, cioè il fluo che concatena in uguale miura i conduttori di tatore e quelli di rotore (fluo mutuo, o principale): in tale eno il fluo Φ, pur eendo cotante come forma e rotante nel traferro, aume in termini di concatenamento il medeimo ignificato del fluo utile coniderato nello tudio del traformatore (fio nello pazio e variaile nel tempo) Le fem di fae di tatore e di rotore, indotte dal fluo magnetico rotante, hanno epreione: E j ω U e Φ E j ω U e Φ dove U e ed U e ono i numeri di conduttori di un avvolgimento di fae tatorico e di uno rotorico appreentazione vettoriale ul piano della macchina (*) Linterpretazione vettoriale di quete coniderazioni è motrata in fig 05: come riferimento dei vettori, in tale figura i è adottato un piano compleo il cui ae reale coincide con l ae della prima fae di tatore (a ) Come nello tudio dei itemi trifae, è quindi poiile fare riferimento ad una ola fae; per le altre due fai tutto avviene identicamente, alvo lo faamento di 0 e 40 ripettivamente Le grandezze elettriche (tenione, fem, corrente) ed i parametri (reitenza, induttanza) relativi alla prima fae tatorica (a ) aranno indicati col pedice ; il pedice arà uato per le corripondenti grandezze e parametri relativi alla prima fae rotorica (a r ) Le tre correnti tatoriche ono praticamente magnetizzanti e quindi faate di 90 in ritardo ripetto alla tenione di fae ai moretti; ee danno luogo ad un campo di fmm rotante (cotante nel tempo e moile nello pazio) m m Poiché l ae reale del piano compleo (mediante cui rappreentare le grandezze temporali, quali tenioni, correnti e fem) coincide con l ae della fae a, il vettore m m è in fae col vettore della corrente I a m della fae a Si ricorda che la fmm tatorica m m (e coì pure la rotorica) è unica e dovuta a tutte e tre le correnti Il campo m m dà luogo ad un campo di induzione magnetica al traferro, in fae con eo, rappreentaile mediante il vettore fluo Φ Lepreione della fem in un conduttore vale pertanto anche in termini vettoriali, per cui i può crivere: ω Φ E j c Le fem di fae della prima fae (a) dellavvolgimento di tatore ( E a E ) e di rotore ( E ar E ) riultano pari a:

6 E U e E c E U e Ec Ee ono faate di 90 in anticipo ripetto al fluo Φ Dunque tali fem ono legate fra loro in modo imile a quanto avviene in un traformatore ideale: E U e Ec U e k E U e Ec U e Per la legge di Kirchhoff delle tenioni, le fem tatoriche devono eere uguali alle ripettive tenioni (tracurando la piccola caduta di tenione nell avvolgimento): E a V a, V E, E c Vc ( E V ) 3 Funzionamento con avvolgimento econdario chiuo e rotore fermo Si conideri che il rotore ia empre mantenuto nella poizione fia coniderata nel paragrafo precedente e i moretti connei agli anelli dell avvolgimento trifae di rotore iano chiui in corto circuito (fig 06) La chiuura dei moretti degli avvolgimenti rotorici comporta la circolazione di una terna equilirata di correnti inuoidali Ogni corrente rotorica di fae è coì caratterizzata: la ua ampiezza dipende dall ampiezza della fem di fae E e dall impedenza di fae compleiva vita da ciacuna fem; la ua frequenza è la tea ( f ) della fem che la otiene; la ua fae dipende dallangolo caratteritico dellimpedenza rotorica compleiva di ciacuna fae Eendo l impedenza di tipo ohmico induttivo, tale corrente è in ritardo ripetto alla fem E E importante oervare che anche le tre correnti rotoriche danno luogo ad un campo rotante a ditriuzione inuoidale, rappreentaile pertanto con un vettore ( m, fig 07); la velocità di rotazione di m è la tea della velocità di rotazione del campo di fmm prodotto dalle correnti di tatore ( m m ) Fig 06 Funzionamento con avvolgimento econdario chiuo e rotore fermo Schema della macchina

7 Fig 07 Funzionamento con avvolgimento econdario chiuo e rotore fermo Diagramma vettoriale 3 Effetti delle fmm agenti al traferro (*) Analogamente a quanto fatto per la fmm di tatore, anche quella di rotore i può eprimere in funzione della corrente di fae I : m K M I iguardo alla direzione di m, i conideri quanto egue (fig 06 e 07) Le tre correnti tatoriche I a m, I m, I c m, entranti nell avvolgimento tatorico, danno luogo al campo di fmm rotante m m, diretto come la corrente I a m nella fae a ( I m in fig 07) Le tre correnti rotoriche, dovute alle tre fem rotoriche E a r, E r, E c r e quindi ucenti dall avvolgimento rotorico, danno luogo ad un campo di fmm m diretto in eno oppoto alla corrente della prima fae (a r ) I a r I Tale fmm m modifica il valore del fluo Φ al traferro; ne egue una variazione delle fem E a, E, E c, che a vuoto ono uguali alle tenioni ai moretti V a, V, V c, (legge di Kirchhoff delle tenioni) Dovendo valere quet ultima legge, viene aorita un ulteriore terna di correnti dal lato primario ( I a, I, I c ), coì da riportare il fluo al valore iniziale e oddifare la legge di Kirchhoff delle tenioni (i tracurano qui la reitenza e la reattanza di diperione tatoriche) Queta terna di correnti dà luogo ad un campo di fmm rotante m, uguale e contrario al campo prodotto dalla fmm rotorica m : Il campo di fmm tatorico riulta quindi: m m 3

