matematica per le quinte

Транскрипт

1 istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte corso serale Dipartimento di Matematica Anno scolastico

2 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun- ni dell Istituto professionale Versari-Macrelli di Cesena. Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per l Istituto professionale Versari-Macrelli Copright c 2015 [email protected] Il frontespizio riproduce la ilografia Altro Mondo II di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N D I C E 1 statistica Fasi di un indagine statistica Definizione del fenomeno Individuazione della popolazione Rilevamento dei dati Elaborazione e rappresentazione Tabelle di frequenza Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze percentuali Raggruppamento per classi Rappresentazioni grafiche Indici statistici Moda Media Mediana Esercizi 12 2 matematica per l economia Problemi di scelta Problemi di costi e ricavo Esercizi 32 3 disequazioni Intervalli sulla retta reale Diseguaglianze e disequazioni Principi di equivalenza Disequazioni lineari Disequazioni di secondo grado Disequazioni fratte Esercizi 66 4 funzioni Relazioni e funzioni Definizione di funzione Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Rappresentazione cartesiana Esercizi 94

4 iv indice 5 introduzione all analisi Classificazione Dominio Intersezioni con gli assi Segno Simmetrie Esercizi limiti Concetto di limite Calcolo dei limiti Limiti di alcune funzioni elementari Algebra dei limiti Forme di indecisione di funzioni algebriche Continuità Asintoti Grafico probabile di una funzione Esercizi 148

5 1 S TAT I S T I C A La statistica è una scienza nata per analizzare e descrivere fenomeni d importanza sociale che riguardano uno Stato. Oggi viene applicata in tutti quei campi dove intervengono fenomeni collettivi, la cui mancanza di ripetitività ne rende impossibile lo studio attraverso la sperimentazione. Sono fenomeni collettivi quei fatti che abbracciano un gran numero di fenomeni individuali fra loro simili. Per esempio, il fatto che Luciana è alta 165 cm è un fenomeno individuale, mentre l altezza dei coetanei di Luciana è un fenomeno collettivo. Il fatto che io vengo a scuola in auto è fenomeno individuale, mentre il mezzo impiegato da tutti i docenti e alunni della mia scuola è un fenomeno collettivo. L aumento della popolazione di uno Stato o la diminuzione dei posti di lavoro in un certo settore sono fenomeni collettivi, e lo studio di un fenomeno collettivo avviene attraverso la statistica che raccoglie e analizza le informazioni riguardanti il fenomeno considerato e permette di fare previsioni sul suo andamento. 1.1 fasi di un indagine statistica Per compiere un indagine statistica si segue uno schema che, in linea di massima, è costituito da quattro fasi essenziali: 1. si definisce il fenomeno su cui si vuole indagare 2. si individua la popolazione interessata 3. si raccolgono i dati 4. si elaborano, rappresentano e interpretano i dati raccolti Definizione del fenomeno Il primo passo di un indagine statistica è la definizione del fenomeno su cui vogliamo indagare. Se per esempio vogliamo prendere in esame il fenomeno distribuzione demografica in una città, è opportuno precisare se vogliamo un esame che riguardi: il numero degli abitanti il numero di maschi e femmine

6 2 statistica la distribuzione secondo il reddito la distribuzione secondo l impiego Individuazione della popolazione Definito il fenomeno, va chiarita la collettività a cui il fenomeno si riferisce e sulla quale verrà quindi svolta l indagine. In termini statistici tale collettività si chiama popolazione statistica o, semplicemente, popolazione; ogni singolo elemento della popolazione si chiama unità statistica. Costituiscono una popolazione, per esempio: gli alunni di una scuola i docenti di una scuola gli impiegati di un azienda i residenti nel Comune di Cesena Variabili statistiche Se consideriamo una popolazione statistica, per esempio gli alunni di una scuola, ogni unità statistica (ogni alunno) differisce da un altra unità per una o più caratteristiche: l età, il sesso, l altezza, la media dei voti, il mezzo di trasporto usato per recarsi a scuola, il Comune di residenza, il numero dei fratelli, la professione dei genitori. Queste caratteristiche prendono il nome di variabili statistiche (o caratteri statistici) ed è rispetto a una o più di queste variabili che si effettua l indagine statistica. Le variabili statistiche possono essere: variabili quantitative, se espresse da un numero variabili qualitative, se non possono essere espresse da un numero Sono variabili quantitative, per esempio: l altezza il peso l età la media dei voti mentre sono variabili qualitative: il sesso il mezzo di trasporto il Comune di residenza la professione dei genitori Un indagine statistica consiste nell analizzare come una popolazione statistica si distribuisce rispetto a una certa variabile statistica.

7 1.2 tabelle di frequenza Rilevamento dei dati Il fenomeno, la popolazione e le variabili statistiche su cui vogliamo indagare ci suggeriranno come meglio procedere nella fase di rilevamento dei dati. Il rilevamento dei dati può essere diretto (o completo) se viene eseguito direttamente su tutte le unità statistiche della popolazione interessata al fenomeno. Ciò è possibile quando la popolazione è formata da un numero non eccessivo di unità e ogni unità statistica può quindi essere contattata e intervistata. Spesso, però, la popolazione è talmente vasta da non permettere il rilevamento diretto. Si deve quindi scegliere all interno della popolazione un opportuno campione rappresentativo su cui si eseguirà l indagine. In questo caso si parla di rilevamento indiretto (o per campione), perché viene eseguito solo su una parte della popolazione. Scelto il metodo per il rilevamento dei dati, diretto o per campionamento, si passa alla raccolta delle informazioni che può avvenire tramite interviste, questionari, consultazione di archivi o pubblicazioni specializzate Elaborazione e rappresentazione Questa fase, nel suo complesso, abbraccia diversi momenti: si esegue lo spoglio delle informazioni per ricavare i dati statistici si trascrivono i dati in una tabella dall esame di questa tabella si arriva all elaborazione vera e propria dei dati si rappresentano i risultati dell indagine mediante opportuni grafici 1.2 tabelle di frequenza Esercizio 1. Supponiamo di aver indagato sul fenomeno altezza degli alunni di quinta dell Istituto Versari-Macrelli e di avere raccolto informazioni relative a 20 alunni (tabella 1). Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati raccolti. In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle classi quinte del Versari-Macrelli ; le unità statistiche sono gli alunni di quinta; la variabile statistica che si vuole studiare è l altezza, che è un numero intero e quindi è una variabile quantitativa.

8 4 statistica Tabella 1: Altezze di alcuni alunni di quinta del Versari-Macrelli : dati grezzi Nome Altezza Nome Altezza (cm) (cm) Maria 165 Ettore 174 Giulio 168 Massimo 177 Mario 174 Cristian 165 Ernesto 177 Rossana 166 Giorgio 166 Elisabetta 158 Elena 168 Roberto 165 Vittorio 174 Walter 166 Marco 168 Nicoletta 186 Eleonora 165 Sara 165 Fabio 165 Nicola Frequenze assolute Eseguiamo lo spoglio delle informazioni. valori in ordine crescente (tabella 2). Innanzitutto conviene riscrivere i Tabella 2: Altezze di alcuni alunni di quinta del Versari-Macrelli : crescente valori in ordine Dopo di che si realizza una tabella dove nella prima colonna scriveremo tutte le altezze registrate e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno quell altezza (tabella 3). Tabella 3: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute Altezza (cm) Totale Numero di alunni La tabella 3 può già fornirci un immagine del fenomeno. I numeri riportati nella seconda riga (numero degli alunni) rappresentano la frequenza assoluta di ciascun valore (altezza), ovvero il numero di volte con cui quel valore si presenta nell indagine.

9 1.2 tabelle di frequenza 5 Tabella 4: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute, relative e percentuali Altezza Frequenza Frequenza Frequenza (cm) assoluta relativa percentuale /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0,05 5 Totale Frequenze relative Può essere utile indicare per ciascun valore il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale dei dati esaminati; in questo caso si parla di frequenza relativa di un valore. Per ottenere la frequenza relativa di un valore si applica la seguente formula: frequenza assoluta frequenza relativa = totale dei dati Applicando la formula precedente alla tabella 3 delle altezze dei 20 alunni otteniamo la tabella Frequenze percentuali La frequenza percentuale di un valore è la sua frequenza relativa moltiplicata per 100. Per ottenere la frequenza percentuale di un valore si applica la seguente formula: frequenza assoluta frequenza percentuale = 100 totale dei dati Raggruppamento per classi Esercizio 2. Supponiamo di eseguire un indagine sul fenomeno peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio e di raccogliere i valori relativi a 60 ragazzi nella tabella 5a. Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati raccolti.

10 6 statistica Tabella 5: Peso in kg di alcuni ragazzi iscritti a una scuola di calcio (a) Valori grezzi (b) Valori in ordine crescente L elaborazione di questi valori non è semplice, in quanto si tratta di numeri completamente diversi tra loro. Calcolare le frequenze, assolute o relative, risulterebbe non solo laborioso, ma sopratutto poco significativo. In casi del genere si procede raggruppando i valori e realizzando tabelle suddivise per classi. Innanzitutto riscriviamo i valori in ordine crescente (tabella 5b). Consideriamo l intervallo numerico tra il valore più piccolo e quello più grande, ovvero 50 kg 85 kg; esso rappresenta il campo di variazione della variabile statistica considerata. Consideriamo gli estremi del campo di variazione ed eseguiamo la loro differenza, che vale 35 kg (85 kg 50 kg = 35 kg). Questa differenza è detta ampiezza del campo di variazione, ed è l ampiezza del raggruppamento di tutti i valori. Suddividiamo l ampiezza in opportuni intervalli uguali, ciascuno di ampiezza 5 kg, definendo le classi di peso riportate nella tabella 6. Tabella 6: Classi di peso (in kg) dei ragazzi Classe Intervallo In queste otto classi sistemiamo la nostra popolazione: basterà considerare i ragazzi appartenenti a ogni classe per avere la frequenza della classe, ovvero la distribuzione di frequenza del raggruppamento dei valori (tabella 7).

11 1.3 rappresentazioni grafiche 7 Tabella 7: Peso in kg dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio, suddivisi per classe Classi Frequenza Frequenza Frequenza di peso (kg) assoluta relativa percentuale , , , , , , , ,05 5 Totale rappresentazioni grafiche I dati raccolti nelle tabelle precedenti si possono rappresentare graficamente. I grafici più usati sono gli istogrammi e i diagrammi a torta. La scelta del grafico dipende dal tipo di tabelle che abbiamo creato. Esistono vari software che, partendo dalla serie dei dati raccolti, realizzano automaticamente il grafico desiderato. I più usati sono i programmi per l elaborazione dei cosiddetti fogli elettronici (tra cui il popolare Microsoft Ecel). Se si ha una tabella delle frequenze assolute (come la tabella 3), il grafico più opportuno è l istogramma, serie di barre verticali la cui altezza è proporzionale al valore della frequenza. La figura 1a, per esempio, rappresenta i valori della tabella 3, relativi all esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta. Se si ha una tabella delle frequenze relative o percentuali (come la tabella 4), il grafico più opportuno è il diagramma a torta, che dà un immediato messaggio visivo di come sono distribuiti i valori statistici. La figura 1b, per esempio, rappresenta i valori della tabella 4, relativi al caso dell esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta. Una tabella per classi differisce da una tabella semplice solo per il fatto che si ha a che fare non con singoli valori ma con intervalli di valori. Una tabella per classi come la 7, per esempio, relativa all esercizio 2 dei pesi dei 60 ragazzi iscritti alla scuola di calcio, può quindi essere rappresentata da un istogramma (figura 2a) o da un diagramma a torta (figura 2b).

12 8 statistica 1.4 indici statistici Gli indici statistici sono i risultati di funzioni matematiche che vengono utilizzati per effettuare una sintesi dei dati. Gli indici usati più spesso sono gli indici di posizione, che danno un idea approssimata dell ordine di grandezza dei valori esistenti. I principali indici di posizione sono la moda, la media e la mediana Moda Si chiama moda di un indagine statistica il valore che ha la frequenza maggiore. In una distribuzione può esserci un solo valore che ha la frequenza maggiore, oppure due valori o più: in tal caso si parla di distribuzione unimodale, bimodale, trimodale, e così via. Per esempio, la moda dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 4. Nel caso dell esercizio 1 la frequenza maggiore è 6, e corrisponde al numero di alunni alti 165 cm. Quindi la moda è 165 cm Media La media aritmetica (o semplicemente media) è la somma di tutti i valori, ciascuno sommato tante volte quante figura nei dati, divisa per il numero dei dati. Per esempio, la media dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è: media = = 35 5 = Numero di alunni % 20% 30% 5% 5% 10% Altezza in cm (a) Istogramma % (b) Diagramma a torta (altezza in cm) Figura 1: Rappresentazioni grafiche del fenomeno altezza degli alunni di quinta

13 1.4 indici statistici Numero di alunni Peso in kg (a) Istogramma % % 10% 25% 5% 5% 10% % (b) Diagramma a torta (peso in kg) Figura 2: Rappresentazioni del fenomeno peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio In presenza di una tabella delle frequenze assolute (come la 3 dell esercizio 1), la media si calcola più agevolmente sommando il prodotto di ciascun valore per la propria frequenza assoluta e dividendo il risultato per il numero dei dati. media = cm = 169 cm Mediana Si dice mediana di un insieme di valori statistici numerici disposti in ordine crescente, ciascuno preso tante volte quante figura nei dati, il valore che occupa il posto centrale se i dati sono in numero dispari, oppure la media aritmetica dei due valori centrali se i dati sono in numero pari. Per esempio, la mediana dei cinque valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 8 (il termine centrale è il terzo, che ha due valori a sinistra e due valori a destra). Per calcolare in maniera semplice qual è o quali sono i termini centrali, basta dividere per 2 il numero totale dei dati. Nell esercizio 1 abbiamo una serie di venti valori. Poiché venti è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali. Poiché 20 diviso 2 fa 10, i termini centrali sono il decimo (che ha nove valori che lo precedono) e l undicesimo (che ha nove valori che lo seguono). Questi valori sono uguali rispettivamente a 166 cm e 168 cm (tabella 8). Quindi la mediana è ( )/2 cm= 167 cm.

14 10 statistica 6 5 Numero di alunni Voto 7 25% 12.5% 6.25% % 6.25% 12.5% 18.75% (a) (b) Figura 3: Rappresentazioni del fenomeno voto di matematica degli alunni di prima Esercizio 3. Supponiamo di aver svolto un indagine statistica sul voto finale di matematica degli alunni iscritti al primo anno dell istituto Versari- Macrelli e di aver raccolto informazioni relative a 16 alunni (tabella 9). Calcola le frequenze relative e percentuali, rappresenta i dati graficamente e calcola gli indici di posizione. In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle prime dell istituto Versari-Macrelli ; le unità statistiche sono gli alunni iscritti al primo anno; la variabile statistica che si vuole studiare è il voto finale di matematica, che è un numero intero (compreso tra 1 e 10) e quindi è una variabile quantitativa. Eseguiamo lo spoglio delle informazioni realizzando la tabella delle frequenza assolute (dove nella prima colonna scriveremo tutti voti registrati e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno riportato quel voto), delle frequenze relative (rapporto tra la frequenza assoluta di un voto e il totale dei voti registrati) e percentuali (tabella 10). La figura 3 mostra l istogramma dei valori e il diagramma a torta. Determiniamo gli indici di posizione. La frequenza maggiore è 4, e corrisponde al numero di alunni che hanno Tabella 8: I valori centrali sono 166 e

15 1.4 indici statistici 11 Tabella 9: Voti finali di matematica di alcuni alunni di prima del Versari-Macrelli Nome Voto Nome Voto Marco 6 Angela 7 Anna 8 Pietro 4 Luigi 5 Giorgia 10 Lucia 9 Michela 6 Francesco 10 Sergio 5 Elena 6 Roberta 5 Carlo 9 Aldo 9 Giulia 6 Giovanna 7 riportato un voto finale pari a 6: quindi la moda è 6. La media è: media = = 7 Per calcolare la mediana conviene riscrivere i valori in ordine crescente (tabella 11). Tabella 11: Voti in ordine crescente Poiché i valori sono sedici, che è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali, che sono l ottavo (che ha sette valori che Tabella 10: Frequenze assolute, relative e percentuali Voto Frequenza Frequenza Frequenza assoluta relativa percentuale 4 1 0,0625 6, , , , , , , ,0625 6, , , , ,50 Totale

16 12 statistica lo precedono) e il nono (che ha sette valori che lo seguono); questi valori sono uguali rispettivamente a 6 e a 7. Quindi la mediana è (6 + 7)/2 = 6, esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Da un indagine sulla distribuzione delle altezze in un gruppo di studenti sono stati rilevati i seguenti valori grezzi (espressi in cm): Raggruppa i valori in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza. Calcola poi frequenza relativa e percentuale. 2 Data la seguente distribuzione dei risultati dei test d ingresso di matematica in una scuola media, sapendo che l indagine è stata svolta su 200 alunni, determina frequenze assolute e relative. Voto Frequenza percentuale 5% 10% 25% 40% 15% 3% 2% Frequenza assoluta Frequenza relativa 3 Rappresenta attraverso un diagramma a torta la seguente tabella statistica, che indica le ore di studio giornaliere di uno studente. Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica Ore di studio Rappresenta con un istogramma i dati riportati nella seguente tabella relativi alla vendita di automobili da un concessionario nell anno Marca automobile Auto vendute Renault 50 Fiat 270 Ford 120 Toota 40 Alfa Romeo 30

17 1.5 esercizi 13 5 Uno studente universitario di Fisica ha superato 28 esami con queste valutazioni: Organizza i valori in una tabella e rappresentali tramite un istogramma. 6 Un insegnante di Fisica, per mostrare che le misure di uno stesso oggetto sono soggette ad errori che dipendono dall osservatore, ha fatto misurare la lunghezza di una cattedra con un metro a ciascun alunno della propria classe. I risultati sono stati i seguenti: Lunghezza (cm) 100,8 100,9 101,0 101,1 101,2 Frequenza Qual è la lunghezza media della cattedra? [101,0] 7 Sono dati i seguenti punteggi a un test sostenuto da un gruppo di otto studenti: 20, 24, 20, 15, 8, 5, 11, 17. Calcola la moda, la media e la mediana. [20, 15, 16] 8 In un gruppo di studenti universitari la valutazione dell esame di biologia risulta così distribuita: 29, 24, 28, 18, 23, 19, 20, 24, 30, 20, 21, 30, 22, 30, 23, 24, 27, 29, 29, 30. a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta i dati in un grafico a piacere c. Calcola moda, media e mediana [30, 25, 24] 9 È stata effettuata un indagine statistica riguardo al numero di libri letti nella scorsa estate. I dati sono raccolti nella seguente tabella: Numero di libri letti Numero di persone a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta i dati in un grafico scelto a piacere c. Calcola moda, media e mediana [0, 2, 1] 10 Indica la risposta corretta. a. Se compi un indagine sul peso degli allievi della tua scuola, la popolazione è costituita? A dagli allievi della scuola C dal peso di ciascun allievo dai pesi degli allievi della tua scuo- B la D da ciascun allievo della scuola

18 14 statistica b. La frequenza percentuale si ottiene: A dividendo la frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute B moltiplicando la frequenza assoluta per 100 C moltiplicando la frequenza relativa per 100 D dividendo la frequenza relativa per 100 c. La mediana: A B C D è la somma dei valori delle singole osservazioni diviso per il loro numero è il valore centrale di un insieme di valori ordinati (se i dati sono dispari) è il valore che si presenta con la massima frequenza in un insieme di valori indica la percentuale di valori al di sopra o al di sotto della media d. Sia data la seguente distribuzione di valori: 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7. Allora, la moda, la media e la mediana valgono rispettivamente: A la moda è 4, la media è 5, la mediana è 6 B la moda è 6, la media è 4, la mediana è 5 C la moda è 6, la media è 5, la mediana è 4 D la moda è 4, la media è 5, la mediana è 5 e. Nella tua classe la moda dell altezza è 165 cm. Questo significa che: A B C D non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente in media gli alunni sono alti 165 cm f. Nella tua classe la media dell altezza è 165 cm. Questo significa che: A B C D non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente la somma delle altezze degli alunni diviso per il numero degli alunni è 165 cm g. Nella tua classe la mediana dell altezza è 165 cm. Questo significa che:

19 1.5 esercizi 15 A B C non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente D in media gli alunni sono alti 165 cm [Una risposta A, due B, due C e due D] 11 Sono state misurate le pulsazioni al minuto di 20 persone ottenendo i seguenti dati: a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta graficamente i dati c. Calcola moda, media e mediana [72, 71, 70] 12 Stabilisci se le seguenti proposizioni sono corrette: se lo sono giustificale, altrimenti mostra che sono false attraverso un controesempio. a. Se due sequenze di numeri hanno la stessa media, allora hanno anche la stessa mediana. V F b. Se due sequenze di numeri hanno la stessa mediana, allora hanno anche la stessa media. V F c. Esistono sequenze di numeri per cui la moda, la media e la mediana coincidono. V F d. La moda di una sequenza di numeri interi è sempre un numero intero. V F e. La mediana di una sequenza di numeri interi è sempre un numero intero. V F [2 affermazioni vere e 3 false] 13 Venti ragazzi sono stati sottoposti a una verifica; i dati seguenti indicano il numero di errori commessi da ciascuno di loro: 3, 0, 0, 5, 1, 6, 8, 3, 9, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 9. a. Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze b. Rappresenta graficamente i dati c. Calcola moda, media e mediana [2, 4, 3] d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno di 5 errori? [60%] 14 I dati riportati in tabella si riferiscono al numero di giorni di assenza degli alunni di una classe.

