Metodi di integrazione numerica

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1 Metod d ntegazone numeca Con patcolae emento agl element sopaametc ove compae anche l Jacobano, non è possble espmee analtcamente temn che compaono nell ntegale d volume dell elemento Occoe qund coee all ntegazone numeca, necessaamente appossmata, consdeando anche l atto che la veloctà d ntegazone è un punto ctco ne temp complessv d calcolo S esamnano due metod: Newton-Cotes e Gauss-Legende Gl ntegal saanno sosttut da sommatoe pesate monodmensonale bdmensonale tdmensonale L A V d w e,sd ds ww j,s e j j,s,t d ds dt ww jwk,s j,t e j k k Reendos pe semplctà al caso monodmensonale, l ntegazone d () n d è basata sulla ceca d un polnomo G() passante pe punt e qund calcolane l ntegale La detemnazone d G() è convenentemente eettuata medante ntepolazone lagangana (l = see polnomale Lagange) l G

2 Metodo d Newton-Cotes In questo caso s scelgono n punt equdstanzat nell ntevallo d ntegazone ( a - b ) a b a d w e Le ncognte da detemnae sono pes w b a n b d l d e a con n b b a n n j j j j l j n Potando uo dall ntegale valo costant s detemnano pes w b a l d Vedamo ad esempo l calcolo pe n = 3 = - ; = 0 ; 3 = l l l3 3 3

3 b a d l w 3 d d l w 3 d - d l w 3 d d l w w d Che alto non è che la egola d Smpson S potano n tabella valo gà calcolat pe pes ntegat pe element sopaametc dove la vaable spaza ta - e + ( b - a = ) Tapezo Smpson Il punto ondamentale è che utlzzando n punt s ntega esattamente un polnomo d odne n-

4 Metodo d Gauss-Legende In questo caso s scelgono n- punt non equdstanzat nell ntevallo d ntegazone ( a - b ), sono natt scelt n modo da aggungee la massma accuatezza Questo metodo consente un levante spamo ne punt d ntegazone n quanto con n punt d ntegazone s può ntegae esattamente un polnomo d gado n- Le ncognte da detemnae sono n questo caso n, ed esattamente n valo del peso w ed n poszon d S deve consdeae un polnomo agguntvo d gado n P n Che s annulla pe tutt gl = Con esso s può dene una nuova unzone nteganda G() d odne n- n n 0 n G l P a a a a S può oa ntegae la unzone su suo estem d ntegazone n d l d a P G n- 0 d n condzon pe detemnae w n condzon pe detemnae

5 S not n patcolae che l metodo non a uso de punt estemal del domno Pe l calcolo della II pate s utlzzano polnom d Legende (pe questo l metodo pota anche l suo nome) talascando dettagl analtc s ottengono le seguent poszon de punt d ntegazone e de pes Il metodo d ntegazone d Gauss è comunemente utlzzato n quanto consente d due d un attoe vcno a temp d valutazone delle sngole matc d gdezza dell elemento

6 Detemnazone dello stato tensonale nteno S è gà detto che lo stato tensonale nteno s cava dalla σ,s,t DB,s,t D ε 0 σ 0 Tuttava, la unzone B non è calcolata n modo esatto n ogn punto nteno, ma sulta pù o meno appossmata a seconda del punto d valutazone (s coda omulazone debole) È natuale pensae d cavae tale valoe su nod, ove s conosce anche lo spostamento, putoppo n tale poszone s ha massmo d scostamento ta l valoe esatto e quello appossmato S può nvece dmostae che la massma accuatezza s ha ne punt d Gauss, petanto tutt codc onscono mappe o contou degl stat tensonal e d deomazone ottenute consdeando solo valo ne punt d Gauss Scelta dell odne d ntegazone Tale scelta, codando che la soluzone è esatta pe polnom d odne n- usando Gauss, dpende dal gado della unzone nteganda Pe element egola è agevole detemnae l gado della unzone nteganda n quanto l Jacobano è costante; se nvece l elemento è dstoto l gado della unzone non è pù detemnable teocamente e può sube ncement pe mgloae l accuatezza Sccome l numeo d punt d Gauss s può sceglee a pacmento, s valutno le seguent poszon:

7 Un uso eccessvo d punt d Gauss compota allungamento de temp d calcolo L uso d un numeo nsucente d punt d ntegazone (sottontegazone) può potae a matc sngola quando s ha uno stato d deomazone costante n tutt punt d ntegazone L appossmazone della gdezza è sempe dall alto, una ceta sottontegazone può compensae tale eetto potando a sultat mglo L uso d ntegazone selettva pe alcun element hemtan consente d elmnae enomen ndesdeat come l lockng anche con omulazon che lo pevedeebbeo Ugualmente l ntegazone dotta può consente d tattae mateal ncompessbl (=0.5) La tabella onsce ndcazon pe gl element pan

8 Se la sottontegazone è toppo spnta s possono nnescae mod spu ovveo mod d deomazone o meccansm nascost con enega d deomazone nulla Pe un sngolo elemento l numeo d meccansm può calcolas dalla M G N L n G = gdl pe nodo N = numeo d nod L = gdl modo gdo = ango matce elastctà n = punt ntegazone Se M < 0 non s hanno meccansm spu n G N L Dato che valutae ne punt la unzone nteganda equvale a ae un camponamento, è necessao pevedee che l camponamento sa sucente pe tutt gdl d deomazone possbl, depuat de mod gd Esemp: Elemento membana a nod = 3 L = 3 N = G = M 3 3 Con punto d ntegazone s hanno due mod spu Elemento membana a 8 nod = 3 L = 3 N = 8 G = M Con ntegazone x one s ha modo spuo