8 m mm + m mm m La relazione eitente tra le correnti riulta eere, relativamente alla prima fae (a e a r ): I a I a m + I a cioè I I m + I Le correnti I a r I e I a I ono tra loro in fae; la relazione tra i loro moduli è pari a quella dei moduli delle fmm m ed m, dovute ripettivamente ad una terna di correnti tatoriche ed a una di correnti rotoriche I I U e U e k Queta relazione è tipica delle correnti ai moretti di un traformatore ideale, avente rapporto di traformazione k uguale a quello con cui ono legate le fem E ed E Coniderato che gli avvolgimenti delle due trutture ono contemporaneamente percori da corrente i verifica, dal punto di vita magnetico, una ituazione ul tipo di quella chematizzata in fig 08: nella figura (che ha uno copo di upporto puramente qualitativo) ciacuno degli avvolgimenti di tatore e di rotore è imolicamente rappreentato come cotituito da una cava Fig 08 appreentazione dei flui di diperione tatorico Φ d e rotorico Φ d e del fluo comune Φ Il fluo Φ, che attravera il traferro, è il fluo comune, ugualmente concatenato con gli avvolgimenti di tatore e di rotore Oltre al fluo Φ (cui è legato lo viluppo della coppia meccanica), vi ono anche dei flui di diperione: il fluo indicato in fig 08 con Φ d è un fluo otenuto dalle ole correnti primarie e che concatena unicamente gli avvolgimenti di tatore, mentre il fluo Φ d è otenuto e concatena unicamente le correnti di rotore Leffetto dei flui di diperione è unicamente quello di creare negli avvolgimenti che li producono delle fem autoindotte Quete fem ono convenientemente rappreentaili, dal punto di vita circuitale, con delle induttanze di diperione (L d, L d ), analogamente a quanto fatto per il traformatore Coniderando poi che la frequenza di tutte le grandezze elettriche (ia di tatore che di rotore) è quella di rete (f), i può fare riferimento alle corripondenti reattanze: Xd ω Ld X d ω Ld 4

9 La corrente magnetizzante I m, che otiene il fluo, riulta reponaile delle fem indotte, a queto legate Quindi, empre in analogia con il traformatore, le fem i poono eprimere in funzione della I m ; in particolare per la E i può porre: E j X m I m, dove la reattanza X m è detta reattanza di magnetizzazione In ae alle relazioni trovate, ai moretti del traformatore ideale i ha il eguente ilancio di potenze: E I E I Queta relazione eprime luguaglianza delle potenze attive e reattive traferite dal primario al econdario, cioè delle potenze tramee al traferro tra tatore e rotore (relativamente però ad una ola delle tre fai della macchina) 3 Circuito equivalente a rotore loccato Tenendo conto delle reattanze di diperione e di magnetizzazione e delle reitenze degli avvolgimenti, per la macchina aincrona a rotore loccato i può introdurre il circuito equivalente monofae di fig 09, valido per ciacuna fae (a,, c) di tatore (pedice ) e di rotore (pedice ); queto circuito equivalente è del tutto imile a quello ricavato per il traformatore Il funzionamento della macchina è però eenzialmente legato alla ua truttura trifae: infatti, le fem E ed E ono indotte dal fluo principale Φ, prodotto dallazione contemporanea delle correnti trifai equilirate delle due trutture e rotante nel traferro In termini di grandezze vettoriali il circuito di fig 09 corriponde, per ciacuna fae, alle eguenti equazioni: V E + I + j X d I E I + j X d I, dove è la reitenza di fae propria dellavvolgimento rotorico Nel eguito, alvo pecificazione appoita, i conidera il funzionamento della macchina con anelli cortocircuitati, cioè enza la conneione di una reitenza eterna a ciacuna pazzola degli avvolgimenti di rotore Va infine detto che il fatto che i conduttori degli avvolgimenti di rotore (ovviamente dotati di reitenza) iano percori da corrente e iano immeri in un campo di induzione magnetica implica che u di ei agicano delle forze; leffetto gloale di quete forze è quello di dare una coppia meccanica, agente ullalero nella medeima direzione di rotazione del campo rotante Fig 09 Circuito equivalente di una fae della macchina aincrona trifae con rotore fermo 5

10 4 Funzionamento con avvolgimento econdario aperto e rotore in movimento Si conideri un campo magnetico rotante al traferro con velocità meccanica 0 [rad/] (N 0 [giri/min]) e i upponga che il rotore (i cui avvolgimenti ono empre aperti) ia mantenuto in rotazione con velocità [rad/] (N [giri/min]), nel medeimo eno di rotazione del campo rotante Per effetto del campo rotante, nei conduttori di tatore (fii nello pazio) ono indotte delle fem con la medeima frequenza del cao tudiato nel Par Vicevera, coniderato un conduttore generico del rotore, la velocità meccanica del campo rotante ripetto a tale conduttore riulta pari a: Si definice corrimento (relativo) la quantità: r 0 Per 0 ; per 0 0; per > 0 < Pertanto la velocità del campo rotante ripetto al conduttore di rotore vale: r 0 La ituazione è perfettamente analoga a quella tudiata nel Par, alvo che la velocità vale volte quella precedente: del medeimo fattore riulta pertanto ridotta lampiezza della fem indotta nel generico conduttore di rotore e la frequenza di tale fem (cfr anche il cap 8 del campo magnetico rotante) Dunque la frequenza della fem di rotore vale: f f, mentre il valore efficace della fem in ogni conduttore è pari a: Ec E c, dove: E c è il valore efficace della fem indotta in un conduttore di rotore quando quetultimo ruota alla velocità ; E c è il valore efficace della fem indotta nello teo conduttore di rotore quando queto è fermo (tale fem coincide in ogni cao con quella indotta in un conduttore di tatore) Naturalmente anche la fem compleiva dellavvolgimento di fae di rotore è caratterizzata da una frequenza f f (detta frequenza di corrimento) e la ua ampiezza vale: E E E evidente che, qualora il rotore ruoti alla tea velocità del campo rotante, i ha: da cui: 0, 6