20 16 statistica Alunno n. giorni Alunno n. giorni Alunno n. giorni Alunno n. giorni Mauro 3 Romeo 8 Bruna 7 Silvia 0 Antonio 6 Anna 3 Pietro 9 Alessio 2 Paola 2 Luca 6 Nicola 1 Patrizia 6 Luisa 1 Amedeo 3 Aldo 5 Franca 9 Carla 0 Marco 1 Luigi 2 Chiara 6 a. Organizza i dati in una tabella comprensiva delle frequenze percentuali b. Rappresenta i dati con un istogramma c. Calcola moda, media e mediana [6, 4, 3] d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno assenze rispetto alla media? [55%] 15 Quattro amici sostengono l Esame di Stato conseguendo punteggi la cui media aritmetica è 77,5/100. Se tre di essi hanno conseguito un punteggio, in centesimi, rispettivamente di 70, 76 e 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente? [90] 16 La media aritmetica di 11 numeri è Se ciascuno degli undici numeri viene diminuito di 10, quanto diventa la loro media aritmetica? [4840] 17 I 25 alunni della terza C, dopo aver raccolto i voti conseguiti nella verifica scritta di matematica, hanno costruito il seguente grafico: % 28% 4 12% 4% 4% 8% 12% Quanti ragazzi hanno conseguito come voto 7? [3] 18 Indica la risposta corretta. a. Lo sfruttamento medio della capacità ricettiva di un albergo è uguale all 88% durante i tre mesi estivi e al 44% durante i rimanenti mesi dell anno. Qual è lo sfruttamento medio relativo all intero anno? A 46% B 50% C 55% D 66% b. Antonio, Carlo, Giovanni, Filippo e Matteo fanno una gara di tiro a segno. Antonio e Filippo totalizzano ciascuno 16 punti, Carlo totalizza 18 punti, Giovanni ne totalizza 14 e Matteo 10. Qual è il punteggio medio realizzato dai cinque amici?

21 1.5 esercizi 17 A 11,6 B 14,8 C 15 D 15,2% c. La media degli studenti promossi da una scuola, nei quattro anni , è stata di 325 studenti l anno, mentre nei cinque anni la media è stata superiore del 20% rispetto al precedente intervallo temporale. Quanti studenti sono stati promossi dalla scuola nel 2014? A 390 B 455 C 600 D 650 d. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è vera. A B C D La mediana di un insieme di dati può essere uguale alla media. La media di un insieme di dati non può mai essere uguale a zero. La moda di un insieme di dati non può mai essere uguale alla mediana. La media di un insieme di dati non può mai essere uguale alla moda. e. Mario, Luigi e Giacomo pesano complessivamente 210 kg. Sapendo che Mario e Luigi pesano rispettivamente 3 kg in meno e 4 kg in più della media aritmetica fra i pesi di tutti e tre, quanto pesa Giacomo? A 68 kg B 69 kg C 70 kg D 71 kg f. Le temperature massime giornaliere registrate a Cesena in una settimana sono le seguenti: Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica Temperatura 29 C 30 C 32 C 31 C 28 C 30 C 30 C Quale delle seguenti affermazioni è falsa? A La temperatura media è quella registrata martedì. B C D La temperatura modale è quella registrata mercoledì. La temperatura mediana è quella registrata sabato. La temperatura mediana è uguale alla temperatura modale. g. Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell anno uno stipendio mensile di 1000 e. Nei 9 mesi successivi lo stipendio mensile è aumentato di 400 e. Qual è lo stipendio medio nell anno di quell impiegato? A 1250 e B 1300 e C 1350 e D 1400 e h. La media dei voti ottenuti in un compito in classe è stata 6 e la mediana 5,5. Il professore decide di alzare tutti i voti di mezzo punto. Allora:

22 18 statistica A la media resta invariata e la mediana aumenta di 0,5 B C la media aumenta di 0,5 e la mediana resta invariata sia la media che la mediana restano invariate D sia la media che la mediana aumentano di 0,5 i. La mamma di Andrea ha firmato sul libretto scolastico i seguenti voti di matematica: 7, 5, 6, 4. Andrea rientra con un quinto voto dell ultimo compito in classe e dice alla mamma: «Ho ottenuto la media aritmetica del 6». Quale voto ha preso Andrea? A 6 B 7 C 8 D 9 j. Uno studio statistico sulle altezze, misurate in metri, dei componenti di una classe di 20 studenti ha condotto ai seguenti risultati. Moda Media Mediana 1,87 m 1,76 m 1,74 m In base a queste informazioni, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? A B Nessuno studente della classe è alto 1,90 m La somma delle altezze degli studenti della classe è 35,2 m C Gli studenti della classe che hanno altezza inferiore a 1,74 m sono 9 D Almeno uno studente della classe ha altezza uguale a 1,76 m [Due risposte A, tre B, due C e tre D]

23 2 M AT E M AT I C A P E R L E C O N O M I A Questo capitolo presenta due applicazioni della matematica in ambito economico: la risoluzione dei problemi di scelta e dei problemi di costi e ricavo. 2.1 problemi di scelta Si dicono problemi di scelta i problemi in cui viene chiesto di operare, fra varie alternative, la scelta più conveniente (secondo un determinato criterio, per esempio quello di massimizzare un profitto o minimizzare una spesa). Esercizio 4. A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di stipendio: contratto A: 1000 euro al mese più 50 euro per ogni polizza stipulata contratto B: 500 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata Determina il contratto più conveniente. Soluzione. È chiaro che non potrà esserci una scelta più conveniente in assoluto : la maggiore o minore convenienza di un contratto dipendono infatti dal numero di polizze stipulate dall assicuratore. Ci proponiamo perciò di determinare qual è la scelta più conveniente a seconda del numero di polizze stipulate. Costruiamo il modello matematico del problema. Indichiamo con il numero (intero 0) di polizze stipulate in un mese e con il corrispondente stipendio in euro: lo stipendio relativo al contratto A è espresso dalla funzione = lo stipendio relativo al contratto B è espresso dalla funzione = Tracciando i grafici delle due funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la scelta più conveniente. Poiché le due funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per comodità tracciamo queste due rette come se fosse una variabile reale (anche se i punti delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere, dato che il dominio di è costituito dall insieme degli interi 0). La figura 4a

24 20 matematica per l economia B: = A: = P A: = P Q R B: = C: = (a) Un problema di massimo stipendio (b) Un problema di minimo costo Figura 4: Problemi di scelta riporta le rette grafico delle due funzioni, in un opportuno sistema di riferimento cartesiano. Per risolvere il problema determiniamo le coordinate del punto d intersezione P delle rette che abbiamo tracciato in figura. A tal fine risolviamo il seguente sistema: { = = da cui { = = = { 50 = 500 = = { = 10 = 1500 Quindi il punto di intersezione è P(10, 1500). La linea di massimo stipendio è evidenziata in figura con maggiore spessore: essa è costituita per < 10 dalla retta corrispondente al contratto A e per > 10 dalla retta corrispondente al contratto B. In conclusione: per un numero di polizze inferiore a 10 conviene il contratto A per un numero di polizze superiore a 10 conviene il contratto B per esattamente 10 polizze è indifferente il contratto A o B

25 2.1 problemi di scelta 21 Esercizio 5. Paolo vuole frequentare una palestra per un mese e deve scegliere tra le seguenti tre proposte: palestra A: costo fisso d iscrizione di 15 euro, più 7 euro per ogni ingresso palestra B: costo fisso d iscrizione di 25 euro, più 5 euro per ogni ingresso palestra C: abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di ingresso Qual è la scelta più conveniente per Paolo? Soluzione. Indichiamo con il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende effettuare in un mese e con la corrispondente spesa in euro: potrà variare nell insieme dei numeri interi compresi tra 0 e 30. Abbiamo che: la spesa per frequentare la palestra A è espressa dalla funzione = la spesa per frequentare la palestra B è espressa dalla funzione = la spesa per frequentare la palestra C è espressa dalla funzione = 85 Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la scelta più conveniente. Poiché le tre funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Come al solito, per comodità tracciamo queste tre rette come se fosse una variabile reale (anche se i punti delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere, perché il dominio di è costituito dai numeri interi compresi tra 0 e 30). La figura 4b riporta le rette grafico delle tre funzioni, in un opportuno sistema di riferimento cartesiano. Determiniamo le coordinate di P (punto di intersezione tra le rette A e B), Q (intersezione tra A e C) e R (intersezione tra B e C), risolvendo i sistemi: { = = = { = = = { = 5 = 50 { = = 85 { = = 85 = { = 85 = 85 { = 85 = { = 10 = 85 { = 12 = 85 = = 85 = Quindi i punti di intersezione sono P(5, 50), Q(10, 85) e R(12, 85). La linea di minimo costo è quella evidenziata nella figura 4b con maggiore spessore: essa è costituita per < 5 dalla retta corrispondente alla palestra A,

26 22 matematica per l economia per 5 < < 12 dalla retta corrispondente alla palestra B e per > 12 dalla retta corrispondente alla palestra C. In conclusione: per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene scegliere la palestra A per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene scegliere la palestra B per un numero di ingressi superiore a 12 conviene scegliere la palestra C per esattamente 5 ingressi è indifferente scegliere la palestra A o la B per esattamente 12 ingressi è indifferente scegliere la palestra B o la C 2.2 problemi di costi e ricavo Nei problemi di ottimizzazione bisogna trovare la soluzione ottimale in base a un dato criterio (massimizzare un profitto o minimizzare un costo, per esempio), determinando il massimo o il minimo di una opportuna funzione. Il costo di ogni bene prodotto o acquistato dipende dalla combinazione di molti fattori: il costo delle materie prime, della manodopera, dei macchinari, eccetera. I costi si dividono in due categorie. Definizione 1. I costi fissi (C F ) non variano al variare della quantità prodotta o acquistata; i costi variabili (C V ), invece, variano al variare della quantità prodotta o acquistata. Esempi di costi fissi sono le spese per l affitto dei locali, lo stipendio dei dipendenti e le spese di assicurazione. Esempi di costi variabili sono le spese per l acquisto delle materie prime, per la manutenzione degli impianti e per il consumo energetico. Definizione 2. Il costo totale (C T ) è la somma dei costi fissi e dei costi variabili: C T = C F + C V Definizione 3. Il ricavo (R) è il denaro che si trae dalla vendita di un prodotto. È dato dalla formula R = p dove p è il prezzo di vendita di un singolo oggetto e il numero di oggetti venduti.

27 2.2 problemi di costi e ricavo 23 Definizione 4. Il profitto (o guadagno) è l utile realizzato dall azienda. È dato dalla formula P = R C T e quindi si calcola sottraendo il costo totale dal ricavo. Si può rappresentare graficamente l andamento del profitto in funzione della quantità di beni venduti (grafico del profitto), oppure si possono rappresentare in uno stesso piano cartesiano l andamento dei costi e del ricavo (diagramma di redditività). In questi grafici si possono individuare alcuni elementi essenziali: la zona di perdita, in cui il ricavo è minore del costo totale la zona di utile, in cui il ricavo è maggiore del costo totale il punto di pareggio (Break Even Point, in inglese, spesso denotato con BEP), che divide la zona di perdita dalla zona di utile, e che corrisponde al valore della quantità di beni venduti per cui ricavo e costo totale si equivalgono Esercizio 6. Un commerciante acquista olio d oliva al costo di 7 euro al litro e lo rivende a 12 euro al litro. Per il trasporto sostiene costi fissi giornalieri di 60 euro. Descrivi l andamento del profitto giornaliero in funzione dei litri d olio venduti. Soluzione. Indichiamo con i litri d olio venduti in un giorno. Non ci sono vincoli tecnici: il commerciante può vendere tutto l olio che i suoi clienti gli chiedono. L unico vincolo cui è soggetto è il vincolo di segno : 0 I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 60 euro al giorno: C F = 60 I costi variabili sono di 7 euro al litro per il numero di litri venduti: C V = 7 Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili: C T =

28 24 matematica per l economia Zona di utile P Zona di utile R C T BEP Zona di perdita BEP C V 60 Zona di perdita (a) Grafico del profitto (b) Diagramma di redditività C F Figura 5: Un problema di ottimizzazione senza vincoli tecnici Il ricavo è di 12 euro al litro per il numero di litri venduti: R = 12 Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale: P = R C T = 12 (7 + 60) = 5 60 Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto d intersezione del grafico con l asse, risolvendo il sistema: { = 5 60 = 0 = { 5 60 = 0 = 0 = { 5 = 60 = 0 = { = 12 = 0 Quindi il punto di intersezione è (12, 0). La figura 5a rappresenta il grafico della funzione profitto: se vende meno di 12 litri d olio, cioè se 0 < 12, il commerciante è in perdita in quanto per tali valori la funzione profitto è negativa = 12 è il punto di pareggio per tutti i valori superiori a 12 il commerciante ha un profitto positivo: quanto più grande è > 12, tanto più grande è il profitto In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 5b rappresenta le rette grafico delle funzioni C F, C V, C T ed R. Per determinare il punto di pareggio troviamo il punto di intersezione tra la funzione

29 2.2 problemi di costi e ricavo Zona di utile P Zona di utile R 40 BEP Zona di perdita BEP C T C V 60 Zona di perdita (a) Grafico del profitto 60 C F (b) Diagramma di redditività Figura 6: Un problema di ottimizzazione con un vincolo tecnico che rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il sistema: { { = = = 12 = = 12 = Il punto di pareggio si ha dunque per = 12. Quindi: se 0 < 12 il commerciante è in perdita { 5 = 60 = 12 se = 12 il commerciante non ha né profitto né perdita se > 12 il commerciante ha un profitto positivo Le conclusioni coincidono con quelle trovate in precedenza. = { = 12 = 144 Esercizio 7. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione che il commerciante può trasportare al massimo 20 litri d olio al giorno. Quanti litri d olio deve vendere per avere il massimo profitto? Qual è il massimo profitto? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio? Soluzione. L unica differenza rispetto all esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico 20. Determiniamo il punto di intersezione del grafico della funzione profitto con la retta = 20. { = 5 60 = 20 = { = = 20 = { = 40 = 20 Quindi il punto di intersezione è (20, 40). La figura 6a rappresenta il grafico della funzione profitto. Abbiamo che:

30 26 matematica per l economia se vende meno di 12 litri d olio, cioè se 0 < 12, il commerciante è in perdita per = 12 il commerciante non ha né utile né perdita (break even point) per tutti i valori superiori a 12 fino al massimo trasportabile 20, cioè per 12 < 20, il commerciante ha un profitto positivo il profitto è crescente e raggiunge il massimo, pari a 40 euro, in corrispondenza della quantità d olio massima trasportabile, cioè per = 20 In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 6b rappresenta le rette grafico delle funzioni C F, C V, C T ed R. Il massimo profitto si ha quando la differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero per = 20, per cui R(20) P(20) = ( ) = = 40 e l analisi economica coincide con quella fatta in precedenza. Esercizio 8. Un lattaio acquista il latte sfuso a 0,6 euro al litro e lo rivende a 1,4 euro al litro. Ogni giorno spende 10 euro di trasporto e il recipiente in cui tiene il latte ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? Qual è il massimo guadagno? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio? Soluzione. Indichiamo con i litri venduti in un giorno. Acquistando e vendendo il latte sfuso, può non essere intero. Oltre al vincolo di segno 0 c è il vincolo tecnico dovuto alla capienza del recipiente, pari a 30 litri. Quindi: 0 30 I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 10 euro al giorno: C F = 10 I costi variabili sono di 0,6 euro al litro per il numero di litri venduti: C V = 0,6 Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili: C T = 0,6 + 10