9 Dstoson ammssbl S è gà detto che, pe eetto del Jacobano, sultat mglo s hanno con element egola (tangol equlate, quadat, cub) Se la dstosone è accentuata la matce d gdezza è mpecsa Pe valo ancoa pù accentuat l Jacobano dvene non nvetble S possono dstnguee te categoe d dstosone Rappoto altezza/laghezza Rappoto oma Dstosone angolae Rappoto : element ove s vuole pecsone nelle tenson, :0 pe element lontan zone ctche : se pecso, :0 se non ctco Angol non mno 5 se lat, 5 se tangol

10 Una veca della dstosone s può ae medante la Jacobana, pe un asta a te nod: x 3 3 (x ) (x ) (x 3 ) (-) (0) (+) x J x x x3 x x x3 Il detemnante è dento postvo se In = con x = 0 e x 3 = L In = - con x = 0 e x 3 = L 3 x L x L Zona ammssble 3 (x ) (x ) (x 3 ) Pe element a omulazone quadatca

11 Integazone selettva S dscute un esempo elatvo all elemento sopaametco pano a nod (analogo dscoso vale pe l sopaametco soldo a 8 nod) y u y x x u S vuole a vedee che tale elemento non unzona coettamente n pesenza d gadent d sollectazone In una sollectazone d lessone pua nel suo pano l elemento s dmosta pù gdo della ealtà, cò è mputable al taglo, teocamente tascuable s 3 h h 3,s s,s s,s s,s s h h u,s u s s s s u,s u s v,s 0 u x, y ; Sosttuendo se ettangolo u x y ; v x,y ab 0 x s y a b

12 S ha una deomazone a taglo: s S può notae che solo nel cento la deomazone a taglo è eettvamente nulla u v xy, u x 0 y x ab xy 0,0 0 Cò a pensae ad una possble soluzone, ossa sottontegae la gdezza d taglo (utlzzando un solo punto al cento) ed ntegae penamente le alte component T T K ε σ dv γ τ dv V e V e punt d ntegazone punto d ntegazone Un alta possble soluzone saebbe ottenble utlzzando element supepaametc Autovalo della matce d gdezza Gl autovalo della matce d gdezza sono popozonal all enega potenzale elastca assocata a mod d deomazone Ess possono one nume d mod gd assocat all elemento L enega d deomazone è U T K La soluzone agl autovalo onsce Φ T K Φ Λ Autovetto odnat n colonna Autovalo nella dagonale

13 In una sollectazone d tpo peodco, Passando dal emento sco a quello modale K F K Φα F = coodnate modal Pemoltplcando pe T Φ Φ T K Φα Φ T F Λ α Φ T F L ultma espessone onsce n equazon dsaccoppate, s possono cavae coecent d patecpazone modale Φ T F Φ T K Φ U Gl autovetto sono mod pncpal dell elemento Gl autovalo sono popozonal all enega elastca del modo -esmo Gl autovalo null sono cospondent a mod a enega d deomazone nulla: Se tale numeo è maggoe de mod gd alloa sono pesent mod spu, l campo d spostament è nvaante se cambando l emento le autounzon non cambano

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15 Poch autovalo null, spetto a mot gd possbl, ndcano l ncapactà dell elemento a sube spostament gd senza tensonas Topp autovalo null ndcano l nsogee d meccansm non gd assocat a enega d deomazone nulla (mod spu) Gl autovalo non debbono vaae spetto al sstema d emento adottato spostament è nvaante l campo d Patch Test Poposto da Ions, consente d detemnae se pe un elemento sono vecate le condzon d moto gdo e d stato d deomazone costante Se un elemento passa l Patch Test, alloa aumentando l nttmento s ha una convegenza monotona della soluzone Devono compae alcun nod all nteno della stuttua n esame S mpone un campo d spostament nodale tale da geneae uno stato nteno d deomazone costante Se l sultato numeco evdenza una deomazone costante all nteno l patch test è supeato S tenga nne pesente che esstono molte omulazon d element nt, non necessaamente tutte soddsano l Patch Test

16 Stme a-posteo dell eoe d dscetzzazone Il punto d patenza d un buona dscetzzazone è la scelta d un elemento adatto al poblema tattato Una buona dscetzzazone pevede nttment dove gadent d tensone sono mpotant Se gl element sono così tt da essee n condzon sml a stat costant d tensone la soluzone è vcna alla convegenza Esste tuttava un metodo d stma a-posteo (poposto da Zenkewcz e Zhu che vene utlzzato da codc d calcolo pe anament automatc della mesh Il metodo evdenza le dscontnutà nel campo delle tenson lungo bod degl element (ma unzona solo ne poblem lnea!) Andamento dello stato tensonale ta element contgu tensone

17 Come oma chao, solto l poblema n temn d spostament s possono detemnae le sollectazon all nteno Pe evdenzae gadn al bodo, vene calcolata una tensone pe ogn nodo lvellata a tutt gl element che concoono n tale nodo A questo punto, pe ogn elemento s cononta l eoe commesso, sa esso Δσ σ elemento σ lvellata L enega assocata all eoe è denta dalla e elem ΔσT V e D Δσ dv L eoe complessvo vene n genee nomalzzato n appoto all enega elastca mmagazznata E tot e elem Eoe tot Etot 00 U E I codc pù evolut nttscono la mesh solo dove tale eoe supea una pedetemnata sogla, eventualmente con appossmazon successve tot