11 E 0 Tale riultato i giutifica oervando che in queta ituazione i conduttori attivi di rotore i muovono in incronimo con il campo, non tagliando le ue linee di fluo (ovvero, il fluo concatenato con ciacuna pira di rotore non varia nel tempo): non vi poono dunque eere fem indotte (cfr Cap8 ul campo magnetico rotante) 5 Funzionamento con avvolgimento econdario chiuo e rotore in movimento Si conideri che il rotore venga mantenuto in rotazione ad una generica velocità e i moretti dellavvolgimento trifae di rotore iano empre collegati, tramite il itema di pazzole, a tre moretti di altrettante reitenze, uguali fra loro e aventi gli altri tre moretti collegati a tella Per effetto delle fem indotte negli avvolgimenti di rotore, circola una terna equilirata di correnti inuoidali Ogni corrente rotorica di fae è coì caratterizzata: la ua ampiezza dipende dalla ampiezza ( E E ) della fem di fae e dalla impedenza di fae compleiva vita da ciacuna fem; la ua frequenza è la tea ( f f ) della fem che la otiene; la ua fae dipende dallangolo caratteritico dellimpedenza rotorica compleiva di ciacuna fae ( + j X d ) 5 Velocità dei campi rotanti E importante oervare che anche le correnti rotoriche danno luogo ad un campo rotante a ditriuzione inuoidale, rappreentaile pertanto con un vettore ( m ) La velocità di rotazione di m ripetto al rotore (in quanto ede delle correnti che creano tale campo) vale: π f p π p f rad 0 Daltra parte il rotore i muove con una velocità di rotazione pari a: ( ) 0 ; pertanto la velocità del campo rotante di rotore ripetto allo tatore (omma delle due velocità) riulta pari ad 0 Si può dunque concludere che i due campi di fmm ruotano incroni al traferro, coì come avveniva quando il rotore era mantenuto fermo 5 Circuiti equivalenti e traformazione di frequenza Da quanto detto i conclude che tutte le grandezze di funzionamento della macchina ono caratterizzate dal fatto di eere inuoidali La frequenza f delle grandezze elettriche di tatore è quella della rete di alimentazione ( f ); invece, la frequenza delle grandezze elettriche di rotore è legata, come vito, allo corrimento dalla relazione: f f 7

12 Pertanto, indicate empre con X d ed X d le reattanze di diperione, entrame calcolate alla frequenza di rete f, le equazioni elettriche, critte in termini di vettori corripondenti alle grandezze itantanee, aumono il eguente apetto: V E + I + j Xd I ( + j X ) E d I, dove E è il vettore fem indotta in una fae del rotore quando eo ruota con velocità (o N) Si oervi che i vettori delle due equazioni critte ono rappreentativi di grandezze inuoidali non tutte iofrequenziali fra loro: ei non ono pertanto direttamente confrontaili, né è poiile rappreentare in un unico circuito equivalente il funzionamento dei circuiti di tatore e di rotore L equazione relativa alle grandezze di rotore corriponde al circuito equivalente di fig0a: le varie quantità che compaiono in queta equazione ono numeri complei cotanti, individuati da una ampiezza e da una fae Se ora i divide il primo memro della equazione e limpedenza a econdo memro per lo corrimento, i ottiene: E + j X d I Fig 0a e 0 Circuito equivalente di una fae rotorica, ripettivamente riferito al lato rotore e al lato tatore iguardo a queta nuova equazione i può oervare quanto egue: il vettore corrente I è rimato inalterato a eguito della traformazione effettuata; la reattanza che compare nellequazione traformata (X d ) è quella corripondente alla frequenza di rete ( X d ω Ld ); langolo caratteritico dellimpedenza ( + j X d ) è rimato inalterato in ( + j X d ) ed è pari a: X d φ arctan ; il modulo ( E ) del vettore a primo memro dell equazione traformata è legato alla fem econdaria a rotore fermo (E ) dalla relazione (cfr Par 4): E E ; 8

