Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 3. Equazione di Dirac 2 invarianza relativistica

Transcript

1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Equazione di Dirac 2 invarianza relativistica anno accademico

2 Interpretazione delle soluzioni con p o = E p Nella teoria di Dirac sarebbe possibile interpretare senza problemi le soluzioni con energia positiva La densità di probabilità èdefinita positiva L evoluzione temporale (libera) di una soluzione con p > non conduce all apparizione di stati con p < Tuttavia ci sono dei problemi Da un punto di vista matematico gli autovettori dell Hamiltoniana sono un sistema completo solo se si includono anche gli stati con p < L evoluzione di uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana) porta a stati che contengono sia energie positive che negative Infine se si introduce una interazione diventano possibili transizioni da stati di energia positiva a stati di energia negativa Sarebbero transizioni che non assorbono energia bensì la cedono Δ E = E E < f i E i Sarebbero transizioni spontanee Non esisterebbero stati stabili E f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 51

3 Interpretazione delle soluzioni con p o = E p Dirac fornì una interessante soluzione a questi problemi Le particelle descritte dall equazione di Dirac sono fermioni Obbediscono al principio di esclusione di Pauli Dirac ipotizzò che tutti gli stati con energia negativa fossero occupati da elettroni Introdusse così un mare di particelle con energie negative Il mare ha una energia totale infinita (E = ) Il mare ha una carica infinita (Q = ) Il mare ha un momento angolare totale nullo (coppie up-down) Non possono esserci transizioni spontanee a stati di energia negativa: tutti gli stati sono occupati Tuttavia se uno stato fisico viene descritto rispetto a questo mare si giunge ad una descrizione accettabile e consistente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 52

4 Interpretazione delle soluzioni con p o = E p Consideriamo un sistema nel quale inizialmente ci sia solo E il mare (tutti gli stati di energia negativa sono completi) Supponiamo che un fotone ceda al sistema una +m quantità di energia sufficiente per una transizione Da uno stato con energia negativa E k, k Ad uno stato con energia positiva E p, p m Il bilancio energia-momento è Eγ + ( Ek ) = Ep Eγ = Ep + Ek pγ + ( k) = p pγ = p + k Nello stato finale abbiamo Un elettrone di carica e, momento p spin s Il mare ha perso una particella Abbiamo creato una particella Nel sistema mare Si è creata una buca (hole) La sua carica diminuisce di e La sua energia diminuisce di ( E k ) Il suo momento diminuisce di ( k) Il suo spin diminuisce di s La carica aumenta di e L energia aumenta di E k Il momento aumenta di k Lo spin del mare diventa s Abbiamo creato un antiparticella con numeri quantici e,m, E k,k, s Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 53

5 Interpretazione delle soluzioni con p o = E p Con questa interpretazione riconsideriamo gli spinori con energia negativa v p, r ( ) σ p χ r E + m = p χr Rappresentano una antiparticella di massa m una e carica + e Il 4-momento della particella è (E p,p) Ricordiamo che lo spinore v(p,r) è definito a partire dalle soluzioni w con energia negativa e dalla relazione v(p,r) = w( p,r) Se interpretiamo v(p,r) come la funzione d onda della buca allora 1 Lo spinore v(p,1) rappresenta uno stato con spin down χ1 = Lo spinore v(p,2) rappresenta uno stato con spin up χ 2 = 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 54

6 Invarianza relativistica dell equazione di Dirac Nel caso dell equazione di Klein-Gordon avevamo visto che l invarianza per trasformazioni di Lorentz si esprimeva nel seguente modo Se φ soddisfa l equazione Allora la funzione definita da Soddisfa l equazione μ 2 ( μ m ) φ ( x ) + = ( x ) φ( x) φ = ( μ 2 μ m ) φ ( x ) + = Nel caso dell equazione di Dirac si ha una situazione simile con una complicazione La funzione d onda ψ(x) ha 4 componenti e una trasformazione di Lorentz modifica anche le componenti Facciamo il parallelo con una rotazione nel caso di un campo vettoriale F(r) La rotazione modifica le componenti del punto r = U r La rotazione modifica anche le componenti del campo vettoriale F (r ) = U F(r) Nel caso del campo spinoriale è fondamentale ricordare che lo spinore èuna grandezza matematica differente da un 4-vettore Occorre trovare la legge di trasformazione degli spinori x = Λ μ μ ν νx Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 55

