Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 4. Equazione di Dirac 3 Momento angolare e spin Interazione E.M. Scattering di Coulomb

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Equazione di Dirac 3 Momento angolare e spin Interazione E.M. Scattering di Coulomb anno accademico

2 Descrizione relativistica dello spin: rest frame Un altro metodo per descrivere lo spin fa riferimento al sistema inerziale in cui la particella è a riposo Rest Frame: possibile solo per particelle con massa 0 Nel sistema di riposo della particella l Hamiltoniana H commuta con l operatore di spin Σ Gli spinori possono essere anche autostati di Σ La trattazione coincide con quella non relativistica È possibile preparare uno stato φ ξ polarizzato in una direzione arbitraria ξ ξ = φ ξ σ φ ξ Ad esempio, nella rappresentazione di Pauli-Dirac φ w( 0, ) m ξ ξ = 0 σ ξw = λw A questo punto si può applicare una trasformazione di Lorentz che trasforma lo spinore w(0, ξ) Dal sistema in cui la particella è a riposo p' ν = (m, 0) Al sistema in cui la particella ha un 4-momento p ν = (E, p) p ν ν = Λ p Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 77

3 Descrizione relativistica dello spin: rest frame Ovviamente, in questo modo, abbiamo una complicazione Il 4-momento p della particella è definito nel sistema di laboratorio K Lo spin è definito nel sistema di riposo della particella K' Si introduce pertanto un 4-vettore s per la descrizione dello spin Nel sistema di riposo della particella s = ( 0, ξ ) s s = ξ ξ = 1 Notiamo che si tratta di un 4-vettore a modulo negativo (space-like) Inoltre nel sistema di riposo abbiamo p = ( m, 0) p s = m 0 0 ξ = 0 La relazione s' p'= 0 è invariante e vale in tutti i sistemi di riferimento Si passa al sistema K mediante una trasformazione Lorentz ν ν 0 m, 0 E, p p = Λ p ( 0, ξ ) ( s, s ) s = Λ s ν ν Attenzione: nel sistema di laboratorio K la parte spaziale di s NON È IL VALORE DI ASPETTAZIONE DELLO SPIN Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 78

4 Descrizione relativistica dello spin: rest frame In forma esplicita, le componenti di s nel sistema K in cui la particella di massa m ha energia E e momento p sono s 0 = p ξ s = ξ s = ξ m Evidentemente ξ e ξ sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare alla direzione della quantità di moto In forma vettoriale le relazioni precedenti si possono esprimere come 0 s = p ξ ( p ξ ) s = ξ + p = + p ξ s ξ m m( E + m) Notiamo che se la polarizzazione della particella nel suo sistema di riposo è ξ nel sistema di laboratorio le 4 componenti di s cambiano tutte di segno rispetto a quelle corrispondenti a +ξ Quando si utilizza il 4-vettore s gli spinori u e v si scrivono u p, s v p, s In queste formule s non è un indice ma un 4-vettore I due stati di polarizzazione sono ±s = ±s Landau L,Lifshitz E,Pitaevskii L Quantum Electrodynamics Pergamon cap III, 9 pag. 106 E m m Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 79

5 Relazioni di completezza Abbiamo visto che nel sistema di riposo l equazione di Dirac si riduce a 0 ip iγ 0 ψ = mψ 0t 0 ψ = we γ pw 0 = mw Abbiamo anche determinato 4 soluzioni w(0,r) r = 1,4 Ricordiamo (diapositiva ) la normalizzazione scelta per garantire il corretto comportamento della corrente nelle trasformazioni di Lorentz φr = p + p φ r E + m w( p, r) E m Analogamente, per r = 3,4 σ p Gli spinori w(0,r) sono i 4 autovettori di γ 0 : γ 0 w = ±w Sono ortogonali e costituiscono un sistema completo La completezza si esprime tramite la relazione 0 0 r = 1,4 w(, r) w (, r) = mi φr w 0, r = m r = 1, 0 0 0, = 3,4 φ = r w( r) m r ( ) + = Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 80

6 Relazioni di completezza Gli aggiunti spinoriali giocano un ruolo fondamentale nella teoria Siamo pertanto interessati ad una relazione di completezza che usi questi ultimi e non gli aggiunti hermitiani Osserviamo che nella base dei w la matrice γ 0 è diagonale A questo punto è immediato verificare che Infatti 0 0 rγ w w γ = rs m s r = 1, r 1, = εδ r rs ε + = = r = 1 r = 3, αβ = εr α ( 0, ) σ ( 0, ) γσβ σ= 1,4 r = 1,4 A w r w r σ= 1,4 ε r w(, r) w(, r) = mi εr w( 0, r) w( 0, r) εr w(, r) w (, r) r = 1,4 = m εδ εδ = m εεδ α α αβ α σα σ σβ r = 1,4 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 81 0 = 0 0 γ A = m εδ r αrδσrεδ σ σβ σ= 1,4 r = 1,4 = m δ αβ = mi αβ w ( 0 r) = m α, δαr