13 in ae a quetultima eguaglianza e coniderato che, a eguito della traformazione, I e φ non ono camiati, i può crivere in termini vettoriali: E E Lequazione traformata può dunque ricriveri coì: E + j X d I Queta è un equazione di grandezze vettoriali cotanti, formalmente equivalente a quella inizialmente critta per il circuito econdario di rotore: tuttavia ora i vettori dell equazione traformata ono rappreentativi di grandezze inuoidali alla frequenza di rete f Tale equazione può dunque eere interpretata mediante il circuito equivalente di fig0 Queto circuito è ora confrontaile con quello di tatore; e ne deduce il circuito equivalente (relativo ad una fae) motrato in fig, dove in parallelo alla reattanza di magnetizzazione X m è tata pota una reitenza p, rappreentativa delle perdite nel circuito magnetico Fig Circuito equivalente completo di una fae della macchina aincrona trifae con rotore in movimento E evidenziata la potenza Pt tramea da tatore a rotore (è divia per tre, in quanto queto è il circuito equivalente di una fae) 6 Circuiti equivalenti per lo tudio del funzionamento Oervando il circuito di fig i riconoce che eo ha la medeima truttura di quello di fig 09, valido per il motore funzionante a rotore loccato: dal punto di vita circuitale, il funzionamento con rotore in movimento (con coneguente viluppo di potenza meccanica P m ) i può interpretare in modo imile al cao di rotore loccato, pur di otituire alla reitenza una reitenza /, rappreentativa di tutta la potenza traferita al rotore 6 Interpretazione magnetica ed energetica della traformazione di frequenza (*) Dal punto di vita magnetico la fmm prodotta dal rotore in moto ruota incrona con quella di tatore (come nel cao di rotore loccato) e queto fatto, vito in termini circuitali, corriponde proprio ad un circuito del tipo di fig0, funzionante a frequenza di rete f Vale la pena di eaminare il ignificato della traformazione effettuata anche in termini energetici Il fatto che la potenza attiva del circuito econdario di fig ia uguale a quella che proviene dal primario i verifica dalle equazioni relative alle grandezze elettriche ai moretti del traformatore ideale: infatti le fem E ed E ono legate fra loro empre tramite il rapporto 9

14 del numero di conduttori efficaci, mentre le correnti I ed I ono legate dallinvero di tale rapporto (in quanto rappreentative delle fmm agenti al traferro, econdo un diagramma del tipo di quello di fig 07, già coniderato per il funzionamento a rotore loccato) Si può dunque crivere ( prodotto calare): U e U e E I E I E I E I U e U e Per quanto riguarda la potenza reattiva occorre oervare quanto egue: la potenza reattiva localizzata nelle reattanze del circuito primario non dipende dalla traformazione di frequenza effettuata: Q E + Xd I X m ; la potenza reattiva legata alla induttanza di diperione econdaria vale: Q X d I Pertanto queta potenza reattiva tiene conto della traformazione di frequenza; daltra parte occorre oervare che, ripetto a tale traformazione, ciò che riulta invariante è lenergia magnetica immagazzinata (/) L d (I )² La Q rappreenta perciò la potenza reattiva corripondente a tale energia, riportata alla frequenza di rete 6 Potenza e coppia tramee al traferro La potenza elettrica attiva aorita dallo tatore, diminuita delle perdite per effetto Joule negli avvolgimenti di tatore e delle perdite nel ferro, cotituice la totale potenza tramea da tatore a rotore attravero il traferro: tale potenza rappreenta la omma della potenza meccanica e delle perdite Joule negli avvolgimenti di rotore La potenza (P t ) tramea elettromagneticamente tra tatore e rotore può eere coì eprea (con riferimento al circuito econdario di fig e tenendo conto del fatto che la macchina è trifae): P 3 ( I ) t Queta potenza tramea comprende ia la potenza perduta per effetto Joule negli avvolgimenti P j 3 I ), ia la potenza meccanica ( P m C t ); la coppia qui coniderata (C t ) è quella tramea elettromagneticamente tra tatore e rotore e differice da quella allalero per effetto della coppia corripondente alle perdite meccaniche Dunque i ha: P t Pm + Pj, cioè: 3 ( I ) Ct + 3 ( I ) Da queta relazione i ricava lepreione della coppia: di rotore ( 30

15 ( ) C t 3 ( I ) icordando che la velocità di rotazione del rotore () e quella del campo rotante ( 0 ) ono coì legate:, lepreione della coppia diviene: 0 Pt C t 3 ( I ) 0 La coppia è dunque pari alla potenza tramea tra tatore e rotore divia per la velocità del campo rotante Il circuito equivalente di fig conente di tudiare il funzionamento della macchina aincrona in tutto il campo di velocità: e ne poono ricavare informazioni circa le potenze elettriche attive e reattive aorite, perdute e tramee, nonché riguardo alla coppia tramea ed alla potenza meccanica 63 Circuito equivalente emplificato della macchina aincrona Nello tudio del funzionamento è peo conveniente effettuare alcune traformazioni ul circuito equivalente di fig: una prima traformazione conite nelleffettuare il riporto al circuito primario dei parametri del circuito econdario, come motrato in fig; analogamente a quanto vito nel cao del traformatore, il riporto i effettua attravero il quadrato del rapporto di traformazione del traformatore ideale ( k U e U e ); una emplificazione del circuito (del tutto imile a quanto fatto per il traformatore) conite nel traferire il ramo derivato a monte della impedenza primaria, con il coneguente ottenimento di ununica impedenza erie (fig3) Queta operazione implica, nello tudio del funzionamento, un errore di maggiore entità di quanto non valga lerrore nel cao del traformatore; in effetti la preenza del traferro implica una più elevata corrente magnetizzante, come pure dei flui diperi di maggiore entità Per tali fatti, pur eendo molto peo adottata, la emplificazione è quantitativamente meno giutificata 0 Fig Circuito equivalente completo di una fae della macchina aincrona trifae riferito al lato tatorico 3

