Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 3. Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin

Transcript

1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin anno accademico

2 Operatore di spin L operatore di spin che abbiamo introdotto precedentemente è valido solo nella rappresentazione di Pauli-Dirac In una rappresentazione arbitraria l operatore di spin si trova a partire dai generatori delle rotazioni per gli spinori ( j,k = 1,2,3 ) In particolare si ha ( S = ½ Σ e j,k,l una permutazione pari di 123) Un modo equivalente per scrivere l operatore di spin è Non confondere il simbolo di somma con l operatore Σ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 68

3 Operatore di spin Un altra espressione per Σ, che sarà molto utile in seguito, parte dall espressione Infatti utilizzando le regole di commutazione delle matrici γ e ricordando che (γ j ) 2 = 1 per j = 1,2,3 si ritrova la definizione precedente Elaborando ulteriormente Introduciamo la matrice γ 5 = γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 Arriviamo alla definizione La matrice γ 5 è molto importante nella teoria degli spinori Nella rappresentazione di Pauli-Dirac Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 69

4 Proprietà dei commutatori Prima proprietà Analogamente Pertanto Seconda proprietà Analogamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 70

5 Momento angolare Abbiamo adesso tutti gli ingredienti per calcolare il commutatore [H,Σ] indipendentemente dalla rappresentazione Riscriviamo l Hamiltoniana utilizzando le matrici γ Calcoliamo { { A B C [A,C] = 0 [X,mI] = 0 Inoltre Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 71

6 Momento angolare Riepiloghiamo i risultati fino a questo punto Sostituendo otteniamo per n,k = 1,2,3 g nk = δ nk Concludendo Pertanto neppure lo spin (S = ½ Σ) si conserva Tuttavia l operatore momento angolare totale J = L + ½ Σ commuta con l Hamiltoniana (come deve essere) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 72

7 Momento angolare Dal momento che l operatore di spin ½Σ non commuta con H non è possibile utilizzare i suoi autovalori per classificare gli stati Si utilizzano due alternative Proiezione dello spin lungo la direzione di moto: Elicità Per particelle con massa non nulla: Direzione dello spin nel sistema di riposo Nel sistema di riposo vale la trattazione non relativistica Descrizione relativistica dello spin: Elicità Ricordiamo che Evidentemente, dato che [H,p] = 0 Abbiamo inoltre Pertanto commuta con l Hamiltoniana anche l operatore elicità Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 73

8 Descrizione relativistica dello spin: Elicità Ricordiamo alcuni risultati ottenuti utilizzando la rappresentazione di Dirac Ricordiamo che le funzioni φ r sono due arbitrari spinori bidimensionali L operatore ha due autovettori φ ± Utilizzando questi spinori Applicando l operatore h(p) agli spinori u(p,±) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 74

9 Descrizione relativistica dello spin: Elicità Il vantaggio di questa classificazione risiede nel fatto che [H,h(p)] = 0 L autovalore dell elicità λ = ±1 si conserva Può essere utilizzata anche per particelle di massa nulla Ovviamente l espressione esplicita di h(p) che abbiamo trovato vale solamente per la rappresentazione di Dirac In altre rappresentazioni l'espressione di h(p) e di u(p) sarà differente Occorre trovare la soluzione dell equazione agli autovalori Quanto detto fin qui vale anche per gli spinori v Nel caso della rappresentazione di Dirac osserviamo Gli spinori φ ± sono spinori bidimensionali non relativistici Rappresentano gli autostati dell operatore di spin non relativistico quantizzato lungo l asse n La loro espressione esplicita può essere trovata Ruotando gli autostati φ r (r = 1,2) che sono gli autostati di σ z Risolvendo esplicitamente l equazione matriciale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 75

10 Descrizione relativistica dello spin: rest frame Un altro metodo per descrivere lo spin fa riferimento al sistema inerziale in cui la particella è a riposo Rest Frame: possibile solo per particelle con massa 0 Nel sistema di riposo della particella l Hamiltoniana H commuta con l operatore di spin Σ Gli spinori possono essere anche autostati di Σ La trattazione coincide con quella non relativistica È possibile preparare uno stato φ ξ polarizzato in una direzione arbitraria Ad esempio, nella rappresentazione di Pauli-Dirac A questo punto si può applicare una trasformazione di Lorentz che trasforma lo spinore w(0, ξ) Dal sistema in cui la particella è a riposo p' ν = (m, 0) Al sistema in cui la particella ha un 4-momento p ν = (E, p) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 76