31 2.2 problemi di costi e ricavo P Zona di utile BEP 12, ,5 10 Zona di utile Zona di perdita BEP R C T C V C F Zona di perdita (a) Grafico del profitto 12,5 (b) Diagramma di redditività 30 Figura 7: Un altro problema di ottimizzazione con vincolo tecnico Il ricavo è di 1,4 euro al litro per il numero di litri venduti: R = 1,4 Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale: P = R C T = 1,4 (0,6 + 10) = 0,8 10 Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto d intersezione del grafico con l asse. A tal fine risolviamo il seguente sistema: { = 0,8 10 = 0 = { 0,8 10 = 0 = 0 = { 0,8 = 10 = 0 = { = 12,5 = 0 Quindi il punto di intersezione è (12,5, 0). Determiniamo inoltre il punto di intersezione del grafico con la retta = 30. { = 0,8 10 = 30 = { = 0, = 30 = { = 14 = 30 Quindi il punto di intersezione è (30, 14). La figura 7a descrive il grafico della funzione profitto. lattaio: Possiamo dire che il è in perdita se vende meno di 12,5 litri è in pareggio se vende esattamente 12,5 litri (break even point) realizza un guadagno se vende più di 12,5 litri

32 28 matematica per l economia realizza il massimo guadagno (14 euro) se vende tutti e 30 i litri di latte In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 7b rappresenta le rette grafico delle funzioni C F, C V, C T ed R. Per trovare il break even point troviamo il punto di intersezione tra la funzione che rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il sistema: { = 0, = 1,4 = { 1,4 = 0, = 1,4 = { 0,8 = 10 = 1,4 = { = 12,5 = 17,5 Il break even point si ha dunque per = 12,5. Il massimo profitto si ha quando la differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero per = 30, per cui R(30) P(30) = 1,4 30 (0, ) = = 14 e l analisi economica coincide con quella fatta in precedenza. Esercizio 9. Un azienda agricola produce vino di pregio. Il costo di produzione mensile comporta costi fissi di 5000 euro, più 40 euro per ogni bottiglia di vino prodotto. L azienda sostiene inoltre delle spese di vendita pari in euro al 10% del quadrato del numero di bottiglie vendute. Ogni bottiglia viene venduta a 100 euro. Descrivi l andamento del profitto mensile in funzione delle bottiglie vendute. Soluzione. Indichiamo con il numero di bottiglie di vino vendute in un mese. L unico vincolo cui è soggetto è il vincolo di segno (in alte parole, non ci sono vincoli tecnici): 0 La situazione è allora la seguente. I costi fissi (indipendenti dal numero di bottiglie vendute) sono di 5000 euro al mese: C F = 5000 Le spese di vendita sono in euro pari al 10% del quadrato del numero di bottiglie vendute: = 0,1 2 I costi variabili sono di 40 euro per ogni bottiglia venduta più le spese di vendita: C V = ,1 2

33 2.2 problemi di costi e ricavo Zona di utile BEP BEP Zona di perdita (a) Zona di utile BEP BEP Zona di perdita (b) Zona di utile BEP BEP Zona di perdita (c) Figura 8: Un problema di ottimizzazione di secondo grado

34 30 matematica per l economia Il costo totale è la somma dei costi fissi e del costi variabili: C T = C F + C V = ,1 2 Il ricavo è di 100 euro per il numero di bottiglie vendute: R = 100 Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale: P = R C T = 100 ( ,1 2 ) = 0, Quest ultima è la funzione da massimizzare. Dal punto di vista della geometria analitica il grafico della funzione è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente di 2 negativo, questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Tracciamo il grafico della parabola. Troviamo il punto di intersezione della parabola con l asse risolvendo il sistema fra l equazione della parabola e l equazione dell asse, ovvero = 0: { = 0, = 0 = { = 5000 = 0 Quindi la parabola interseca l asse nel punto (0, 5000). Troviamo le intersezioni con l asse risolvendo il sistema fra l equazione della parabola e l equazione dell asse, ovvero = 0: { = 0, da cui = 0 0, = 0 = = 0 = ( 100)( 500) = 0 ovvero = 100 = 500 Quindi la parabola interseca l asse nei punti (100, 0) e (500, 0), ciascuno dei quali è un punto di pareggio. L ascissa del vertice V è la media delle ascisse delle intersezioni con l asse : V = = 300 Sostituiamo il valore trovato nell equazione della parabola: V = 0,1(300) = = 4000 Quindi: V = (300, 4000)

35 2.2 problemi di costi e ricavo 31 La figura 8a rappresenta la situazione. La funzione cresce fra 0 e 300; a 300 raggiunge il valore massimo (che corrisponde al massimo profitto per l azienda) e poi decresce. Possiamo quindi concludere che l azienda: se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita se vende 100 bottiglie, è in pareggio se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 500, guadagna; in particolare, ha il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro se vende 500 bottiglie, è in pareggio se vende più di 500 bottiglie è in perdita In questo caso alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie. Esercizio 10. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione che l azienda non può produrre più di 400 bottiglie al mese. Soluzione. L unica differenza rispetto all esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico 400. La figura 8b evidenzia questo vincolo. Rispetto al caso precedente, la situazione non cambia di molto. Infatti l azienda: se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita se vende 100 bottiglie, è in pareggio se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 400, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro se vende 400 bottiglie (massimo valore di produzione), guadagna 3000 euro (valore ottenuto sostituendo 400 alla nell equazione della parabola) L analisi si ferma a 400 litri per la presenza del vincolo di produzione. Questo vincolo non provoca però cambiamenti significativi perché, come abbiamo già osservato, alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie di vino al mese.

36 32 matematica per l economia Esercizio 11. Consideriamo ancora il problema 9 dell azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l azienda non può produrre più di 200 bottiglie al mese. Soluzione. La figura 8c mostra il nuovo vincolo tecnico 200. In questo caso l azienda: se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita se vende 100 bottiglie, è in pareggio se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 200, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 200 bottiglie, guadagnando 3000 euro (valore ottenuto sostituendo 200 alla nell equazione della parabola) Questa volta il vincolo tecnico cambia notevolmente l analisi economica: infatti, non potendo raggiungere la produzione ideale di 300 bottiglie al mese, il massimo profitto si ottiene producendo il maggior numero di bottiglie consentite. 2.3 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Problemi di scelta 1 Per il noleggio di un auto due diverse ditte offrono le seguenti condizioni: la ditta A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio la ditta B non applica alcun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l auto, qual è la scelta più conveniente. [Per un solo giorno di noleggio conviene la ditta B, per più di due giorni conviene la ditta A, per due giorni è indifferente]

37 2.3 esercizi 33 2 Per produrre un certo prodotto un azienda può usare due macchinari diversi, che chiamiamo A e B. Il macchinario A richiede 20 minuti di preparazione e produce tre oggetti al minuto; il macchinario B richiede 10 minuti di preparazione e produce due oggetti al minuto. Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare meno tempo. [Volendo produrre meno di 60 oggetti è più conveniente scegliere B; per più di 60 oggetti è più conveniente A; per 60 oggetti è indifferente] 3 Una fabbrica deve scegliere se produrre: un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di 10 euro per metro di tessuto oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un ricavo di 15 euro per metro di tessuto Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente, la produzione più conveniente. [Volendo produrre meno di 200 metri di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del tipo A; volendo produrre più di 200 metri di tessuto conviene produrre il tessuto B; per 200 metri la scelta è indifferente] 4 Per il trasporto di una certa merce due ditte applicano le seguenti condizioni: la ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce trasportata la ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce trasportata Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la scelta più conveniente. [Fino a 50 quintali conviene la ditta B; per più di 50 quintali conviene la ditta A; per 50 quintali è indifferente] 5 Una banca propone tre diverse forme di investimento: un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più conveniente. [Per capitali fino a euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i euro il terzo, per un capitale di euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la terza forma di investimento] 6 Tre differenti aziende telefoniche applicano le seguenti tariffe:

38 34 matematica per l economia l azienda A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi per ogni minuto di conversazione; l azienda B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi per ogni minuto di conversazione; l azienda C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza costi fissi. Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente. [Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4 minuti è indifferente B o C] 7 Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per un certo periodo di tempo in un porticciolo gestito da un club nautico. Ha le seguenti possibilità: prendere in affitto il posto barca per l intera stagione estiva (dal primo giugno al 30 settembre), pagando 3600 euro pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la tariffa di ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio. [Per meno di 5 giorni conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni conviene iscriversi al club; per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l intera stagione; per 5 giorni è indifferente pagare la tariffa di ormeggio o iscriversi al club; per 70 giorni è indifferente iscriversi al club o affittare per l intera stagione] 8 A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forme di retribuzione: la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori venduti in un mese. [Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per vendite tra i 5 e i 20 televisori conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la terza; per 5 televisori è indifferente la prima o la seconda; per 20 televisori è indifferente la seconda o la terza] 9 Per fabbricare dei bulloni un azienda può usare tre macchinari diversi, che chiamiamo A, B e C:

39 2.3 esercizi 35 il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il minimo tempo complessivo (intendendo come tempo complessivo la somma del tempo di preparazione e di quello di produzione). [Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B; per più di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è indifferente B o C] 10 A un assicuratore vengono offerte tre diverse forme di contratto: 1000 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata in quel mese 1200 euro al mese più 75 euro per ogni polizza stipulata in quel mese 1500 euro, indipendentemente dal numero di polizze stipulate Stabilisci, in dipendenza del numero di polizze che l assicuratore stipula in un mese, il contratto più conveniente. [Per meno di 4 polizze conviene C, per 4 polizze è indifferente B o C, per 5, 6 o 7 polizze conviene B, per 8 polizze è indifferente A o B, per più di 8 polizze conviene A] Problemi di costi e ricavo 11 Una fabbrica che produce e vende magliette a 10 e l una sostiene costi fissi mensili di 9000 e e costi variabili pari a 4 e per ogni maglietta prodotta. Determina il punto di pareggio e la zona di utile. [Il punto di pareggio si ha per 1500 magliette vendute. La zona di utile è > 1500, dove è il numero di magliette vendute.] 12 Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo 4000 magliette al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 4000 magliette vendute ed è e. è 1500 < 4000, dove è il numero di magliette vendute.] La zona di utile 13 Una fabbrica che produce e vende televisori a 1000 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili pari a 500 e per ogni televisore venduto. Determina il punto di pareggio e la zona di utile. [Il punto di pareggio si ha per 400 televisori venduti. La zona di utile è > 400, dove è il numero di televisori venduti.]

40 36 matematica per l economia 14 Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo 1000 televisori al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 1000 televisori venduti ed è e. è 400 < 1000, dove è il numero di televisori venduti.] La zona di utile 15 Una fabbrica che produce e vende caramelle a 1 e al pacchetto sostiene costi fissi mensili di 6000 e e costi variabili pari a 0,70 e per ogni pacchetto venduto. Determina il punto di pareggio e la zona di utile. [Il punto di pareggio si ha per pacchetti di caramelle venduti. è > , dove è il numero di pacchetti di caramelle venduti.] La zona di utile 16 Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo pacchetti di caramelle al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per pacchetti di caramelle venduti ed è e. La zona di utile è < , dove è il numero di pacchetti di caramelle venduti.] 17 Una segheria che produce e vende truciolato a 100 e al quintale sostiene costi fissi mensili di 2750 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni quintale prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di quintali venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < < 550, dove è il numero dei quintali venduti.] 18 Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la segheria possa produrre al massimo 400 quintali al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < 400.] 19 Consideriamo l esercizio 17, aggiungendo la condizione che la segheria possa produrre al massimo 200 quintali al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 200 quintali venduti ed è 5250 e. La zona di utile è 50 < 200.] 20 Una fabbrica che produce e vende borse a 120 e l una sostiene costi fissi mensili di 7000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni borsa prodotta e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di borse vendute. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < < 700, dove è il numero di borse vendute.]

41 2.3 esercizi Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo 500 borse al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < 500, dove è il numero di borse vendute.] 22 Consideriamo l esercizio 20, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo 200 borse al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 200 borse vendute ed è 5000 e. La zona di utile è 100 < 200, dove è il numero di borse vendute.] 23 Una fabbrica che produce e vende scarpe a 100 e al paio sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili pari a 50 e per ogni paio di scarpe venduto. La fabbrica può produrre al massimo 4000 paia di scarpe al mese. Determina il punto di pareggio, la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il punto di pareggio si ha per 1200 paia di scarpe vendute. Il massimo profitto si ha per 4000 paia di scarpe vendute ed è e. La zona di utile è 1200 < 4000, dove è il numero di paia di scarpe vendute.] 24 Una fabbrica che produce e vende jeans a 80 e al paio sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili pari a 30 e per ogni paio di jeans venduto. La fabbrica può produrre al massimo 2000 paia di jeans al mese. Determina il punto di pareggio, la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il punto di pareggio si ha per 600 paia di jeans venduti. Il massimo profitto si ha per 2000 paia di jeans venduti ed è e. La zona di utile è 600 < 2000, dove è il numero di paia di jeans venduti.] 25 Una fabbrica che produce e vende orologi a 200 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per ogni orologio prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di orologi venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 600 orologi venduti ed è e. La zona di utile è 200 < < 1000, dove è il numero di orologi venduti.] 26 Una fabbrica che produce e vende telefoni cellulari a 400 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 200 e per ogni cellulare prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di cellulari venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 1000 cellulari venduti ed è e. La zona di utile è 500 < < 1500, dove è il numero di cellulari venduti.]

42 38 matematica per l economia 27 Una fabbrica che produce e vende caschi da moto a 300 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 100 e per ogni casco prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del numero di caschi venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è e. La zona di utile è 200 < < 800, dove è il numero di caschi venduti.] 28 Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa produrre al massimo 600 caschi al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è e. La zona di utile è 200 < 600, dove è il numero di caschi venduti.] 29 Una fabbrica che produce e vende contenitori speciali a 200 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per ogni contenitore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del numero di contenitori venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 300 contenitori venduti ed è 8000 e. La zona di utile è 100 < < 500, dove è il numero di contenitori venduti.] 30 Una fabbrica che produce e vende camicie a 90 e l una sostiene costi fissi mensili di 2625 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 30 e per ogni camicia prodotta e costi di vendita mensili pari, in euro, al 15% del quadrato del numero di camicie vendute. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 200 camicie vendute ed è 3375 e. La zona di utile è 50 < < 350, dove è il numero di camicie vendute.] 31 Una fabbrica che produce e vende zaini a 60 e l uno sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 20 e per ogni zaino prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all 1% del quadrato del numero di zaini venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 2000 zaini venduti ed è e. La zona di utile è 1000 < < 3000, dove è il numero di zaini venduti.] 32 Una distilleria che produce e vende liquore a 40 e al litro sostiene costi fissi mensili di e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 12 e per ogni litro di liquore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all 1% del quadrato del numero di litri di liquore venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 1400 litri di liquore venduti ed è 8100 e. La zona di utile è 500 < < 2300, dove è il numero di litri di liquore venduti.]

43 2.3 esercizi Consideriamo l esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la distilleria possa produrre al massimo 1000 litri di liquore al mese. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile. [Il massimo profitto si ha per 1000 litri di liquore venduti ed è 6500 e. La zona di utile è 500 < 1000, dove è il numero di litri di liquore venduti.] 34 Alcune famiglie affittano una residenza estiva da 65 posti per risparmiare sulla vacanza. Pagano 90 e a testa per una settimana, più 2 e a testa per ogni posto che rimane vuoto. Quanti posti devono rimanere vuoti perché il proprietario della residenza ottenga il massimo ricavo? Soluzione. Se è il numero di posti occupati (e quindi 65 è il numero di posti vuoti) e il ricavo del proprietario, si ha che = (65 ) = = Il valore di che rende massimo il ricavo del proprietario è l ascissa del vertice V della parabola definita dall equazione precedente: V = = 55 Quindi i posti che devono rimanere vuoti sono = 10.

44

45 3 D I S E Q U A Z I O N I 3.1 intervalli sulla retta reale Definizione 5. Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R: (a, b) = { a < < b } intervallo aperto e limitato (a e b sono esclusi) [a, b] = { a b } intervallo chiuso e limitato (a e b sono inclusi) [a, b) = { a < b } intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, e limitato (a è incluso, b è escluso) (a, b] = { a < b } intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, e limitato (a è escluso, b è incluso) (a, + ) = { > a } intervallo aperto e superiormente illimitato (a è escluso) [a, + ) = { a } intervallo chiuso e superiormente illimitato (a è incluso) (, a) = { < a } intervallo aperto e inferiormente illimitato (a è escluso) (, a] = { a } intervallo chiuso e inferiormente illimitato (a è escluso) I numeri a e b si chiamano estremi dell intervallo. Ciascuno degli intervalli così definiti si può rappresentare sulla retta reale: gli intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo qualche esempio. Esercizio 12. Rappresenta graficamente l intervallo (, 3) = { < 3 }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto 3. L intervallo è rappresentato da tutti i punti della semiretta che precedono il numero 3, escluso 3.

46 42 disequazioni 3 Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all intervallo. Per mettere in evidenza che 3 non appartiene alla semiretta abbiamo messo un pallino vuoto sul punto. Esercizio 13. Rappresenta graficamente l intervallo [ 5, + ) = { 5 }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto 5; l intervallo è rappresentato dalla semiretta di tutti i punti che seguono 5, incluso lo stesso 5. 5 Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all intervallo. Per indicare che il punto 5 appartiene all intervallo abbiamo messo un pallino pieno sul punto. Esercizio 14. Rappresenta graficamente l intervallo ( 2, 6) = { 2 < < 6 }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale i punti 2 e 6. L intervallo è rappresentato dal segmento che ha per estremi questi due punti. 2 6 Abbiamo come al solito disegnato il segmento con una linea più spessa. Poiché i due estremi del segmento sono esclusi, su ciascuno di essi abbiamo messo un pallino vuoto. Esercizio 15. Rappresenta graficamente l intervallo ( 2, 6] = { 2 < 6 }. Soluzione. Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l intervallo è chiuso a destra, ovvero il punto 6 è incluso nell intervallo, mentre il punto 2 è escluso. 2 6 La figura precedente rappresenta l intervallo.

47 3.2 diseguaglianze e disequazioni 43 Esercizio 16. Rappresenta graficamente l intervallo [2, 6] = { 2 6 }. Soluzione. Il segmento che rappresenta l intervallo contiene tutti e due i suoi estremi. 2 6 La figura precedente rappresenta l intervallo. 3.2 diseguaglianze e disequazioni Consideriamo le seguenti proposizioni: «1 è minore di 2» «3 è un numero negativo» «il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero» «togliendo 2 da un numero, si ottiene un numero positivo» Esse si possono tradurre in linguaggio matematico usando i simboli > (maggiore), < (minore), (maggiore o uguale) e (minore o uguale). Precisamente: 1 < 2 3 < > 0 Le formule che contengono solo numeri (come le prime due) si dicono diseguaglianze; quelle che contengono numeri e variabili (come le ultime due) si dicono disequazioni. Definizione 6. Chiamiamo disuguaglianza una formula contenente solo numeri e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), (minore o uguale), (maggiore o uguale). Definizione 7. Chiamiamo disequazione una formula contenente numeri, variabili e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), (minore o uguale), (maggiore o uguale). Una diseguaglianza è o vera o falsa: per esempio, la disuguaglianza 1 < 2 è vera, mentre 3 < 0 è falsa. Una disequazione, invece, in generale è vera per certi valori sostituiti alla variabile e falsa per altri. Per esempio, la disequazione 2 > 0 è vera se = 3, ma è falsa se = 1.

