8.1 - Urti tra due punti materiali

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1 8.1 - Urti tra due punti materiali Urti tra due punti materiali Un urto è un evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce, per un tempo relativamente breve, sui corpi che entrano in contatto tra loro; le forze in tal caso vengono dette impulsive. Consideriamo ad esempio due oggetti che entrano in contatto tra loro: le forze che si sprigionano nel contatto tra i due corpi, saranno F(t) e F(t) per il 3 principio, e dal 2 principio d P dt = F(t) d P = F(t)dt da cui integrando: d P = P = t f t i F(t)dt quest ultimo integrale al 2 membro possiamo chiamarlo J = t f t i F(t)dt ed è definito come impulso dell urto. Graficamente l impulso è l area della curva F(t) tra t i e t f e la relazione che abbiamo trovato P = J è detto Teorema dell impulso. Confrontando l espressioni di prima abbiamo quindi che J = F t (F F medio) e t è la durata dell urto. In altre parole un impulso, che è dovuto all applicazione di una qualche forza in un intervallo di tempo, produce una variazione di quantità di moto. Durante gli urti, nonostante le forze che intervengono sono in genere intense e producono impulsi grandi, esse sono comunque interne al sistema costituito dagli oggetti urtanti ed il tempo di interazione è invece molto piccolo. Se ci troviamo in queste condizioni le forze esterne al sistema (quali ad es. la forza di gravità ) possono produrre impulsi molto piccoli e trascurabili rispetto alle variazioni di impulso del urto stesso. Allora il sistema di oggetti che urta è praticamente chiuso ed isolato Per tali sistemi abbiamo visto che dal momento che F ext = 0 d P dt = 0 P tot = cost Questo significa che in tutti i tipi di urto si ha la conservazione della quantità di moto totale In ogni caso poichè a priori non è nota la natura delle forze interne non si può assumere a priori la conservazione dell energia meccanica e quindi in generale negli urti non si può a priori assumere che si conserva l energia cinetica 8.2 Urti elastici ed anelastici Cap8-Mazzoldi-Urti 1

2 8.2 Urti elastici ed anelastici Gli urti nei quali si conserva l energia cinetica si dicono elastici Tutti gli altri tipi di urto sono invece anelastici nei quali l energia cinetica non è conservata e viene dissipata (totalmente o in parte) in energia termica, acustica o in deformazioni dei corpi che si urtano. Nel caso in cui nell urto i corpi si incastrano per formare un unico oggetto finale si parla di urto totalmente anelastico. Sistema laboratorio e sistema CM Dal momento che il sistema è chiuso ed isolato si ha v cm = mi v i mi = P tot M e quindi essendo P tot = cost e M=cost v cm = cost Tuttavia possiamo studiare il legame tra le quantità viste nel sistema CM da quelle nel sistema inerziale. Nel CM P = 0 e il legame delle velocità è v 1 = v 1 + v cm e v 2 = v 2+ v cm inoltrelaq.di.m. è: P = m 1 v 1 +m 2 v 2 = ( ) v cm dal confrontodiquestedueequazionivieneimmediatamentechem 1 v 1+m 2 v 2 = 0 La descrizione nel sistema CM quindi è P = 0 m 1 v i,1 +m 2 v i,2 = 0 = m 1 v f,1 +m 2 v f,2 p 1,i = p 2.i e p 1,f = p 2.f (1) Nel CM quindi le particelle appaiono arrivare una contro l altra verso il CM stesso Urto completamente anelastico Urto completamente anelastico Consideriamo due punti che urtano in generale si avrà : p 1,i + p 2,i = p 1,f + p 2,f che è la conservazione della q.di m. per questo sistema Se a seguito dell urto i due punti rimangono attaccati insieme si parlerà di urto totalmente anelastico per cui si avrà : P tot,f = (M 1 + M 2 ) v f e P in = M 1 v 1 +M 2 v 2 quindi si ottiene M 1 v 1 +M 2 v 2 = (M 1 +M 2 ) v f = (M 1 +M 2 ) v cm L energia cin. invece prima e dopo l urto cambia: E k,i = 1 2 M 1v M 2v 2 2 = 1 2 (M 1+M 2 )v 2 cm+e k (t.koenig) E k,f = 1 2 (M 1 + M 2 )v 2 f = 1 2 (M 1 + M 2 )v 2 cm < E k,i In definitiva dopo l urto manca il termine di energia rispetto al CM e l energia totale è Cap8-Mazzoldi-Urti 2

