APPENDICE 4. sono determinati imponendo che la (2) sia verificata p W M

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1 APPENDICE 4 PROBLEA DI DIRICHLET PER L EQUAZIONE DI POISSON 2D SOLUZIONE COL ETODO DEGLI ELEENTI FINITI EDIANTE ATLAB assmlano d Aquno Fomulazone del poblema Consdeamo l seguente poblema d valo al contono: 2 u = u = g f n su, () 2 dove u C ( ), f C ( ), g C ( ). In tal potes la soluzone u del poblema esste ed è unca nello spazo delle funzon contnue, devabl due volte e con devate lmtate. Tale soluzone vene detta soluzone fote del poblema (). S è vsto dalla tattazone potata nella nota 4 ce esste una fomulazone debole del poblema (), desctta dalla seguente equazone: p uˆ dv = p f dv + p u dv p C ( ), (2) dove p è la geneca funzone peso appatenente allo spazo delle funzon contnue ce s annullano sulla fontea d, la funzone û è tale ce u = uˆ + u spett la condzone al contono u = g, con u polungamento d g nell nteno d (esste sempe se g è suffcentemente egolae). In questo modo è facle vefcae ce l ncognta û è soluzone d un poblema d Dclet omogeneo. E mpotante ossevae ce spetto alla fomulazone fote () stavolta è cesta mnoe egolatà alla funzone ncognta, n quanto è suffcente ce essa sa devable una sola volta. etodo d Galen Questo metodo consste nel cecae un appossmazone û della soluzone û n uno spazo a dmensone fnta. A tale scopo s consdea un sottospazo W d C ( ) d dmensone fnta e una base d quest ultmo B { w K, } funzon d base s ottene: = w =,. Espmo la funzone ncognta û medante le uˆ = a w, (3) dove coeffcent a sono detemnat mpono ce la (2) sa vefcata p W. In ealtà, l fatto ce le funzon w sono lneamente ndpent mplca ce è suffcente mpoe la (2) pe le sole funzon d base w. Dunque, appae cao ce così faco la (2) s taduce n un sstema d equazon n altettante ncognte :

2 = ( w w dv) a = w f dv + w u dv =, K,, (4) ce s può scvee nella foma usuale: L a = b, (5) dove la matce d stffness L, smmetca e defnta postva, è caattezzata da l, = w w dv (6) e l temne noto da b = w f dv + w u dv. (7) etodo degl element fnt C feamo adesso alla soluzone della (4) n un domno bdmensonale. Assumamo ce sa stata Τ =, K, del domno n tangol (ad. Es. quella d fgua ). effettuata una patzone { } Nt Fg.. Tangolazone del domno E necessao a questo punto effettuae la scelta delle funzon d base. La scelta pù comune consste nello sceglee funzon lnea dette a ta tal ce: w ( P ) δ, =, (8) dove δ, è l smbolo d Konece. E mpotante sottolneae ce questa scelta mplca un ulteoe popetà della matce L ce consste nella spastà. Opeae con matc spase puttosto ce pene è molto pù convenente n quanto la soluzone del conseguente sstema lneae può essee ottenuta con metod teatv ce n queste condzon offono pestazon molto elevate. Con questa scelta delle funzon d base, esta oa da patcolazzae le espesson degl ntegal (6)-(7), teno oppotunamente n conto l fatto ce l domno è stato suddvso n tangol. Consdeamo l tangolo d vetc P, P, P (tena supposta antoaa) avent coodnate catesane spettvamente x, y ),( x, y ),( x, y ). L espessone analtca della geneca funzone w stetta all -mo tangolo ( è: w ( x, y) = a x + b y + c, (9) ( ) ( ) ( ) ( )

3 a ( ) A = 2 A = 2 ( ) ( y y ), b ( x x ) = 2 A [( x y x y ) + ( x y x y ) + ( x y x y )] ( ), c = ( x y x y ) 2 A è l aea del tangolo., () e l gadente d ( ) w è dato dalla semplce espessone: ( ) ( ) ( ) w ( x, y) = a xˆ + b yˆ. () D conseguenza coeffcent dat dalla (6) dventano: Nt w w dv = w w dv = = = Nt ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a + b b ) l, = A. (2) () () () Pocé pe la natua delle funzon a ta coeffcent a, b, a, soltanto nel tangolo -mo, s vede caamente ce contbuscono al coeffcente tangol ce anno n comune entamb vetc P, P (fg. 2). () b sono dves da zeo l, solo Fg.2. Contbut a coeffcent Cò suggesce ce al momento dell mplementazone, come vedemo successvamente, un modo effcente pe calcolae quest coeffcent è effettuae un cclo su tangol della mes e sommae contbut d cascun tangolo a coeffcent elatv a nod ad esso appatenent. Resta oa da affontae l assemblaggo del temne noto (7). Pe quanto guada l pmo ntegale, esstono fomule d dvesa accuatezza: una comunemente usata ed accuata al pmo odne nell aea del tangolo è: ( b) A w f dv f ( P ), (3) 3 ( b) dove P ( P + P + P )/ 3 l, = è l bacento del tangolo. Pe quanto guada l secondo temne, è necessao specfcae la foma della funzone u. S supponga d odnae nod della mes nel seguente modo come:, K, N 4 K, N +,, N Ne. Così faco sceglamo la funzone u 3 nod nten nod d fontea