16 Fig 3 Circuito equivalente ridotto di una fae riferito al lato tatorico E evidenziata la potenza Pt tramea da tatore a rotore (è divia per tre, in quanto queto è il circuito equivalente di una fae) 7 Significati di corrimento e modi di funzionamento della macchina aincrona Nella reitenza viene localizzata, dal punto di vita della equivalenza circuitale, tutta la potenza tramea dallo tatore al rotore, cotituita dalla potenza meccanica e dalle perdite Joule compleive del circuito econdario: è quindi opportuno rendere eplicita queta uddiviione Conviene pertanto ditinguere due reitenze econdarie connee in erie, definite dalla eguente relazione: + Nella prima reitenza i localizzano le perdite Joule del econdario, mentre la reitenza di valore ( ) rappreenta, moltiplicata per 3 ( I ) macchina P m : P m 3 I, la potenza meccanica rea dalla E importante evidenziare il ignificato energetico della grandezza corrimento, originariamente definita con riferimento alle velocità: 0 0 In ae al circuito equivalente di fig, la potenza tramea tra tatore e rotore è pari a: Pt PJ 3 ( I ), da cui: PJ P t Dunque lo corrimento corriponde al rapporto tra le perdite Joule compleive negli avvolgimenti econdari e la potenza tramea al traferro tra tatore e rotore 3

17 7 Caratteritica meccanica della macchina aincrona trifae La quantità di maggiore interee è la coppia tramea elettromagneticamente tra tatore e rotore Tale quantità i può calcolare in ae all epreione ottenuta nel Par 6: P C, t t 0 eendo P t la potenza tramea al traferro ed 0 la velocità meccanica del campo rotante [rad/] Lepreione della coppia in funzione dei parametri della macchina e delle grandezze funzionali (tenione di alimentazione, corrimento) i può facilmente determinare e i fa riferimento al circuito equivalente emplificato di fig3 Infatti, noto il valore efficace (V ) della tenione di fae di alimentazione, il quadrato della corrente I vale: ( I ) V + + ( X + X ) d d V Z + +, avendo poto: ( ) + ( X X ) Z d + d Coniderando che, in generale, per la coppia tramea vale la relazione: C t 3 ( I ), 0 ne conegue (empre con riferimento al circuito equivalente emplificato di fig3): 3 V C t Z 0 Z + + Z Z Queta epreione evidenzia la dipendenza della coppia dallo corrimento : la funzione C t C t () (oppure C t C t ()) prende il nome di caratteritica meccanica della macchina Per 0 0 0, i ha il funzionamento da motore Infatti: la potenza tramea da tatore a rotore P t è poitiva (quindi viene aorita potenza dalla rete elettrica); la potenza meccanica rea all alero P m è poitiva (cioè fornita al carico meccanico) Il campo di funzionamento come motore è delimitato dalle eguenti condizioni limite: funzionamento a rotore fermo: 0 ( ): 33

18 oltre che alla condizione di rotore permanentemente loccato, corriponde alla ituazione di avviamento di un motore a partire da fermo (funzionamento allo punto); funzionamento a vuoto: 0 ( 0): queta condizione corriponde alla completa aenza di coppia reitente di carico, cui fa ricontro, per reazione, un valore nullo della coppia motrice Infatti il motore, partendo da fermo, tende ad accelerare fino a raggiungere la velocità del campo rotante ( 0 ): a tale velocità i annullano le fem di rotore, dunque le correnti di rotore ed anche la coppia In realtà, queta ituazione di funzionamento, pur eendo molto proima a quella di un motore alimentato e con lalero liero di ruotare, non i verifica in modo rigoroo, in quanto le perdite meccaniche di attrito e di ventilazione connee alla rotazione del rotore cotituicono un carico meccanico ineliminaile E per queta ragione che la potenza tramea è leggermente uperiore a quella meccanica diponiile allalero: la differenza è cotituita proprio dalle perdite meccaniche In fig 4a è rappreentato landamento tipico della caratteritica meccanica di una macchina aincrona con velocità variaile tra e + La zona tra 0 0 ( 0) corriponde al funzionamento da motore In acia i può notare un doppio riferimento: quello della velocità di rotazione è orientato vero detra ed ha origine nel punto di interezione degli ai; il riferimento dello corrimento è orientato in direzione oppota (i ricorda che: ( 0 )/ 0 ) ed ha origine in corripondenza della velocità del campo rotante 0, detta anche velocità di incronimo) I dati della macchina rappreentata ono: P n 75 kw: potenza nominale da motore; V n 380 V: tenione nominale; I n 5 A: corrente nominale; p 4 poli; f n 50 Hz; (i deduce giri/min); n 445 giri/min: velocità nominale 3 0 Freno coppia [per unità] / C t /C n C k Motore F C r /C n Generatore Fig 4a Caratteritica meccanica di una macchina aincrona a tenione cotante La coppia C t è rapportata al valore nominale C n ; C k è la coppia di punto La velocità è rapportata al valore di incronimo 0 Con linea tratteggiata è indicata la caratteritica di un carico meccanico 34