3 diminuita: E k = E k = 1 2 (M 1 +M 2 )vcm M 1v M 2v2 2 In pratica quindi nell urto le forze interne hanno compiuto un lavoro in termini di deformazione del corpo, che non viene più recuperato (quindi le forze interne in questo tipo di urti non sono conservative) Parte I Esempio 8.4: pendolo balistico Esempio 8.4: pendolo balistico Esempio 10.2: pendolo balistico v h Il pendolo balistico è un dispositivo che veniva usato per misurare la velocità di un proiettile. Il pendolo balistico è costituito da un blocco di legno, di massa M = 5.4 Kg, tenuto sospeso da due funi. Un proiettile di massa m = 9.5 g è sparato contro il blocco e si arresta entro esso. Il sistema blocco+proiettile si sposta verso destra sollevandosi di h = 6.3 cm. Qual era la velocità del proiettile al momento dell urto? La soluzione del problema avviene distinguendo l evento in due fasi: a) Urto (1d) b) Moto del sistema urtato (subito dopo l urto) Lafase(a)larisolviamocomeurto Lafase(b)lapossiamotrattareusandoil teorema di conservazione dell en. meccanica Nella fase (a) invece non possiamo considerare la conservazione dell energia perchè vi è un processo di urto che in questo caso è totalmente anelastico. L urto è totalmente anelastico in quanto alla fine i dueoggettiurtantisonouniti. Avremopertantom 1 v 1 +m 2 v 2 = ( )v f (tutto sullo stesso asse) con v 1 = v p, m 1 = m e m 2 = M e v 2 = 0 in quanto inizialmente fermo. Quindi si avrà mv p = (m+m)v f (1)Fase (b): Il sistema blocco+proiettile ha adesso una certa velocità v f (stiamo anche supponendo che è passato così poco tempo che di fatto non si è mosso) ed è Cap8-Mazzoldi-Urti 3

4 soggetto solo a forze conservative (il peso) l energia meccanica dopo l urto si conserva: E p,i +E k,i = E p,f +E k,f con E p,i = 0 e E k,i = 1 2 (M+m)v2 f, E p,f = (M+m)gh e E k,f = 0 (si ferma) (M + m)gh = 1 2 (M + m)v2 f vf 2 = 2gh (2) Mettendo ora a sistema la (1) con la (2) otteniamov p = m+m m v f = m+m m 2gh = 630 m/s Urti elastici Urti elastici Un urto è definito elastico quando si ha la conservazione dell energia cinetica. In questo tipo di urti abbiamo che: ed inoltre m 1 v 1,i +m 2 v 2,i = m 1 v 1,f +m 2 v 2,f (2) E k,i = 1 2 m 1v 2 1,i m 2v 2 2,i = 1 2 m 1v 2 1,f m 2v 2 2,f = E k,f (3) Queste due equazioni possiamo metterle a sistema. Risolviamo però il sistema nel caso di urto centrale che avviene quando il i punti materiali prima e dopo l urto si muovono lungo la medesima retta (urto 1d) (1) 1 2 m 1v 2 1,i 1 2 m 1v 2 1,f = 1 2 m 2v 2 2,f 1 2 m 2v 2 2,i (2) m 1 v 1,i m 1 v 1,f = m 2 v 2,f m 2 v 2,i (1) m 1 (v 2 1,i v2 1,f ) = m 2(v 2 2,f v2 2,i ) (2) m 1 (v 1,i v 1,f ) = m 2 (v 2,f v 2,i ) per cui dividendo membro a membro si ottiene m 1 (v1,i 2 v2 1,f ) m 1 (v 1,i v 1,f ) = m 2(v2,f 2 v2 2,i ) m 2 (v 2,f v 2,i ) Ricordando che le differenze di quadrati si scompongono a 2 b 2 = (a b)(a+b) si ottiene v 1,i +v 1,f = v 2,i +v 2,f Cap8-Mazzoldi-Urti 4