48 44 disequazioni Definizione 8. L insieme dei valori che sostituiti all incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera è l insieme soluzione della disequazione (lo indicheremo con S). Risolvere una disequazione significa trovarne l insieme soluzione. Definizione 9. Chiamiamo incognite le variabili che compaiono nella disequazione, e chiamiamo primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza. 3.3 principi di equivalenza Vediamo come risolvere una disequazione, ovvero come trovarne l insieme soluzione. Premettiamo la seguente definizione: Definizione 10. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione. Principio 1 (Primo principio di equivalenza). Sommando o sottraendo a ciascuno dei due membri di una disequazione uno stesso numero, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Questo principio ci permette in pratica di spostare un addendo da un membro all altro della disequazione cambiandogli segno, o di eliminare da entrambi i membri gli addendi uguali. Principio 2 (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Principio 3 (Terzo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il verso cambiato. Nei paragrafi successivi vedremo come risolvere una disequazione applicando i tre principi delle disequazioni.

49 3.4 disequazioni lineari disequazioni lineari Definizione 11. Una disequazione si dice intera se, eventualmente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme normali: P() 0 P() > 0 P() 0 P() < 0 dove P() è un polinomio. Si dice grado della disequazione il grado di P(). Una disequazione di primo grado si dice lineare. Per esempio: 2 4 > 0 è una disequazione lineare è una disequazione di secondo grado < 0 è una disequazione di terzo grado In questo paragrafo studieremo le disequazioni lineari, i cui coefficienti sono numeri razionali. Per risolvere una disequazione di questo tipo si procede come segue: si portano tutti i termini con l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro si sommano i monomi simili si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell incognita (cambiando il verso della disequazione se tale coefficiente è negativo) si semplificano le frazioni e si scrive l insieme soluzione Esercizio 17. Risolvi la disequazione 5 2 > Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all altro: 5 3 > Sommiamo i monomi simili: 2 > 6

50 46 disequazioni Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della, applicando il secondo principio delle disequazioni. È fondamentale osservare che tale coefficiente è 2, che è un numero positivo: quindi il verso della disequazione non cambia. 2 2 > 6 = > 3 2 Quindi l insieme soluzione è l intervallo: 3 S = { > 3 } = (3, + ) Esercizio 18. Risolvi la disequazione > Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all altro: 3 5 > 5 1 = 2 > 4 Il coefficiente dell incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per 2 e cambiamo il verso della disequazione, applicando il terzo principio delle disequazioni: 2 2 < 4 = < 2 2 L insieme soluzione è l intervallo: 2 S = { < 2 } = (, 2) Esercizio 19. Risolvi la disequazione 4(2 1) + 4 2( 3 6). Soluzione. Svolgiamo i calcoli: = = 2 12 = 6 L insieme soluzione è l intervallo: 6 S = { 6 } = [6, + )

51 3.4 disequazioni lineari 47 Esercizio 20. Risolvi la disequazione ( + 1) ( 1)2. 4 Soluzione. Sommiamo le frazioni algebriche: ( + 1) 2 2(2 + 3) 4 ( 1)2 4 Moltiplichiamo entrambi i membri per 4, che è un numero positivo: ( + 1) 2 2(2 + 3) 4 ( 1)2 4 = ( + 1) 2 2(2 + 3) ( 1) 2 Svolgiamo i calcoli: = = 2 4 Il coefficiente dell incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per 2 cambiando il verso della disequazione: = 2 Quindi: 2 S = { 2 } = (, 2] Esercizio 21. Risolvi la disequazione 1 2 ( + 5) > 1 (3 ). 2 Soluzione. Sommiamo le frazioni algebriche: > 3 2 Moltiplichiamo entrambi i membri per 2, che è un numero positivo: > 3 2 = > 3 = 0 > 2

52 48 disequazioni Come si vede, l incognita è scomparsa. Abbiamo ricondotto la disequazione a una disuguaglianza vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore dell incognita : S = R Esercizio 22. Risolvi la disequazione ( + 2) 2 4( + 1) < 2 1. Soluzione. Svolgiamo i calcoli: < 2 1 = 0 < 1 che è una disuguagolianza falsa. Dunque la disequazione è impossibile, ovvero non ha soluzioni: S = Esercizio 23. Risolvi la disequazione ( 1) < 2 2. Soluzione. Svolgiamo i calcoli: < 2 2 = < 2 1 = 3 < 3 = < 1 Quindi: 1 S = { < 1 } = (, 1) Esercizio 24. Risolvi la disequazione Soluzione. Il mcm dei denominatori è 10. Quindi: 5(2 3) ( + 3) 10 Moltiplichiamo entrambi i membri per 10, che è un numero positivo: 5(2 3) 10 ( + 3) = = = 2 Quindi:

53 3.4 disequazioni lineari 49 2 S = { 2 } = [2, + ) Esercizio 25. Risolvi la disequazione > Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti: Quindi: 6 34 > 27 1 = 28 > 28 = < 1 1 S = { < 1 } = (, 1) Osserviamo che nell esercizio precedente avremmo potuto ricavare, portando le a destra e i termini noti a sinistra: > 34 6 = 28 > 28 Leggendo la relazione da destra a sinistra: 28 < 28 = < 1 che coincide con il risultato precedente. In generale, si può isolare l incognita in modo che il suo coefficiente risulti positivo, portandola nel membro più opportuno. Esercizio 26. Risolvi la disequazione 1 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) < Soluzione. Svolgiamo i calcoli: Il mcm dei denominatori è 6. Quindi: < < = < + 3 = 0 < 3 La disequazione si riduce dunque alla disuguaglianza 0 < 3, che è vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore dell incognita :

54 50 disequazioni S = R Se nella disequazione precedente ci fosse stato > al posto di <, avremmo ottenuto la disuguaglianza 0 > 3, che è falsa. Dunque la disequazione non avrebbe avuto soluzioni, ossia S =. Esercizio 27. Risolvi ( 1 )( + 1 ) ( )( + 1 ) Soluzione. Svolgiamo i calcoli: = Il mcm dei denominatori è 10: = = 13 0 = 0 Quindi: 0 S = { 0 } = (, 0] 3.5 disequazioni di secondo grado Definizione 12. Una disequazione di secondo grado è detta in forma normale se si presenta in una delle seguenti forme: a 2 + b + c 0 a 2 + b + c > 0 a 2 + b + c 0 a 2 + b + c < 0 dove a, b e c sono numeri reali, con a 0. È sempre possibile portare una disequazione di secondo grado in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro e sommando i monomi simili.

55 3.5 disequazioni di secondo grado 51 Esercizio 28. Porta la disequazione in forma normale. Soluzione. Trasportiamo a sinistra tutti i termini e sommiamo i monomi simili: = Definizione 13. Data una disequazione di secondo grado, si chiama equazione associata l equazione che si ottiene sostituendo il simbolo di disuguaglianza con l uguale. Esercizio 29. Risolvi l equazione associata alla disequazione Soluzione. Per scrivere l equazione associata basta sostituire l uguale al simbolo di maggiore: = 0 = ( 1)( 3) = 0 da cui = 1 = 3 Definizione 14. Data una disequazione di secondo grado in forma normale, si chiama parabola associata la parabola che si ottiene ponendo uguale al primo membro della disequazione. Esercizio 30. Traccia la parabola associata alla disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre uguale al primo membro della disequazione: = Poiché il coefficiente di 2 è 1, che è positivo, la parabola volge la concavità verso l alto. Inoltre la parabola interseca l asse nei punti che corrispondono alle soluzioni dell equazione associata = 0 che abbiamo trovato nell esercizio precedente, ovvero 1 e 3.

56 52 disequazioni 1 3 La figura precedente rappresenta la parabola in questione. Esercizio 31. Disegna la parabola associata alla disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre uguale al primo membro della disequazione. = Poiché il coefficiente di 2 è 1, che è negativo, la parabola volge la concavità verso il basso. Inoltre la parabola interseca l asse nei punti che corrispondono alle soluzioni dell equazione associata: = 0 = 2 = 9 = = ±3 3 3 La figura precedente rappresenta la parabola in questione. Per risolvere una disequazione di secondo grado si procede come segue: si porta la disequazione in forma normale si risolve l equazione associata si disegna la parabola associata si individua l insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione: il primo membro della disequazione ha segno positivo quando la parabola sta sopra l asse, negativo quando sta sotto l asse, e si annulla quando interseca l asse

57 3.5 disequazioni di secondo grado 53 Esercizio 32. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. L equazione associata ha per soluzioni 1 e 3 (vedi l esercizio 29). La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse (cioè lo tocca in due punti distinti: vedi l esercizio 30). 1 3 Individuiamo l insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 1 3 Abbiamo disegnato con una linea più spessa i punti che costituiscono l insieme soluzione, evidenziando con un pallino pieno gli estremi dell intervallo 1 e 3 per indicare che essi appartengono all insieme soluzione. In conclusione, l insieme soluzione è: S = { 1 3 } = (, 1] [3, ) Esercizio 33. Risolvi la disequazione > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse. 1 3

58 54 disequazioni Abbiamo evidenziato con un pallino vuoto gli estremi dell intervallo 1 e 3 per indicare che essi non appartengono all insieme soluzione, che é: S = { < 1 > 3 } = (, 1) (3, ) Esercizio 34. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca. 1 3 Quindi: S = { 1 3 } = [1, 3] Esercizio 35. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse. 1 3 Quindi: S = { 1 < < 3 } = (1, 3) Esercizio 36. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( 2) 2 = 0 = 2 = 0 = = 2

59 3.5 disequazioni di secondo grado 55 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è tangente all asse (cioè lo tocca in un solo punto). 2 La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni diverso da 2) o lo interseca (cosa che avviene per = 2). 2 La disequazione è sempre verificata: S = R Esercizio 37. Risolvi la disequazione > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni diverso da 2). 2 Quindi la disequazione è verificata per ogni diverso da 2: S = R \ { 2 }

60 56 disequazioni Esercizio 38. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai) o lo interseca (cosa che avviene nel punto = 2). 2 Quindi: S = { 2 } Esercizio 39. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai). 2 La disequazione è impossibile: S = Esercizio 40. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. L equazione associata = 0 è impossibile, perché = = 3 < 0.

61 3.5 disequazioni di secondo grado 57 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è esterna all asse (cioè non lo interseca mai). La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene sempre) o lo interseca. Quindi la disequazione è sempre verificata: S = R Esercizio 41. Risolvi la disequazione > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene sempre). Come nell esercizio precedente, la disequazione è sempre verificata: S = R

62 58 disequazioni Esercizio 42. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca (cosa che non avviene mai). La disequazione è impossibile: S = Esercizio 43. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai). Come nell esercizio precedente, la disequazione è impossibile: S = La figura 9 rappresenta tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0. Esercizio 44. Risolvi la disequazione

63 3.5 disequazioni di secondo grado 59 a 2 + b + c 0 > 0 a 2 + b + c > 0 > 0 a 2 + b + c 0 > 0 a 2 + b + c < 0 > (a) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e 2, e la disequazione è verificata se 1 oppure 2 (b) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e 2, e la disequazione è verificata se < 1 oppure > 2 (c) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e 2, e la disequazione è verificata se 1 2 (d) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e 2, e la disequazione è verificata se 1 < < 2 a 2 + b + c 0 = 0 a 2 + b + c > 0 = 0 a 2 + b + c 0 = 0 a 2 + b + c < 0 = (e) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è sempre verificata (f) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è verificata per ogni 1 (g) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è verificata solo se = 1 (h) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione non è mai verificata a 2 + b + c 0 < 0 a 2 + b + c > 0 < 0 a 2 + b + c 0 < 0 a 2 + b + c < 0 < 0 (i) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione è sempre verificata (j) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione è sempre verificata (k) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione non è mai verificata (l) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione non è mai verificata Figura 9: Tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0

64 60 disequazioni Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l equazione associata: 4 2 = 0 = 2 = 4 = = ±2 La parabola associata volge la concavità verso il basso ed è secante l asse. 2 2 La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 2 2 Quindi: S = { 2 2 } = [ 2, 2] In alternativa, per risolvere la disequazione dell esercizio precedente si possono moltiplicare per 1 entrambi i membri, cambiando il verso della disequazione, che diventa: La parabola associata volge la concavità verso l alto e la disequazione è verificata quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca. 2 2 L insieme soluzione coincide con quello trovato in precedenza. 3.6 disequazioni fratte Definizione 15. Una disequazione si dice fratta (o frazionaria) se, eventual-

65 3.6 disequazioni fratte 61 mente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme normali: N() D() 0 N() D() > 0 N() D() 0 N() D() < 0 dove N() e D() sono polinomi nella variabile. Per risolvere una disequazione fratta si procede come segue: si porta la disequazione in forma normale si studia il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo membro, ponendo ciascuno di essi maggiore o uguale a zero si costruisce la tabella dei segni, segnando con un pallino pieno gli zeri del numeratore, del denominatore e della frazione, e con un pallino vuoto i punti in cui la frazione non esiste (che corrispondono agli zeri del denominatore) si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto Esercizio 45. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 3 0 = 3 3 Denominatore: 1 0 = 1. 1 Costruiamo la tabella dei segni.

66 62 disequazioni N D F + + In cima alla tabella c è la retta reale con i numeri in gioco (1 e 3) in ordine crescente. Le righe indicano gli intervalli in cui il numeratore N, il denominatore D e la frazione F sono positivi (+) o negativi ( ). Abbiamo inoltre segnato con un pallino pieno gli zeri del numeratore e del denominatore: gli zeri del numeratore corrispondono a punti in cui la frazione F si annulla (indicati anch essi con un pallino pieno), mentre gli zeri del denominatore corrispondono a punti in cui la frazione non esiste (indicati con un pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione F è negativa ( ) o nulla (pallino pieno). Quindi: N D F S + + Abbiamo disegnato l insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare che 1 non è soluzione mentre 3 lo è, li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto e un pallino pieno, rispettivamente. L insieme soluzione è dunque: S = { 1 < 3 } = (1, 3] Esercizio 46. Risolvi la disequazione 3 1 > 0. Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dell esercizio precedente. la disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+).

67 3.6 disequazioni fratte 63 N D F S + + Per indicare che 1 e 3 non appartengono all insieme soluzione li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto. Quindi: S = { < 1 > 3 } = (, 1) (3, + ) Esercizio 47. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: = 2 2 Denominatore: 4 0 = 4 4 Costruiamo la tabella dei segni. N D F S + La disequazione è verificata quando la frazione è negativa ( ). Quindi: S = { < 2 > 4 } = (, 2) (4, + )

68 64 disequazioni Esercizio 48. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = 2 = 4 = = ±2 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 2 2 Denominatore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( 2)( 5) = 0 da cui = 2 = 5 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 2 5 Costruiamo la tabella dei segni.

69 3.6 disequazioni fratte 65 N D F S + + Per = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non esiste (pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione è negativa ( ) o nulla (pallino pieno). Quindi: S = { 2 < 5, 2 } = [ 2, 5) \ { 2 } Esercizio 49. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( 2) 2 = 0 = 2 = 0 = = 2 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni 2) o lo interseca (cosa che avviene nel punto = 2). 2

70 66 disequazioni Denominatore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( + 3)( 2) = 0 da cui = 3 = 2 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 3 2 Costruiamo la tabella dei segni. N D F S + + Per = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non esiste (pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+) o nulla (pallino pieno). Quindi l insieme soluzione è: S = { < 3 > 2 } = (, 3) (2, + ) 3.7 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

71 3.7 esercizi 67 1 Determina la scrittura corretta per ciascuno seguenti grafici. a. A < 3 B > 3 C 3 D 3 3 b. A < 2 B > 2 C 2 D 2 2 c. 2 2 A < +2 B > 2 C 2 2 D 2 < < 2 d. 3 5 A 5 > 3 B 3 > 5 C 3 < 5 D 3 < 5 e. 1 0 A R \ { 1, 0 } B 1 0 C 1 0 D 0 < < 1 f. A > 0 B > C 0 D 0 < 0 0 g. 1 2 A 1 < 2 B 1 < 2 C 1 > 2 D 2 1 Risolvi le seguenti disequazioni lineari. [Due risposte A, una B, due C e due D] 2 2 > 0 [ > 2] > 0 [ > 5]

72 68 disequazioni 4 4 > 0 [ > 4] [ 5] [ 3] 7 1 [ 1] 8 3 > [ < 3] 9 3 > [ < 3/2] 10 2 > 3 [ > 3/2] [ 4/3] [ 4/5] > 0 [ < 3] [ 3] [ 1] [ 0] [ 5] (2 + 8) [impossibile] (2 + 1) [ R] (2 + 2) [ R] < 2(2 + 3) [ R] > 2(2 + 2) [impossibile] < 2(2 + 2) [impossibile] [ ] > 0 [ < 0] [ 0] [ ] 3 [ ] 3 ( ) [ 0] [ ] [ 0] [ 1 ] 3 2 [ 1 ] [ ] > < [ > 27 ] 5 [ < 3 ] [ R] [ 38 ( + 3) 2 ( 2)( + 2) 13 ] ( 2 4 < ) [ > 3 ] (2 4) 2 > (4 + 1) + 2 [ > 1] 41 ( + 1) 2 ( 1) 2 [ 0] ( + 1) 1 (1 ) < [ < 1] < [ > 3] Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado. [ > 0 < 0 > 2 ] > 0 [ R] [ 15 ] [impossibile] < 0 [ < 1 > 1] > 0 [ 0 < < 1 ] [ 2 2] [ 3 3] > 0 [ < 1 > 4] < 0 [1 < < 4] > 0 [ 1] [ R]

73 3.7 esercizi < 0 [impossibile] [ ] > 0 [ R] < 0 [impossibile] 60 ( + 2)(3 ) 0 [ 2 3] 61 ( 2) > 0 [ < 0 > 2] [ 62 (3 + 2)(2 3) < 0 < 2 3 > 2 ] [ 4 4] [ < 0 0 < < 1 ] [ 16 1] < 0 [impossibile] [ R] < 0 [2 < < 3] [ 4 1] > 3 [ R] < 1 [impossibile] 72 (3 + 4) 2 < ( + 12) 2 [ 4 < < 4] > 0 [ < 5 > 0] < 0 [impossibile] < 0 [impossibile] Risolvi le seguenti disequazioni fratte < 0 [ 12 ] < < 0 3 < 0 [ > 2] < 0 [ < 2 > 4] < 0 [1 < < 2 > 4] [ ] > [ ] < [ < 3 > 2] > 0 [ < 2 > 3] < 2 [ < 1 > 4] 1 [ < ] [ 8 > 2] [ ] 2 Risolvi le seguenti disequazioni fratte < ( 2)( + 3) < > > 1 [2 < 72 > 4 ] [ < 8 ] 13 [ 3 < < 2] [ < 12 > 2 ] [ 2 > 4] [ 13 > 3 ] [ < 1] [ > 1 ] [ < 4 3] [ 0 > 1 ] 3 > 2 [1 < < 2] 1 [ < 0 2 < 6]

