Parte I. Analisi sismica. Paolo Spinelli e Luca Salvatori Modello Corso strutturale di Progetto «perfetto» e Riabilitazione delle Strutture II

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1 Parte I Analisi sismica Supponiamo di avere a disposizione il «simulatore perfetto» Modello costitutivo «perfetto» Parametri «perfetti» Paolo Spinelli e Luca Salvatori Modello Corso strutturale di Progetto «perfetto» e Riabilitazione delle Strutture II 1

2 Analisi dinamica nonlineare Sembrerebbe l approccio più consistente Il sisma è un azione dinamica La muratura ha un comportamento nonlineare Come funziona: 1) Partiamo dall accelerogramma del terremoto 2) Simuliamo il comportamento dinamico della struttura (magari con il simulatore perfetto) 3) Verifichiamo che durante il sisma simulato la struttura non si sia danneggiata troppo CALCOLO DELLA DOMANDA 1) Generazione di accelerogrammi CALCOLO DELLA CAPACITÀ 1) Distribuzione di forze statiche α F 4 α F 3 α F 2 α F 1 2) Simulazione delle risposte 2) Analisi statica nonlineare (pushover) d α(d) 3) Determinazione della domanda di spostamento 3) Determinazione della capacità di spostamento α moltiplicatore del carico in funzione dello spostamento del punto di controllo d max i VERIFICA d S d R d S Paolo = media(d Spinelli maxi e ) Luca Salvatori Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture d R = dii u α max 0.8 αmax d 2

3 Analisi statica nonlinere Se un modo di vibrare attiva almeno il 60% della massa (per gli altri tipi di struttura il 75%) possiamo accontentarci della statica nonlineare (pushover). La domanda è ottenuta tramite la risposta in spostamento di un oscillatore elementare elasto plastico equivalente CALCOLO DELLA DOMANDA 1) Bilineare equivalente F F max 0.7F max 1 k 0.8V max 2) Oscillatore equivalente fattore di partecipazione modale periodo dell oscillatore equivalente 3) Risposta dell oscillatore equivalente d u d * d d * F F CALCOLO DELLA CAPACITÀ 1) Distribuzione di forze statiche α F 4 α F 3 α F 2 α F 1 2) Analisi statica nonlineare (pushover) 3) Determinazione della capacità di spostamento F F(d) moltiplicatore del carico in funzione dello spostamento del punto di controllo d α max d S = S De (T*) VERIFICA d S d R Paolo Spinelli e Luca Salvatori Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture d R = dii u 0.8 αmax d 3

4 Perché l analisi in termini di spostamenti? Non era più semplice assegnare il valore delle forze sismiche, come nella vecchia normativa? F R 1 k Per forze imposte si progetta per resistenza Per spostamenti imposti si progetta per resistenza, rigidezza e duttilità. x Fattore di duttilità μ = δ u / δ e 1 Resistenza Rigidezza Duttilità δ Paolo Spinelli e δ e Luca Salvatori u δ Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II R k μ Trave appoggiata con carico imposto δ P P R x M 1 k δ e δ Il progetto è basato solo sulla resistenza R k μ Resistenza Rigidezza Duttilità 4

5 Trave appoggiata con spostamento imposto F δ Progetto basato su rigidezza, resistenza e duttilità Fissata la rigidezza k ci sono infinite combinazioni di resistenza e duttilità (R,μ) che soddisfano il requisito. F R/R * R k μ R * 1 struttura verificata R 1 R 1 /R * R 2 R 2 /R * δ 2 δ 1 δ * δ 0 1 μ 1 μ 2 μ R = R Paolo Spinelli e Luca Salvatori Corso di Progetto * / μ e Riabilitazione delle Strutture II 5

6 Cosa c entra con il sisma l esempio della trave che con carico imposto si progetta per resistenza e che con spostamento imposto si progetta per resistenza rigidezza duttilità? Occorre in effetti fare un passo avanti nella comprensione del comportamento dinamico delle strutture sotto azione sismica. Esempio di analisi dinamica nel dominio del tempo Ciclo di isteresi F direzione del sisma J = 6.75 cm 4 M u = 23.2 kn m δ energia dissipata PGA = 0.2g a g /g [-] Paolo Spinelli e Luca Salvatori Corso di Progetto t [s] e Riabilitazione delle Strutture II 6