7 Invarianza relativistica dell equazione di Dirac Come nel caso delle rotazioni o delle trasformazioni di Lorentz assumiamo La legge di trasformazione degli spinori è lineare Ad ogni trasformazione di Lorentz Λ corrisponde una trasformazione spinoriale S(Λ) che permette di calcolare lo spinore in K' x = Λ ( ) ( ) ( ) μ μ ν νx ψ x = S Λ ψ x Vediamo adesso le proprietà fondamentali di S(Λ) Lo spinore trasformato deve soddisfare l equazione di Dirac nel sistema K' sono le stesse matrici γ μ del sistema K ( iγ μ m) ψ ( x ) = Sostituendo ψ (x ) = Sψ(x) e μ = Λ μα α otteniamo μ μ α ( iγ Λ m ) Sψ( x) = μ α iiii S ( Λ ) = iiii iiii iiii μ x μ Moltiplichiamo da sinistra per S 1 ( 1 μ α i S m 1 S γ Λ S S) ψ( x ) = [ ( 1 μ α i S γ S ) m] ( x) μ α ψ μ α Λ = L equazione è identica all equazione di Dirac se S 1γ μ SΛ μ α = γ α Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 56

8 Invarianza relativistica dell equazione di Dirac Possiamo ulteriormente trasformare la relazione moltiplicando per Λ ν α e sommando su α S 1 γ μ SΛ μ α = γ α S 1γ μ SΛ ν αλ μ α = Λ ν αγ α S 1 μs ν ν α 1 γ δ μ = Λ αγ S γ ν S = Λ ν αγ α A prima vista l equazione trovata sembrerebbe indicare che le matrici γ μ si trasformano come un 4-vettore NO, falso Infatti sottolineiamo che la condizione S 1 γ μ SΛ α μ = γ α deriva dalla richiesta che le matrici γ nelle equazioni nei sistemi K e K' siano le stesse Tuttavia la legge di trasformazione trovata ci permetterà di dimostrare che quantità costruite con le matrici γ μ μ μ (ad esempio la corrente j = iψγ ψ ) si trasformano come 4-vettori A questo punto la dimostrazione dell invarianza relativistica dell equazione di Dirac procede dimostrando, per costruzione, l esistenza di S(Λ) Non esporremo la procedura dettagliata Ricorderemo solo L espressione di una trasformazione di Lorentz (per i 4-vettori) a partire dai generatori L espressione di una trasformazione di Lorentz (per gli spinori) a partire dai generatori Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 57

9 Trasformazioni di Lorentz Una trasformazione di Lorentz dipende da 6 parametri 3 parametri descrivono un boost in una data direzione 3 parametri descrivono una possibile rotazione I 6 parametri possono essere espressi tramite la quantità antisimmetrica a αβ Ha ovviamnente la proprietà a αβ = a βα ; a αα = La trasformazione si esprime in funzione dei generatori M αβ 1 exp 2 a Λ = αβ Mαβ I generatori hanno la forma αβ ( M ) = α β β α 2( g μg ν g g ) μν μ ν Per trasformazioni di Lorentz che sono dei boost puri i 3 generatori sono K = ( K, K, K ) I 3 parametri rilevanti a μν diventano ξ = β tanh β La trasformazione di Lorentz è Λ = exp[ ξ K] = 2 = 3 = K M K M K M vedi per esempio (attenzione alle differenti convenzioni e segni) J. Jackson Classical Electrodynamics, 3d ed. cap. 11 Hitoshi Murayama lecture notes on Lorentz Group and Lorentz Invariance Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 58

10 Generatori trasformazioni di Lorentz Generatori dei boost = = 1 = ( M ) ( M ) ( M ) μν μν μν Generatori delle rotazioni 1 1 = 1 = = ( M ) ( M ) ( M ) μν μν μν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 59

