DIPARTIMENTO DI SCIENZE POLITICHE E SOCIALI ABILITÀ LOGICO-MATEMATICHE A.A. 2018/2019 EQUAZIONI

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1 1 IDENTITÀ ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza EQUAZIONI ( + ) = + + Possiamo facilmente verificare che questa uguaglianza è SEMPRE VERIFICATA qualunque valore numerico noi attribuiamo alle lettere x ed y. Ad esempio, se ad x diamo il valore di 1 e ad y il valore di, avremo: (1+) = (1) () = = 9 Proviamo ora ad assegnare ad x il valore di - e ad y il valore di, avremo: (-+) = (-) + + (-) () 1 = = 1 Potremmo andare avanti così a provare a sostituire tutti i valori che vogliamo alla x e alla y e scoprire che la nostra eguaglianza è sempre verificata. Ciò è dovuto al fatto che x + y + xy non è altro che un modo diverso di scrivere (x+y). Quando una UGUAGLIANZA è SEMPRE VERIFICATA qualunque siano i valori attributi alle sue lettere, diciamo che quella uguaglianza è una identità. Ora, invece, consideriamo quest'altra uguaglianza: x = 6 Proviamo a sostituire alla x il valore -1. Avremo: (-1) = 6 - = 6

2 Vediamo che l'uguaglianza non viene verificata. Potremmo provare a sostituire alla x altri valori, ma è abbastanza intuitivo capire che, solamente se diamo alla x il valore, la nostra eguaglianza sarà verificata. Infatti: () = 6 6 = 6 L'UGUAGLIANZA tra due espressioni letterali, che è VERIFICATA solo per PARTICOLARI VALORI attribuiti alle sue lettere, prende il nome di equazione. COSA SONO I PROBLEMI CON LE EQUAZIONI Immaginiamo di dover risolvere un problema in cui, disponendo di alcuni dati, si deve determinare una quantità incognita. Ad esempio: Giorgio ha 11 matite, ossia matite più un quarto delle matite di Andrea. Quante matite ha Andrea? Tre fratelli hanno ciascuno euro in più del fratello minore. Sapendo che in totale hanno 40 euro e 0 centesimi, quanti soldi ha il fratello più grande? La grandezza x soddisfa la proporzione x : = (x+1) : 9. Qual è il suo valore? Il doppio di un numero naturale diminuito della sua metà è uguale a 0. Qual è il numero? Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%, pari a 6 centesimi. Quanto costa una mela? Quelli elencati sono esempi di problemi con le equazioni di primo grado. COME RISOLVERE I PROBLEMI CON LE EQUAZIONI Il procedimento per risolvere un problema con le equazioni consiste di pochi, semplici passaggi. Volendolo sintetizzare, potremmo dire che tutto si riduce a: tradurre correttamente il testo nella corrispondente equazione; risolvere l equazione Più dettagliatamente, le fasi per la risoluzione dei problemi con le equazioni prevedono di 1. Leggere con attenzione il testo del problema Anche più volte se necessario! Per cominciare col piede giusto si devono identificare con esattezza i dati e comprendere la logica della traccia.

3 . Scegliere l incognita Solitamente, soprattutto per i problemi più semplici, l incognita va scelta in modo che corrisponda al dato richiesto dal problema. In genere, va indicata con la lettera x.. Tradurre il testo nell equazione risolutiva Vale a dire, scrivere un equazione che traduca in linguaggio simbolico il problema. A costo di rileggere la traccia più e più volte, bisogna assicurarsi che ci sia una perfetta corrispondenza 4. Risolvere l equazione 5. Verifica conclusiva: discutere l accettabilità della soluzione Basta verificare se la soluzione che è stata determinata ha senso nei confronti del problema. A tal proposito non si deve dimenticare che non si sta risolvendo un equazione fine a se stessa, ma la si sta usando per risolvere un problema con un significato ben preciso. Esempio 1.: Giorgio ha 11 matite, ossia matite più un quarto delle matite di Andrea. Quante matite ha Andrea? Scegliamo come incognita x il numero di matite di Andrea e traduciamo il testo in equazione. Analizziamolo pezzo per pezzo: Giorgio ha 11 matite Il primo dato è il numero di matite di Giorgio ossia matite più un quarto di Andrea. ossia ha il significato di uguale a. La traccia ci suggerisce la seguente equazione risolutiva: 11 = + 4 Risolvendola si ottiene la soluzione del problema: 11 = 4 4 = 8

4 4 = 4 8 = La soluzione è accettabile perché è coerente col significato dell incognita (numero di matite). Esempio.: Tre fratelli hanno ciascuno euro in più del fratello minore. Sapendo che in totale hanno 40 euro e 0 centesimi, quanti soldi ha il fratello più grande? Scegliamo come incognita la quantità di soldi del fratello più grande e rileggiamo il testo. Tre fratelli hanno ciascuno euro in più del fratello minore Sapendo che in totale hanno 40 euro e 0 centesimi. Dall analisi della traccia capiamo di dover impostare un equazione in cui dobbiamo uguagliare la somma dei capitali dei tre fratelli, espressa in termini dell incognita x, alla quantità di denaro totale, che è 40 euro e 0 centesimi. Per scrivere la somma dei soldi di ciascun fratello in funzione dei soldi del fratello maggiore, ci serviamo dell informazione: Tre fratelli hanno ciascuno euro in più del fratello minore Soldi del fratello maggiore: x Soldi del fratello intermedio: Soldi del fratello minore: ( ) = 6 Non ci resta che impostare l equazione risolutiva: + ( ) + ( 6) = 40,0 e risolverla: 9 = 40,0 = 40,0 + 9 = 49,0 = 49,0 = 16,90

5 5 La soluzione è accettabile perché è coerente col significato dell incognita (quantità di denaro in euro). Esempio.: La grandezza x soddisfa la proporzione x : = (x+1) : 9. Qual è il suo valore? Questo problema di primo grado è piuttosto semplice perché non richiede particolari traduzioni. Il testo ci fornisce una proporzione: : = ( + 1): 9 Dobbiamo semplicemente tradurla in un equazione di primo grado usando la proprietà fondamentale (il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi). 9 = ( + 1) 9 = + 9 = 6 = = 6 = 1 Anche in questo caso la soluzione è accettabile, infatti nel testo si menziona una grandezza non meglio precisata. Esempio 4.: Il doppio di numero naturale diminuito della sua metà è uguale a 0; qual è il numero? Se indichiamo con x il numero da trovare, il suo doppio è x e la sua metà. L equazione risolutiva si ottiene traducendo in simboli il testo del problema: il doppio di un numero naturale x diminuito segno della sua metà è uguale a 0 =0 L equazione risolutiva è quindi:

6 6 1 = 0 4 = 0 = 0 = 0 = 40 Dal momento che = 1, non è un numero naturale (come invece richiesto dal problema) possiamo concludere che il problema non ha soluzioni. Esempio 5.: Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%, pari a 6 centesimi. Quanto costa una mela? Essendo un po contorto, questo esempio richiede estrema attenzione. Scegliamo come incognita x il prezzo di una singola mela e ragioniamo sulle singole parti del testo: Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%... Molto meglio esprimere la percentuale sotto forma di frazione, per poi ridurla ai minimi termini pari a 6 centesimi 15%5 = = = 4 Lo sconto del 15% sulle 5 mele ammonta a 6 centesimi, quindi l equazione risolutiva è = 0,6 4 = 4 0,6 = 4 0,1 = 0,48 e in conclusione il prezzo di una mela è pari a 48 centesimi.