I Numeri Complessi. Un numero si definisce complesso se ha una parte reale e una immaginaria. G* A ib 1 2 A 2 B 2

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1 I Numeri Complessi 50 Un numero si definisce complesso se ha una parte reale e una immaginaria G A ib i 1 Per ogni numero complesso esiste il suo coniugato G* G* AiB Il modulo di un numero complesso è sempre reale. G GG* 1 A B 1 A B Due numeri complessi sono uguali quando è uguale sia la parte reale che quella immaginaria

2 I Numeri Complessi 51 L addizione e la sottrazione tra complessi sono eseguite secondo le regole applicate ai vettori z 1 x 1 iy 1 i è l unità immaginaria definita da i = -1 z x iy z 1 z x 1 x iy 1 y Una equazione che si incontra spesso trattando di numeri complessi è la formula di Eulero e i cos isen

3 I Numeri Complessi 5 e i cos isen e i i e e cos isen cos isen i cos isen; cos cos icos sen isen cos sen sen 1 e -i cos isen Ricordandoci che i = -1

4 Gli Operatori 53 Un operatore è un simbolo che applicato ad una certa funzione dice ciò che essa deve diventare. Operatori che tutti conosciamo sono i simboli di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. La loro caratteristica fondamentale è la posizione. Vediamo alcuni esempi: OPERATORE SIMBOLO EFFETTO Moltiplicazione per una costante Moltiplicazione per x Moltiplicazione per g(x) ˆ c ˆ x ˆ g (x) ĉf(x) x ˆ f(x) gˆ ( x) f(x) Elevazione al quadrato () [f(x)] Radice quadrata f(x) Derivata d/dx df(x)/dx Integrazione Addizione di x dx f ( x) dx ˆ x g ˆ (x) f(x)+ Addizione di g(x) + f(x)+ xˆ g ˆ (x)

5 Algebra degli Operatori 54 E possibile definire un algebra degli operatori, cioè stabilire regole generali con cui manovriamo gli operatori anche davanti alle funzioni. Nel caso in cui più operatori agiscano su una funzione si applica prima quello più a destra. Es: P ˆ Q ˆ f(x) ˆ P x yz e ˆ Q y xz Addizione di due operatori P ˆ Q ˆ f (x) x y xz f (x) yz ( ˆ P ˆ Q ) f (x) ˆ P f (x) ˆ Q f (x)

6 Commutatore 55 Due operatori commutano quando P ˆ Q ˆ Q ˆ P ˆ cioè P ˆ Q ˆ -Q ˆ P ˆ 0 Se il commutatore Pˆ Q-QP ˆ ˆ ˆ è nullo allora i due operatori commutano Esempio di due operatori che non commutano P ˆ x e Q ˆ x e f (x) x x 1 P ˆ Q ˆ f (x) Q ˆ P ˆ f (x)

7 Operatori lineari 56 Gli operatori si definiscono lineari se vale P ˆ f (x) g(x) P ˆ f (x) P ˆ g(x) e P ˆ af (x) ap ˆ f (x) Ad esempio la derivata è un operatore lineare mentre la radice quadrata non lo è P ˆ x x e f (x) x x x x 4x x x

8 Esempi di Operatori 57 Un operatore Pˆ si dice complesso e Pˆ * si dice complesso coniugato se P contiene i e il suo coniugato -i ˆ P i x e ˆ P * i x Operatore Gradiente: fornisce la velocità di trasformazione di una certa funzione lungo le tre direzioni dello spazio = nabla x i y j z k

9 Esempi di Operatori 58 Operatore Laplaciano: connesso nel caso dell equazione di Schrödinger alla energia cinetica x y z E spesso espresso in coordinate polari z x rsen cos; y rsensen; z r cos; y r x d r sendrdd 1 1 r r r r r sen 1 r sen

10 59 Esempi di Operatori Operatore Hermitiano: fornisce valori reali e permette quindi attraverso misurazioni fisiche di determinare le proprietà del sistema. La condizione di Hermitianità è data dalla seguente uguaglianza i * ˆ j d j ˆ i *d sp sp Operatore Hamiltoniano: connesso all energia totale di un certo sistema e ad esempio per l atomo di idrogeno: V ˆ dove è Vˆ l operatore potenziale

11 60 Esempi di Operatori Operatore Hamiltoniano: connesso all energia totale di un certo sistema e ad esempio per l atomo di idrogeno: ˆ T ˆ V ˆ dove T ˆ è l operatore energia cinetica e è l operatore potenziale. Vˆ ˆ m Vˆ m x y z Vˆ

12 Funzioni di Classe Q 61 Una funzione si definisce funzione di classe Q se soddisfa le seguenti proprietà: 1) È una funzione ad un sol valore ) E una funzione continua 3) E una funzione a quadrato sommabile e a supporto compatto. 1) Si intende quelle funzioni per cui ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y. Ad esempio la funzione (x-) +(y-b) =r non è una funzione ad un sol valore y y 1 x 1

13 Funzioni di Classe Q 6 ) Una funzione è una funzione continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell intervallo. Ad esempio la funzione y=f(x) è continua in un punto x 0 se il lim x->x0 f(x)=f(x 0 ). cioè se il limite coincide con il valore della funzione in quel punto. un esempio di funzione non continua è quello della funzione in figura per cui lim x->x0 f(x)=l=f(x 0 ) Nel disegnare questa funzione non si deve mai staccare la penna dal foglio

14 Funzioni di Classe Q 63 3) Una funzione è a quadrato sommabile se il suo quadrato è integrabile. Ad esempio la funzione f(x)=1/x rispetta questa condizione y 1 x dx x Mentre la funzione f(x)=1/x no x dx log x x 0 log1 log0 Anche nell intervallo da a + 0 () 1 1 dx log x x log

15 Funzioni Ortogonali 64 Due funzioni si dicono ortogonali quando il seguente integrale è uguale a zero i * j d 0 sp Valgono i concetti del prodotto scalare tra vettori: AB cos 0 90 ; cos 0 A x B x A y B y A z B z 0

16 Funzioni Normalizzate 65 Una funzione si dice normalizzata quando l integrale del prodotto della funzione per la sua complessa coniugata è uguale a 1. i * i d 1 sp Se è una autofunzione dell operatore Pˆ non normalizzata, è sempre possibile moltiplicare per una costante c tale che c sia normalizzata Se ma Pˆ a e i * sp Pˆ c cpˆ ca a( c) i d 1 cioè c è autofunzione di Pˆ e quindi risulta normalizzata.

17 66 Equazione agli Autovalori Si definisce equazione agli autovalori ˆ P (q i )G(q i ) pg(q i ) Dove P ˆ (q i ) è un operatore, G(q i ) è una funzione entrambe legate alle variabili q i e p è una costante; q i = coordinate generalizzate. Quanto tale equazione è soddisfatta, e p è detto autovalore. G(q i ) è detta autofunzione dell operatore

18 67 Esempi di Equazione agli Autovalori Consideramo l operatore Pˆ d / dx cerchiamo una funzione G(x) tale che quando opera sull operatore tale funzione risulta moltiplicata per una costante d dx G(x)? Siccome devo cercare una funzione che derivata due volte, mi dà se stessa moltiplicata per una costante posso considerare funzioni del tipo coseno, seno e esponenziale. G(x) senx d dx G(x) d dx senx senx Se è una costante, la funzione G(x) è una autofunzione dell operatore derivata seconda e l autovalore è -