19 Il valore della coppia a corrimento unitario (cui corriponde una velocità nulla, cioè una ituazione di inizio avviamento) è indicata con C k (coppia di punto) In fig4a è anche rappreentata (a tratteggio) una poiile caratteritica meccanica C r C r () di un carico meccanico collegato allalero del motore L avviamento è infatti governato dall equazione meccanica del moto rotatorio: Ct d Cr J d t dove J è il momento totale di inerzia Il punto di funzionamento di regime è in corripondenza del punto F, di interezione delle caratteritiche meccaniche del motore e del carico La condizione di funzionamento uuale i ha per velocità proime a quelle di incronimo 0 ( 3 %) Dall analii e dall elaorazione delle divere epreioni ricavate per la coppia tramea i poono dedurre le oervazioni di eguito riportate La coppia è proporzionale al quadrato della tenione La coppia (C k ) allo punto ( ) (funzionamento da motore) vale: con: k I I ( ) Ck ( ) ( ) V I k 3 3, 0 0 Z Queta coppia è, con uona approimazione, proporzionale alla reitenza rotorica ( ): tale valore può pertanto eere variato modificando il valore della reitenza del econdario La curva C t C t () ha un maimo Lo corrimento max in corripondenza al quale eo i verifica (pari allo zero della equazione d C t d 0 ) vale: max ± Z (+: funzionamento da motore; : funzionamento da generatore) Pertanto lo corrimento in corripondenza del quale i verifica la coppia maima dipende dal valore della reitenza econdaria Sotituendo lepreione di max nella equazione della coppia C t C t () i arriva invece a concludere che il valore della coppia maima è: 3 V C t max 0 Z ± + Z (+: funzionamento da motore; : funzionamento da generatore) Eo è dunque indipendente dal valore della reitenza econdaria Per piccoli valori dello corrimento (velocità di rotazione proima a quella del campo rotante) la coppia è, con uona approimazione, proporzionale allo corrimento teo ed inveramente proporzionale alla reitenza econdaria Infatti, per corrimenti piccoli ( <<) i ha: 35

20 da cui: >> d d >> X + X, ed infine (empre per <<): C t ( I ) V ( ) V ( ) I 0 7 Funzionamento della macchina aincrona con corrimento nel campo > (freno) Queta condizione di funzionamento per lo corrimento corriponde a valori di velocità <0; pertanto il rotore ruota in eno oppoto al campo rotante La potenza tramea da tatore a rotore: P t 3 ( I ) è poitiva; pertanto la macchina aore potenza elettrica dalla rete (traferendola, a meno delle perdite, al rotore) Inoltre la macchina aore anche potenza meccanica (perchè tale potenza P m C t, penata come erogata allalero, è negativa, eendo <0): P m 3 I Tutta la potenza viene dunque diipata allinterno: il funzionamento in queta zona di corrimento è quello di un freno 73 Funzionamento della macchina aincrona con corrimento nel campo < 0 (generatore) In tale zona di funzionamento la velocità di rotazione è nel medeimo eno del campo rotante, ma di valore uperiore alla ua velocità 0 : lo corrimento è quindi negativo Si analizzino la potenza tramea da tatore a rotore P t e la potenza meccanica rea all alero P m : 3 ( I ) P t 3 ( I ) P m Entrame ono negative, per cui: è poitiva la potenza tramea dal rotore allo tatore e poi da queto vero la rete; la potenza meccanica è negativa, cioè in realtà aorita allalero In concluione, la macchina funziona da generatore, perchè aore potenza meccanica, erogandola otto forma elettrica (a meno delle perdite) 36

21 8 Avviamento ( punto ) dei motori aincroni Lavviamento dei motori aincroni direttamente alimentati dalla rete cotituice un prolema rilevante dal punto di vita impiantitico e funzionale Infatti, la corrente naturale aorita allo punto e durante lavviamento è dellordine di 5 8 volte la corrente nominale e diminuice lentamente:ciò i può determinare dal circuito equivalente di fig 3, che conente di crivere la formula: I () V p j X + m + + j V ( X + X ) d d Al variare dello corrimento tra e 0 l andamento del valore efficace della corrente è riportato in fig 4, per lo teo motore da 75 kw dell eempio I /I n [per unità] /0 0 Fig 4 Valore efficace della corrente tatorica di una macchina aincrona a tenione cotante La corrente I è rapportata al valore nominale I n La velocità è rapportata al valore di incronimo 0 Queto fatto implica un notevole ovraccarico della rete di alimentazione, con forti cadute di tenione in linea Inoltre queta ituazione può comportare lintervento intempetivo delle protezioni di maima corrente: quete, interpretando lelevata corrente come un guato, provocano in tal cao lapertura dell interruttore di alimentazione della macchina La oluzione a queto prolema viene affrontata in modo divero, a econda che il motore aia un rotore del tipo ad anelli o del tipo a gaia Si analizzerà il olo motore con rotore a gaia Avviamento di un motore con rotore a gaia Il motore con rotore a gaia non ha poiilità di collegamento del rotore con un circuito eterno Pertanto, allo copo di contenere le correnti allo punto, è neceario ricorrere a itemi di avviamento che modifichino le condizioni di alimentazione degli avvolgimenti di tatore, riducendo coì la tenione applicata a ciacun avvolgimento di fae Coneguenza di ciò è una riduzione della coppia motrice, diveramente da quanto avviene nei motori con rotore ad anelli Per i motori a gaia di potenza modeta (in genere non uperiore alla decina di kw) e che poono avviari con coppia motrice molto aa i ua peo lavviamento tella-triangolo: il motore viene avviato collegando gli avvolgimenti a tella ed effettuando olo ucceivamente il collegamento a triangolo, che viene poi mantenuto indefinitamente 37

