Esercizio 1: Automobili

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1 Esercizio 1: Automobili Cinque nuovi modelli di automobile sono stati lanciati sul mercato di recente e le riviste del settore li stanno valutando, confrontandoli in base a quattro caratteristiche: sicurezza, consumi, estetica e accessori. Una commissione di esperti ha valutato i nuovi modelli: per ciascuna delle quattro caratteristiche i modelli hanno ricevuto un voto da 1 (mediocre) a 3 (eccellente), come riportato nella tabella qui sotto. Automobile Sicurezza Consumi Estetica Accessori Ca M Sp N KK Attribuendo un peso a ciascuna delle quattro caratteristiche si ottiene una valutazione complessiva di ogni modello di automobile. I quattro pesi da attribuire alle quattro caratteristiche sono espressi in percentuale (cioè la loro somma è sempre pari a 100%). Per comodità, si vuole che nessuno di questi pesi sia inferiore a 10% né superiore a tutti gli altri sommati insieme e che per comodità tutti i pesi siano multipli interi di 10%. L esperto ing. Guido Lamoto ha suggerito sulla rivista specializzata Ruota di Scorta di pesare le quattro caratteristiche nel modo seguente. Sicurezza 40% Consumi 30% Estetica 10% Accessori 20% Domanda 1 [1]. In base a questa pesatura, qual è il modello di automobile migliore? Domanda 2 [4]. La rivista specializzata Pistoni e cilindri invia ad ogni casa automobilistica un questionario, in cui sono indicati solo i voti riportati dal modello di automobile prodotto da quella casa, in modo che nessuna abbia informazioni sui voti ottenuti dai concorrenti. Nel questionario si chiede di scegliere i pesi da attribuire alle quattro caratteristiche (nel rispetto delle condizioni elencate sopra) in modo da dare una valutazione complessiva del proprio modello di automobile. Ovviamente ogni casa automobilistica ha interesse a massimizzare il punteggio complessivo del proprio modello di automobile, scegliendo nel modo più conveniente i pesi delle quattro caratteristiche. Qual è il massimo punteggio complessivo che può ottenere ciascun modello di automobile, grazie ad un opportuna scelta dei pesi? Domanda 3 [10]. La rivista specializzata Valvole e bielle spedisce ad ogni casa automobilistica l intera tabella dei voti, compresi quelli ottenuti dai modelli delle case concorrenti e chiede ad ogni casa automobilistica di scegliere una pesatura delle quattro caratteristiche in base alla quale stilare una classifica dei nuovi modelli. Ogni casa vuole dimostrare che esiste un opportuno modo di pesare le quattro caratteristiche tale per cui il suo modello di automobile risulta il migliore nella classifica complessiva. E possibile per tutti i modelli? Per quali sì e per quali no? Domanda 4 [10]. Per ogni modello di automobile per cui la risposta alla domanda precedente è sì, si vuole anche sapere quali sono i pesi da attribuire alle quattro caratteristiche in modo che quel modello risulti il migliore, massimizzando il distacco rispetto al voto complessivo del modello che con quella stessa pesatura risulterebbe secondo classificato.

2 Esercizio 2: Rover esploratori Un team di esperti sta pianificando le operazioni che due rover dovranno compiere sul pianeta Marte. L insieme delle operazioni che si vorrebbero eseguire è dato. Per eseguirle saranno disponibili due rover identici. Ogni operazione, se viene eseguita, consuma una certa quantità di energia e ciascuno dei due rover dispone di energia in quantità limitata. Quindi non è detto che tutte le operazioni possano essere eseguite. Ogni operazione ha un dato valore dal punto di vista scientifico e si vuole massimizzare il valore complessivo di tutte le operazioni eseguite. Ogni operazione naturalmente può essere eseguita una sola volta da un solo rover. Ogni rover può restare temporaneamente inattivo, se ciò è necessario, ma non può eseguire più di un operazione per volta. La durata di ogni operazione è nota ed il tempo disponibile per completare le operazioni è anch esso limitato (e uguale per tutti e due i rover). Nella tabella seguente le durate sono espresse in minuti, il consumo in KiloJoule, il valore in Euro. Ogni rover ha a disposizione 30 ore e 69 KiloJoule. Operazioni Durata Consumo Valore , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Domanda 1 [14]. Assegnare in modo ottimale le operazioni ai due rover. Domanda 2 [1]. Qual è il massimo valore scientifico ottenibile dalle operazioni? Domanda 3 [5]. Qual è il massimo valore scientifico ottenibile se uno dei due rover, a causa di un guasto, può funzionare solo per 15 ore anziché 30?