7 Trascurando la deformabilità della trave, il telaio si comporta come un oscillatore ad 1 GdL A) Oscillatore elastico m k g () md + cd + kd =-a t m Dati del problema m = kg k = 15.8 kn/mm ξ = 1% (rapporto di smorzamento) f u = 46.4 kn (nel caso elasto plastico) B) Oscillatore elastico perfettamente plastico m k f u int g () m d + c d + f =- a t m Simulazioni nel dominio del tempo (il caso B è ovviamente non lineare): Integrazione nel tempo con il metodo di Hilber Hughes Taylor Paolo Return Spinelli mapping e Luca Salvatori con il metodo Corso di Progetto Eulero all indietro e Riabilitazione delle Strutture II Simulazione tempi rallentati con fattore 1/4 spostamenti normalizzati ad 1 m Telaio elastico (A) Telaio elastico perfettamente plastico (B) (il colore indica l energia dissipata) 7

8 spostamento [m] t [s] 4 x 105 taglio alla base [N] Caso elastico (A) u max = 2.03 cm T max = 321 kn spostamento [m] t [s] 4 x 105 taglio alla base [N] Caso elastico perfettamente plastico (B) u max = 2.39 cm T max = 46 kn t [s] t [s] Cicli di isteresi responsabili della dissipazione di energia nel caso (B) tempi rallentati con fattore 1/2 elastico elasto plastico 8

9 Confronto nel caso di differenti valori del taglio ultimo Lo spostamento massimo si mantiene circa costante taglio alla base [N] 4 x elastico plastico (T max = 6 kn) plastico (T max = 46 kn) plastico (T max = 99 kn) u max = 2.03 cm u max = 1.78 cm u max = 2.39 cm u max = 1.97 cm Paolo Spinelli e Luca Salvatori spostamento Corso [m] di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II Fattore di struttura P q = R e /R 1 q = μ In caso di strutture molto rigide, piuttosto che l uguaglianza fra gli spostamenti dell oscillatore elastico e di quello elasto plastico si osserva un equivalenza dell energia di deformazione associata alle oscillazioni da cui si ricava P q 2 1 R e R e R 1 R 1 δ 1 δ u δ δ 1 δ e δ u δ μ = δ Paolo Spinelli e Luca Salvatori Corso di Progetto u /δ 1 e Riabilitazione delle Strutture II 9

10 Progettazione sismica di strutture duttili Dato un sisma di progetto posso progettare una struttura più duttile e meno resistente o più resistente e meno duttile. R/R * 1 struttura verificata Data una duttilità posso scalare l azione e scegliere una resistenza minore di quella corrispondente al caso elastico. 0 1 μ In altre parole, dato un sisma di progetto, posso progettare una struttura più resistente ma meno duttile, oppure una meno resistente ma più duttile (come per la trave appoggiata con spostamenti imposti). Analisi lineari con fattore di struttura (statiche o dinamiche) 1) Calcolo delle forze con lo spettro elastico abbattuto del fattore di struttura S [g] ) Analisi lineare (statica o dinamica con sovrapposizione modale) T [s] 2) Verifica degli elementi in termini di sollecitazioni (come se fossero fragili, dato che della duttilità si è già tenuto conto con il fattore di struttura) 10

11 Parte II Modellazione Materiale Muratura Disomogeneità Nonlinearità Anisotropia Incertezze sui parametri Difficoltà nel formulare modelli meccanici del materiale e delle strutture Modello ideale Coglie il maggior numero di comportamenti significativi Dipende da pochi parametri meccanici (possibilmente di facile determinazione) 11

12 Anisotropia e anisoresistenza Esempio: resistenza a trazione orizzontale Crisi per rottura a trazione dei blocchi f rottura blocchi t b ft 2 0 Crisi per scorrimento lungo i letti di malta a f b rottura blocchi 2 v0 0 t f a Paolo Spinelli b e Luca Salvatori Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II 12