11 Descrizione relativistica dello spin: rest frame Ovviamente, in questo modo, abbiamo una complicazione Il 4-momento p della particella è definito nel sistema di laboratorio K Lo spin è definito nel sistema di riposo della particella K' Si introduce pertanto un 4-vettore s per la descrizione dello spin Nel sistema di riposo della particella Notiamo che si tratta di un 4-vettore a modulo negativo (space-like) Inoltre nel sistema di riposo abbiamo La relazione s' p'= 0 è invariante e vale in tutti i sistemi di riferimento Si passa al sistema K mediante una trasformazione Lorentz Attenzione: nel sistema di laboratorio K la parte spaziale di s NON È IL VALORE DI ASPETTAZIONE DELLO SPIN Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 77

12 Descrizione relativistica dello spin: rest frame In forma esplicita, le componenti di s nel sistema K in cui la particella di massa m ha energia E e momento p sono Evidentemente ξ e ξ sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare alla direzione della quantità di moto In forma vettoriale le relazioni precedenti si possono esprimere come Notiamo che se la polarizzazione della particella nel suo sistema di riposo è ξ nel sistema di laboratorio le 4 componenti di s μ cambiano tutte di segno rispetto a quelle corrispondenti a +ξ Quando si utilizza il 4-vettore s μ gli spinori u e v si scrivono In queste formule s non è un indice ma un 4-vettore I due stati di polarizzazione sono ±s = ±s μ Landau L,Lifshitz E,Pitaevskii L Quantum Electrodynamics Pergamon cap III, 29 pag. 106 Questo formalismo si applica anche a particelle di spin intero Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 78

13 Relazioni di completezza Abbiamo visto che nel sistema di riposo l equazione di Dirac si riduce a Abbiamo anche determinato 4 soluzioni w(0,r) r = 1,4 Ricordiamo (diapositiva ) la normalizzazione scelta per garantire il corretto comportamento della corrente nelle trasformazioni di Lorentz Analogamente, per r = 3,4 Gli spinori w(0,r) sono i 4 autovettori di γ 0 : γ 0 w = ±w Sono ortogonali e costituiscono un sistema completo La completezza si esprime tramite la relazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 79

14 Relazioni di completezza Gli aggiunti spinoriali giocano un ruolo fondamentale nella teoria Siamo pertanto interessati ad una relazione di completezza che usi questi ultimi e non gli aggiunti hermitiani Osserviamo che nella base dei w la matrice γ 0 è diagonale A questo punto è immediato verificare che Infatti Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 80

15 Relazioni di completezza Possiamo a questo punto introdurre la relazione di completezza per gli spinori u e v in un sistema di riferimento in cui la particella ha quantità di moto p Ricordiamo che u e v sono ottenuti dagli spinori a riposo w(0,r) come Verifichiamo che Infatti, posto u r = u(p,r), v r = v(p, r) e infine w r = w(0,r) Ricordando che Concludiamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 81

16 Interazione elettromagnetica Nell elettrodinamica classica la forza che agisce su una particella carica in moto è data dalla Forza di Lorentz Può essere ricavata (equazioni di Hamilton) dall Hamiltoniana classica Nella Meccanica Quantistica non relativistica l interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando l Hamiltoniana appena introdotta ( = 1) È conveniente riscrivere questa equazione nel modo seguente Notiamo che si può arrivare all equazione precedente partendo dall equazione di Schrödinger per una particella libera e fare le sostituzioni Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 82

17 Interazione elettromagnetica Sviluppando il quadrato nell Hamiltoniana Scegliendo il gauge A = 0 e trascurando i termini in q 2 otteniamo Applichiamo questa formula al caso di un campo magnetico costante e campo elettrico nullo V = 0 (i = p) Per un campo magnetico costante B il potenziale vettore è Introduciamo A nell Hamiltoniana Il termine con il campo magnetico può essere trasformato in Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 83

18 Interazione elettromagnetica L ultimo termine dell equazione rappresenta una energia potenziale magnetica Classicamente è dovuta all interazione di un momento magnetico generato dal moto associato ad un momento angolare L Anche a livello quantistico definiamo pertanto il momento magnetico di una particella dotata di momento angolare L e la sua energia potenziale L esistenza di questo termine di interazione è verificata nella spettroscopia atomica l = 2 In presenza di un campo magnetico le energie associate agli orbitali atomici di momento angolare l si separano in (2l+1) livelli l = 1 equidistanti (effetto Zeeman) È noto che esiste un ulteriore effetto di questo tipo L elettrone ha un momento angolare intrinseco S = σ/2 a cui sarebbe associato un momento magnetico μ= qs/2m che suddivide ulteriormente i livelli Tuttavia, nel caso dello spin, per riprodurre i dati sperimentali occorre introdurre un fattore empirico g m Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 84