22 In tal modo la corrente aorita nel collegamento a tella i riduce ad un terzo di quella nel collegamento a triangolo; però anche la coppia uice una riduzione ad un terzo Infatti, detta V linea la tenione di linea, i hanno le eguenti due ituazioni: nel collegamento a tella la tenione di ciacun avvolgimento è pari a V linea 3 e la corrente di linea è la tea di quella di ciacun avvolgimento di fae; nel collegamento a triangolo la tenione di avvolgimento è V linea ( 3 volte che nel cao precedente) e la corrente di linea è 3 la corrente di ciacun avvolgimento, cioè 3 volte quella del collegamento a tella Inoltre, dato che la coppia è proporzionale al quadrato della tenione applicata a ciacun avvolgimento di fae, anche per queta quantità i ha la riduzione di un fattore 3 nel collegamento a tella ripetto al collegamento a triangolo 9 Inverione del moto Il rotore di un motore trifae tende a ruotare nel vero del campo magnetico rotante prodotto dallavvolgimento di tatore: il vero di rotazione del campo dipende, oltre che da come è tato dipoto lavvolgimento trifae, dal eno ciclico con cui i ueguono le tenioni trifae di alimentazione della macchina Ne conegue che, camiando tra loro una coppia di moretti, i inverte il eno ciclico e con eo il vero di rotazione del campo rotante Quando queta commutazione dei moretti di alimentazione viene effettuata con il motore funzionante a velocità proima a quella del campo rotante, a eguito della commutazione lo corrimento della macchina aume un valore pari a: (infatti riulta: 0 ) In quete condizioni la macchina funziona da freno e rallenta 0 Grandezze nominali La potenza nominale P n di un motore aincrono è pari alla potenza meccanica diponiile all ae, nelle condizioni di alimentazione nominali (tenione, corrente, frequenza nominali) Il fattore di potenza è empre inferiore all unità ed aume valori piuttoto ai; la zona di funzionamento i etende, quindi, tra la velocità di incronimo (corrimento 0) e la velocità cui corriponde il maimo fattore di potenza (generalmente 005) Definita la potenza nominale P n, tramite il rendimento η n e il fattore di potenza coϕ n nominali i determina la potenza aorita in condizioni nominali A n : A n ηn P n ϕn co Da queta i ricava la corrente nominale: An I n 3 Vn Poiché η n e coϕ n non ono noti a priori, ulla targa del motore ono di olito riportati ia P n che I n Si riportano alcuni dati di motori aincroni trifae a gaia con: V n 380 V; f n 50 Hz: tenione e frequenza nominali; p 4 poli 38

23 P n [kw] n [giri/min] η n [%] coϕ n I k / I n C k / C n All aumentare della potenza: La velocità nominale di rotazione aumenta; lo corrimento nominale diminuice, mantenendoi nell ordine di pochi percento, ad ecluione dei motori di piccola potenza; Il rendimento aumenta, raggiungendo valori molto alti anche per motori di piccola/media potenza (75kW); Il fattore di potenza aumenta; eo riulta comunque inferiore a 090, comportando la neceità dell uo di condenatori di rifaamento Per un generatore, la potenza nominale è la potenza elettrica A n erogata ai moretti a tenione, corrente e velocità nominali; i miura in [VA] Eempio Un motore aincrono trifae a gaia a p6 poli, 380V, f50 Hz ha una reitenza tatorica di fae pari a 05 alla temperatura di funzionamento Tracurando le perdite nel nucleo in ferro, determinare la coppia elettromagnetica quando la potenza aorita vale Pel 5 kw e la corrente di fae è I A 4 π f La velocità di incronimo vale: rad/ 000 giri/min p Tracurando la perdita nel ferro, la potenza tramea da tatore a rotore Pt vale: La coppia elettromagnetica vale quindi: Pt Pel 3 I 48 kw P m P t t 0 C 46 Nm Eempio Un motore aincrono trifae a gaia da è caratterizzato da: P n 60 kw, V n 380 V; I n 84 A; p8 poli; f n 50 Hz; n 735 giri/min I parametri del motore ono: ; 590- ; Xd X d ; Xm 34 Le perdite nel ferro ono tracuraili Determinare: lo corrimento e la coppia nominali; lo corrimento di coppia maima e la relativa coppia; la coppia di punto, tramite l epreione approimata; la corrente di punto La coppia nominale del motore (cioè la coppia netta all alero) è data da: Cn Pn n 080 Nm La velocità di incronimo è pari a 4 π f n rad/ 750 giri/min p 39

