Intuizioni e considerazioni sulla meccanica quantistica

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1 Intuizioni e considerazioni sulla meccanica quantistica Come estendere i concetti di fisica classica alle sorprendenti proprietà del mondo quantistico

2 Modello di Bohr Se assumiamo che l elettrone sia un onda allora: k = 2π λ Δk = 2π Δx p = h λ = 2π h 2π λ = ħk Δp = 2πħ Δx Diffrazione Huygens Modello ondulatorio di Schrödinger Traiettoria esatta a distanza r n dal nucleo, l energia è esattamente E n (x,v) esattamente determinabili Schrödinger: gli elettroni legati sono onde stazionarie di materia. La presenza elettronica è diffusa (come nebbia ) su un profilo spaziale detto funzione d onda Y (=orbitale atomico). Questa funzione d onda, che è una funzione in generale complessa (e iθ = cosθ + isinθ), determina la probabilità di trovare l elettrone in un punto, oppure in un guscio sferico, e pure si usa per determinare il valore medio («di aspettazione») di una grandezza fisica qualsiasi (posizione, energia, carica, velocità, impulso, momento angolare ecc.) per l elettrone in quello specifico orbitale: ogni misura però sarà diversa, con certo un grado di incertezza/indeterminazione: Densità di probabilità: P r = Ψ n Ψ n P V = V Ψ n Ψ n dv V 1 ovvero prob. 100% di trovare l elettrone Probabilità in un guscio sferico di raggio r: P r 4πr 2 dr = Ψ n 4πr 2 Ψ n dr Valor medio (media pesata) di una certa grandezza: Q = QP(r)dr Ψ n QΨ n dr (valore di aspettazione )

3 Modello di Bohr Se assumiamo che l elettrone sia un onda allora: k = 2π λ Δk = 2π Δx p = h λ = 2π h 2π λ = ħk Δp = 2πħ Δx Diffrazione Huygens Modello ondulatorio di Schrödinger Traiettoria esatta a distanza r n dal nucleo, l energia è esattamente E n (x,v) esattamente determinabili Schrödinger: gli elettroni legati sono onde stazionarie di materia. La presenza elettronica è diffusa (come nebbia ) su un profilo spaziale detto funzione d onda Y (=orbitale atomico). Questa funzione d onda, che è una funzione in generale complessa (e iθ = cosθ + isinθ), determina la probabilità di trovare l elettrone in un punto, oppure in un guscio sferico, e pure si usa per determinare il valore medio («di aspettazione») di una grandezza fisica qualsiasi (posizione, energia, carica, velocità, impulso, momento angolare ecc.) per l elettrone in quello specifico orbitale: ogni misura però sarà diversa, con certo un grado di incertezza/indeterminazione: Densità di probabilità: P r = Ψ n Ψ n P V = V Ψ n Ψ n dv V 1 ovvero prob. 100% di trovare l elettrone Probabilità in un guscio sferico di raggio r: P r 4πr 2 dr = Ψ n 4πr 2 Ψ n dr Valor medio (media pesata) di una certa grandezza: Q = QP(r)dr Ψ n QΨ n dr (valore di aspettazione )

4 Orbitali elettronici

5 Orbitali elettronici

6 Introduzione all equazione di Schrödinger Osserviamo dunque che: Gli orbitali atomici sono funzioni d onda, cioè profili spaziali di una oscillazione elettronica stazionaria, e in quanto tali descritti da funzioni complesse; Gli orbitali atomici a n diverso sono distribuzioni di carica elettronica indipendenti l una dall altra, cioè senza sovrapposizioni («nebbie non compenetrate») e idealmente in numero infinito (escludendo la ionizzazione può essere considerato a fini speculativi anche l orbitale 500s ecc.); La indipendenza degli orbitali può essere assimilata all indipendenza dei versori cartesiani in geometria analitica, e quindi gli orbitali, ovvero le funzioni d onda, posso essere trattate come dei vettori ; La indipendenza o la possibile parziale o totale sovrapposizione degli orbitali (funzioni d onda) può essere descritta da un prodotto scalare tra queste funzioni d onda (come fossero vettori), che essendo funzioni complesse, è dato da: P mn = Ψ m Ψ n = Ψ m Ψ n Notazione di Dirac bra-c-ket 0 = න Ψ m Ψ n dv = ቐp 1 ortogonali, indipendenti sovrapposti del p% totalmente sovrapposti (m=n coincide con la densità di probabilità, vedi slide 1)