19 Interazione elettromagnetica Prima di introdurre l interazione elettromagnetica nell equazione di Dirac facciamo alcune precisazioni sulle notazioni Richiamiamo le definizioni dell operatore derivazione Inoltre il potenziale vettore è L introduzione dell interazione elettromagnetica viene fatta modificando l operatore di derivazione ( per l elettrone q = e ) Attenzione: per l operatore derivazione e il potenziale vettore i segni negativi delle componenti spaziali delle componenti covarianti e contravarianti sono scambiati Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 85

20 Interazione elettromagnetica A questo punto passiamo all equazione di Dirac Con la sostituzione minimale diventa Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenziale Vale la pena isolare il potenziale di interazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 86

21 Limite di bassa energia È molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell equazione trovata Verifichiamo se ci conduce all equazione di Schrödinger con l interazione elettromagnetica Per poter confrontare con l equazione non relativistica occorre tenere conto che l energia relativistica include la massa a riposo della particella Se H è l Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H 1 + m Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo Ψ o lentamente variabile Inseriamo nell equazione di Dirac per trovare l'equazione per Ψ 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 87

22 Limite di bassa energia Riepilogando A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore Arriviamo al sistema di equazioni Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 88

23 Limite di bassa energia Consideriamo la seconda equazione Ricordiamo che Ψo varia lentamente, vale a dire Quindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente Abbiamo pertanto approssimazione non relativistica Introduciamo nella prima equazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 89

24 Limite di bassa energia Si può verificare che (vedi esercizio 4.14) Pertanto l equazione diventa Questa equazione coincide con l equazione ottenuta partendo dall equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapositiva ) a meno di un termine Il termine in più descrive l accoppiamento del momento magnetico intrinseco dell elettrone con il campo magnetico Inoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = 2 che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente In conclusione Il limite E << m dell equazione di Dirac riproduce l equazione di Pauli Il fattore giromagnetico g = 2 è predetto dalla teoria di Dirac Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 90

25 Scattering Coulombiano: spin 0 Come prima applicazione della teoria relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0 La funzione d onda della particella obbedisce all equazione di Klein-Gordon Come nel caso dell equazione di Dirac l interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale Vediamo come si modifica l operatore μ μ Inserendo nell equazione di Klein-Gordon otteniamo prima si moltiplica a destra per φ dopo si applica μ al prodotto A μ φ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 91

26 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo L ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f dovuta ad un potenziale V è data dall approssimazione (primo ordine) Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q 2 Otteniamo in definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 92

27 Scattering Coulombiano: spin 0 Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti Assumiamo che il potenziale A μ all infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termine L ampiezza di transizione diventa L espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilità Si definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f Utilizzando questa corrente l ampiezza di transizione diventa Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 93

28 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positiva dell equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = e e > 0 Un onda piana per lo stato iniziale Un onda piana per lo stato finale Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva ) Inserendo nella corrente di transizione Otteniamo pertanto Consideriamo infine un potenziale Coulombiano Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 94

29 Scattering Coulombiano: spin 0 L ampiezza di transizione diventa pertanto notare il segno e lo scambio i f I due integrali sono indipendenti L integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb Si calcola facilmente come limite per m 0 del potenziale di Yukawa Inserendo nell ampiezza di transizione δ(e i E f ) E i = E f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 95

30 Scattering Coulombiano: spin 0 Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d urto è data dalla regola d oro di Fermi La quantità Φ è il flusso di particelle La quantità è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall elemento di matrice M fi E La quantità ρ(e f ) è la densità degli stati i = E f L elemento di matrice ridotto V fi viene introdotto per isolare la funzione δ Il modulo quadrato della funzione δ non è definito Viene calcolato con un opportuno processo di limite Ricordando il risultato della diapositiva precedente Isoliamo l elemento di matrice ridotto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 96

31 Scattering Coulombiano: spin 0 Veniamo adesso alla densità degli stati Ad una energia E f corrispondono tutti gli stati con momento p f Il numero di stati nell elemento d 3 p f dello spazio delle fasi è Il fattore 2E f nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dn invariante per trasformazioni di Lorentz Uguagliando al numero di stati nell intervallo de f Calcoliamo esplicitamente dn in funzione di de f Utilizzando le coordinate sferiche In conclusione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 97

32 Scattering Coulombiano: spin 0 Per finire il flusso Φ Fin qui le probabilità calcolate sono relative al un flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d onda usate J ds Occorre tenere conto della normalizzazione degli stati Abbiamo visto che per le soluzioni dell equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha Abbiamo pertanto scattering elastico p i = p f In conclusione otteniamo la sezione d urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 98

33 Scattering Coulombiano: spin 0 Un ultima elaborazione per sostituire l angolo di difffusione al momento trasferito Otteniamo pertanto θ p f p i q La sezione d urto diventa pertanto Da confrontare con la formula non relativistica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 99