13 Il comportamento dipende dalla tessitura muraria running bond Spanish bond English bond Gothic bond herringbone bond Flemish bond Modelli a macro elementi (pannelli) Parete Modelli a mensola a telaio (con o senza nodi rigidi) elementi finiti 13

14 Pannello murario Idealizzazione del pannello murario Caratteristiche di sollecitazione nel piano Stati limite nel piano 14

15 Presso flessione Consideriamo inizialmente le seguenti ipotesi: conservazione delle sezioni piane; non resistenza a trazione; legame elastico lineare a compressione. e 0 e l 6 e l 6 e l 6 max max max max Dall equilibrio alla rotazione si ottiene l ' ì 1 se el 1 6, = ï í la lunghezza della zona parzializzata l ï 1.5-3el se e l > 1 6. ïî Schiacciamento della muratura Se la tensione σ max supera la resistenza a compressione del materiale il diagramma lineare non va bene. Considerando un legame elastico perfettamente plastico si ha e 0.22l max e si possono ricavare l e l * dall equilibrio alla traslazione e rotazione. 15

16 Stato limite ultimo per pressoflessione Dall equilibrio si ricava con M u 2 Pl P 0tl 0 P lt f 2 f 0 P tl Presso flessione nel DM 08 Nel DM 08 la presso flessione nel piano si può verificare, come si è visto, implicitamente tramite l uso del coefficiente φ l. Per l azione sismica invece si usa esplicitamente la formula precedente, ponendo il coefficiente di riduzione della resistenza a compressione 0.85 e f fd fk M. M u 2 Pl P 0tl 0 P ltfd fd dominio resistente 16

17 Stato limite per scorrimento orizzontale Basato sul criterio di rottura di Mohr Coulomb σ xx zx xz. zz c xz u zz t xz f v 0 s zz -f ch f t s zz s xx Vu l t 0 0 dtdl f th V u tl u -f c Fessurazione diagonale Basato sul criterio di Rankine della massima tensione principale s zz t xz f t u f t f zz 1 t s zz s xx -f c 17

18 Nella Circolare, sostituisce la verifica a scorrimento negli edifici esistenti. Con particolare indicazione per la muratura a tessitura irregolare. ftd 0 V tl 1 b f u 0 P tl td 1b h 1.5 l Distribuzione uniforme (b=1) (pannelli tozzi) Distribuzione parabolica alla Jouraski (b=1.5) (pannelli snelli) Resistenza in funzione di snellezza e impegno a compressione V u /P u P/P u 18

19 Metodo «POR» IPOTESI: 1) Solai infinitamente rigidi nel proprio piano 2) Maschi elasto plastici con duttilità limitata 3) Stato limite per fessurazione diagonale 4) Duttilità prefissata funzione del materiale 5) Fasce di piano infinitamente rigide e infinitamente resistenti 6) Sforzo normale nei maschi costante 7) Analisi per piani 8) Statica non lineare in controllo di carico LIMITI: a) Ignorata la rottura per pressoflessione. b) Nella realtà le fasce si rompono o possono essere assenti. c) Per rispettare l equilibrio globale, lo sforzo normale nei maschi varia al crescere delle forze orizzontali. Analisi in controllo di carico Curva carico spostamento di una parete, a partire dalle curve relative ai singoli pannelli A livello di piano nascono effetti torsionali 19

20 Effetti della rigidezza delle fasce di piano fasce di piano infinitamente flessibili fasce di piano infinitamente rigide Paolo Spinelli e Luca Salvatori fasce di Corso piano di di Progetto rigidezza e Riabilitazione finita delle Strutture II Metodo PORFlex IPOTESI: 1) Solai infinitamente rigidi nel proprio piano 2) Maschi elasto plastici con duttilità limitata 3) Stati limite per fessurazione diagonale e pressoflessione 4) Duttilità prefissata funzione del materiale 5) Fasce di piano infinitamente rigide con rottura fragile 6) Sforzo normale nei maschi costante 7) Analisi per piani 8) Statica non lineare in controllo di carico LIMITI: a) Lo sforzo normale nei maschi varia al crescere delle forze orizzontali (equilibrio globale non rispettato). b) Ignora il momento trasmesso dai maschi ai piani superiori (equilibrio al nodo non rispettato). rottura di una fascia 20

