Complessità computazionale

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1 Complessità computazionale Francesco Paoli Istituzioni di logica, Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 1 / 20

2 Un rappresentante di commercio... deve recarsi a Cagliari, Carbonia, Muravera, Oristano e Sanluri (non importa in quale ordine). rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 2 / 20

3 Un rappresentante di commercio... deve recarsi a Cagliari, Carbonia, Muravera, Oristano e Sanluri (non importa in quale ordine). Più chilometri percorre, più aumentano i costi (in tempo e in denaro). rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 2 / 20

4 Un rappresentante di commercio... deve recarsi a Cagliari, Carbonia, Muravera, Oristano e Sanluri (non importa in quale ordine). Più chilometri percorre, più aumentano i costi (in tempo e in denaro). Quale percorso gli conviene fare? rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 2 / 20

5 Quando un algoritmo è effi ciente? Prima proposta: Quando produce la soluzione desiderata in un tempo rapido. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 3 / 20

6 Quando un algoritmo è effi ciente? Prima proposta: Quando produce la soluzione desiderata in un tempo rapido. DIFETTI: la velocità di calcolo dipende dal computer su cui l algoritmo è implementato e dal linguaggio di programmazione usato. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 3 / 20

7 Quando un algoritmo è effi ciente? Prima proposta: Quando produce la soluzione desiderata in un tempo rapido. DIFETTI: la velocità di calcolo dipende dal computer su cui l algoritmo è implementato e dal linguaggio di programmazione usato. Si vuole una definizione di effi cienza che non dipende da questi fattori accidentali. rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 3 / 20

8 Se eseguo un algoritmo su una macchina di Turing: La lunghezza dell input è il numero di 1 presenti sul nastro all inizio del calcolo. La lunghezza del calcolo è il numero di passi necessari alla macchina per terminare l esecuzione dell algoritmo. QUESTE NOZIONI NON DIPENDONO DALLA MACCHINA DI TURING SU CUI L ALGORITMO E IMPLEMENTATO Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 4 / 20

9 Algoritmi effi cienti Definition Un algoritmo A è polinomiale (P) quando la lunghezza del calcolo è maggiorata da una funzione polinomiale della lunghezza dell input. Se N è la lunghezza del calcolo, n è lunghezza dell input, A è polinomiale sse esistono k, C tali che per ogni n N < Cn k rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 5 / 20

10 Algoritmi ineffi cienti Definition Un algoritmo A è esponenziale (P) quando la lunghezza del calcolo è maggiorata solo da funzioni esponenziali della lunghezza dell input. Ad esempio, N = 2 n rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 6 / 20

11 Perché polinomiale = effi ciente, esponenziale = ineffi ciente? Aumento della lunghezza del calcolo in funzione della lunghezza dell input: N = n N = 2 n Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 7 / 20

12 Perché polinomiale = effi ciente, esponenziale = ineffi ciente? (2) Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 8 / 20

13 Torniamo al nostro rappresentante... Se deve visitare n località, i percorsi possibili sono n! La funzione fattoriale cresce più rapidamente di 2 n L ALGORITMO DELLA RICERCA ESAUSTIVA E TIPICAMENTE INEFFICIENTE!!! Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 9 / 20

14 Problemi di decisione Variante decisionale del problema del commesso viaggiatore: Dato un insieme di località e un numero B, esiste un percorso che tocchi tutti i luoghi e abbia una lunghezza al massimo pari a B? rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 10 / 20

15 Macchine di Turing non deterministiche Presentano istruzioni che violano la clausola di determinatezza. Ad esempio: L R 4 Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 11 / 20

16 Algoritmi NP Definition Un algoritmo A è NP quando la lunghezza del calcolo su una macchina di Turing non deterministica è data da una funzione polinomiale della lunghezza dell input. rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 12 / 20

17 Algoritmo NP per il rappresentante di commercio 1 Sceglie a caso il primo luogo da visitare, poi il secondo, poi il terzo... ; 2 Calcola il percorso totale; 3 Lo confronta col numero assegnato B. Supponendo che a ogni stadio si indovini la località successiva, il risultato corretto sarà calcolato in tempo polinomiale. La probabilità che ciò si verifichi nella realtà è 1 n! Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 13 / 20

18 Problemi NP-completi Definition Un problema è NP completo se una sua eventuale soluzione polinomiale implica una soluzione polinomiale di ogni altro problema NP. Theorem (Cook). Determinare se una formula della logica proposizionale è soddisfacibile mediante le tavole di verità è un problema NP-completo. Anche il commesso viaggiatore, e molti altri problemi NP, lo sono. rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 14 / 20

19 P=NP? E convinzione generale che i problemi NP non siano P... Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 15 / 20

20 P=NP? E convinzione generale che i problemi NP non siano P ma nessuno è mai riuscito a dimostrarlo. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 15 / 20

21 P=NP? E convinzione generale che i problemi NP non siano P ma nessuno è mai riuscito a dimostrarlo. PROVATECI: se ci riuscite avrete gloria imperitura... Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 15 / 20

22 P=NP? E convinzione generale che i problemi NP non siano P ma nessuno è mai riuscito a dimostrarlo. PROVATECI: se ci riuscite avrete gloria imperitura e di dollari in contanti (Clay Institute) rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 15 / 20

23 Programmazione lineare Algoritmi ineffi cienti in teoria possono funzionare bene con dati semplici (ossia nella maggior parte dei problemi pratici). ESEMPIO: programmazione lineare, che funziona nei problemi di ottimizzazione. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 16 / 20

24 Esempio dell industria tessile (1) Un industria produce due tessuti, A e B, usando lana rossa, verde e gialla In magazzino ci sono: 1400 kg lana rossa 1800 kg lana verde 1800 kg lana gialla Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 17 / 20

25 Esempio dell industria tessile (2) Il profitto dell azienda è 12 Euro per ogni pezza di tessuto A e 8 Euro per ogni pezza di tessuto B. La lana occorrente per ciascuna pezza è: Tessuto A Tessuto B lana rossa 4 kg 4 kg lana verde 6 kg 3 kg lana gialla 2 kg 6 kg Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 18 / 20

26 Esempio dell industria tessile (3) Come dobbiamo usare la lana in modo da massimizzare il profitto? X = numero di unità di tessuto A Y = numero di unità di tessuto B P = 12X + 8Y 4X + 4Y X + 3Y X + 6Y X 0 Y Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 19 / 20

27 Esempio dell industria tessile (4) Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Complessità computazionale 20 / 20