7 Introduzione all equazione di Schrödinger Poiché gli orbitali sono trattati come vettori, le grandezze fisiche misurabili (energia, carica, momento angolare, ecc.) sono trattate come matrici che si applicano a questi vettori L applicazione di una matrice a un vettore rappresenta artificialmente la misura di una certa grandezza fisica su un orbitale La matrice è la rappresentazione della grandezza fisica, per cui è come se la grandezza fisica agisse da operatore ( misuratore ) L operatore però, per effettuare la misura (cioè agire sul vettore) in realtà opera delle derivate, che dipendono dalla natura fisica della grandezza associate all operatore Vediamo dunque come intuire quali derivate sono da associare fisicamente alle operazioni «misura dell energia» e «misura della quantità di moto»

8 Introduzione all equazione di Schrödinger Un onda che varia nel tempo può essere vista come Ψ = Ψ 0 e iωt t e iωt = iωe iωt t = iω ω = i t E = hν ħω = iħ t E energia, quando è un operatore, è chiamata Hamiltoniano, H L operatore energia ha lo scopo di misurare il valore dell energia E E n un un certo stato (orbitale) Ψ n : per farlo, effettua una derivata rispetto al tempo: HΨ n = iħ t Ψ n HΨ n = E n Ψ n misuratore misura Deduciamo allora che: Ψ n = Ψ 0 e ie n ħ t ω = E n ħ

9 Introduzione all equazione di Schrödinger Un onda che varia nello spazio può essere vista come Ψ = Ψ 0 e ikx x eikx = ike ikx k = p = ħk iħ x p2 2m ħ2 2m 2 x 2 i x = i x Operatore Impulso/Quantità di moto Operatore Energia = Hamiltoniano HΨ n = p2 2m + V Ψ n ħ2 2m 2 x 2 + V Ψ n Orbitale (funzione d onda, o autostato) ħ2 2 Ψ n 2m x 2 + VΨ n = iħ Ψ n t Equazione di Schrödinger (onde di materia) richiama l equazione di D Alembert per le onde elettromagnetiche

10 Seconda parte

11 Conservazione in t e commutazione con H Dati due operatori A e B, rappresentati dalle matrici seguenti, il loro prodotto può essere: AB = BA = a b c d e f g h e f g h = ae + bg af + bh ce + dg cf + dh a b c d = ea + fc eb + fd ga + hc gb + hd In generale il prodotto tra due matrici (operatori) dipende dall ordine di apparizione e cioè non è commutativo! Commutativo: bere birra e mangiare un salatino (si possono scambiare) Non Commutativo: bere birra e buttare il boccale (non scambiabili) AB BA AB BA 0 AB BA =: A, B commutatore tra A e B Ma se A e B sono rappresentati da matrici diagonali, allora commutano sempre (esempio: porre b=c=f=g=0 nell esempio di sopra). Quando due operatori commutano, cioè quando A, B = 0, significa che è possibile trovare una base (cioè un insieme completo di versori cioè autofunzioni, cioè autostati) in cui le matrici che li descrivono sono diagonali. Dal punto di vista fisico, ciò vuol dire che le due grandezze fisiche possono essere misurate simultaneamente, la «lettura» di una grandezza non influenza la «lettura» dell altra grandezza (non altera il sistema, non "mescola" gli stati).

12 Conservazione in t e commutazione con H Ma perché vogliamo matrici diagonali? Se una matrice è diagonale, applicata ad un vettore (versore) fornisce un valore speciale associato sempre e solo a quello specifico vettore: si parla di autovalore ed autovettore: a b 0 = a 1 0 Prima Dopo la misura a 0 0 b 0 1 = b 0 1 Una matrice non diagonale cambia lo stato ( ruota il vettore) e perciò non può caratterizzare uno stato fisico determinato (l atto della misura cambia la realtà, mescola gli stati, ruota il vettore): a c Prima Dopo la misura c b 1 0 = a c Prima della misura Dopo la misura (=quello che vedo con la misura) In questo modo ogni elemento della diagonale della matrice è un valore specifico (autovalore) dello specifico vettore (autovettore, autofunzione o autostato). Non è un valore «medio», perché ad ogni misurazione su un autostato verrà sempre fuori quel valore esatto. Per cui, negli autostati, il valore di aspettazione diventa autovalore, valore privo di incertezza (dev. standard s=0), e la misura non soffre più di indeterminazione perché non «mescola» più gli stati letti. Nota: se la matrice che rappresenta H non è diagonale, applicata a quegli stati non fornisce il valore energetico specifico del sistema. Bisogna diagonalizzarla, ottenendo così autostati e autovalori (che saranno diversi dagli stati e dai valori di partenza).