4 u N + = Ne s= N + g( P s ) w s. (4) In questo modo la u è nulla ne nod nten, dunque s a ce ne nod nten la funzone ncognta û concde con l ncognta u del poblema nzale (). Sosttuo le (3)-(4) nella (7) s ottene: b = N t = w f dv + N t = w u dv N t = N + Ne ( b) A f ( P ) + g( Ps ) l, s. (5) 3 s= N + A questo punto ossevamo ce è suffcente consdeae soltanto le N equazon sctte pe nod nten della mes, dato ce la funzone ncognta è nota sulla fontea. Cò consente un spamo d memoa e d costo computazonale nella soluzone d un sstema lneae d odne nfeoe, sopattutto nel caso usuale d applcazon n cu la soluzone del poblema d valo al contono deve essee effettuata petutamente (ad es. pe ogn passo tempoale d una ntegazone numeca). Implementazone con atlab Poblema d Dclet nel ceco untao Nella dscussone pecedente s è supposto ce fosse dsponble una tangolazone del domno ; d seguto vedamo come geneae questa mes tangolae con atlab. Il modo pù mmedato consste nell utlzzo del toolbox PDE (patal dffeental equatons) ce pemette tamte una comoda ntefacca utente d dsegnae l domno 2D e geneae n manea automatca la mes tangolae. Dal pompt d atlab, dgtando l comando pdetool s apà la fnesta pncpale del toolbox (fg.3) fg.3. Fnesta pncpale d pdetool Clccando su pulsant della baa degl stument è possble taccae domn d dvese fome, ance combnandone pù d uno. E convenente dsegnae pma l domno gossolanamente e po modfcane paamet faco doppo clc su d esso (fg. 4).

5 Fg. 4. odfca delle caattestce geometce del domno Una volta ceato l domno è possble geneae la mes ago sul pulsante con l tangolo ed eventualmente affnala con l pulsante a fanco a seconda delle esgenze d accuatezza. Una volta geneata la mes è possble espotala medante l comando Expot mes nel menu es (fg. 5). Fg. 5. Espotazone della mes n atlab La mes vene espotata pe default nelle matc p, e, t ce descvamo bevemente d seguto: atce p: matce de nod della mes [ 2 N p ] ( N p è l numeo d nod della mes). La pma ga contene le ascsse de nod, la seconda contene le odnate. La numeazone de nod è data dall ndce d colonna n questa matce (la colonna -ma cosponde a nodo ). 7 N e ( N e è l numeo d nod del contono). La pma e la seconda ga contengono gl ndc de nod nzal e fnal de segment elementa d fontea, la teza e la quata ga contengono valo nzal e fnal del paameto (non levante a fn della nosta tattazone), la qunta ga contene l numeo del segmento d fontea, la sesta e la settma contengono nume de sottodomn a desta e a snsta del segmento. Le ge mpotant sono le pme due ce ne cas d domn semplc c fonscono l elenco de nod d fontea, cosa ce seve a fn del tattamento delle condzon al contono. atce e: matce del contono della mes [ ]

6 atce t: matce de tangol della mes [ ] 4 N t ( N t è l numeo d tangol). E fose la pù mpotante n quanto fonsce la elazone d appatenenza ta nod e tangol. La geneca colonna -ma cosponde al -mo tangolo e contene la tena antoaa degl ndc de nod,, appatenent ad esso. Il valoe nella quata ga è l numeo d sottodomno al quale appatene l tangolo ed è utle pe poblem d valo al contono n cu paamet dell equazone sono dves a seconda delle zone del domno (ad es. delettc con dvese pemttvtà, ecc.). Vedamo oa come costue un codce semplce con atlab pe solvee l poblema fomulato pecedentemente. Innanztutto saà necessao ceae ed espotae la mes come appena desctto. Nel seguto s suppone ce la stuttua dat espotata sa quella d default delle matc p, e, t. Nella fase d nzalzzazone s defnscono paamet, le matc e vetto ce s utlzzano pe solvee l sstema lneae. S not ce la matce d stffness K è esplctamente defnta spasa pe tae vantaggo delle potenzaltà d atlab nell opeae su matc spase. Inolte qu vene ance fssato l valoe della funzone ncognta ne nod d fontea attaveso la functon g_fun.m Nt=sze(t,2); Np=sze(p,2); Ne=sze(e,2); K=spase(Np,Np); F=zeos(Np,); U=zeos(Np,); F=e(,:); U(F)=g_fun(p(,F),p(2,F)); % numeo d tangol della mes % numeo d nod % numeo d nod d fontea % matce d stffness % temne noto % vettoe delle ncognte nodal % ndc de nod d fontea % mpongo U=g sulla fontea del domno Successvamente s passa all assemblaggo della matce d stffness e del temne noto (pe cu vene utlzzata la funzone f_fun.m), effettuato medante un cclo su tangol come accennato n pecedenza: fo n=:nt n=t(,n); n=t(2,n); n=t(3,n); x=p(,n); y=p(2,n); x=p(,n); y=p(2,n); x=p(,n); y=p(2,n); % ASSEBLAGGIO della matce d stffness % ndc de nod del tangolo n-mo % coodnate de vetc del tangolo n-mo a=y-y; b=x-x; a=y-y; b=x-x; a=y-y; b=x-x; D=[ x y; x y; x y]; A=det(D)/2; % aea del tangolo n-mo A=det(D)/2 px=/2/a*a; py=/2/a*b; px=/2/a*a; py=/2/a*b; px=/2/a*a; % component x,y de gadent d w, w, w