7 Relazioni di completezza Possiamo a questo punto introdurre la relazione di completezza per gli spinori u e v in un sistema di riferimento in cui la particella ha quantità di moto p Ricordiamo che u e v sono ottenuti dagli spinori a riposo w(0,r) come u( p, r) = S( Λ ) w( 0, r) r = 1, v( p, r) = S( Λ ) w( 0, r + ) r = 1, Verifichiamo che [ u( p, r) u( p, r) v( p, r) v ( p, r) ] = mi r Infatti, posto u r = u(p,r), v r = v(p, r) e infine w r = w(0,r) Ricordando che S = γ S γ = S Concludiamo r = 1. [ uu r r vv r r ] = SwrSwr Swr+ Swr+ = 1. r = 1. = S [ wrwr wr+ wr+ ] S = r r r+ r+ r = 1. r = 1. Sw w S Sw w S = S εrwrw r S r = S εrwrw r S = S( mi ) S = mi r = 1.4 [ uu vv ] = mi r = 1. r r r r Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 8

8 Interazione elettromagnetica Nell elettrodinamica classica la forza che agisce su una particella carica in moto è data dalla Forza di Lorentz F = qe + qv B Può essere ricavata (equazioni di Hamilton) dall Hamiltoniana classica 1 H = ( p qa) + qv m Nella Meccanica Quantistica non relativistica l interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando l Hamiltoniana appena introdotta ( = 1) 1 H ψ ( i q ) qv i m ψ = A + = t ψ Èconveniente riscrivere questa equazione nel modo seguente H 1 i iq i iqv = ψ m A = + ψ t Notiamo che si può arrivare all equazione precedente partendo dall equazione di Schrödinger per una particella libera e fare le sostituzioni iqa + iqv t t Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 83

9 Interazione elettromagnetica 1 Sviluppando il quadrato nell Hamiltoniana H = ( i qa) + qv m ( i qa)( i qa) ψ = ψ + iq ( Aψ ) + iqa ψ + q A ψ = ψ + iq ( A) ψ + iqa ψ + iqa ψ + q A ψ Scegliendo il gauge A = 0 e trascurando 1 q H = + i A + qv i termini in q otteniamo m m Applichiamo questa formula al caso di un campo magnetico costante e campo elettrico nullo V = 0 (i = p) 1 q H = m A m p 1 Per un campo magnetico costante B il potenziale vettore è A = r B Introduciamo A nell Hamiltoniana 1 q H = m + r m B p Il termine con il campo magnetico può essere trasformato in ( r B) p = εklmrb l mpk εmlkbmrp l k klm H = mlk = 1 q m B m L = B r p = B L Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 84

10 Interazione elettromagnetica L ultimo termine dell equazione rappresenta una energia potenziale magnetica Classicamente è dovuta all interazione di un momento magnetico generato dal moto associato ad un momento angolare L Anche a livello quantistico definiamo pertanto il momento magnetico di una particella dotata di momento angolare L e la sua energia potenziale q = L U = B m L esistenza di questo termine di interazione è verificata nella spettroscopia atomica l = In presenza di un campo magnetico le energie associate agli orbitali atomici di momento angolare l si separano in (l+1) livelli l = 1 equidistanti (effetto Zeeman) È noto che esiste un ulteriore effetto di questo tipo L elettrone ha un momento angolare intrinseco S = σ/ a cui sarebbe associato un momento magnetico = qs/m che suddivide ulteriormente i livelli Tuttavia, nel caso dello spin, per riprodurre i dati sperimentali occorre introdurre un fattore empirico g q e = g S g = m e m Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 85

11 Interazione elettromagnetica Prima di introdurre l interazione elettromagnetica nell equazione di Dirac facciamo alcune precisazioni sulle notazioni Richiamiamo le definizioni dell operatore derivazione 0, = x x 0, = x x Inoltre il potenziale vettore è A = ( V x, A x ) A = ( A 0 x, A x ) L introduzione dell interazione elettromagnetica viene fatta modificando l operatore di derivazione ( per l elettrone q = e ) + iqa Attenzione: per l operatore derivazione e il potenziale vettore i segni negativi delle componenti spaziali delle componenti covarianti e contravarianti sono scambiati + iqa = ( + iqv + iqa ) = ( + iqv iqa) 0, k ( + iqv iqa) 0, 0, Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 86