13 Conservazione in t e commutazione con H L Hamiltoniano è l operatore energia, che contiene tutte le informazioni sull energia E n di qualsiasi livello energetico atomico n (autostato) Ψ n a prescindere dal fatto che sia occupato da un elettrone o no: HΨ n = E n Ψ n H è l operatore che «misura» l energia di un livello atomico e fornisce la «lettura» E n. Secondo il modello semplificato di Bohr, E n =-13.7eV/n 2, e n è il numero quantico principale (energetico). Dunque, se consideriamo per autostati indipendenti gli orbitali atomici dell atomo di idrogeno, l Hamiltoniano è rappresentato da una matrice diagonale: HΨ n = E E E E n Ψ 1s Ψ 2s2p Ψ 3s3p3d Ψ n Idealmente, ci sono infiniti possibili livelli energetici (matematicamente, escludo la ionizzazione e l elettrone potrebbe stare sul livello millesimo e più), cioè in pratica stiamo considerando uno «spazio» infinito-dimensionale (ogni livello ha il suo «versore indipendente», infiniti livelli implicano infiniti versori (o autostati, o autofunzioni complesse). Uno spazio del genere è detto spazio di Hilbert (ma è uno spazio virtuale, matematico).

14 Conservazione in t e commutazione con H Gli autostati atomici sono in realtà gli orbitali, e sono descritti da funzioni complesse (cioè con parte reale e parte immaginaria) perché si tratta di onde (seni, coseni e combinazioni varie): cosθ = eiθ + e iθ sinθ = eiθ e iθ e iθ = cosθ + isinθ 2 2i Per calcolare il prodotto scalare bisogna considerare il complesso coniugato (mettere i al posto di ogni i): e iθ e iθ Ψ n Ψ n Ψ n ൻΨ n ket bra Hamiltoniano: H H + H avendo solo elementi reali (=senza parti immaginarie) Il valore (non autovalore) assunto da un generico operatore in un generico stato (non autostato) si chiama valore di aspettazione (per distinguerlo dall autovalore, che è specifico di uno specifico stato): Q = න Ψ n Q Ψ n dr Ψ Q Ψ Vedi slide 8 d Q dt = t Ψ Q Ψ + Ψ t Q Ψ + Ψ Q t Ψ = Ψ H + iħ Q Ψ + Ψ t Q Ψ + Ψ Q H iħ Ψ = = Ψ i ħ H+ Q Ψ + Ψ Q Ψ i Ψ QH Ψ t ħ =i Ψ H, Q Ψ + Ψ Q Ψ = Ψ i H, Q + Q Ψ ħ t ħ t Se non c è esplicita dipendenza temporale allora Q = 0. In questo caso: t d Q Ψ H, Q Ψ = 0 H, Q = 0 cioè se e solo se Q commuta con H. Allora Q si conserva nel tempo. dt = i ħ

15 Conservazione in t e commutazione con H Per caratterizzare qualcosa in modo stabile nel tempo, mi servono grandezza conservate nel tempo, costanti del moto. Inoltre, un eventuale grandezza costante nel tempo, ad esempio chiamiamola L, deve poter essere misurate simultaneamente con l energia, così posso dire che il livello n ha E=E n e contemporaneamente L=L n, ovvero che tutti gli E n e L n (per tutti gli n) si riferiscono solo ed esclusivamente stesso identico insieme di autofunzioni (base). LH H Ψ n = E n Ψ n L Ψ n = L n Ψ n Ψ n = L E n Ψ n = E n L Ψ n = E n L n Ψ n = HL Ψ n LH HL Ψ n = 0 Gli operatori L ed H, avendo la stessa base (=insieme completo di orbitali, cioè funzioni d onda ortonormali), allora commutano. Una grandezza che commuta con l Hamiltoniano è costante nel tempo (conservata). E siccome commuta con L Hamiltoniano, è rappresentata da una matrice diagonale e quindi ha valori specifici (autovalori) per specifici vettori (autostati). Si dimostra che il momento angolare è conservato nel tempo, e quindi è un buon osservabile da usare per caratterizzare i sottolivelli atomici: l=0, 1, 2, 3 ecc. corrispondono agli orbitali s, p, d, f, ecc.

16 FINE