74 70 disequazioni < [ 2 < < 5, 2] [ < 3 > 3] ( 4)(6 3) [ 4 2 < < 4] > > > [ 6 2 < < 1] [ < < 1 ] 2 [ 1 2 < < 1 10 > 1 ] 2 [ < < ] 2 [ < 0 23 ] < 1 6 [ < 1 0 < < 1 > 2] [ 3 < 1 2 < 5 ] 2 [ < 2 5 ] 2 [ < 0 13 ] < < 1 [ 75, 3 ] [ < 0 12, 1 ] [ 2 < 12 > 2 ] [ < 4 23 < 3 ] [ 45 < 9 > 3] < 3 3 [ < 52 ] 6 3, 2 ( + 3)(2 1) 2 < 0 Risolvi le seguenti disequazioni. [ < 3 12 < < 2 ] ( + 1) [ 1 5] 2( 1)(2 + 1) + 5 ( + 1) 10 [ 4 2]

75 3.7 esercizi 71 ( + 2) 2 ( 2)( + 2) 121 > [ 2] (2 + 1) 2 8 < 24 + ( 2) 2 [ 3 < < 3] [ ] < 0 [ < 3 1 < < 1] [ 3 1 3] < 0 [ < 52 ] 0 < < 1 [ ] [ 3 0 5] [ 1 < 1 2] > 0 [ < 3 > 1, 0] [ ] < 0 [ < 2 1 < < 0] > 3 [ 1 < < 2 > 5] [ 1 1 2] 135 Vero o falso? a. La disequazione ( 1) 2 ( + 1) 2 è di primo grado. V F b. La disequazione ( 1) 2 equivale a 1 2. V F c. L insieme soluzione di una disequazione di secondo grado varia a seconda del segno del discriminante dell equazione associata. V F d. Se l equazione associata a una disequazione di secondo grado è impossibile, anche la disequazione è impossibile. V F e. L insieme soluzione di una disequazione di secondo grado a 2 + b + c > 0, con > 0, è costituito dagli intervalli esterni alle soluzioni 1 e 2 dell equazione associata, qualsiasi sia il segno del coefficiente a. V F [2 affermazioni vere e 3 false] 136 Indica la risposta corretta. a. Se risolvendo una disequazione l incognita viene eliminata, allora la disequazione: A può essere impossibile C non si può risolvere B è sempre verificata D è indeterminata b. Data la disequazione 2 1 2, moltiplicando i due membri per 1 si ottiene:

76 72 disequazioni A B C D c. La disequazione 3 1 è verificata per: A 3 B 3 C 1 3 D 1 3 d. La disequazione 4 1 è verificata per: 3 A 7 3 B 3 4 C 3 4 D 1 3 e. La disequazione 4 0 è verificata per: 3 A 0 B 0 C 3 4 D 3 4 f. La disequazione 3 > 1 è verificata per: A < 2 B < 2 C > 2 D < 4 g. L insieme soluzione della disequazione 0 1 è: A R B C { 0 } D { 1 } h. L insieme soluzione della disequazione è: A R B C { 0 } D { 1 } i. L insieme soluzione della disequazione > 2(2 + 2) è: A R B C { > 0 } D { = 0 } ( j. L insieme soluzione della disequazione ) è: 3 A R B C { 0 } D { 16 } 3 [Quattro risposte A, tre B, una C e due D] 137 Indica la risposta corretta. a. L insieme soluzione della disequazione ( 2) ( 1)( + 1) è: { A 7 } B { 1 } C { 2 } D 3

77 3.7 esercizi 73 b. Se a e b sono due numeri positivi tali che a > b, allora: A a > b B b < a C a > b D 1 a > 1 b c. Date le due disequazioni 4 < > 2 3 allora: A hanno le stesse soluzioni B C D le soluzioni della prima sono opposte a quelle della seconda non c è alcun legame tra le soluzioni delle due disequazioni le soluzioni della prima hanno il verso contrario rispetto a quelle della seconda d. Se a e b sono due numeri negativi tali che a > b, allora: A a < b B a > b C a < b D 1 a > 1 b e. Quale tra le seguenti disequazioni rappresenta il problema «trova i numeri tali che il loro doppio sia minore del loro triplo diminuito di 1»? A 2 < 3 1 B 2 > 3 1 C 3 > 2 1 D 3 < 2 1 f. La disequazione ( 1) > 0 è verificata per: A < 0 > 1 B 0 < < 1 C > 0 D < 1 g. La disequazione è verificata per: 2 A 1 < < 2 B 1 > 2 C 1 < 2 D 2 < 1 h. La disequazione + 1 < 1 è verificata per: + 2 A < 1 > 2 C > 2 B 2 < < 1 D > 1 i. Il sistema { 1 > 0 è verificato per: + 2 < 0

78 74 disequazioni A 2 < < 1 C 1 < < 2 B 1 < 2 ( + 1)( + 2) 0 j. Il sistema è verificato per: D mai verificato A < 2 > 1 B 1 < < 2 C 1 < < 1 D 1 < < 2 [Cinque risposte A, tre B, una C e una D] 138 Indica la risposta corretta. a. Le lettere a e b rappresentano due numeri reali. Si sa che a < b. Allora, necessariamente: A b a < 0 B a/b < 0 C b a > 0 D a b > 0 b. Si sa che 2 < 11. Allora, necessariamente: A < 5 C < 11 2 B > 9 D nessuna delle precedenti c. Si sa che 2 < 11. Allora, necessariamente: A < 9 C < 11 2 B > 9 D nessuna delle precedenti d. Una sola delle disequazioni seguenti (in cui R) è impossibile. Quale? A 2 < B C < + 1 D > + 1 e. Uno solo dei seguenti numeri è una soluzione della disequazione 5( 1) < Quale? A 7 B 8 C 9 D 10 f. L insieme soluzione della disequazione 4 > 3, disegnato sulla retta reale, è:

79 3.7 esercizi 75 A un punto C un intervallo illimitato B un intervallo limitato D tutta la retta g. L insieme soluzione della disequazione è: A vuoto C un intervallo limitato B formato da un solo elemento D un intervallo illimitato h. L insieme soluzione della disequazione è: A vuoto C un intervallo limitato B formato da un solo elemento D un intervallo illimitato i. La disequazione 2(1 ) < 2 è verificata per: A = 2 B < 2 C = 0 D > 0 1 < 5 j. L insieme soluzione del sistema 1 5 è 3 < 0 A B { 1 } C { 3 } D { 5 } 139 Indica la risposta corretta. a. La disequazione < 0 è verificata per: [Due risposte A, una B, due C e cinque D] A > 0 B < 0 C 1 2 < 3 2 D > 4 b. Se 1 < < 0, allora quale delle seguenti affermazioni è falsa? A 1 2 > 1 B 2 1 < 0 C 1 < 0 D 1 > 1 c. Il trinomio A non è mai negativo C non è mai positivo B è negativo in un intervallo limitato D nessuna delle risposte precedenti d. Il trinomio

80 76 disequazioni A non è mai negativo C non è mai positivo B è negativo in un intervallo limitato D nessuna delle risposte precedenti e. { 3 < < 7 } è l insieme soluzione della disequazione: A < 0 B < 0 C > 0 D > 0 f. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante positivo: A ha una sola soluzione C ha infinite soluzioni B ha esattamente due soluzioni D è impossibile o indeterminata g. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante negativo: A ha una sola soluzione C ha infinite soluzioni B ha esattamente due soluzioni D è impossibile o indeterminata h. L insieme soluzione del sistema è: { > 0 2, rappresentato sulla retta reale, 2 < 0 A vuoto C un intervallo limitato B un punto D un intervallo illimitato i. L insieme soluzione della disequazione 4 < 3, rappresentato sulla retta reale, è: A vuoto C un intervallo limitato B un punto D un intervallo illimitato j. L insieme soluzione della disequazione 4 3, rappresentato sulla retta reale, è: A vuoto C un intervallo limitato B un punto D un intervallo illimitato [Tre risposte A, due B, due C e tre D] 140 Indica la risposta corretta. a. L insieme soluzione della disequazione ( 2 + 1)( 2 1) < 0 è:

81 3.7 esercizi 77 A { > 1 } B { 1 < < 1 } C { < 1 } D { < 1 > 1 } b. Si considerino le due disequazioni > 1 e 2 > 1. Allora: A sono equivalenti B C D l elevamento al quadrato ha fatto perdere soluzioni l elevamento al quadrato ha introdotto soluzioni estranee la seconda disequazione è sempre verificata c. Si considerino le due disequazioni e 2 0. Allora: A B C D gli insiemi soluzioni delle due disequazioni sono disgiunti la prima disequazione è verificata per ogni R sono equivalenti ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda d. L insieme soluzione della disequazione ( 2 3) < 0 è: A R B { 0 } C { > 0 } D { < 0 } e. Si considerino le due disequazioni e 1 0. Allora: A sono equivalenti B C D ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda ogni soluzione della seconda disequazione è anche soluzione della prima gli insiemi soluzione delle due disequazioni sono disgiunti f. L insieme soluzione della disequazione 2 > 0 è: A R \ { 0 } B { 0 } C { > 0 } D R g. L insieme soluzione della disequazione 2 0 è: A { > 0 } B { 0 } C R \ { 0 } D R 141 Vero o falso? [Una risposta A, una B, tre C e due D]

82 78 disequazioni a. Aggiungendo un numero negativo a entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza di verso opposto. V F b. Moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero si ottiene sempre una disuguaglianza dello stesso verso. V F c. Dividendo entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso. V F d. La disuguaglianza fra i reciproci di due numeri negativi ha verso contrario rispetto a quello fra i numeri stessi. V F e. In generale, le disequazioni lineari hanno come soluzione un unico valore. V F f. In generale, l insieme soluzione di una disequazione lineare è costituito da un numero finito di valori. V F g. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. V F h. Se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una disequazione a essa equivalente. V F i. Due disequazioni equivalenti hanno lo stesso verso. V F j. Tutte le disequazioni impossibili sono fra loro equivalenti. V F [4 affermazioni vere e 6 false] 142 Vero o falso? a. Se una disequazione ha come risultato 2 > 0, allora = 0 è una soluzione della disequazione. V F b. Una disequazione che non è verificata per alcun valore di è detta impossibile. V F c. La disequazione < è impossibile. V F d. La disequazione è indeterminata. V F e. La disequazione 3 > 3 ha come soluzione < 1. V F f. Una disequazione si dice fratta se contiene l incognita sia al numeratore che al denominatore. V F g. Studiare il segno di una frazione algebrica vuol dire cercare per quali valori dell incognita la frazione è positiva, negativa o nulla. V F h. Nelle disequazioni fratte, l insieme soluzione può anche essere un intervallo limitato. V F i. In un sistema di due disequazioni è possibile che queste abbiano soluzioni e che il sistema non ne abbia. V F j. Le soluzioni di un sistema di disequazioni devono soddisfare ogni disequazione che lo compone. V F k. Se una delle disequazioni di un sistema è indeterminata, allora il sistema è indeterminato. V F l. Se una delle disequazioni di un sistema è impossibile, allora il sistema è impossibile. V F [10 affermazioni vere e 2 false]

83 3.7 esercizi Indica la risposta corretta. a. Considera le due disuguaglianze: 5 < 3 4 < 7 Quale, delle seguenti affermazioni, è falsa? A sono entrambe disuguaglianze vere B hanno entrambe lo stesso verso C Sommando 4 a entrambi i membri delle disuguaglianze, i loro versi restano inalterati D Moltiplicando per 5 entrambi i membri delle disuguaglianze, la prima cambia verso mentre nella seconda il verso resta lo stesso b. Sono date le due disequazioni: 3( 3) > ( 3) > 7 Fra le seguenti, qual è l unica affermazione vera? A = 0 è soluzione della prima disequazione B C D = 5 è soluzione della seconda disequazione = 4 non è soluzione né della prima né della seconda disequazione le due disequazioni sono equivalenti perché hanno il primo membro uguale c. Sono date le due disequazioni: < < Fra le seguenti, qual è l unica affermazione falsa? A Sono tutte determinate B = 0 è soluzione di entrambe le disequazioni C Se un valore di soddisfa la prima disequazione, allora soddisfa anche la seconda D Se un valore di soddisfa la seconda disequazione, allora non soddisfa la prima d. Se fra tre numeri reali a, b e c, vale la relazione 0 < a < b < c, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa?

84 80 disequazioni A 1/c < 1/a B c b > 0 C a 2 < b 2 D a 2b > 0 e. Le seguenti disequazioni sono tutte equivalenti, tranne una. Quale? A 2 > 4 B > 2 C + 2 > 0 D 2 < 4 f. Quale, fra le seguenti disequazioni, ha come insieme soluzione [2/3, + )? A 2 3 > 0 B 2 3 C 3 2 < 0 D 3 2 g. Quale, fra le seguenti disequazioni, non ha come insieme soluzione [ 1/2, + )? A 2 < 1 B > 1/2 C > ( + 1) D 2 < 1 h. La disequazione 1/ 0 è verificata per: A < 0 B < 1 C > 1 D > 0 i. La disequazione ( 1)/ 0 è verificata per: A 1 C < 0 1 B < 0 1 D 0 < 1 j. Solo una, delle seguenti disequazioni, è equivalente alla disequazione Quale? A 4 1 B 4 3 C 4 1 D Indica la risposta corretta. [Una risposta A, una B, due C e sei D] a. È dato il seguente problema: «Un rettangolo, con un lato di 10 cm, ha il perimetro non inferiore a 30 cm. Quali valori può assumere l altro lato?» Quale, fra le seguenti disequazioni, ne è la traduzione algebrica? A 2(10 + ) = 30 B 2(10 + ) 30 C 2(10 + ) < 30 D 2(10 + ) 30 b. Fra le seguenti, qual è la frase che traduce la disequazione ? A La metà di un numero sommata a 3 non è superiore alla differenza tra il triplo del numero stesso e 1/2. Trova il numero. B La metà di un numero sommata a 3 è inferiore al triplo del numero stesso meno 1/2. Trova il numero.

85 3.7 esercizi 81 C La differenza tra la metà di un numero e 3 non è superiore alla differenza tra il triplo del numero stesso e 1/2. Trova il numero. D Togliendo 3 alla metà di un numero si ottiene un numero non superiore al triplo della differenza tra il numero stesso e 1/2. { c. Dato il sistema, uno dei seguenti valori non appartiene all insieme delle sue soluzioni. Quale? A 1 B 2 C 3 D 4 d. Il sistema { è verificato per: + 3 > 18 A > 3 B 5 C 3 < 5 D 3 < 5 e. Quale delle seguenti disequazioni è fratta? A B C D f. Quale delle seguenti è una disequazione di secondo grado nell incognita? A ( 2) > 0 B g. Quante soluzioni ha la disequazione ? 0 C + ( + 2) 0 D ( + 2) A nessuna B una C due D infinite h. La disequazione è verificata per: A B C 2 2 D 2 2 i. Il valore 1 appartiene all insieme soluzione della disequazione: A B C D 1 2 < 0 j. Il valore 3 appartiene all insieme soluzione del sistema di disequazioni: A { B { C { 2 < > 0 D { [Due risposte A, tre B, due C e tre D] 145 Indica la risposta corretta. { a. Il sistema di disequazioni è verificato per: 4 0

86 82 disequazioni A = 2 B 3 2 C 3 < 2 D = ±2 = 3 b. La disequazione fratta 1 0 è verificata per: 3 A 3 B > 3 C > 1 D 1 < 3 c. Quante sono le soluzioni della disequazione ? A nessuna B una C due D infinite d. La disequazione fratta 1 2 è verificata per: A > 0 B 1 2 C 0 < 1 2 D 1 2 < 0 e. Quale dei seguenti numeri è soluzione della disequazione > 0? A 0 B 1 C 2 D 3 f. Il segno della frazione algebrica dipende: A solo dal segno del numeratore C solo dal segno del denominatore B dal segno di 2 g. la frazione algebrica 5 5 è: A sempre positiva D non si può sapere senza risolverla B C D sempre non negativa sempre positiva tranne che per = 5, dove non è definita sempre negativa tranne che per = 5, dove non è definita h. Considerata la funzione f() = , quale delle seguenti proposizioni è corretta? A f() > 0 R B f() > 0 > 0 C f() > 0 > 3 2 D f() > 0 < 3 2 i. Considerata la funzione f() = 1 4 2, quale delle seguenti proposizioni è corretta?

87 3.7 esercizi 83 A f() C f() B f() D f() 0 tale che j. La funzione f() = 5 2 cambia segno in corrispondenza di uguale a: A 0 B ±5 C ± 5 D ±1/ 5 k. L insieme soluzione della disequazione ( 1)( 2)( 3) 0 è: A C { 1, 2, 3 } B { 1, 2, 3 } D nessuno dei precedenti l. L insieme soluzione della disequazione è: A B { 2 } 2 C { 2 2 } D R [Quattro risposte A, una B, una C e sei D]

88

89 4 F U N Z I O N I Questo capitolo introduce il concetto di funzione, che è uno dei più importanti di tutta la matematica e che ha numerose applicazioni in tutte le scienze. 4.1 relazioni e funzioni Primo esempio Consideriamo l insieme A degli studenti dell Istituto professionale Versari-Macrelli. Ogni studente è iscritto a una e una sola classe. Se B è l insieme delle classi del Versari-Macrelli, a ogni elemento di A è quindi associato uno e un solo elemento di B. Può capitare che due studenti facciano parte della stessa classe, ma non esistono studenti iscritti a più classi contemporaneamente o non iscritti ad alcuna classe, né esistono classi senza studenti. Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di studenti e di classi, mostra la relazione «lo studente è iscritto alla classe» con A e B. A Francesca Riccardo Gianna Greta Michela B 5E 5C In una relazione di questo tipo, a ogni elemento di A, nessuno escluso, è associato uno e un solo elemento di B. Non è richiesto il viceversa: più elementi di A possono corrispondere allo stesso elemento di B. Secondo esempio Consideriamo l insieme A degli studenti di una classe che devono svolgere una verifica di matematica. Ogni studente che affronta la verifica consegue un voto,

90 86 funzioni espresso in numeri interi da 1 a 10. Se B è l insieme dei numeri interi compresi tra 1 e 10, a ogni elemento di A è quindi associato uno e un solo elemento di B. Può capitare che due studenti conseguano lo stesso voto (7, per esempio) o che nessuno studente consegua un certo voto (10, per esempio). Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di studenti e di voti, mostra la relazione «lo studente ha conseguito il voto» con A e B. A Giulia Marco Sofia Virginia B In una relazione di questo tipo, come nell esempio precedente, a ogni elemento di A, nessuno escluso, è associato uno e un solo elemento di B. Non è richiesto il viceversa: più elementi di A possono corrispondere allo stesso elemento di B. Terzo esempio Consideriamo l insieme A dei Paesi dell Unione Europea e l insieme B delle capitali dei Paesi dell Unione Europea. In questo caso, allora, a ogni elemento dell insieme A è associato uno e un solo elemento dell insieme B e viceversa; la figura seguente mostra la relazione «la città è capitale del Paese». A B Roma Parigi Londra Berlino Italia Francia Regno Unito Germania Quarto esempio Consideriamo l insieme A dei professori dell Istituto professionale Versari-Macrelli e l insieme B costituito dalle materie che vengono insegnate nell Istituto. Può capitare che un professore insegni più materie (Italiano e Storia, per esempio).