11 Generatori trasformazioni di Lorentz Quando i generatori vengono usati per costruire le matrici di Lorentz si utilizzano gli indici nella forma Λ μ ν Alzando l indice μ Generatori dei boost μ 2 μ 3 μ K1 = ( M ) = K2 ( M ) K3 ( M ) ν = = ν 1 = = ν 1 Generatori delle rotazioni μ 13 μ 12 μ L1 = ( M ) = L2 ( M ) L3 ( M ) ν 1 = = ν = = ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 6

12 Trasformazioni di Lorentz per gli spinori Si può dimostrare che un operatore S(Λ) che soddisfa alle richieste che abbiamo fatto per garantire l invarianza relativistica dell equazione di Dirac è dato da una formula analoga i μν S( Λ ) = exp a 4 μνσ I generatori sono espressi in funzione delle matrici γ μν i μ ν ν μ i μ ν σ = ( γ γ γ γ ) = [ γ, γ ] 2 2 I coefficienti a μν che compaiono nella formula sono gli stessi che compaiono nella formula della trasformazione di Lorentz Λ Per trasformazioni che sono dei boost puri i 3 generatori sono B1 = σ B2 = σ B3 = σ In particolare 1 i 1 1 i σ = ( γ γ γ γ ) = ( γγ + γγ) iγ γ 2 2 e anologhe per j = 2,3 Inserendo nella formula per S(Λ) = = iα S ( Λ ) = exp ξ α = exp γ ξ γ ξ = β tanh β 2 2 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 61

13 Trasformazioni di Lorentz per gli spinori Osserviamo che la matrice S(Λ) non è unitaria 1 i μν S ( Λ ) = exp ξ α S( Λ ) = exp a 2 4 μνσ Infatti Anche se le matrici α sono hermitiane manca la costante i nell esponente Nella seconda forma notiamo che gli operatori σ μν non sono hermitiani Pertanto 1 1 S ( Λ ) = exp ξ α ( ) ( 1 ) 1 S Λ = exp ξ α = exp ξ α Ricordiamo che μ μ γ = γ γ γ Di conseguenza μν ( ) μν σ = γ σ γ Solo le componenti spaziali (j,k = 1,3) sono hermitiane jk ( ) jk σ = σ Per le componenti con un indice temporale (μ =,k = 1,3) vale ( ) k k k σ = γ σ γ = σ Poiché questa relazione vale per ogni potenza di σ μν nello sviluppo dell esponenziale avremo anche ( per i boost ) 1 S ( Λ ) = γ S ( Λ ) γ = S( Λ ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 62

14 Trasformazioni di Lorentz per gli spinori Le informazioni e il formalismo delle precedenti diapositive sono sufficienti per costruire esplicitamente una trasformazione di Lorentz Λ e la trasformazione spinoriale ad essa associata S(Λ) S 1 E m ( ) + α Λ = = ( I + p ξ α ) exp 2 2 m E + m L espressione riportata è indipendente dalla rappresentazione Nella rappresentazione di Pauli-Dirac si ottiene S E + m 1 p 2m E + m p σ σ p I E + m E + m S ( Λ ) = 2m σ p I E + m ( Λ ( ) ) = I + σ Notiamo incidentalmente che l applicazione dell operatore S(Λ) agli spinori w(,r), r=1,4 (v. dia e 2 seguenti) produce gli spinori u(p,r) e v(p,r) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 63

15 Trasformazioni di Lorentz per gli spinori Per le rotazioni i 3 generatori sono iγγ 2 iγγ 3 iγγ Σ = Σ = Σ = Si può dimostrare che, indipendentemente dalla rappresentazione, queste matrici sono hermitiane e hanno le stesse regole di commutazione e anticommutazione delle matrici di Pauli 2 { Σk, Σ l } = 2 Iδkl [ Σk, Σ l ] = 2iεklmΣm Σ k = I L operatore di rotazione è i S( R) = exp θ Σ 2 Dato che gli operatori Σ k sono hermitiani la matrice S(R) è unitaria i i 1 S R = exp θ Σ = exp = S Λ 2 + θ Σ 2 D'altro canto per ogni potenza di Σ vale ( ) ( ) ( ) γ Σ γ = Σ Anche per una rotazione si può quindi scrivere k 1 S ( Λ ) = γ S ( Λ ) γ = S( Λ ) k i Σ = jkl 2 ε γ γ j k l kl Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 64