3 Esercizio 3: La spesa di Marilù Marilù sta facendo una stage Erasmus all estero e periodicamente deve fare la spesa. Lei e le sue amiche sono ghiotte di pasta all uovo ma nella città dove abita Marilù la pasta all uovo si trova in vendita solo in un piccolo negozietto di periferia dall altra parte della città. Marilù vuole quindi pianificare la sua spesa di pasta in modo da minimizzare il numero di viaggi che deve fare. Poiché Marilù si sposta in bicicletta, ogni volta che fa la spesa può portare nel cestino solo un massimo di 1500 grammi di pasta. Marilù ha previsto il consumo di pasta dei prossimi giorni, che dipende da quante amiche inviterà a cena ogni sera. Marilù inizialmente ha in dispensa solo 100 grammi di pasta. Poiché la negoziante produce la pasta all uovo con le sue mani, nel negozietto è possibile acquistare qualunque quantitativo di pasta. Giorni Pasta Tabella dei consumi previsti (grammi) Giorni Prezzo 1 1,00 2 1,00 3 0,80 4 0,80 5 0,80 6 1,00 7 1,00 8 1,00 9 1, , , , , , , , , , , , ,80 Tabella del prezzo della pasta (Euro/Kg) Domanda 1 [5] Quante volte dovrà fare la spesa Marilù, come minimo? Domanda 2 [5] Volendo fare il minimo numero di viaggi, in quali giorni dovrà fare la spesa e quanta pasta dovrà acquistare ogni volta? Domanda 3 [8] Marilù ha saputo che il prezzo della pasta cambierà durante i prossimi giorni, a causa di offerte speciali. Sapreste consigliarle come organizzare la spesa in modo da risparmiare il più possibile, ma senza fare più viaggi del minimo indispensabile? Domanda 4 [2] Se Marilù fosse disposta a fare un viaggio in più del minimo indispensabile, quanto potrebbe risparmiare e in che modo?

4 Esercizio 4: Rete logistica Un impresa olandese nel settore dell elettronica di largo consumo produce un impianto stereofonico destinato al mercato britannico. Il prodotto è assemblato nello stabilimento di Rotterdam, successivamente immagazzinato nei magazzini di Bristol e Middlesborough e infine trasportato ai punti vendita che sono situati a Londra, Birmingham, Leeds ed Edimburgo e che hanno una domanda annua nota (v. tabella 1). Punto vendita Domanda annua Londra Birmingham Leeds Edimburgo Tab. 1: Domanda di impianti nei punti-vendita (unità di prodotto/anno). I costi di trasporto di ogni unità di prodotto dall impianto di assemblaggio ai magazzini e da questi ai punti-vendita sono noti (v. tabelle 2 e 3). Costi di trasporto ( Bristol Middlesborough à) Rotterdam 24,50 26,00 Tab. 2: Costi di trasporto dalla produzione ai magazzini Costi di trasporto ( Londra Birmingham Leeds Edimburgo à) Bristol 9,60 7,00 15,20 28,50 Middlesborough 19,50 13,30 5,00 11,30 Tab. 3: Costi di trasporto dai magazzini ai punti-vendita. I due magazzini hanno una capacità di unità e vengono riforniti 10 volte l anno: perciò la domanda annua che ciascuno di essi può soddisfare è pari a unità. Domanda 1 [9]. Quante unità di prodotto devono essere trasportate ogni anno lungo ciascuno dei collegamenti che descrivono questa rete logistica, per soddisfare la domanda del mercato in modo da minimizzare i costi complessivi di trasporto? Domanda 2 [1]. Qual è il costo di trasporto che l azienda deve sostenere ogni anno? Domanda 3 [1+2+2]. E possibile aumentare del 20% la capacità dei magazzini. Il costo per questo intervento ammonterebbe a Euro per ogni magazzino ampliato. Si vuole sapere se ciò porterebbe ad una diminuzione dei costi di trasporto annui [1] e, in caso affermativo, quale magazzino converrebbe ampliare (uno solo o entrambi? [2]) e dopo quanti anni il costo dei lavori di ampliamento verrebbe ripagato dai risparmi conseguiti dall azienda sui trasporti [2].

5 Esercizio 5: Tiro al piattello In una gara di tiro al piattello si hanno a disposizione due colpi per ogni piattello. Il piattello percorre una traiettoria a parabola nota: si conoscono infatti la velocità con cui viene lanciato il piattello e l angolo di lancio. Il tiratore deve scegliere il momento migliore per sparare, tenendo conto di due fattori: la visibilità del piattello e la sua stabilità. Riguardo alla visibilità si definisce un indice di visibilità v direttamente proporzionale, tramite un coefficiente, all altezza h da terra: v = h. Il valore di è l inverso dell altezza massima raggiunta dal piattello, sicché l indice di visibilità v varia da 0 (livello del terreno) a 1 (altezza massima della traiettoria rispetto al terreno). La stabilità invece dipende dalle vibrazioni che possono subentrare nel moto del piattello al passare del tempo: si definisce quindi un indice di stabilità s che decresce col passare del tempo secondo la legge s = e^(- t / ), dove è un coefficiente noto e t è il tempo trascorso dall istante di lancio. Anche l indice di stabilità varia quindi tra 0 e 1. Si suppone che il tempo impiegato dal proiettile per colpire il piattello sia trascurabile e che l effetto dell attrito sulla traiettoria del piattello sia anch esso trascurabile. La probabilità di colpire il piattello è pari al prodotto dei due indici v e s. Sono noti i valori dei due coefficienti, = 0,05 1/m e = 0,80 sec. I riflessi del tiratore gli consentono di sparare non prima di 0,5 secondi dalla partenza del piattello. Domanda 1 [10] Qual è il tempo impiegato dal piattello per raggiungere l apice della sua traiettoria? Domanda 2 [10]: Qual è l istante ideale per sparare? Domanda 3 [9]: Si supponga che il tiratore abbia a disposizione due colpi per ogni piattello e li possa sparare ad un intervallo di tempo pari ad almeno 0,25 secondi. Egli vuole massimizzare la probabilità di colpire il piattello nel peggiore dei due casi. Quando deve sparare i due colpi? Domanda 4 [1]. Qual è la probabilità di colpire il piattello in ciascuno dei due casi? [Nota: l accelerazione di gravità è pari a g = 9,81 m/sec^2]