5 1 CASI PARTICOLARI da lasciare a sistema sempre con una delle altre equazioni del sistema di partenza. Se ad esempio ricaviamo la v 1,f da questa e la sostituiamo nell eq. (1) della q.di.moto si ottiene: v 2,f = 2m 1v 1,i +(m 2 m 1 )v 2,i v 1,f = 2m 2v 2,i +(m 1 m 2 )v 1,i Rispetto al CM la descrizione dell urto elastico comporta che: v 1,f = v 1,i e v 2,f = v 2,i Parte II 1 casi particolari Casi particolari Assumiamo che il corpo 2 sia inizialmente fermo v 2,i = 0 allora le equazioni appena trovate diventano come caso particolare: v 1,f = (m 1 m 2 ) v 1,i v 2,f = 2m 1 v 1,i Possiamo ancora definire altre situazioni particolari (sempre per v 2,i = 0): 1. m 1 = m 2 in questo sotto-caso si ha: v 1,f = 0 e v 2,f = v 1,i ovvero l oggetto che urta si ferma ed il secondo si muoverà con la stessa velocità del primo; 2. bersaglio massiccio (ad es. urto contro parete): m 2 m 1 v 1,f = m 2 m 2 v 1,i = v 1,i e v 2,f = 0: il proiettile rimbalza e l oggetto colpito rimane fermo. 3. proiettile massiccio: m 1 m 2 v 1,f = v1,i e v 2,f = 2v 1,i il proiettile prosegue indisturbato, il bersaglio schizza via. Es Cap8-Mazzoldi-Urti 5

6 1 CASI PARTICOLARI Es M 1 M 2 Due sfere metalliche, come in figura, sono inizialmente in contatto. La sfera 1 ha massa m 1 = 30 g viene lasciata dopo essere sollevata verso sinistra sino ad una altezza h 1 = 8.0 cm. Nella caduta urta elasticamente la massa m 2 = 75 g. Qual è la velocità v 1,f della sfera 1 dopo l urto? Il processo è a due fasi: a) caduta sfera; b) urto tra due sfere (considerate come punti materiali) a) M 1 gh = 1 2 M 1v 2 1 da cui v 1 = 2gh = 1.25 m/s b) L urto è elastico il sistema da risolvere è 1 2 M 1v 2 1 = 1 2 M 1v 2 1,f M 2v 2 2,f M 1 v 1 = M 1 v 1,f +M 2 v 2,f v 1,f = M 1 M 2 M 1 +M 2 v 1 = 0.54 m/s Esempio urto 2d Esempio urto 2d Es Due punti si urtano in modo totalmente anelastico con velocità v 1 diretta nel verso positivo dell asse x e v 2 nel verso positivo dell asse y. Supponendo che l urto avvenga nell origine, che m 1 = 83 Kg, m 2 = 55 Kg, v 1 =6.2 km/h e v 2 =7.8 Km/h, determinare v f. Cap8-Mazzoldi-Urti 6

7 1 CASI PARTICOLARI y v f m 1 v 1 θ x m 2 v 2 Urto totalmente anelastico: P 1,i + P 2,i = P f P 1x +0 = P fx m 1 v 1 = ( )v x 0+P 2y = P fy m 2 v 2 = ( )v y ed essendo v x = Vcosθ e v y = Vsinθ si ha v x = Vcosθ = m1 m 1+m 2 v 1 e v y = Vsinθ = m 2 m 1+m 2 v 2 da cui V = v1 2 +v2 vy 2 =... = 4.86 Km/h etanθ = v x = m2v2 m 1v 1 = = da cui θ = Urto anelastico (generico) 8.4 Urto anelastico (generico) Nell urto anelastico comune i punti dopo l urto sono di nuovo separati. Come per tutti gli urti si conserva solo la quantità di moto, mentre l energia cinetica viene in parte dissipata. Nei problemi di generico urto anelastico deve essere fornito un ulteriore dato per conoscere lo stato finale del sistema. Definiamo il coefficiente di restituzione il rapporto e = p 1,f p 1,i vista in 8.2 si ha e = p 2,f p 2,i = v 2,f v 2,i = v 1,f v 1,i e per la (1) Di conseguenza si può calcolare la variazione relativa di energia cinetica: δ = E k = e E 2 1 I casi visti in k,i precedenza sono compresi in questa espressione (urto elastico e = 1 δ = 0 e totalmente anelastico e = 0 δ = 1) Esercizio Un punto materiale di massa m=1 kg urta anelasticamente un oggetto di massa M=3 kg fermo inizialmente. A seguito proseguono insieme su un piano orizzontale scabro (µ d = 0.3)per 2 m prima di fermarsi. Qual era la velocità iniziale? urto: mv = (M + m)v f cons. energia 1 2 (M +m)v 2 f = µ d(m +m)gs Vf 2 = 2µ dgs Cap8-Mazzoldi-Urti 7

