Università degli Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennale in Fisica. Corso di. Meccanica Quantistica. Prof. Gianluca Grignani.

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1 Università degli Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennale in Fisica Corso di Prof. Gianluca Grignani Problem Set 6 Problema Si consideri un oscillatore armonico isotropo bidimensionale con Hamiltoniana e momento angolare Si introducano gli operatori H = p m + m ω x ) + p m + m ω x ) L = x p x p. A ± = a ia ), A ± = a ± ia ) ) dove gli opertori di distruzione e creazione sono definiti da a i = ip i + mωx i ), a i = ip i + mωx i ). mω mω Si mostri che gli operatori ) soddisfano all algebra [A r, A s ] = [A r, A s] =, [A r, A s] = δ rs r = + o, s = + o ). ) Determinare un insieme completo di autovettori comuni di N + A + A + ed N A A. Si esprimano H ed L in termini degli operatori N ±, si mostri che H ed L formano un insieme completo di osservabili mutuamente commutanti e se ne calcoli lo spettro. Si determini la degenerazione dei livelli energetici. Dato che gli operatori A r, soddisfano all algebra ), A + e A + possono essere interpretati come operatori di distruzione e creazione di quanti di tipo + e A e A come operatori di distruzione e creazione di quanti di tipo ; gli operatori N + A + A +, N A A rappresentano rispettivamente i numeri di quanti + e di quanti. Il problema di trovare gli autovettori comuni di N + e di N è matematicamente equivalente al problema di trovare gli autovettori comuni di N = a a e N = a a. N + e N hanno quindi uno spettro di interi non negativi n + =,,,... n =,,,

2 e queste osservabili formano un insieme completo di osservabili mutuamente commutanti. Ad ogni coppia di numeri quantici n +, n ) corrisponde un singolo autovettore comune. Infatti definendo il vuoto stato fondamentale n + = n = )) secondo le A + = A =, è l autovettore dello stato fondamentale. I vettori n + n n+!n! A + )n + A )n formano un insieme completo di autovettori comuni di N + A + A + ed N A A N + n + n = n + n + n, N n + n = n n + n, Ora, esprimendo H ed L in termini di A e A, si ha H = ωn + + N + ), L = N + N ). Dato che le osservabili N + e N formano un insieme completo di osservabili commutanti, la loro somma e la loro differenza avranno la stessa proprietà. In conclusione si ha a disposizione un altro insieme completo di autovettori di H, cioè l insieme degli autovettori n + n, che soddisfano alle equazioni agli autovalori H n + n = ωn + + n + ) n + n, L n + n = n + n ) n + n, La degenerazione dei livelli energetici è n + con n = n + + n. Infatti per n fissato e dato n n + può assumere solo il valore n + = n n, variando n da ad n si hanno n + possibili stati. Le relazioni di commutazione tra L e A e A sono [L, A ± ] = ± A ±, [L, A ±] = A ± Consegentemente quando agiscono su un autovettore di L, A + e A aumentano L di, A e A + lo diminuiscono di. Questo può avere varie interpretazioni fisiche, N + ed N possono ad esempio essere il numero di particelle con carica positiva o negativa e L/ è la carica totale. Quindi A + crea una carica positiva A distrugge una carica negativa, entrambi quindi incrementano la carica di ; in modo analogo A e A +diminuiscono la carica di un unità. Problema Determinare l evoluzione temporale della funzione d onda ψ l=,m= t = ) secondo l hamiltoniana H = ωl x. Se una misura di energia dà come risultato ω esprimere il corrispondente stato come combinazione delle funzioni d onda con ψ l=,m. - -

3 Per risolvere l esercizio è conveniente lavorare con le rappresentazioni matriciali degli operatori e delle funzioni d onda. Le ψ l=,m sono le autofunzioni di L z, nella cui base L z sarà diagonale e con autovalori,, sulla diagonale. La rappresentazione matriciale delle funzioni d onda è ψ, =, ψ, =, ψ, = La forma matriciale di L x in questa base è data da L x = Gli autovalori di questa matrice sono ancora,, e corrispondono agli autovettori normalizzati vx =, vx =, vx = 3) Esprimendo lo stato ψ l=,m= come combinazione degli autovettori di L x, 3), si ha ψ, = av x + bv x + cv x con a = c = /, b =. L evoluzione temporale della ψ l=,m= t = ) quindi è ψt) = v x e iωt + v Se una misura di H dà come risultato ω vuol dire che lo stato dopo la misura sarà v x che deve essere espresso come I coefficienti sono a = c = /, b = /. x e iωt) v x = aψ, + bψ, + cψ, Problema 3 Si consideri un sistema la cui Hamiltoniana è H = g 4 L +L ). Al tempo t = lo stato del sistema è descritto dalla funzione d onda ψ) = A sin θ sin ϕ; ) determinare la costante di normalizzazione A; ) determinare l evoluzione temporale della funzione d onda; 3) a quale tempo successivo essa diviene ψt) = A sin θ cos ϕ a meno di una fase