91 4.2 definizione di funzione 87 Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di professori e di materie, mostra la relazione «il prof. insegna la materia», con A e B. A Pantieri Giunti Sassi B Matematica Italiano Storia Economia In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano associati più elementi di B. Quinto esempio Consideriamo l insieme A delle regioni italiane e l insieme B costituito dai mari italiani. Può capitare che una regione sia bagnata da più mari (la Puglia, per esempio, è bagnata sia dal Mar Adriatico che dal Mar Ionio), oppure che una regione non sia bagnata da alcun mare (l Umbria, per esempio). La figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di regioni, mostra la relazione «la regione è bagnata dal Mar», con A e B. A Liguria Umbria Puglia Toscana B Ligure Ionio Adriatico Tirreno In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano associati più elementi di B, o che a un elemento di A non sia associato alcun elemento di B. 4.2 definizione di funzione Le relazioni come quelle dei primi tre esempi del paragrafo precedente sono le più significative in matematica. Per descriverle in modo dettagliato possiamo dire che:

92 88 funzioni A B A B (a) (b) A B A B (c) (d) Figura 10: Funzioni da ogni elemento di A esce una sola freccia che va verso un elemento di B; in altre parole non ci sono elementi di A da cui escono più frecce; da ogni elemento di A, nessuno escluso, esce una freccia; in altre parole non esistono elementi di A da cui non esca alcuna freccia; sugli elementi di B possono arrivare una o più frecce, e possono anche esserci elementi di B a cui non arriva alcuna freccia. Definizione 16. Si definisce funzione f di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Si scrive f: A B. Il dominio A si indica anche con dom f. Una funzione si può esprimere mediante una proposizione che specifica in che modo gli elementi del primo insieme, che vengono di solito indicati con, sono legati a quelli del secondo, che vengono di solito indicati con. Se A e B sono insiemi numerici, spesso la funzione che associa gli A agli B si può esprimere mediante un espressione di tipo matematico. Per esempio: per indicare che l elemento è l elemento aumentato di 1 si scrive = + 1 per indicare che l elemento è il quadrato dell elemento si scrive = 2

93 4.2 definizione di funzione 89 A B A B (a) (b) Figura 11: Relazioni che non sono funzioni Più in generale si scrive: = f() e si legge «è funzione di», dove f() è un espressione matematica nella variabile, che esprime il legame tra e. Definizione 17. Poiché la funzione f esprime in che modo dipende da, si dice che è la variabile indipendente della funzione, mentre è la variabile dipendente. Definizione 18. L elemento B che è associato a un elemento A è detto immagine di. Per esempio, nella funzione = 2, dove supponiamo che sia un numero intero: 9 è l immagine di 3, e si scrive f(3) = 9 25 è l immagine di 5, e si scrive f(5) = 25 Esercizio 50. Le relazioni indicate nella figure 10 e 11 sono funzioni o no? Soluzione. I casi rappresentati nella figura 10 rappresentano delle funzioni perché da ogni elemento di A esce una e una sola freccia verso un elemento di B. Il caso rappresentato nella figura 11a non rappresenta una funzione perché c è un elemento di A da cui non esce alcuna freccia. Il caso 11b non rappresenta una funzione perché c è un elemento di A da cui escono più frecce.

94 90 funzioni 4.3 funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Definizione 19. Una funzione f: A B si dice iniettiva se a elementi diversi di A corrispondono sempre elementi diversi di B. Definizione 20. Una funzione f: A B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Definizione 21. Una funzione si dice biunivoca se è iniettiva e suriettiva. Con riferimento ai diagrammi a frecce: una funzione è iniettiva se non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce una funzione è suriettiva se non ci sono elementi di B a cui non arriva alcuna freccia una funzione è biunivoca se non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce o a cui non arriva alcuna freccia Esercizio 51. Stabilisci se le relazioni indicate nella figura 12 sono iniettive, suriettive, biunivoche. Soluzione. La funzione rappresentata nella figura 12a è iniettiva (non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce) ma non suriettiva (c è un elemento di B a cui non arriva alcuna freccia); La funzione rappresentata nella figura 12b è suriettiva (non ci sono elementi di B a cui non arriva alcuna freccia) ma non iniettiva (c è un elemento di B a cui arriva più di una freccia); La funzione rappresentata nella figura 12c non è né iniettiva né suriettiva; La funzione rappresentata nella figura 12d è biunivoca.

95 4.3 funzioni iniettive, suriettive, biunivoche 91 A B A B (a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva (b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva A B A B (c) Una funzione né iniettiva né suriettiva (d) Una funzione biunivoca Figura 12: Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Esercizio 52. Siano A = { bambini }, B = { donne } e f: A B la funzione «è figlio naturale di». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva. Soluzione. È una funzione perché ogni bambino ha una e una sola madre naturale. Poiché bambini diversi si possono associare alla stessa madre, la funzione non è iniettiva. Poiché non tutte le donne sono madri, la funzione non è neanche suriettiva. La figura 13a dà un idea del tipo di funzione. Esercizio 53. Siano A = { bambini }, B = { madri } e f: A B la funzione «è figlio naturale di». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva. Soluzione. Ogni madre, per definizione, lo è di qualche bambino: dunque la funzione è suriettiva. Più bambini si possono associare alla stessa madre: dunque la funzione non è iniettiva. La figura 13b dà un idea del tipo di funzione.

96 92 funzioni A B A B (a) La funzione f: { bambini } { donne } «è figlio naturale di» non è né iniettiva né suriettiva (b) La funzione f: { bambini } { madri } «è figlio naturale di» è suriettiva ma non iniettiva Figura 13: Due funzioni Esercizio 54. Sia A = B l insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione f: A B «è l intero successivo di» con un diagramma a frecce. Soluzione. La relazione «è l intero successivo di» è una funzione perché ogni numero intero, nessuno escluso, ha uno e un solo intero successivo. Questa funzione si può rappresentare con la scrittura = + 1 e si ha per esempio che f( 3) = 2 f( 2) = 1 f( 1) = 0 f(0) = 1 f(2) = 3 f(3) = 4 La figura 14a mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi. Evidentemente, è una funzione biunivoca. A B A B (a) La funzione = + 1 (b) La funzione = 2 Figura 14: Due funzioni

97 4.4 rappresentazione cartesiana (a) Grafico = (b) Alcuni valori Figura 15: La funzione = + 1 Esercizio 55. Sia A l insieme dei numeri interi e B l insieme dei numeri interi positivi o nulli. Rappresenta la funzione f: A B «è il quadrato di» con un diagramma a frecce. Soluzione. La relazione «è il quadrato di» è una funzione perché ogni numero intero, nessuno escluso, ha per quadrato uno e un solo numero positivo o nullo. Questa funzione si può rappresentare con la scrittura = 2 e si ha per esempio che f(3) = f( 3) = 9 f(2) = f( 2) = 4 f(1) = f( 1) = 1 f(0) = 0 La figura 14b mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi. È una funzione né iniettiva né suriettiva. 4.4 rappresentazione cartesiana Una funzione si può rappresentare, oltre che con un diagramma a frecce come abbiamo fatto finora, anche con un diagramma cartesiano. Definizione 22. Si chiama grafico o diagramma cartesiano di una funzione f: A B l insieme delle coppie (, ) formate da un elemento A e dal suo corrispondente B, con = f(), rappresentate nel piano cartesiano.

98 94 funzioni (a) Grafico = (b) Alcuni valori Figura 16: La funzione = 2 Esercizio 56. Sia A = B l insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione f: A B «è l intero successivo di» sul piano cartesiano. Soluzione. La figura 15 mostra il grafico della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi. Esercizio 57. Sia A l insieme dei numeri interi e B l insieme degli interi positivi o nulli. Rappresenta la funzione f: A B «è il quadrato di» sul piano cartesiano. Soluzione. La figura 16 mostra il grafico della funzione sul piano cartesiano. 4.5 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 È vero che la relazione f che associa a ogni regione italiana il suo capoluogo è una funzione? Qual è il suo dominio? Quanto vale f(emilia-romagna)?

99 4.5 esercizi 95 2 Dati gli insiemi A = { scuola, alunno, professore, voto } e B l insieme dei numeri naturali, la relazione che associa a ogni elemento di A il numero di lettere da cui è composta la parola è una funzione? Se sì, è iniettiva? 3 Si è ammessi a una facoltà universitaria se nel test d ingresso si è avuto un punteggio compreso tra 60 e 100. La relazione che associa ad ogni studente che ha superato il test il punteggio ottenuto è una funzione? Se sì, di che tipo? 4 La funzione che associa a ciascuna persona il suo codice fiscale è iniettiva? Perché? 5 La funzione che associa a ciascuna automobile il proprio numero di targa è iniettiva? Perché? 6 Quali tra le seguenti relazioni sono funzioni? Dominio Codominio Relazione libri autori a ogni libro associa l autore canzoni cantanti a ogni canzone associa il cantante portoni di una via numeri a ogni portone associa il numero civico computer sistemi operativi a ogni computer associa il s.o. installato 7 Sia Z l insieme dei numeri interi. La funzione f: Z Z che associa a ogni intero il suo opposto è iniettiva? È suriettiva? 8 Sia Z l insieme dei numeri interi. La funzione f: Z Z che associa a ogni intero il suo valore assoluto è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca? 9 La funzione f: Z Z, = 2, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca? 10 La relazione f: Q Q, = 1 è una funzione? 11 La funzione f: Q \ { 0 } Q, = 1, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca? 12 Consideriamo la funzione f che associa ad ogni numero razionale il suo triplo. a. Qual è l immagine di 0? b. Quale elemento del dominio ha per immagine 5? c. È vero che ogni numero positivo ha l immagine positiva? d. È vero che 1 è immagine di 3? e. La funzione è iniettiva? f. La funzione è biunivoca? Fai il diagramma a frecce della funzione. 13 Per ciascuna delle seguenti funzioni stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva, biunivoca.

100 96 funzioni a. f: Z Z, = 2 b. f: Z Z, = 2 c. f: N N, = 2 d. f: Q Q, = 2 14 Data la funzione f: Z Z, = 4, rispondi alle seguenti domande. a. Qual è l immagine di 0? b. Per quale si ha f() = 0? c. Quale elemento del dominio ha per immagine 5? d. È vero che ogni numero positivo ha l immagine positiva? e. È vero che 1 è immagine di 3? Perché?

101 5 I N T R O D U Z I O N E A L L A N A L I S I Definizione 23. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione f: A B in cui A e B sono sottoinsiemi dell insieme R. Da qui in avanti ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale: quindi d ora di poi intenderemo con funzione sempre una funzione reale di variabile reale. Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni: le funzioni lineari = m + q; le funzioni quadratiche = a 2 + b + c; le funzioni potenza = n, con n intero 1; 5.1 classificazione Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell espressione f(). Definizione 24. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione ed estrazione di radice. Per esempio, sono funzioni algebriche: = = = 4 2 Definizione 25. Tra le funzioni algebriche = f() si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), in cui f() è un polinomio le funzioni fratte, in cui f() è il quoziente di due polinomi

102 98 introduzione all analisi le funzioni irrazionali, in cui la compare sotto il segno di radice Per esempio: = è una funzione intera = è una funzione fratta = 4 2 è una funzione irrazionale 5.2 dominio Quando si assegna l equazione che definisce una funzione reale di variabile reale senza specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello naturale. Definizione 26. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione = f() è l insieme costituito dai valori reali di per cui tutte le operazioni che compaiono nell espressione f() hanno significato. Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni: le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre l operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso da zero; una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo, mentre una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando; Esercizio 58. Determina il dominio delle funzioni: = 4 2 = Soluzione. Si tratta di due funzioni intere, quindi il loro dominio è R (figure 17a e 17b).

103 5.2 dominio 99 (a) = 2 4 (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = 2 1 Figura 17: Dominio di alcune funzioni

104 100 introduzione all analisi Esercizio 59. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 17c. dom f = R \ { 1 } Esercizio 60. Determina il dominio della funzione = 2 1. Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 17d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 61. Determina il dominio delle funzioni = e = 2 1. Soluzione. Si tratta di due funzioni fratte, definite purché il loro denominatore sia diverso da zero: da cui Il dominio delle due funzioni è perciò Vedi le figure 17e e 17f. 1 1 dom f = R \ { 1, 1 }

105 5.3 intersezioni con gli assi intersezioni con gli assi Dopo aver determinato il dominio di una funzione = f(), la seconda fase di uno studio elementare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani. Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l asse si ottengono risolvendo l equazione f() = 0; le soluzioni di questa equazione si dicono zeri della funzione. L ordinata dell eventuale punto di intersezione con l asse si ottiene semplicemente calcolando f(0), ovvero ponendo = 0 nell espressione che definisce la funzione. Esercizio 62. Determina le intersezioni con gli assi della funzione = 2 4. Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : 2 4 = 0 = 2 = 4 = = 2 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (2, 0). Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 18a. Per mettere in evidenza che i punti trovati appartengono al grafico della funzione li abbiamo evidenziati con un pallino pieno. Esercizio 63. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = ( 1)( 3) = 0 da cui = 1 = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti (1, 0) e (3, 0).

106 102 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 3). Vedi la figura 18b. Esercizio 64. Determina le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 59). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, eliminando il denominatore, = = 0 = 2 = 4 = = 2 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il grafico della funzione interseca l asse nel punto (2, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 18c. Esercizio 65. Determina le intersezioni con gli assi della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 60). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, eliminando il denominatore, 2 1 = 0 2 = 0 = = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0).

107 5.3 intersezioni con gli assi (a) = 2 4 (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = 2 1 Figura 18: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni

108 104 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 18d. Esercizio 66. Determina le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 61). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, eliminando il denominatore, = = 0 = 2 = 4 = = ± 4 = ±2 valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. L equazione ha dunque due soluzioni: = 2 = 2 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 2, 0) (2, 0) Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 18e.

109 5.4 segno 105 Esercizio 67. Determina le intersezioni con gli assi della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 61). Troviamo le intersezioni con l asse : 2 1 = 0 da cui, eliminando il denominatore, = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 18f. 5.4 segno Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di risulta f() > 0, f() = 0 e f() < 0. Si conviene di risolvere la disequazione f() 0, che individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove il suo grafico sta sopra l asse o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque essa non è positiva o nulla, nell ambito del suo dominio. Esercizio 68. Studia il segno della funzione = 2 4. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 58) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 62). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: = 2 4 = 2 2 Quindi la funzione:

110 106 introduzione all analisi è positiva se > 2; è nulla se = 2; è negativa altrimenti. Vedi la figura 19a. Il grafico della funzione appartiene alla regione di piano cartesiano non esclusa dal tratteggio. Esercizio 69. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 58) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l esercizio 63). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Le soluzioni dell equazione associata = 0 sono = 1 e = 3 (vedi l esercizio 63). Disegniamo la parabola associata. 1 3 Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 3 è nulla se = 1 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 19b. Esercizio 70. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 59) e il suo grafico interseca gli assi cartesiani nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 64). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

111 5.4 segno (a) = 2 4 (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = 2 1 Figura 19: Segno di alcune funzioni

112 108 introduzione all analisi Numeratore: = 2 4 = 2 2 Denominatore: D 0 = 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 2; è nulla se = 2; non è definita se = 1; è negativa altrimenti. Vedi la figura 19c. Esercizio 71. Studia il segno della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 60) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l esercizio 65). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 2 0 L unica soluzione dell equazione associata 2 = 0 è = 0.

113 5.4 segno Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + Quindi la funzione: è positiva se > 1 è nulla se = 0 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 19d. Esercizio 72. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 61) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 2, 0), (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 66). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 2 4 0

114 110 introduzione all analisi Risolviamo l equazione associata: 2 4 = 0 = 2 = 4 = = ±2 Disegniamo la parabola associata. 2 2 Denominatore: Risolviamo l equazione associata: 2 1 = 0 = 2 = 1 = = ±1 Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f Quindi la funzione: è positiva se < 2 1 < < 1 > 2 è nulla se = 2 = 2 non è definita se = 1 = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 19e.

115 5.4 segno 111 Esercizio 73. Studia il segno della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 61) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l esercizio 67). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 0 0 Denominatore: Risolviamo l equazione associata: Disegniamo la parabola associata. 2 = 1 = = ±1 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + Quindi la funzione: è positiva se 1 < < 0 > 1; è nulla se = 1 = 0 = 1; non è definita se = 1 = 1; è negativa altrimenti.

116 112 introduzione all analisi P P P P (a) Una funzione pari. (b) Una funzione dispari. Figura 20: Funzioni pari e dispari Vedi la figura 19f. 5.5 simmetrie Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzioni pari e dispari. Definizione 27. Una funzione si dice pari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine: vedi la figura 20. Esercizio 74. Stabilisci se la funzione = 2 4 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = 2( ) 4 = 2 4 Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Ciò si intuisce osservando la figura 19a e troverà conferma quando avremo completato lo studio della funzione (vedi la figura 34a).

117 5.5 simmetrie 113 Esercizio 75. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 2 4( ) + 3 = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 19b e 34b. Esercizio 76. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = 2( ) 4 1 = = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 19c e 34c. Esercizio 77. Stabilisci se la funzione = 2 è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 1 = 2 1 = Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 19d e 34d. Esercizio 78. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 4 ( ) 2 1 = = f() Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 19e e 34e.