8 Parte III 8.5 Urti con corpi rigidi 8.5 Urti con corpi rigidi Nell urto tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi, bisogna tenere conto che le forze sviluppate nell urto sono impulsive e si possono trascurare i contributi delle forze esterne. Se i corpi che urtano sono senza vincoli, si avrà comunque la conservazione della quantità di moto, mentre se ci sono vincoli, come abbiamo visto per i corpi rigidi, si avrà la conservazione del momento angolare (per qualunque scelta di polo). In quest ultimo caso ovviamente l effetto del vincolo è di comunicare un impulso che sarà del tipo J = Rdt con R la reazione vincolare. Esempio 8.10 urto tot.anelastico tra pto e asta libera Esempio 8.10 urto tot.anelastico tra pto e asta libera Un asta di massa m 1, lunghezza l, è ferma in un piano orizzontale liscio. Ad un certo momento viene colpito da un punto materiale m 2 e velocità v perpendicolare all asta colpisce l asta ad una distanza x dal centro O e ci rimane attaccato. Determinare la velocità lineare ed angolare del sistema O x dopo l urto. m 2 Per prima cosa valutiamo la posizione del CM: l asta possiamo riassumarla come un punto materiale localizzato nel suo centro se il riferimento ha origine in O il CM ha coordinate: x cm = m 2x (x x cm ) = m 1 x nell urto si conserva la q.di m. quindi m 2 v = (m 1 + m 2 ) v cm v cm = m 2 v Prima e dopo l urto il CM prosegue con la stessa velocità Per quanto riguarda la rotazione assumiamo come polo il punto O Cap8-Mazzoldi-Urti 8

9 e per la conservazione del momento angolare L O = (x x cm )m 2 v = I O ω e I O = ( 1 12 m 1l 2 +m 1 x 2 cm)+m 2 (x x cm ) 2 di conseguenza si avrà : (x x cm )m 2 v ω = m 1 l m 1 x 2 cm +m 2 (x x cm ) = 2 m 1 m 2 xv = ( )( m 1l 2 m 12 +m 2 2 x2 m 1 ( +m 2 ) 2 1 x2 2 ( ) ) 2 m 2 xv La rotazione non avviene solo se x=0 ( )l m 2 x 2 Esempio 8.11-Urto complet.anelastico tra asta vincolata e pto Esempio 8.11-Urto complet.anelastico tra asta vincolata e pto Come nell esempio precedente solo che l asta è vincolata nell estremo O. In questo esercizio l asta è lunga l e m 1 = m 2 = m. Il punto m 2 urta ad una distanza r l da O e rimane fissato sull asta. Calcoliamo la velocità angolare. Quando c è un vincolo possiamo tener conto della conservazione del momento angolare L O = mvr = I O ω e I O = 1 3 ml2 +mr 2 ω = rv l 2 /3+r 2 La quantità di moto invece non si è conservata a causa del vincolo: J = P e abbiamo che P i = m v e P f = mωrû v + ml 2 ωû v = m(r+ l 2 )ωû v Pertanto l impulso della reazione vincolare è J = m[ω(r + l 2 ) v]û v = mlv r/2 l/3 l 2 /3+r 2 û v Cap8-Mazzoldi-Urti 9