21 Analisi statica non lineare secondo DM 08 IPOTESI: 1) (Solai infinitamente rigidi nel proprio piano) 2) Maschi elasto plastici con duttilità limitata 3) Stati limite per scorrimento (edifici nuovi) o fessurazione diagonale (edifici esistenti) e pressoflessione 4) Duttilità dipendente anche dalle dimensioni del pannello 5) Fasce di piano infinitamente rigide con rottura fragile 6) Sforzo normale nei maschi variabile con le azioni orizzontali 7) Analisi per di tutto l edificio 8) Statica non lineare in controllo (indiretto) di spostamento (pushover) sforzi normali variabili con le azioni orizzontali Sui nodi rigidi (1/2) Le intersezioni fra fasce e pannelli verticali vengono modellate come nodi rigidi (o parzialmente tali) Le intersezioni fra fasce e pannelli verticali si danneggiano a causa della singolarità creata dallo spigolo concavo dell apertura Paolo Spinelli e Luca Salvatori Corso di Progetto Analisi e Riabilitazione FEM non lineare delle Strutture II 21

22 Sui nodi rigidi (2/2) Se si apre una finestra lo schema cambia senza continuità da quello a mensola a un telaio a nodi rigidi Modelli a telaio applicati a pareti regolari 22

23 Definizione dei pannelli resistenti 23

24 24

25 Parte III Prove sperimentali sul comportamento dei pannelli (macroelementi) Comportamento sperimentale dei pannelli inviluppo 25

26 Limite convenzionale di spostamento V max 0.7V max V Spostamento ultimo definito in corrispondenza di una riduzione della resistenza del 20% 1 k e e 0.8V max du inviluppo bilineare equivalente d Rigidezza definita sulla secante per il 70% della resistenza massima Resistenza definita per equivalenza energetica Duttilità e limiti di spostamento CRISI PER PRESSOFLESSIONE CRISI PER TAGLIO TRAZIONE Comportamento duttile Rapida riduzione della resistenza Maggiore conservazione della rigidezza (softening) Ridotta dissipazione energetica Comportamento poco duttile Riduzione della rigidezza (danno) Forte dissipazione (isteresi) 26

27 Parte IV Modelli numerici 1 MODELLI DISCRETI Utili per l analisi limite P Possono essere impiegati per la modellazione della microstruttura Ridotto numero di parametri meccanici Onerosi 27

28 2 MODELLI CONTINUI (VIA FEM) Rappresentano l approccio più versatile Scelta del modello costitutivo fra le centinaia disponibili Necessità di software «avanzati» e operatori esperti Necessità di tempo uomo per la modellazione e tempomacchina per la soluzione Definizione dei parametri del modello Non tiene conto esplicitamente della microstruttura NODAL SOLUTION STEP=8 SUB =5 TIME=7.25 SZ (AVG) RSYS=0 DMX = SMN =-.401E+07 SMX =.131E+07 MODELLO S.M.F. MX Z X Y MN JUN :12: E Esempio di modello al continuo 16 parametri di input! [Lourenço, 1998] 28

29 3 MACROELEMENTI Si basano sul comportamento macroscopico di maschi e fasce Efficaci per pareti regolari I modelli di danno dei pannelli sembrano ancora troppo rudimentali (almeno se confrontati con la sofisticazione dell analisi) Vanno ancora formalizzati modelli soddisfacenti per le fasce di piano Difficoltà nel modellare geometrie complesse (presenza di archi, piattabande) ed irregolari per le quali maschi e fasce non appaiono ben definiti FEM vs Macroelmenti (1/2) 29

30 FEM vs Macroelmenti (2/2) 4 Modelli omogenizzati e multiscala flat arch Ridotto numero di parametri meccanici La complessità è suddivisa fra modello geometrico della microstruttura e modello costitutivo microstrutturale (più semplice del caso continuo) Consentono modellazione accurata del dettaglio (archi, piatabande, ecc.) Attualmente limitati ad applicazioni accademiche Elevato onere computazionale. 30