118 114 introduzione all analisi Esercizio 79. Stabilisci se la funzione = 2 è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 2 1 = 2 1 = 2 1 = f() Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 19f e 34f. 5.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche: 1 = = [ { R \ ± 5 }] 2 [R \ { 3, 2, 3 }] 3 = [R \ { 0 }] 4 = 25 2 [ 5 5] [ { }] = 4 2 R \ = [R] 7 = [ 2 5] = [ < 5 2] = [0 5 3] = [ < 12 ] > 1 11 = [R \ { 7, 1 }] 12 = 10 2 [0 10] 13 = [R \ { 1, 0 }] 1 14 = [R \ { 0 }] = 3 2 [R \ { 2, 0 }] = [ 3 < 2 2] = [2 5] 18 log(3 + 4) [ > 4 ] 3 19 ln( ) [ < 2 > 3] 20 Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 21a (il tratteggio indica che il grafico prosegue indefinitamente). Soluzione. Il dominio è l insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica possiamo

119 5.6 esercizi (a) (b) Figura 21: Lettura di un dominio sul grafico (a) (b) (c) (d) (e) Figura 22: Lettura di domini sul grafico (f) immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull asse (figura 21b). Così facendo otteniamo la semiretta costituita dai punti dell asse di ascissa minore o uguale a 2, compresa l origine della semiretta che ha coordinate (2, 0). Perciò il dominio della funzione è l insieme dom f = { 2 } = (, 2]

120 116 introduzione all analisi 21 Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 22 osservando il loro grafico. Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno delle seguenti funzioni: dom f = R 22 = 5 3 intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) è positiva per 1 < < 0 > 1 23 = dom f = R intersezioni con gli assi: ( 11, 0), (0, 0), (1, 0) è positiva per 11 < < 0 > 1 24 = dom f = R intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±2, 0), (0, 4) è positiva per < 2 1 < < 1 > 2 25 dom f = R \ { 5, 1 } = 2 intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per 5 < < 0 > 1 26 = = = = = 4 dom f = R \ { ±2 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 4 è positiva per < 2 1 < < 2 > 3 dom f = R \ { 2 } intersezioni con gli assi: ( 3, 0), (1, 0), (0, 3 2 ) è positiva per 3 < < 1 > 2 dom f = { 0 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0) positiva per < 1 > 0 dom f = { 1 1 < 2 > 2 } intersezioni con gli assi: (±1, 0) positiva per < 1 > 2 dom f = { 0 < 4 } passa per l origine è positiva per ogni 0 31 Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: a. = b. = 8 5 c. = d. = 8 6 e. = f. = 5 3 g. = 1 2 h. = [Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari] 32 Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 23 sono pari o dispari. 33 In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 24, rispondi alle seguenti domande.

121 5.6 esercizi 117 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 23: Funzioni pari e dispari (f) Qual è il dominio di f? Quanto vale f( 4)? E f(4)? Per quali valori f si annulla? In quali punti f interseca gli assi? f(2) è positivo o negativo? E f( 2)? La funzione è pari? È dispari? 34 Indica la risposta corretta. a. La funzione = è definita: Figura 24: Una funzione

122 118 introduzione all analisi A R C per nessun valore reale di B R, 2 D per ogni valore di, tranne = 2 b. Data la funzione = si può affermare che: A la variabile indipendente è C = ( 2 + 1) 2 B la funzione è intera di sesto grado D la funzione è sempre definita c. La funzione = è definita: A per tutti i valori di diversi da ±1 C R, 0 B R D solo per > 1 d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f( 2) = 3 e f(3) = 2? A = + 1 B = + 5 C = 5 D = 2 1 e. La funzione = + 2 è definita per: log( 1) A 1 < 2 B > 1 con 2 C 1 con 2 D > 1 f. Data la funzione f() = 1 il suo dominio è: A 0 1 B 0 1 C 0 < 1 D 0 g. Data la funzione f( + 1) = 2 f() e f(1) = 2 quanto vale f(2)? A 0 B 1 C 2 D 3 h. Il dominio di f() = ln(e 1) è: A > 2 B < 0 > 2 C > 2 e 3 D > 3 i. Data la funzione = 2 2 si può affermare che: + 1 A per = 1 non è definita B per = 0 non è definita

123 5.6 esercizi 119 C per = 5 è definita D è definita solo per = ±1 j. Indica fra le seguenti l affermazione errata: A B la funzione = log( 2 + 1) è definita R la funzione = 2 3 è definita ovunque C la funzione = non è definita per = 8 7 D la funzione = 4 2 non è definita per = 3 35 Indica la risposta corretta. [Una risposta A, tre B, quattro C e due D] a. Data la funzione = indica quale affermazione è vera: A è definita per 5 3 C è definita solo per 3 B è definita per 5 3 D nessuna delle precedenti b. Data la funzione = log( ) indica l affermazione falsa: A per = 4 non è definita C per = 3 non è definita B per = 4 non è definita D per = 5 è definita c. Data la funzione = log A il suo dominio è > indica quale affermazione è vera: + 1 C il suo dominio è R B il suo dominio è 0 D per = 0 vale = 0 d. La funzione f() = 2 ln è positiva nell intervallo A (0, e 2 ) B (, 2) C (0, + ) D (e 2, + ) e. Data la funzione f() = , il suo dominio è: A R \ { 0 } C { < 1 > 3 } B R D R \ { 1 } f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione A() 0?

124 120 introduzione all analisi A = 1 A() B 3 A() C = ln A() D = A() g. Il dominio della funzione = 9 2 è: A ( 3, 3) B [ 3, 3] C R \ { ±1 } D (, 3] h. Il dominio della funzione = è: A R C > 0 B < 5 > 0 D 5 0 i. La funzione f() = interseca l asse delle ascisse nel punto: + 4 A (0, 3) B (2, 0) C (3, 0) D ( 3, 0) j. Il dominio della funzione = è: A R C R \ { 2, 3 } B { < 2 > 3 } D { 2 < < 3 } [Cinque risposte A, tre B, una C e una D]

125 6 L I M I T I Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell analisi matematica, quello di limite. Cominceremo ad analizzare questo concetto attraverso alcuni esempi, in cui ci familiarizzeremo con la nozione di limite a livello intuitivo. 6.1 concetto di limite Esempi introduttivi Limite finito quando tende a un valore finito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 3. analisi numerica Osserviamo che la funzione non è definita per = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di per valori di vicini a 3. Attribuendo per esempio a i valori indicati in tabella, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati. 2,9 2,99 2, ,001 3,01 3,1 5,9 5,99 5,999 non definita 6,001 6,01 6,1 6 Vediamo che quando la variabile assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della funzione in prossimità del valore = 3 (si dice anche «in un intorno di 3») scriviamo lim 3 f() = 6 che si legge «il limite di f() per che tende a 3 è 6». interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento della funzione per vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, perché f() = = ( 3)( + 3) 3 = + 3 per 3

126 122 limiti 6 lim f() = lim f() = (a) Limite finito quando tende a un valore finito (b) Limite finito quando tende a infinito lim 0 f() = + lim + f() = + (c) Limite infinito quando tende a un valore finito (d) Limite infinito quando tende a infinito Figura 25: Esempi di limiti Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (figura 25a). Limite finito quando tende a infinito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi. analisi numerica Attribuendo a i valori indicati nella tabella seguente, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati ,980 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 1

127 6.1 concetto di limite 123 Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi sempre più grandi (si dice «tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 1. Per esprimere questo comportamento della funzione scriviamo lim f() = 1 + che si legge «il limite della funzione f() per che tende a più infinito è 1». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = presenta la retta = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 25b e il paragrafo 6.4). Limite infinito quando tende a un valore finito Data la funzione = f() = 1 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 0. analisi numerica La funzione non è definita per = 0, tuttavia possiamo calcolare i valori di quando si avvicina a 0. Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati. 0,1 0,01 0, ,001 0,01 0, non definita i valori di diventano sempre più grandi Vediamo così che quando assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito». Scriveremo lim f() = + 0 che si legge «il limite di f() per che tende a 0 è più infinito». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = 1 l asse come asintoto verticale (vedi la figura 25c e il paragrafo 6.4). 2 presenta Limite infinito quando tende a infinito Data la funzione = f() = 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi.

128 124 limiti 1 lim f() = lim f() = Figura 26: Limite destro e limite sinistro analisi numerica Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati i valori di diventano (rapidamente) sempre più grandi Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi via via più grandi («tendenti a più infinito»), anche i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi (ovvero tendono anch essi a più infinito). Scriveremo allora lim f() = + + che si legge «il limite di f() per che tende a più infinito è più infinito». interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale che, com è noto, al crescere di assume valori che tendono rapidamente a + (figura 25d). Limite destro e limite sinistro Per poter dire che il limite di una funzione per a, con a R, è l, è necessario controllare che f() tenda a l sia quando si avvicina ad a per valori maggiori di a (ossia da destra rispetto ad a) sia quando si avvicina ad a per valori minori di a (ossia da sinistra rispetto ad a). avvicinamento da sinistra a avvicinamento da destra

129 6.2 calcolo dei limiti 125 In alcuni casi può accadere che il comportamento della funzione a destra di a sia diverso dal comportamento a sinistra di a. Per indagare queste situazioni si parla di limite destro e di limite sinistro e si scrive: lim f() per indicare il limite destro a + lim f() per indicare il limite sinistro a Per esempio, consideriamo la seguente funzione (chiamata anche segno di ): { 1 se > 0 f() = 1 se < 0 La funzione non è definita per = 0. La figura 26 mostra il grafico della funzione: per > 0 abbiamo che f() = 1, quindi per < 0 abbiamo che f() = 1, quindi lim f() = lim f() = 1 0 Si noti che non esiste invece il limite dalla funzione per 0, perché i due limiti destro e sinistro sono diversi tra loro. Come si può intuire da quest ultimo esempio, il limite di una funzione per a, con a R, esiste se e solo se i due limiti, destro e sinistro, esistono e sono uguali. Definizione di limite Dagli esempi precedenti dovrebbe emergere in modo sufficientemente chiaro il concetto di limite, di cui diamo la seguente definizione intuitiva. Definizione 28. Data una funzione f(), supponiamo che a e l rappresentino due numeri reali, oppure + o. Diremo che il limite della funzione f() per che tende ad a è l, e scriveremo lim f() = l a se la funzione f() assume valori vicini quanto si vuole a l tutte le volte che i valori di sono sufficientemente vicini ad a (con eventuale esclusione del punto = a, dove la funzione può non essere definita). 6.2 calcolo dei limiti Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto e definito il concetto di limite. Il problema che ci poniamo adesso è invece quello del calcolo dei limiti.

130 126 limiti Limiti di alcune funzioni elementari In base alla definizione di limite, è possibile dimostrare che valgono i limiti riassunti nella tabella 12. Tabella 12: Limiti di alcune funzioni elementari (a rappresenta un numero reale) lim a n = a n = a lim a lim a 3 = 3 a lim a 2 = 2 a lim a log = log a per ogni n intero Risultati analoghi valgono per le radici di indice (intero positivo) qualsiasi, e per le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche di base qualsiasi (purché > 0 e 1). Nel caso delle funzioni elementari il calcolo del limite per a, con a R appartenente al dominio della funzione, si riduce quindi a effettuare una semplice sostituzione. Per esempio: lim 3 2 = 3 2 = 9 Le figure 27 e 28 mostrano i limiti di alcune importanti funzioni elementari agli estremi del loro dominio. Per esempio: lim 3 = e lim + 3 = + lim 4 = + e lim + 4 = Algebra dei limiti Ci chiediamo ora: a partire dai limiti mostrati nella tabella 12, è possibile determinare i limiti di funzioni più complicate, costruite a partire dalle funzioni elementari mediante operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio, sappiamo che lim 3 = 8 e che lim 2 = 4; possiamo dire 2 2 che lim ( ) = 12 è la loro somma? 2 In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell operazione di limite rispetto alle operazioni tra funzioni. Cominciamo dal caso più semplice, in cui i limiti delle funzioni in gioco sono finiti.

131 6.2 calcolo dei limiti 127 = c, c R = (a) lim c = c lim c = c + (b) lim = lim = + + = n, n naturale pari = n, n naturale dispari 3 (c) lim n = + lim + n = + (d) lim n = lim + n = + Figura 27: Limiti della funzione costante e delle funzioni potenza agli estremi del dominio Regole di calcolo nel caso in cui i due limiti sono finiti Se due funzioni f e g hanno limiti finiti per a, l operazione di limite si comporta bene rispetto alle ordinarie operazioni, come espresso dalla seguente proposizione. Proposizione 1. Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe definite in un intorno di a (numero reale o ± ), eccetto al più a, e che sia lim f() = l 1 e lim g() = l 2 a a dove l 1, l 2 sono numeri reali. Allora risulta:

132 128 limiti = = 3 (a) lim = lim = + + (b) lim 3 = lim 3 = + + = 2 = (1/2) 1 1 (c) lim 2 = 0 lim + 2 = + (d) lim ( 1 2 ) = + lim + ( ) 1 = 0 2 = log 2 = log (e) lim log = lim log + 2 = + (f) lim log = + lim log + 1 = 2 Figura 28: Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi del dominio

133 6.2 calcolo dei limiti 129 lim a [f() ± g()] = l 1 ± l 2 lim a [f() g()] = l 1 l 2 f() lim a g() = l 1, se l 2 0 l 2 lim a [ c f() ] = c l1, per ogni c R Esercizio 80. Calcola il limite lim 2 ( ). Soluzione. lim 2 (3 + 2 ) = lim 3 + lim 2 = = Esercizio 81. Calcola il limite lim 3 2. Soluzione. lim 2 = 2 lim = 2 3 = Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due limiti è infinito Vediamo ora che cosa accade nei casi esclusi dalla proposizione precedente, ossia quando almeno uno dei due limiti l 1 o l 2 è infinito oppure in un quoziente il cui denominatore tende a 0. A proposito di questi casi, si possono dimostrare i risultati seguenti (dove a rappresenta un numero reale o ± ). Se lim a f() è Tabella 13: Regole per la somma e lim a g() l R + + l R allora lim a [f() + g()] è Se lim a f() è Tabella 14: Regole per il prodotto e lim a g() allora lim a [f() g()] è l R con l 0 ± ± secondo la regola dei segni ± ± ± secondo la regola dei segni

134 130 limiti Se lim a f() è Tabella 15: Regole per il quoziente e lim a g() f() allora lim a g() è l R ± 0 l R con l 0 0 ± secondo la regola dei segni ± l R ± secondo la regola dei segni È importante fare alcune osservazioni. Le tabelle non danno informazioni nel caso in cui il limite si presenti in una delle seguenti forme, dette forme di indecisione (o forme indeterminate): + 0 / 0/0 dove il simbolo 0 è un modo abbreviato per indicare le forme di indecisione del tipo 0 +, 0, + 0, 0 e analogamente il simbolo / è un modo abbreviato per indicare le forme + / +, + /, / +, /. Ciò non significa che in questi casi il limite sia indeterminato o non si possa calcolare, ma solo che non esiste alcun modo di stabilirne a priori il valore: occorre analizzare la situazione caso per caso. Vedremo i metodi più comuni per risolvere le forme di indecisione nel prossimo paragrafo. I risultati espressi nella tabelle 13, 14 e 15 si possono riassumere nelle uguaglianze della tabella 16. Esse possono interpretarsi come regole di calcolo algebrico per svolgere operazioni che coinvolgono i simboli di ± e prendono quindi il nome di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito ( parziale perché le regole di calcolo così definite soddisfano solo parzialmente le ordinarie proprietà delle operazioni aritmetiche). Tabella 16: Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito + + = + = (± ) (± ) = (± ) l ± = ± per ogni l R l = ± per ogni l R, con l 0 l = ± 0 per ogni l R, con l 0 l = 0 ± per ogni l R ± = ± l per ogni l R

135 6.2 calcolo dei limiti 131 lim f() = 0 lim f() = 0+ + Figura 29: lim f() = 0+ + In tutte le scritture della tabella 16 il segno dell infinito va determinato in base all ordinaria regola dei segni, tenendo conto che in questo contesto si attribuisce un segno anche a 0: lo 0 viene considerato positivo, e indicato con 0 +, se una funzione tende a 0 per eccesso, cioè assumendo valori positivi, mentre viene considerato negativo, e indicato con 0, se una funzione tende a 0 per difetto, cioè assumendo valori negativi (figura 29). Avremo, per esempio: = = 0 = + Esercizio 82. Calcola lim Soluzione. lim = 1 + = 0 Esercizio 83. Calcola ( lim + 1 ) Soluzione. Tenendo conto che quando 1 + si ha che si ha: ( + 1 ) = = 1 + = + lim Forme di indecisione di funzioni algebriche Questo paragrafo presenta le più comuni forme di indecisione che si presentano quando si lavora con funzioni algebriche intere e fratte.

136 132 limiti Limiti di di funzioni intere Le funzioni intere sono definite in tutto R, quindi si può incorrere in forme di indecisione solo nel calcolo dei limiti per ±. In questo caso, ci si può imbattere in una forma di indecisione del tipo +. Per esempio, ciò accade se si vuole calcolare: lim ± ( ) La risoluzione di queste forme di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliendo 3 si ha che: ( lim [ ± )] 3 Tutti i termini dopo 1 dentro le parentesi tonde tendono a 0 per ±, quindi il fattore tra parentesi tende a 1. Ne segue che lim ± ( ) = lim ± 3 = ± Questo ragionamento può ripetersi similmente per qualsiasi polinomio; possiamo quindi concludere che: per calcolare il limite di un polinomio per ± basta calcolare il limite del suo termine di grado massimo. Esercizio 84. Calcola lim + (2 4). Soluzione. lim + (2 4) = lim + 2 = + Esercizio 85. Calcola lim + ( ). Soluzione. lim + ( ) = lim + 23 = Esercizio 86. Calcola lim ( ). Soluzione. lim ( ) = lim 4 = +

137 6.2 calcolo dei limiti 133 Funzioni fratte Consideriamo ora una funzione fratta, cioè una funzione del tipo dove P() e Q() sono polinomi. f() = P() Q() Le funzioni fratte hanno come dominio l insieme R privato degli eventuali valori di che annullano il denominatore. Nel calcolo dei limiti di queste funzioni si può incorrere in due tipi di forme di indecisione: / nel calcolo dei limiti per ± oppure 0/0 nel calcolo dei limiti per a, dove a R è un punto in cui la funzione non è definita. Analizziamo separatamente i due casi. forme di indecisione del tipo / Per esempio, consideriamo il limite lim Sia il numeratore che il denominatore tendono a + per +, quindi il limite si presenta nella forma di indecisione + / +. La risoluzione della forma di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliamo anzitutto al numeratore e al denominatore i termini di grado massimo: lim ( = lim 2 1 ( ) 2 Tutti gli addendi dopo 1, sia all interno delle parentesi al numeratore che all interno delle parentesi al denominatore, tendono a 0 per +, quindi i due fattori tra parentesi tonde tendono entrambi a 1. Ne segue che: lim = lim + 2 = lim = + + Un ragionamento simile può ripetersi nel caso di tutti i limiti di funzioni fratte che si presentano nella forma /. Possiamo quindi concludere che per calcolare il limite del rapporto tra due polinomi per ± basta calcolare il limite del rapporto dei loro termini di grado massimo. )

138 134 limiti Esercizio 87. Calcola lim Soluzione lim = lim = lim 2 = + + Esercizio 88. Calcola 4 1 lim Soluzione. 4 1 lim = lim = lim = 0 Esercizio 89. Calcola lim Soluzione. lim = lim = 1 2 I tre esempi precedenti mostrano i tre diversi casi che possono presentarsi nel P() calcolo del limite lim, dove P() e Q() sono polinomi di gradi rispettivamente n ed ± Q() m: se n > m (vedi l esempio 87), allora se n < m (vedi l esempio 88), allora se n = m (vedi l esempio 89), allora lim ± lim ± P() Q() = ± P() Q() = 0 P() lim ± Q() = rapporto tra il coefficiente di n e il coefficiente di m

139 6.3 continuità 135 forme di indecisione del tipo 0/0 Se il limite del rapporto di due polinomi P() e Q() si presenta nella forma indeterminata 0/0 per a R, deve essere P(a) = Q(a) = 0, quindi i due polinomi P() e Q() devono essere divisibili per ( a). L indeterminazione si rimuove scomponendo P() e Q() in fattori e semplificando la frazione P()/Q(). Il limite della funzione ottenuta dopo la semplificazione del fattore ( a) coincide con quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali se = a e, ai fini del calcolo del limite, è ininfluente il valore della funzione in a. Esercizio 90. Calcola lim Soluzione. Osserviamo che lim 1 ( ) = 0 e lim 1 (2 1) = 0 quindi il limite si presenta nella forma 0 0. Per risolvere la forma di indecisione scomponiamo il numeratore e il denominatore e semplifichiamo il fattore in comune: lim ( 1)( + 4) = lim 1 ( 1)( + 1) = lim = continuità Intuitivamente, una funzione è continua se per tracciare il suo grafico non si stacca mai la penna dal foglio. Il concetto di limite permette di definire questa nozione in modo preciso. Continuità in un punto Definizione 29. Sia f una funzione definita in un intorno di a R. Se f() = f(a), la funzione f si dice continua in a. lim a È importante fare alcune osservazioni. Mentre l operazione di limite per a R riguarda il comportamento di una funzione in un intorno di a, disinteressandosi di ciò che accade nel punto a, la definizione di continuità richiede invece l analisi del comportamento della funzione sia in un intorno di a sia nel punto a, e impone che i due comportamenti non siano difformi.