16 Momento angolare Abbiamo visto che l equazione di Dirac ha 4 soluzioni Due soluzioni con energia positiva Due soluzioni con energia negativa Per interpretare le soluzioni ad energia negativa bisogna utilizzare la teoria delle buche (holes) di Dirac oppure (preferibile) la seconda quantizzazione All interno di ciascuna tipologia di soluzioni occorre interpretare la molteplicità 2 delle soluzioni Possiamo intuire che ciò ha a che fare con lo spin delle particelle Una discussione (intuitiva) molto semplice si può fare nel u(, r) e sistema di riposo della particella ψ( x ) = v(, r) e In questo sistema le equazioni di Dirac per gli spinori sono ( p m) u = / ( p + m) v = / mγ u = mu Nella rappresentazione di Pauli-Dirac sappiamo che le soluzioni sono 1 u (,1) 1 = v (,1) = v (,2) = u (,2) = 1 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 65 mγ v = mv imt + imt

17 Momento angolare Le soluzioni sono autovettori di γ 1 1 Due con autovalore +1 γ = 1 Due con autovalore 1 1 Per differenziare ulteriormente occorre introdurre un operatore che commuti con γ 1 σz 1 Una possibilità è l operatore Σ z Σ z = σ = 1 Ovviamente [γ z,σ z ]= 1 Abbiamo Σ zu(,1) = u(,1) Σ zu(, 2 ) = u(, 2 ) Σ zv(,1) = v(,1) Σ zv(, 2 ) = v(, 2 ) σ Inoltre le componenti dell operatore vettoriale Σ Σ = σ Hanno le regole di commutazione del momento angolare Identifichiamo pertanto 1 con lo spin della particella 2 Σ Interpretazione fisica (holes di Dirac) Gli spinori u(,1) e v(,2) corrispondono a spin up (+1/2 lungo l asse z ) Gli spinori u(,2) e v(,1) corrispondono a spin down ( 1/2 lungo l asse z ) Purtroppo ciò funziona solo nel sistema di riposo della particella (p = ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 66

18 Momento angolare Infatti, in un sistema inerziale arbitrario L operatore di spin che abbiamo definito non commuta con l Hamiltoniana Il momento angolare orbitale non commuta con l Hamiltoniana Ricordiamo l equazione di Dirac in forma Hamiltoniana i [ i m] [ m] H t ψ = α + β ψ = α p + β ψ = ψ Calcoliamo il commutatore dell Hamiltoniana con il momento angolare orbitale k l L = r p Lj = εjklr p Abbiamo kl commuta HL, j = α p + βm, εjklrp n kl [ ] n n k l α n p n, εjklr k p l kln kln jkl ( i ) n nk l = ε α δ p H, L = = α εjkl p, r p n n k l La conclusione è che il momento angolare orbitale non si conserva, neppure durante il moto di una particella libera kln k l = i εjklα p = i ( α p) j kl = i α p [ ] ( ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 67

19 Operatore di spin L operatore di spin che abbiamo introdotto precedentemente è valido solo nella rappresentazione di Pauli-Dirac Σ σ = σ In una rappresentazione arbitraria l operatore di spin si trova a partire dai generatori delle rotazioni per gli spinori ( j,k = 1,2,3 ) kl i k l l k i k l σ = ( γ γ γ γ ) = γ, γ 2 2 In particolare si ha ( S = ½ Σ e j,k,l una permutazione pari di 123) j kl k l Σ = σ = iγ γ Un modo equivalente per scrivere l operatore di spin è j i k l Σ = jkl 2 ε γ γ Non confondere il simbolo di somma con l operatore Σ kl Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 68