12 Interazione elettromagnetica A questo punto passiamo all equazione di Dirac i H i m o t ψ = ψ = α + β ψ Con la sostituzione minimale diventa i + iqv ( i ( iq ) m) t ψ = α A + β ψ i qv ( ( i q ) m) t ψ = α A + β ψ i ( ( i q ) m qv t ψ = α A + β + ) ψ Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenziale Vale la pena isolare il potenziale di interazione i ( Ho VD ) t ψ = + ψ V = qv qα A D Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 87

13 Limite di bassa energia È molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell equazione trovata Verifichiamo se ci conduce all equazione di Schrödinger con l interazione elettromagnetica Per poter confrontare con l equazione non relativistica occorre tenere conto che l energia relativistica include la massa a riposo della particella Se H è l Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H 1 + m α = α ( i qa) + βm + qv mi + mi H = ( i qa) + βm + qv H = α ( i q ) + ( I ) m + qv 1 Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo imt t o t e Ψ = Ψ Ψ o lentamente variabile Ψ o ( t) m t Inseriamo nell equazione di Dirac per trovare l'equazione per Ψ 0 i Ψ ( t) imt = i Ψ o t + mψo e t t ( 1 ) imt = H + m Ψo t e A β i Ψ o = H1 Ψ t o Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 88

14 Limite di bassa energia Riepilogando H = α ( i qa ) + ( β I ) m + qv 1 A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore 0 σ ψ I α = Ψ = 0 β = φ σ 0 I β I = 0 I Arriviamo al sistema di equazioni ψ 0 σ ( i qa) ψ ψ 0 i = qv m + t φ ( i q ) 0 φ φ φ σ A i ψ = σ ( i qa ) φ + qvψ t i φ = σ ( i qa ) ψ + qvφ mφ t Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 89

15 Limite di bassa energia i ψ = σ ( i qa ) φ + qvψ t i φ = σ ( i qa ) ψ + qvφ mφ t Consideriamo la seconda equazione Ricordiamo che Ψo varia lentamente, vale a dire Quindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente Abbiamo pertanto i ( i q ) qv m t φ = σ A ψ + φ φ 0 = σ ( i qa ) ψ mφ Introduciamo nella prima equazione i t ψ m i m t φ ( i qa ) i ψ = σ ( i qa ) σ ψ + qvψ t m φ σ Ψ t o ( t) m approssimazione non relativistica qv m ( i qa ) ψ m Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 90

16 Limite di bassa energia Si può verificare che (vedi esercizio 4.14) [ σ ( i qa) ] = ( i qa) qσ A Pertanto l equazione diventa 1 q i ψ = i qa ψ σ Bψ + qvψ t m m Questa equazione coincide con l equazione ottenuta partendo dall equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapos ) a meno di un termine 1 i ψ = i qa + qv ψ t m Il termine in più descrive l accoppiamento del momento = q σ magnetico intrinseco dell elettrone con il campo magnetico m Inoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente In conclusione Il limite E << m dell equazione di Dirac riproduce l equazione di Pauli Il fattore giromagnetico g = è predetto dalla teoria di Dirac Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 91

17 Scattering Coulombiano: spin 0 Come prima applicazione della teoria relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0 La funzione d onda della particella obbedisce all equazione di Klein-Gordon ( m ) φ ( x ) + = 0 Come nel caso dell equazione di Dirac l interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale + iqa Vediamo come si modifica l operatore φ ( + iqa )( φ + iqa φ) = + + Inserendo nell equazione di Klein-Gordon otteniamo ( iq A iqa q + A A + m ) + = φ + m φ = iq A + A φ + q A Aφ V KGφ V =+ iq A + A q A A KG φ iq A φ iqa φ q A A φ 0 prima si moltiplica a destra per φ dopo si applica al prodotto A φ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 9

18 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo L ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f dovuta ad un potenziale V è data dall approssimazione (primo ordine) Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon V =+ iq A + iqa q A A Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q Otteniamo in definitiva 3 * fi φf φi M = i dt d r r, t V r, t r, t KG 4 * Mfi = i d xφf x V x φi x KG V + iq A + iqa 4 * fi = φf + φi M q d x x A A x Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 93

19 Scattering Coulombiano: spin 0 4 * fi = φf + φi M q d x x A A x Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti 4 * * + 4 * dxφ ( A ) f φ = i φ A φ d x φ A φ f i f i Assumiamo che il potenziale A all infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termine L ampiezza di transizione diventa 4 * 4 * ( φ ) φ φ φ 4 * * = ( ) M = q dx A + q dx A fi f i f i q d x φf φi φf φ i A L espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilità Si definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f * * em = iq φf φi φf φi j Utilizzando questa corrente l ampiezza di transizione diventa 4 Mfi = i d x jem x A x Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 94