24 Lo corrimento nominale è pari a: 0 n n % Lo corrimento di coppia maima e la corripondente coppia ono: 3V max dove Z + ( Xd + X d ) C t max Z Z + 0 Z Poiché i ta coniderando il circuito equivalente monofae, la tenione V è quella di fae: V Vn 3 0V, Si ricava: Z 04 ; max 39 %; Ctmax 7390 Nm 355 Cn Allo punto ( ), coppia e corrente valgono: I () C k V 3 0 Z 30 Nm 07 Cn V V j X A 683 In m ( + ) + j ( Xd + X d ) La coppia di punto riulta eere, in queto cao, dello teo ordine di grandezza della coppia nominale, mentre la corrente di punto è molto più elevata del valore nominale Queta apparente incongruenza può eere coì piegata: allo punto (), il motore i comporta come un carico ohmico induttivo, ma fortemente induttivo (i veda il circuito equivalente) La macchina aore molta potenza reattiva e poca potenza attiva; è quet ultima che viene traformata in potenza meccanica all alero Quindi i ha una coppia contenuta, ma un alta corrente aorita (per l elevato valore della potenza reattiva) A regime, cioè a piena velocità, lo corrimento è molto piccolo ( 3 %); la macchina i comporta come un carico ohmico induttivo, fortemente reitivo e di reitenza elevata (/ è ora elevato) Ciò limita la corrente aorita Controllo calare di una macchina aincrona (regolazione V/f) La caratteritica meccanica di una macchina aincrona alimentata a tenione e frequenza cotanti è molto rigida (fig 4), conentendo il funzionamento continuativo in un campo ritretto di velocità (nell intorno della velocità di incronimo) Si vuole invece ottenere la caratteritica meccanica di fig 5, caratterizzata da un tratto a coppia cotante e da uno a potenza cotante: ea è del tutto imile a quella otteniile con una macchina in corrente continua tramite la regolazione di armatura e di campo 40

25 Fig 5 Caratteritica meccanica deiderata Si illutra ora come ia poiile ottenere una caratteritica meccanica come quella di fig 5 Nel funzionamento a piccoli valori di corrimento, la caratteritica meccanica è preoché rettilinea Ea è caratterizzata dalla eguente equazione: 3V 3V V C t 3 ( 0 ) icordando il legame tra la pulazione elettrica ω e la velocità di incronimo 0 : i ricava: ω p 0, V p C t Se i mantiene cotante il rapporto ( V ω) 3 ω ω p, quella riportata è l equazione di una retta con coefficiente angolare cotante ed interezione con l ae delle acie per: 4 π f ω p p 0 Variando la frequenza f e la tenione V di alimentazione, mantenendo cotante il loro rapporto, la caratteritica meccanica trala vero detra (fig 6): Ad eempio, per un motore da V n 380V e f n 50 Hz, i può cegliere: V n V ω ω n 3 0V 34 rad 0700W 4

26 Fig 6 Caratteritica meccanica della macchina aincrona al variale della frequenza f e della tenione di alimentazione V, mantenendo cotante il loro rapporto Si conideri l avviamento di un motore, conneo ad un carico, con una coppia reitente C r () (fig 6) A velocità nulla, la tenione e la frequenza iano celte di ao valore coì che la caratteritica meccanica ia la curva a (fig 6) Poiché la coppia motrice (coppia elettromagnetica) è uperiore alla coppia reitente, la velocità angolare crece: d C C dt J r, dove J: momento d inerzia del motore e del carico Durante l accelerazione la coppia motrice C diminuice, muovendoi lungo la caratteritica naturale tra il punto ed il punto Aumentando ia la tenione V che la frequenza f, mantenendo però cotante il loro rapporto, il punto di funzionamento i porta in 3, tale per cui 3 Eeguendo una regolazione fine della tenione e della frequenza, l andamento irregolare a dente di ega diventa un egmento orizzontale (fig 7) Si fa notare come i lavori ul tratto lineare della caratteritica meccanica naturale della macchina Fig 7 Andamento della caratteritica meccanica con una regolazione fine della tenione e della frequenza, mantenendo cotante il loro rapporto 4

27 43 Scelta del valore di coppia e legge di variazione della frequenza f e della tenione V Si ceglie la coppia deiderata come frazione del valore maimo di coppia : C M : t C M C α SI determina la pulazione delle fem e delle correnti rotoriche: p V p V V C t ω ω ω ω, dove ω ω è la pulazione delle grandezze rotoriche Ne egue: 3 p V C t ω ω π ω f Si ricava la corripondente pulazione tatorica (e quindi la frequenza tatorica) ω ω ω ω ω ω 0 p p, da cui + ω ω p π + 4 p f f Si ricava quindi l andamento della tenione: + ω ω ω ω p V V V L andamento lineare della tenione e della frequenza con la velocità è motrato in fig 8

28 Fig 8 Andamento della coppia, della frequenza e della tenione durante la regolazione V/Hz egolazione a tenione cotante Quando la tenione raggiunge il valore nominale (o un valore leggermente inferiore per mantenere un margine di tolleranza), non è più poiile incrementare il valore della tenione Il valore di velocità corripondente viene detto ae ed indicato con Per aumentare la velocità, è poiile agire olo ulla frequenza Ciò viene attuato mantenendo cotante la potenza erogata Per >, ia V V n (fig 8) All aumentare della frequenza, per accrecere la velocità, la coppia maima diminuice Infatti i era trovato: C 3V 3V t max Z f f ( ) + ( Xd + X d ) 3V Z ± + Z Se, per aurdo, i mantiene cotante il coefficiente α, rapporto tra la coppia precelta e la coppia maima, la potenza erogata diminuice con la velocità Infatti: C * * t α C t M α P C t 44

29 45 Per mantenere cotante la potenza erogata, occorre aumentare il coefficiente α ω + ω + + α L L L L X X Z Z V V C C d d d d d d M t t Quindi: L L d d + α ω egolando la pulazione rotorica ω, i varia il coefficiente α iguardo alla potenza i può crivere: α α α α α α M t M t t t C C C C P P Per mantenere cotante la potenza al variare della velocità deve eere: P P α α α α Ne egue: L L L L d d d d + α + α ω Eendo + ω ω p Ne egue + + α ω p L L d d + + α π p L L f d d L andamento è riportato in fig 8