20 Operatore di spin Un altra espressione per Σ, che sarà molto utile in seguito, parte dall espressione j j Σ = iγ γγγ Infatti utilizzando le regole di commutazione delle matrici γ e ricordando che (γ j ) 2 = 1 per j = 1,2,3 si ritrova la definizione precedente Elaborando ulteriormente j j Σ = iγ γγγγγ j = iγ γγγγγ Introduciamo la matrice γ 5 = γ 5 = iγ γ 1 γ 2 γ 3 Arriviamo alla definizione La matrice γ 5 è molto importante nella teoria degli spinori Nella rappresentazione di Pauli-Dirac Σ 5 = γγ γ γ I = I Σ = γγγ= γα Σ I σ σ = I = σ σ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 69

21 Proprietà dei commutatori Prima proprietà [ AB, C ] = ABC CAB = ABC ACB + ACB CAB Analogamente [ AB, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ] B [ C, AB ] = CAB ABC = CAB ACB + ACB ABC Pertanto Seconda proprietà [ A, BC ] = ABC BCA [ CAB, ] = [ CAB, ] + ACB [, ] [ AC, ] = [ ABC, ] = A[ BC, ] [ CB, ] = [ CAB, ] = [ C, AB ] = ABC + BAC BAC BCA [ ABC, ] = { AB, } C B{ AC, } Analogamente [ AB, C ] = A{ B, C } { A, C } B Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 7

22 Momento angolare Abbiamo adesso tutti gli ingredienti per calcolare il commutatore [H,Σ] indipendentemente dalla rappresentazione Riscriviamo l Hamiltoniana utilizzando le matrici γ n n H = α p + βm = γ γ p + γ m = γ γ p + m Calcoliamo n n n 1 k l [ H, ] j γ γ p m, 2 i εjklγ γ [ AB, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ] B Σ = + n kl k l k l k l ( γ γ ) γ γ γ γ γ γ γ A B C 1 = n n 2 iγ γ p + m, εjkl γ k γ l [A,C] = [X,mI] = n kl { {, = = Inoltre = 1 n n k l 2 iγ γ p, εjkl γ γ nkl = 1 n k l n 2 iγ εjkl γ, γ γ p nkl [ ABC, ] = { AB, } C B{ AC, } γ n k l, γ γ { γ n, γ k } γ l γ k { γ n, γ l } nk l nl k = = 2g γ 2g γ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 71

23 Momento angolare Riepiloghiamo i risultati fino a questo punto 1 n k l n [ H, Σ j ] = 2 iγ εjkl γ, γ γ p γ, γ γ = 2g γ 2g γ nkl n k l nk l nl k Sostituendo otteniamo per n,k = 1,2,3 g nk = δ nk 1 nk l nl k n [ H, Σ j ] = 2 iγ εjkl ( 2g γ 2g γ ) p ( n k l n = γ εjkl γ l γ k ) nkl k l jkl ( ) 2i l k = iγ ε γ p + γ p kl i g g p nkl = k l γ εjkl γ p 2 kl kl jkl k = i ε α p = i ( α p) l n 2 j Concludendo H, Σ = 2iα p [ ] Pertanto neppure lo spin (S = ½ Σ) si conserva Tuttavia l operatore momento angolare totale J = L + ½ Σ commuta con l Hamiltoniana (come deve essere) [ H, J] = [ H, L + 1 Σ] = [ H, L] + [ H, 1 Σ] H, J = iα p + iα p [ ] 2 2 H, J = [ ] Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 72

24 Momento angolare Dal momento che l operatore di spin ½Σ non commuta con H non è possibile utilizzare i suoi autovalori per classificare gli stati Si utilizzano due alternative Proiezione dello spin lungo la direzione di moto: Elicità Per particelle con massa non nulla: Direzione dello spin nel sistema di riposo Nel sistema di riposo vale la trattazione non relativistica Descrizione relativistica dello spin: Elicità Ricordiamo che 1 1 2Σ 2 J = L + = r p + Σ H, J = [ ] Evidentemente, dato che [H,p] = H, J p = [ ] Abbiamo inoltre 1 1 J p = r p p + 2 Σ p = 2 Σ p Pertanto commuta con l Hamiltoniana anche l operatore elicità Σ p p = = Σ n n = p h ( ) p p Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 73