20 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positiva dell equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = e e > 0 Un onda piana per lo stato iniziale i x = e ip f x Un onda piana per lo stato finale φ f x = e Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva ) Inserendo nella corrente di transizione * * jem = ie φf φi ( φf ) φ ipf x ipi x ipf x ipi x i = ie e ipi e ipf e e Otteniamo pertanto fi ip x i φ 4 em i p p x em = i + f i f j x e p p e 4 ( = i f ) M i d x j x A x i f i p p x = i d xe p + p e A x 4 ( i f ) i p p x Mfi = ie pi + pf d xe A x Consideriamo infine un potenziale Coulombiano Ze A ( x) = ( A o, 0 ) A o x = Ao r = 4πε r 4 i( pi pf ) x fi i f o o o = ( + ) M ie p p d xe A x o Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 95

21 Scattering Coulombiano: spin 0 4 i( pi pf ) x fi i f o o o = ( + ) M ie p p d xe A x L ampiezza di transizione diventa pertanto ie ( i Ef ) t 3 i( pf pi ) r fi i f r o = ( + ) M ie E E e dt d e A r I due integrali sono indipendenti L integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ ie ( E ) t i f e dt = πδ E E Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb Si calcola facilmente come limite per m 0 del potenziale di Yukawa 3 i( p ) 1 f pi r Ze q = p d e A f pi r o r = ε o q δ(e i E f ) E i = E f Inserendo nell ampiezza di transizione Ze 1 Ze 1 Mfi = ie( Ei + Ef ) πδ ( Ei Ef ) = iπ4e ε i δ E i E f o q εo q e 4 i α = Mfi = i4π Zα E δ ( Ei Ef ) = c = 1 πε c q 4 o Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 96 i f notare il segno e lo scambio i f

22 Scattering Coulombiano: spin 0 Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d urto è data dalla regola d oro di Fermi P dσ = Φ La quantità Φ è il flusso di particelle La quantità P è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall elemento di matrice M fi = ( π ) δ( ) P = π V ρ( E ) M i E E V fi f i fi fi f La quantità ρ(e f ) èla densità degli stati E i = E f L elemento di matrice ridotto V fi viene introdotto per isolare la funzione δ Il modulo quadrato della funzione δ non è definito Viene calcolato con un opportuno processo di limite Ricordando il risultato della diapositiva precedente 4 i Mfi = i4π Zα E δ ( Ei Ef ) q Isoliamo l elemento di matrice ridotto 4Ei Vfi = πzα q Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 97

23 Scattering Coulombiano: spin 0 Veniamo adesso alla densità degli stati Ad una energia E f corrispondono tutti gli stati con momento p Il numero di stati nell elemento d 3 p dello spazio delle fasi è 3 d pf dn = 3 ( π ) E f Il fattore E f nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dn invariante per trasformazioni di Lorentz E m = p Uguagliando al numero di stati nell intervallo de f 3 d pf ρ ( Ef ) def = 3 ( π ) E f Calcoliamo esplicitamente dn in funzione di de f Utilizzando le coordinate sferiche 3 d pf pf d pf dω = In conclusione 3 3 π Ef π Ef = p EdEdΩ f f f π E 3 f E m = p EdE = p d p ρ ( E ) f dn f dω = = p de ( π ) 3 f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 98

24 Scattering Coulombiano: spin 0 Per finire il flusso Φ Fin qui le probabilità calcolate sono relative al un flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d onda usate dn dn = J ds Φ = = J ds Occorre tenere conto della normalizzazione degli stati Abbiamo visto che per le soluzioni dell equazione di KG utilizzate si ha Φ = J = p i Abbiamo pertanto P π Vfi 1 4Ei dσ = = ρ( Ef ) = π πz α Φ Φ p q 3 4Ei p f dω 4E = π Zα i scattering elastico = Zα dω 4 p 3 4 q i 4( π ) q p i = p f In conclusione otteniamo la sezione d urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano dσ E = ( Zα ) i dω q 4 i J pf dω 3 π ds Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 99

25 Scattering Coulombiano: spin 0 Un ultima elaborazione per sostituire l angolo di difffusione al momento trasferito q = p p pi f q Otteniamo pertanto La sezione d urto diventa pertanto i = f + i f i cosθ q p p p p q = p ( 1 cosθ ) p f dσ E = ( Zα ) i dω 4 4 θ 4 p sin θ p f q p i q θ = 4p sin Da confrontare con la formula non relativistica dσ dω = Zα 1 4 θ ( 4EK ) sin Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 100