sullo spin isotopico

Transcript

1 sullo spin isotopico definizioni ed utili relazioni: τ x τ ; τ y τ i i ; τ z τ 3 ; t k τ k k,, 3. che sono chiamate matrici di Pauli. p ; n ; t z p τ z p + p ; tz n τ z n n È facile verificare che, definendo si ha: e quindi t ± t x ± it y, t + p t n, t + n p, t n p ; t t x + t y + t z t z + t+ t + t t +. Così si verificano gli autovalori t p t n ovvero con t / t p tt + p t n tt + n. [ ] [ t+ t + t z p + p 4] + p [ ] [ t t + + t z n + n 4] + n

2 Inoltre τ x τ y τ z ˆ, ovvero t 4 consistente col calcolo precedente. L operatore ˆ + τ ˆQ z e e [ τ x + τ y + τ z ] 3 4ˆ ; [ + ] e può essere identificato come operatore di carica, infatti gode delle prorietà ˆQ p e ˆQ n e e e p n, estensibile anche a stati di N, neutroni, Z protoni A N + Z nucleoni A A ˆ + τi ˆQ A ˆQ z i A e i i ˆ + τ z i e A + i Z i N e A ˆ + τ z i A e Z A. L operatote T z A i t z i conta invece la differenza N Z, infatti T z A A t z i A [ N + Z] A N Z A. i

3 regole di commutazione Si noti che i τ x τ y i i i iτ z, i ed inoltre τ y τ x i i i i iτ z, i ovvero il commutatore [τ x, τ y ] τ x τ y τ y τ x i τ z. Una formulazione generale più generale del commutatore è data per mezzo del tensore totalmente antisimmetrico di Ricci ɛ α,β,γ [ τ α, τ β] i ɛ α,β,γ τ γ. 3 Per due particelle gli stati a T e T in tutta analogia con gli stati di + se αβγ è una permutazione pari ɛ αβγ se αβγ è una permutazione dispari se due indici sono uguali Ricordiamo che una permutazione è pari se ottenuta dalla disposizione fondamentale [α, β, γ 3] attraverso un numero pari di scambi di due indici, dispari se il numero di scambi è dispari. Le sole permutazioni pari sono dunque [3], [3], [3], ovvero quelle ottenute attraverso una rotazione ciclica degli indici a partire dalla fondamentale. Dispari quelle ottenute dalle pari attraverso lo scambio di due indici. Con l uso di questo tensore il prodotto vettoriale C A B può essere scritto per le singole componenti C α ɛ αβγ A β B γ dove si sottintendente una somma sugli indici ripetuti β, γ, ovvero C α β γ ɛ αβγa β B γ. Quindi se si vuole trovare ad esempio C x C, questo risulta C ɛ αβ A β B γ ed i soli termini diversi da zero nella somma sono quelli in cui β e γ 3 o β 3 e γ. Quindi C ɛ 3 A B 3 + ɛ 3 A 3 B A y B z A z B y, come noto.. 3

4 spin S, S, si scrivono T z T T ˆQ + pp +e [ p n + n p ] [ p n n p ] +e 4 n n Si può verificare ancora una volta la correttezza di questi stati applicando l operatore di T [ t + t ] t + t + t t + t t ˆ + t z t z + t z t z + t + t + t t +. 5 Si ottiene facilmente T p p T n n [ ] + zero p p p p [ 3 + ] + zero n n n n mentre T p n e T n p [ ] p n + n p p n + n p [ ] n p + p n n p + p n. Se ne deduce [ ] p n + n p T [ ] e p n n p T [ ] [ ] p n + n p p n + n p + [ ] [ ] p n n p p n n p + ;. 4

5 Coerente con quanto sintetizzato nella tabella. Gli stati che si realizzano in natura sono autostati di T z cioè hanno una differenza N Z definita, ma anche T è ben definito autostato. Quindi per due nucleoni N, N, gli stati possibili hanno T o T con autovalori T T + T N, N, T, T z, T T + N, N, T, T z,, uno stato p n o n p è una combinazione di stati a T e T : [ ] p n + n p p n n p p n + [ T ; T z + T ; T z ] [ ] p n + n p p n n p n p [ T ; T z T ; T z ]. 6 Possiamo dimostrare che un operatore del tipo produce uno scambio del tipo P τ ˆ + τ τ P τ p n n p. Come esercizio introduttivo calcoliamo l azione dell operatore τ τ sugli stati a T definito. A questo scopo basta considerare che confronta la 5 T t + t t + t + t t 3 + τ τ e si rammenta che t τ/. Perciò τ τ T, T z T 3 T, T z T T + 3 T, T z 3 T, T z + T, T z. 7 5

6 E quindi: P τ T, T [ + τ τ ] T, T z [ + T 3 ] T, T z [ + T T + 3] T, T z [T T + ] T, T z T, T z + T, T z. 8 Se ora applichiamo l operatotre P τ alla combinazione di stati che forma le coppie p n e n p confronta equazione6, otteniamo P τ p n P τ [ T ; T z + T ; T z ] [+ T ; T z T ; T z ] n p P τ n p P τ [ T ; T z T ; T z ]. [+ T ; T z T ; T z ] p n. 9 L opratore P τ ha la proprietà di scambiare le coppie di due nucleoni ed è detto operatore di scambio. Evidentemente le coppie n n e p p sono autostati di P τ con autovalore + essendo entrambe coppie a T. Tutta la stessa geometria può essere trasferita nella descrizione di stati di spin nella formale analogia n s /, s z / ; p s /, s z +/, e così via... In particolare vale una tabella analoga alla 4, ovvero S z S S + [ + ] [ ]. 6

7 Etc... nel potenziale N N L unico stato legato di due nucleoni presente in natura è lo stato n, p a T deuterio. Lo stato ha T, S, L, in modo che L+S+T per rispettare il principio di Pauli generalizzato i nucleoni sono entro circa l % particelle identiche a spin /, ovvero sono fermioni... L interazione dipende dallo spin totale dei due nucleoni è attrattiva per stati di tripletto visto che il deuterio ha spin totale S, ma non attrattiva in S. Che tipo di interazione può cambiare segno in queste condizioni di spin? Dimostriamo che tale ruolo può essere affidato ad un interazione dl tipo V spin r V s r σ σ, dove le matrici di Pauli sono indicate con σ per lo spin e non τ. La dimostrazione si poggia su quanto già mostrato per le matrici di Pauli nello spazio dell isospin, ovvero il risultato 7. Evidentemente il potenziale dell equazione precedente avrà la proprietà S, S z V spin S, S z 3 S, S z V s r S, S z S, S z V spin S, S z + S, S z V s r S, S z divenendo così attrattivo e repulsivo nei due stati di spin. La fenomenologia della diffusione di neutroni-protoni, mostra che la sezione d urto ha una forte componente dovuta allo scambio di protoni e neutroni, e quindi la presenza di termini del tipo V isospin r V τ r P τ V τ r + V τ τ τ. 7