4 Le armoniche sferiche con l = sono Y = 3 ± cos θ, Y = 4π 3 sin θ e±iϕ 8π La funzione d onda all istante t = può allora essere scritta così π ψ) = ia Y 3 + Y ) 3 da cui A = 4π imponendo dω ψ = e usando l ortonormalità delle armoniche sferiche. Per evolvere la funzione d onda è conveniente scrivere l Hamiltoniana mediante degli operatori che hanne le Yl m come autofunzioni. Dalla definizione di L ± si ha L + L = L x + L y + L z = L L z + L z. Gli autovalori della Hamiltoniana nella base delle Y m l diventano ora HY = g 4 Y, HY =, L evoluzione temporale della funzione d onda è ottenuta facendo agire su ψ) l operatore e iht/ ψt) = i ) e ig 3t Y + Y. Il primo tempo in cui ψt) = ia sin θ cos ϕ sarà quindi t = π/g 3 ). Problema 4 Un elettrone sia nello stato fondamentale di un atomo idrogenoide ) si calcolino i valori di aspettazione dell energia cinetica e potenziale e si determini l energia di legame; ) si mostri che vale il teorema del viriale della meccanica quantistica; ) si calcoli, usando la teoria delle perturbazioni al primo ordine, la variazione in energia se la carica del nucleo varia da Z a Z + e si confronti il risultato con quello esatto. La funzione d onda dello stato fonfdamentale dell atomo idrogenoide con un nucleo di carica Z, è data da u n=,l=,m= = u = Z 3 πa 3 Il valor medio del potenziale V = Ze su questo stato è dato da r Ze r = Ze Z3 πa 3 4π rdr e Zr a e Zr a 4) = Ze Z3 πa 3 4π a e = Z 5) 4Z a

5 La forma operatoriale dell energia cinetica è T = m [ r r r r ) ] + L Dato che l = in 4) il termine di potenziale centrifugo non contribuisce al valor medio calcolato su 4) e quindi si ha Z 3 πa 3 = Z 3 m πa 3 T = m 4π 4π a 4Z r dr e Zr a r r ) e Zr a r r r = m Z 3 πa 3 4π Zr dr e a Z r a Zr ) a = Z e a = V, 6) cioè il teorema del viriale. L energia di legame è E b = T V = Z e che per l atomo di idrogeno vale 3.6 ev. Se la carica nucleare varia da Z a Z + il potenziale avrà una perturbazione a Z + )e H p = V f V i = + Ze r r = e r La correzione al primo ordine della teoria delle perturbazioni all autovalore dello stato fndamentale che è non degenere quindi è E ) = H p = Z e a che segue dalla 5). Il risultato esatto per la variazione in energia dello stato fondamentale è E = E f E i = Z + ) e a + Z e a = Ze a e a il calcolo perturbativo è in buon accordo con il risultato esatto solo per grandi Z. Problema 5 Scrivere la funzione d onda per il livello fondamentale dell atomo di elio, calcolare il valore dello spin totale e dire qual è la sua degenerazione nell approssimazione in cui l interazione tra i due elettroni sia trascurabile. Studiare inoltre le medesime grandezza fisiche per il primo livello eccitato. Fornire poi un argomento qualitativo per i valori dell energia del primo livello eccitato quando si consideri l interazione tra i due elettroni. Per rispondere a quest ultima domanda si usino le funzioni d onda dei primi due livelli atomici: φ s = Z 3 πa 3 e Zr a, φ s = Z 3 3πa 3 Zr ) e Zr a. a - 5 -