140 136 limiti f(b) f(b) f(a) f(a) a b a b (a) La funzione f() è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta di poco da f(a) (b) La funzione f() non è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta in modo significativo da f(a) Figura 30: Funzioni continue e discontinue Intuitivamente, la condizione lim a f() = f(a) si può interpretare dicendo che «se è vicino ad a, allora f() è vicino a f(a)» (figura 30a). Osserva che questa condizione non è verificata se f non è continua in a (figura 30b) Funzioni continue Definizione 30. Se una funzione f di dominio D è continua in tutti i punti di un insieme A D, diremo che f è continua in A. Se f è continua in tutti i punti del suo dominio, diremo semplicemente che f è una funzione continua. Per esempio: le funzioni potenza = n con n N sono continue in R la funzione = 1 è continua in R \ { 0 } la funzione esponenziale = 2 è continua in R la funzione logaritmica = log è continua in (0, + ) Punti di discontinuità e loro classificazione Sia f una funzione definita in un intorno di a R. La condizione di continuità della funzione in a equivale alla seguente: lim f() = lim f() = f(a) a + a

141 6.3 continuità (a) Discontinuità di tipo salto (o di prima specie) (b) Discontinuità di seconda specie 3 (c) Discontinuità eliminabile (o di terza specie) Figura 31: Punti di discontinuità quindi richiede che siano verificate tre condizioni: 1. i due limiti lim f() e lim f() devono esistere finiti a + a 2. devono essere uguali tra loro 3. devono essere uguali a f(a) Se almeno una di queste tre condizioni non è soddisfatta, diremo che a è un punto di discontinuità della funzione. Si possono allora avere tre tipi diversi di punti di discontinuità, a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere. Analizziamo singolarmente ciascuno di questi casi. Punti di salto (o discontinuità di prima specie) Il primo tipo di discontinuità che analizziamo è relativo al caso in cui cade la condizione 2, cioè se i limiti lim f() e lim f() esistono finiti ma sono diversi a + a tra loro. Definizione 31. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è un punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i limiti di f per a + e a esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso il valore assoluto della differenza lim a f() lim f() si dice salto di f in = a. + a Esercizio 91. Studia i punti di discontinuità della funzione { 1 se > 0 f() = 1 se < 0

142 138 limiti Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 31a). È immediato verificare che f() = 1 e lim f() = 1 + lim 0 Perciò i limiti dalla destra e dalla sinistra di f per 0 esistono e sono finiti ma sono diversi tra loro. La funzione presenta in = 0 un punto di salto; precisamente, il salto vale 2. 0 Discontinuità di seconda specie Un altro tipo di discontinuità si presenta se cade la condizione 1, cioè quello in cui almeno uno dei due limiti lim f() e lim f() non esiste o è infinito. a + a Definizione 32. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è di seconda specie se almeno uno dei due limiti lim f() e lim f() non a + a esiste o è infinito. Esercizio 92. Studia i punti di discontinuità della funzione 1. Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 31c). Osserviamo che i limiti della funzione per 0 + e 0 sono infiniti; precisamente lim 0 f() = + e lim f() = + 0 quindi = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. Osserva che la retta = 0 (cioè l asse ) è un asintoto verticale per la funzione. Discontinuità eliminabili (o discontinuità di terza specie) L ultimo caso che ci resta da esaminare è quello in cui si verificano le condizioni 1 e 2, ma cade la 3, cioè quando esiste finito il limite lim f(), ma questo non è uguale a a f(a). Definizione 33. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è eliminabile in ciascuno di questi due casi: se esiste finito lim a f() ma f non è definita in a se esiste finito lim a f() ma il valore del limite è diverso da f(a)

143 6.4 asintoti 139 a l = m + q (a) Grafico di una funzione che ha la retta = a come asintoto verticale (b) Grafico di una funzione che ha la retta = l come asintoto orizzontale Figura 32: Asintoti (c) Grafico di una funzione che ha la retta = m + q come asintoto obliquo Esercizio 93. Studia i punti di discontinuità della funzione { + 3 se 3 f() = 0 se = 3. Soluzione. La funzione è definita in tutto R ed è continua per 3 (figura 31c). Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 3: lim f() = 6 3 Quindi il limite della funzione per 3 esiste ma è diverso da f(3) = 0. Osserva che non è difficile modificare la definizione della funzione precedente nel punto 3 in modo da ottenere una nuova funzione continua anche in 3; precisamente, la funzione { + 3 se 3 g() = 6 se = 3 (che coincide con f eccetto che per = 3) è continua in 3 perché lim 3 g() = g(3). 6.4 asintoti Consideriamo i grafici di funzione rappresentati nella figura 32: ciascuno di essi, per opportuni valori di, si avvicina sempre di più alle rette tratteggiate.

144 140 limiti Definizione 34. Una retta è un asintoto per il grafico di una funzione se tale grafico si avvicina sempre di più alla retta per certi valori di. In particolare, parleremo di asintoto verticale quando la retta è parallela all asse delle ordinate (figura 32a), di asintoto orizzontale quando la retta è parallela all asse delle ascisse (figura 32b) e di asintoto obliquo negli altri casi (figura 32c). In pratica, per cercare gli eventuali asintoti del grafico di una funzione bisogna analizzarne il comportamento agli estremi del dominio: al finito per gli asintoti verticali e all infinito per gli altri. Asintoti verticali Proposizione 2. Una retta di equazione = a, con a R, è un asintoto verticale per una funzione se almeno uno dei limiti della funzione per a + o per a è + o. Esercizio 94. Trova gli asintoti verticali della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 59). Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. 2 4 lim = = e lim = 2 0 = + quindi = 1 è un asintoto verticale (figura 33c). Asintoti orizzontali Proposizione 3. Una retta di equazione = l, con l R, è un asintoto orizzontale per una funzione se il limite della funzione per + o per è l.

145 6.4 asintoti 141 Esercizio 95. Trova gli asintoti orizzontali della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 59). Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per ±. 2 4 lim ± 1 = lim 2 ± = 2 quindi = 2 è un asintoto orizzontale (figura 33c). Asintoti obliqui Proposizione 4. La retta di equazione = m + q è un asintoto obliquo per la funzione = f() se e solo se: f() lim ± = m lim [f() m] = q ± dove m, q R, con m 0. In pratica, la proposizione precedente si usa così: se il dominio della funzione è illimitato superiormente, si verifica la presenza di un eventuale asintoto orizzontale per + : in caso positivo, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + f() in caso negativo, si calcola il lim : se questo limite non esiste finito, è + esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + altrimenti si assegna a m il suo valore e si calcola il lim + [f() m]: se questo limite non esiste finito, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + altrimenti si assegna a q il suo valore e la retta di equazione = m + q è un asintoto obliquo per il grafico della funzione se il dominio della funzione è illimitato inferiormente, si segue la stessa procedura per

146 142 limiti Esercizio 96. Trova gli asintoti obliqui della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 60), quindi, essendo inferiormente e superiormente illimitato, ha senso indagare sul comportamento della funzione sia per sia per +. Abbiamo che: lim ± 2 1 = lim 2 ± = lim = ± ± quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo: f() lim ± = lim ± 2 ( 1) = lim ± 1 = Poiché tale limite è finito, ha senso continuare: lim [f() m] = lim ± ± = lim ± [f() 1 ] ( 2 ) 1 2 ( 1) = lim ± = lim ± 1 = lim ± = lim ± lim ± = 1 = m = 1 1 = 1 = q = 1 Quindi c è un asintoto obliquo di equazione = + 1 (figure 33d e??). In generale, si può provare che: le funzioni intere, ovvero le funzioni di equazione = P(), dove P() è un polinomio, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P() è 1 (ovvero se e solo se il grafico della funzione è una retta); le funzioni fratte, ovvero le funzioni di equazione P()/Q(), dove P() e Q() sono due polinomi, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P() supera di 1 quello di Q().

147 6.5 grafico probabile di una funzione grafico probabile di una funzione Alla luce delle nuove conoscenze che abbiamo acquisito circa gli asintoti, riprendiamo il problema di tracciare il grafico di una funzione. Data una funzione, fino a questo punto eravamo in grado (almeno nei casi più semplici) di: 1. determinarne il dominio 2. riconoscerne eventuali simmetrie (rispetto all asse o all origine) 3. determinare gli eventuali punti di intersezione del suo grafico con gli assi 4. studiarne il segno Ora possiamo arricchire la nostra analisi con un quinto punto: 5. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli dove la funzione è definita Tutto ciò consente di studiare eventuali punti di discontinuità della funzione e di scoprire l esistenza di eventuali asintoti verticali e orizzontali; se non esistono asintoti orizzontali, siamo inoltre in grado di ricercare eventuali asintoti obliqui. L insieme delle informazioni ricavate nei cinque punti indicati consente in molti casi di tracciare il grafico di una funzione con buona approssimazione, come mostriamo nei prossimi esempi. Parleremo di grafico probabile perché alcuni elementi rimangono ancora incerti (per esempio la determinazione degli eventuali punti di minimo o di massimo). Esercizio 97. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = 2 4. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 58). La figura 19a riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 62 e 68). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per ±. lim 2 4 = lim 2 = ± ± ± Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.

148 144 limiti Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() lim ± = lim = lim ± ± = 2 = m = 2 Poiché tali limiti sono finiti, ha senso continuare: lim [f() m] = lim [f() 2 ] ± ± = lim (2 4 2) ± = lim ± 4 = 4 = q = 4 Concludiamo che l asintoto obliquo esiste e ha equazione = 2 4. Osserviamo che, in questo caso, l asintoto obliquo coincide con la funzione stessa. La figura 33a mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 98. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 58). La figura 19b riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 63 e 69). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per ±. lim ± = lim ± 2 = + Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() lim ± = lim = lim ± ± = lim = ± ± Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui. La figura 33b mostra le nuove informazioni raccolte.

149 6.5 grafico probabile di una funzione (a) = 2 4 (b) = = (c) = (d) = (e) = (f) = 2 1 Figura 33: Limiti di alcune funzioni

150 146 limiti Esercizio 99. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. La retta = 0 è un asintoto verticale (vedi l esercizio 94) e la retta = 0 è un asintoto orizzontale (vedi l esercizio 95). Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per ±, non ci sono asintoti obliqui. La figura 33c mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 100. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 60). La figura 19d riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 65 e 71). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti. Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per 1. 2 lim = 1 = + e lim 0 + quindi = 1 è un asintoto verticale = 1 0 = La funzione non ha asintoti orizzontali, mentre ha un asintoto obliquo di equazione = + 1 (vedi l esercizio 96). La figura 33d mostra le nuove informazioni raccolte.

151 6.5 grafico probabile di una funzione 147 Esercizio 101. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l esercizio 61). La figura 19e riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 66 e 72). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti. Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per 1 e per 1. e 2 4 lim = = e lim = 3 0 = lim = = + e lim = = quindi = 1 e = 1 sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per ±. 2 4 lim ± 2 1 = lim 2 ± 2 = 1 quindi = 1 è un asintoto orizzontale. Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per ±, non ci sono asintoti obliqui. La figura 33e mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 102. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l esercizio 61). La figura 19f riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 67 e 73). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.

152 148 limiti Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per 1 e per 1. e lim 1 + lim = 1 = + e lim = 1 = + e lim 0 quindi = 1 e = 1 sono asintoti verticali = 1 0 = 2 1 = = Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per ±. lim ± 2 1 = 0 quindi = 0 è un asintoto orizzontale. Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per ±, non ci sono asintoti obliqui. La figura 33f mostra le nuove informazioni raccolte. 6.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Deduci dal grafico 35a il valore dei seguenti limiti: a. lim f() c. lim 0 f() e. lim 1 + f() g. lim 3 f() b. lim 3 f() d. lim 1 f() f. lim 2 f() h. lim + f() 2 Deduci dal grafico 35b il valore dei seguenti limiti: a. lim f() b. lim 3 f() c. lim 3 + f() d. lim 0 f() e. lim 3 f() f. lim 3 + f() g. lim + f()

153 6.6 esercizi min (a) = 2 4 (b) = min = ma 1 2 (c) = (d) = min (e) = (f) = 2 1 Figura 34: Grafici di alcune funzioni

154 150 limiti (a) (b) (c) (d) (e) Figura 35: Approccio grafico al concetto di limite (f) 3 Deduci dal grafico 35c il valore dei seguenti limiti: a. lim f() c. lim 2 f() e. lim 2 f() g. lim 5 f() b. lim 3 f() d. lim 0 f() f. lim 2 + f() h. lim + f() 4 Deduci dal grafico 35d il valore dei seguenti limiti: a. lim f() b. lim f() c. lim f() d. lim f() Deduci dal grafico 35e il valore dei seguenti limiti: a. lim f() b. lim f() c. lim f() d. lim f() Deduci dal grafico 35f il valore dei seguenti limiti: a. lim f() b. lim f() c. lim f() d. lim f() 0 2 +

155 6.6 esercizi Indica la risposta corretta. a. Quanto vale lim 2 3? A 2 B 8 C D + b. Quanto vale lim + 3? A 0 B 1 C D + c. Quanto vale lim 3? A 0 B 1 C D + d. Quanto vale lim + 4? A 0 B 1 C D + e. Quanto vale lim 4? A 0 B 1 C D + f. Quanto vale lim + 10? A 0 B 1 C D + g. Quanto vale lim + 10? A 0 B 1 C D + ( ) 1 h. Quanto vale lim? + 2 A 0 B 1 C D + ( ) 1 i. Quanto vale lim? 2 A 0 B 1 C D + j. Quanto vale lim 0 + log 5? A 0 B 1 C D + k. Quanto vale lim log 0 + 1? 5 A 0 B 1 C D + l. Quanto vale lim 25 log 5? A 0 B 2 C D + [Due risposte A, due B, due C e sei D] 8 Vero o falso? ( ) 1 a. lim = 0 V F + 4 ( ) 1 b. lim = V F 4 c. lim = + V F + d. lim log + 1 = + V F 2 e. lim non ha senso V F f. lim 0 10 = 0 V F g. lim = + V F h. lim 10 = + V F i. lim + 10 = + V F j. lim 1 log = 0 V F [7 uguaglianze vere e 3 false] Calcola i seguenti limiti che non presentano forme di indecisione. 5 9 lim lim + (2 + 3 ) [+ ] [+ ] ( 11 lim ) ( 12 lim ) [+ ] [3]

156 152 limiti 5 13 lim lim [ ] [ ] 1 2 ( 1 15 lim ) lim [0] [0] Calcola i limiti delle seguenti funzioni polinomiali. 17 lim + ( ) 18 lim (3 5 1) [+ ] [ ] 19 lim + ( ) 20 lim + ( ) [+ ] [ ] Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione / lim lim + 23 lim 24 lim + 25 lim + 26 lim + 27 lim 28 lim [+ ] [2] [+ ] [0] [ ] [1] [ ] [2] lim lim lim lim lim lim ( + 1) 2 35 lim [+ ] [ ] 3 2 [0] [+ ] [0] [ 5 ] 2 [+ ] Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione 0/0. 36 lim lim lim lim lim lim [2] [ 8] [ ] [ 2] [ ] [18] 42 lim lim lim lim lim [4] [ ] 3 2 [ ] 5 4 [50] [0] 47 lim [1]

157 6.6 esercizi lim lim [16] [ ] lim [0] 51 lim Indica la risposta corretta. [ ] lim lim lim lim [2] [ ] 2 3 [ ] 5 3 [ 1] a. Quanto vale lim ? A 1 B 3 C + D b. Quanto vale lim ? A 1 B 3 C + D c. Quanto vale lim + ( )? A 0 B 1 C + D d. Quanto vale lim + 6? A 0 B 1 C + D e. Quanto vale lim + + 6? A 0 B 1 C + D Calcola i seguenti limiti lim lim lim ( 1 lim ( 1 lim + 5 ) [ ] [0] [ ] 1 3 [0] ) [0] 2 25 f. Quanto vale lim ? A 1 B 10 C g. Quanto vale lim 6? D A 0 B 1 C + D h. Quanto vale lim 0 6? A 0 B 1 C + D i. Quanto vale lim + 6? A 0 B 1 C + D + 6 j. Quanto vale lim ? A 0 B 1 C + D [Quattro risposte A, due B, due C e due D] ( ) 1 62 lim [+ ] 5 2 [ ] lim lim lim lim [0] [ ] 2 9 [+ ]

158 154 limiti 67 lim lim + (22 1) 69 lim [ ] 2 5 [+ ] [ ] lim lim 3 1 [ 1 ] 2 [ ] 72 Vero o falso? a. Se una funzione ha una discontinuità nel punto = 0, allora lim f() è 0 diverso da lim f(). V F 0 + b. Una funzione che ha una discontinuità nel punto = a può sempre essere ridefinita in = a, in modo da renderla continua in = a. V F c. Se la retta di equazione = a è un asintoto per la funzione f, allora il punto a è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. V F d. Sapendo che f(0) = 0 e lim 0 f() = 1, si può affermare che per = 0 la funzione f presenta un punto di discontinuità eliminabile. V F e. Sapendo che lim f() = 1 e che 0 lim f() = 1, si può affermare che 0 + per = 0 la funzione f presenta un punto di salto. V F [2 affermazioni vere e 3 false]