7 py=/2/a*b; K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); stffness K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); K(n,n) = K(n,n); K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); K(n,n) = K(n,n); K(n,n) = K(n,n) + A*(px*px+py*py); K(n,n) = K(n,n); % contbut alla matce d xc=(x+x+x)/3; yc=(y+y+y)/3; % coodnate del bacento del tangolo n-mo F([n n n])=f([n n n])+f_fun(xc,yc)*a/3; % assemblaggo temne noto Successvamente esta da mplementae le condzon al contono. Una manea semplce ma non ottmale consste nell mpoe dettamente ne nod d fontea le equazon u = g( P ) = N, K, N + N (6) e avo qu supposto ce nod sano odnat n modo da avee pma quell nten e po quell d fontea, cosa ce non accade automatcamente all atto della geneazone d mes. In ealtà l odnamento non è mpotante e nella patca le (6) possono essee mplementate potandole nel temne noto come segue: K(F,:Np)=; % mplementazone delle condzon al contono tpo Dclet fo =:Ne % Nel nodo -mo d fontea l'equazone è U()=g() K(F(),F())=; F(F)=U(F); Il passo fnale consste nella soluzone del sstema lneae assemblato pecedentemente e nella vsualzzazone della soluzone: U=K\-F; % Soluzone del sstema lneae pdeplot(p,e,t,'xydata',u,'contou','on'); % plot della soluzone Questo codce d esempo è dsponble nel fle DemoPosson.m. Infne, s pota a ttolo llustatvo una pocedua pe costue l sstema dotto alle equazon ne nod nten, ottenuto sommando un ulteoe contbuto al temne noto (ved eq.(5)) elmnando po nella matce d stffness ge e colonne elatve a nod d fontea. Così faco s duce l odne del sstema lneae e se ne veloczza la soluzone. fo =:Np f any(==e(,:ne)) K(,:Np)=zeos(,Np); F=F-U()*K(:Np,); K(:Np,)=zeos(Np,); K=spase(Np-Ne,Np); K2=spase(Np-Ne,Np-Ne); F=zeos(Np-Ne,); % cclo su nod % se l nodo "" è d fontea alloa % azzeo ga -ma d K % completo l'assemblaggo del temne noto % azzeo la colonna -ma d K % matce d stffness auslaa dotta % matce d stffness dotta % temne noto dotto a sol punt nten

8 w=; fo =:Np f K(,)~= K(w,:Np)=K(,:Np); F(w)=F(); w=w+; w=; fo =:Np f K(,)~= K2(:Np-Ne,w)=K(:Np-Ne,); w=w+; U=K2\-F; w=; fo =:Np f not(any(==e(,:ne))) U()=U(w); w=w+; % cclo d elmnazone ge nod d fontea % cclo d elmnazone colonne nod d fontea % soluzone del poblema dotto % costuzone dell'ncognta su tutt nod pdeplot(p,e,t,'xydata',u,'contou','on'); % plot della soluzone Questo stalco d codce è ncluso nello scpt DemoPosson2.m Bencma Testng del codce E buona noma, una volta pepaato un codce numeco, effettuae un test su un caso dotato d soluzone analtca allo scopo d vefcae ce non v sano eo gossolan. A ttolo d esempo, nel nosto caso del poblema (), un caso semplce è l seguente: 2 u = n u = su, dove è l dsco d cento l ogne e d aggo untao. E facle vefcae ce la soluzone analtca è la 2 2 x y funzone u( x, y) =. 4 Nella fgua a fanco s pota un dagamma della soluzone ottenuta con l codce pesentato. Lo scpt PDEtool pe costue la mes è contenuto nel fle esuntds.m Rfement []. G. ano, Appunt del Coso d odell Numec pe Camp, 25 [2]. Patal Dffeental Equatons Toolbox use s gude, Te atwos 22.