6 Trascurando l interazione tra i due elettroni l Hamiltoniana è H = m + ) Ze + ) r r con Z =. In questa approssimazione il problema è quello di due elettroni ciascuno in un campo di forze centrali con potenziale Coulombiano V = e r La soluzione è nota dalla teoria degli atomi idrogenoidie porta all energia dello stato fondamentale dell atomo di elio E = 4 e a = 54.4eV La parte orbitale della funzione d onda è ψr, r ) = φ s r )φ s r ) = Z3 πa 3 e Z r a +r ) e questa combinazione è automaticamente simmetrica. La funzione d onda totale Ψr, r ) = ψr, r )χ, dove χ rappresenta la parte di spin, descrive un sistema di due elettroni per cui deve essere globalmente antisimmetrica sotto lo scambio delle due particelle, la parte di spin deve quindi essere antisimmetrica χ = ) χ ) + χ) χ) + χ)., 7) cioè lo stato di singoletto a cui corrisponde uno spin totale pari a zero. Per il primo livello eccitato la funzione d onda sarà nello stato s n =, l = ), mentre l altra sarà nello stato s n =, l = ). Le funzioni d onda orbitali possibili sono Φ s r, r ) = φ s r )φ s r ) + φ s r )φ s r )) Φ a r, r ) = φ s r )φ s r ) φ s r )φ s r )) Le funzioni d onda Φ s r, r ) definiscono i parastati il paraelio nel nostro caso) e le Φ a r, r ) gli orto stati ortoelio). Per quanto riguarda la parte di spin χ per avere antisimmetria globale sotto lo scambio delle due particelle Φ s r, r ) sarà moltiplicata dalla stessa χ antisimmatrica che abbiamo appena determinato per il caso del livello fondamentale 7). La funzione Φ a r, r ) sarà invece moltiplicata per una qualsiasi dell funzioni d onda di tripletto χ = χ ) + χ) +, χ = ) χ ) + χ) + χ) + χ), χ = χ ) χ). 8) L energia dei livelli di paraelio e ortoelio è degenere finché non introduciamo il termine di interazione tra i due elettroni V int = e / r r. La funzione d onda dell ortoelio Φ a r, r ) si annulla per r = r =, mentre Φ s r, r ) ha un massimo in questo punto. QUesto significa che la funzione d onda dello stato antisimmetrico ortoelio) descrive degli elettroni che sono in genere lontani dall origine, mentre il contrario avviene per la funzione d onda delo stato simmetrico paraelio. Il contributo di V int = Φ e r, r ) r r Φr, r )d 3 r d 3 r - 6 -

7 calcolato per l ortoelio Φ Φ a ) è positivo nel segno e più piccolo di V int calcolato per il paraelio Φ Φ s ) perché la Φ a rappresentano delle particelle che per la maggior parte del tempo sono nella regione r, r >> dove il potenziale attrattivo delnucleo è schermato e V int è piccolo. Il valore dell energia E = T + T + V + V + V int è più grande in modulo per il paraelio che per l ortoelio, il quale ha quindi un energia maggiore. Infatti: Una funzione d onda spaziale antisimmetrica per i due elettroni implica una distanza media maggiore tra di loro di una funzione d onda simmetrica dello stesso tipo. La probabilità è il modulo quadro della funzione d onda e, da un punto di vista semplicemente funzionale, il modulo quadro di una funzione antisimmetrica va a zero nell origine. Quindi, in generale, la probabilità per piccole separazioni dei due elettroni è minore che per una funzione spazilamente simmetrica. Se gli elettroni sono in media separati tra loro, allora ci sarà meno schermaggio del nucleo da parte dell elettrone nello stato di energia più basso, e l elettrone eccitato, sarà quindi più esposto al nucleo. Questo implica che sarà più legato e quindi ad un energia più bassa. Questo effetto è chiamato qualche volta interazione spin-spin ed è nominata Hund s Rule #. È parte della comprensione dell ordinamento dei livelli energetici in atomi con molti elettroni. Problema 6 Misure dell Hamiltoniana H = ωs x per una particella di spin / danno con certezza il valore dell energia ω/. Determinare le correzioni al primo ordine e al secondo ordine per l energia fornite da una perturbazione H p = ɛω S +S. Confrontare il risultato ottenuto con il risultato esatto. L Hamiltoniana imperturbata in forma matriciale è del tipo ) H = ω σ x = ω σ x è una delle matrici di Pauli. Gli autostati dell Hamiltoniana corrispondenti agli autovalori ± di σ x sono ) ) v =, v = Dato che ) ) S + = σ x + iσ y ) =, S = σ x iσ y ) =, l Hamiltoniana di perturbazione si scrive come ) H p = ɛ ω - 7 -

8 La correzione perturbativa al primo ordine è l elemento diagonale della matrice di perturbazione preso rispetto allo stato di cui vogliamo trovare la correzione perturbativa, ovvero v. In formule: ) ) E ) = v H p v =, )ɛ ω = ɛ ω, La formula per la correzione al secondo ordine è E ) = H p n E E n n e n sono gli stati con autovalori E, E n. La somma è su tutti i valori di n tranne n =. Poiché la dimensione del nostro spazio di stati è due, nel nostro caso questa formula assume una forma molto semplice ) ), )ɛ ω E ) = ω ω ) = ω ɛ 4 Gli autovalori esatti sono gli autovalori della matrice ɛ H = H + H p = ω che sono E ± = ω L autovalore E + per piccoli ɛ ha l espansione E + = ω ɛ ± ) ɛ + [ + ɛ + ɛ 4 + O ɛ 3) e quindi i primi ordini coincidono con il calcolo perturbativo. ] Problema 7 Un atomo di idrogeno è posto in un campo elettrico omogeneo dato da: Et) = B τ πea t ˆn 9) + τ dove B e τ sono delle costanti con le dimensioni di e tempo rispettivamente, e è la carica dell elettrone ed ˆn è il versore di una direzione generica. Se al tempo t = l atomo è nel suo stato fondamentale, calcolare la probabilità che esso sia nello stato p a t =. Poichè il campo elettrico è omogeneo e diretto lungo una direzione arbitraria, possiamo scegliere l asse z nella direzione di ˆn, cioè del campo elettrico, in modo che l energia potenziale sarà data da V = B πa τ t + τ z = B πa τ t r cos θ ) + τ

9 Applichiamo allora la formula per il calcolo della probabilità di transizione P = a ) + ) = V e iωt dt ) i numeri quantici dello stato p sono infatti n =, l =. La differenza tra le due energie è ω = E E = e a 8 ) = 3e 8 a Per le regole di selezione su m sappiamo che la componente z di un vettore, come in questo caso, ha elementi di matrice diversi da zero solo se m =. Quindi possiamo direttamente considerare solo l elemento di matrice V, altrimenti dovremmo sommare su tutte le probabilità degli stati finali. u = πa 3 e r a, u = χ r Y = 4a 5 r e r a 3 4π cos θ = 3πa 5 r e r a cos θ, Calcoliamo separatamente r cos θ r cos θ = πa 3 3πa 5 π = 3 a 4 r 4 e 3r a dr cos θd cos θ r 4 e 3r a dr = 3 56a 5 a 4 8 Sostituendo ) nella formula della probabilità di transizione P = B τ π 5 3 e iω t t + τ dt = B τ 5 π 3 = 8 a 3 5 e iω t t + iτ)t iτ) dt ) 3) L integrale si fa con il teorema dei residui scegliendo il cammino che si chiude nella porzione di piano complesso t nella quale Imt) < e dà P = B τ 5 π 3 lim t iτ) eiωt iπ t iτ = B 5 3 e+ω τ = B 5 3 e 3e τ 4 a. A seconda del valore di τ, che rappresenta il tempo caratteristico della perturbazione, abbiamo diversi scenari fisici:. se τ >> / ω il tempo caratteristico è molto più grande della frequenza di trasmissione e quindi l atomo vede una perturbazione che varia molto lentamente. Questo è il caso adiabatico. La probabilità di transizione è piccola, nel limite di perturbazione infinitamente lenta essa tende a zero, l atomo che si trova nello stato stazionario vi rimane;. se τ << / ω è come se la perturbazione venisse accesa molto bruscamente, per cui la sua derivata diventa molto grande e qualsiasi altra funzione presente nell integrando può essere portata fuori dall integrale in quanto la sua variazione rispetto a V nm / t è Questo lo si può anche vedere matematicamente tenendo conto che le armoniche sferiche Y ± contengono un fattore e ±iϕ che integrato su un periodo di ϕ fa zero

10 trascurabile. Eseguiamo il calcolo esplicitamente, integrando per parti l espressione della probabilità ): w nm = V nm t)e i En Em) = V nmt)e i En Em) ie n E m ) e i En Em) t ie n E m ) t dt t V nm t dt = V nm t En Em) t ei ie n E m ) dt V nm E n E m ). 4) Dopo l integrazione per parti, la derivata totale calcolate a t = ± è zero perché la perturbazione va a zero all infinito e abbiamo portato fuori dall integrale sul tempo la parte che varia più lentamente rispetto alla derivata. Nel risultato finale per w nm è come se alla derivata rispetto al tempo del potenziale avessimo sostituito una delta di Dirac V nm δt), con V nm indipendente dal tempo. Nel nostro caso si avrà P B 5 3 5) affinché la teoria delle perturbazioni sia valida, questa probabilità deve essere piccola rispetto a, che è la probabilità di rimanere nello stato originario, ovvero B <<. Il momento dato classicamente dal campo elettrico all elettrone sarà dato dall integrale della forza, che abbiamo scelto lungo z. Il modulo del momento è quindi dato da Π = F t)dt = eet)dt = B arctan t + πa τ = B, a quindi il rapporto 5), Π a /, è proprio dell ordine del rapporto tra l energia classica Π /m) trasferita dal campo all elettrone e quella quantistica /ma ) che l elettrone ha nell atomo. Affinché la teoria delle perturbazioni sia valida, quindi, Π m << ma = e a. D altra parte, nel caso considerato, la 9), e quindi la ), sono una rappresentazione di una delta di Dirac nel limite in cui τ. Infatti ɛ δx) = lim ɛ π x + ɛ che, inserita nella ), dà proprio la 5). = lim τ V t) = B a δt)r cos θ - -