6. Risposta in frequenza

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1 6. Risposta in frequenza Risposta in frequenza nel regime sinusoidale La risposta in frequenza riguarda una delle applicazioni fondamentali che costituisce parte in- tegrante dell evoluzione della tecnologia elettrica ed elettronica per l elaborazione e la tra- smissione del segnale (tecnologia elettrica per l Informazione). L impedenza degli elementi con memoria (induttori e condensatori) nei circuiti in regime si- nusoidale dipende dalla frequenza. Quindi il comportamento del circuito stesso è strettamen- te legato alla frequenza del regime a cui opera. Per un circuito lineare operante in regime sinusoidale si definisce una funzione di rete nello spazio dei fasori dato dal rapporto fra il fasore della risposta ed il fasore ingresso: H ω = Y(ω) X(ω) Mentre la risposta e l ingresso sono fasori, la funzione di trasferimento è un numero comples- so: H ω = H ω e +, dove H(ω) è l ampiezza e ϕ è la fase. Poiché ingressi ed uscite possono essere sia correnti che tensioni, si individuano quattro pos- sibilità e quattro differenti tipi di funzioni di trasferimento: (ω) V in (ω), H ω = I out(ω) I in (ω), (ω) I in (ω), H ω = I out(ω) V in (ω), uadagno di tensione uadagno di corrente Impedenza di trasferimento Ammettenza di trasferimento Filtri passivi Un filtro (filter) è un circuito progettato per lasciar passare i segnali elettrici delle frequenze desiderate e bloccare od attenuare quelli alle altre frequenze. Si distinguono filtri passivi e filtri attivi (passive filters and active filters). I filtri passivi contengono al proprio interno soli elementi passivi R, L e C. I filtri attivi sono costituiti, oltre che dagli elementi passivi R, L e C anche da elementi attivi quali i transistori ed gli amplifica- tori operazionali. Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 1

2 I quattro tipi di filtri, sia passivi che attivi sono: 1. Filtro passa- basso (lowpass filter): lascia passare le basse frequenze ed arresta le alte frequenze. 2. Filtro passa- alto (highpass filter): lascia passare le alte frequenze ed arresta le basse frequenze. 3. Filtro passa- banda (bandpass filter): lascia passare le frequenze all interno di una banda ed arresta quelle al di fuori della banda. 4. Filtro arresta- banda (stopband filter) blocca le frequenze all interno di una banda e lascia passare quelle al di fuori della banda. Nela figura a fianco è rap- presentata la risposta in frequenza dei quattro tipi di filtro nel caso ideale. Nei filtri passa- basso e pas- sa- alto si definisce la fre- quenza di taglio (cutoff freqency). I filtri passa- basso lasciano passare i se- gnali elettrici con frequenze da zero alla frequenza di ta- glio ω0. I filtri passa- alto la- sciano passare i segnali elet- trici con frequenze superiori alla frequenza di taglio ω0. Per i filtri passa- banda ed arresta- banda si definiscono le frequenze di inizio banda ω1 e fine banda ω2. Per tali frequenze (ω = ω1 e ω = ω2) l ampiezza della funzione di trasferimento è uguale a Si definisce anche la frequenza di centro banda (center frequency) ω0, fre- quenza angolare al centro della banda. Poiché alle frequenze ω1 e ω2 la potenza del segnale di uscita è metà del suo valore alla frequenza ω0, solitamente al centro banda, ω1 e ω2 prendono anche il nome di frequenze di metà potenza (half- power frequencies). Il passa- banda è pro- gettato per lasciar passare tutte le frequenze contenute all interno della banda ω1 < ω < ω2. L arresta- banda è progettato per bloccare od attenuare tutte le frequenze contenute all interno della banda ω1 < ω < ω2. Si definisce anche la larghezza di banda B (banwidth) da- ta da B = ω2 - ω1. Nel seguito di questo capitolo saranno trattati i quattro fondamentali filtri passivi, di tipologia elementare. Filtro passa- basso Un filtro passa- basso è un circuito progettato per lasciare passare i segnali elettrici con fre- quenze da zero alla frequenza di taglio ω0. Un filtro passa- basso passivo elementare è un circuito RC ove l ingresso è una tensione di ecci- tazione e l uscita è la tensione ai capi del condensatore. Per una determinata frequenza della tensione di ingresso, data in questo caso dalla tensione del generatore V 4, la funzione di trasferimento guadagno di tensione è data da: Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 2

3 V 4 = R + 1 jωc I ; V ;<= = 1 jωc I H ω = >? BC>? = > >C+@BA dove ω0 = > BA H(ω) = H ω = > >C+@/@ E = >F+@/@ E E è la frequenza di taglio. Ampiezza e fase della funzione di trasferimento sono: E ϕ = - tan E Per ω = ω0: H = 1/ 2 = 0.707, ϕ = Per ω = 0: H = 1, ϕ = 0. Per ω = + : H = 0, ϕ = Nelle due figure sopra riportate sono mostrate rispettivamente l ampiezza H e la fase ϕ della fun- zione di trasferimento al variare della frequenza angolare ω. Nella tabella vi sono i valori di H e ϕ per alcuni valori del rapporto ω/ω0. Si ottiene anche un filtro passa- basso da un circuito RL prelevando l uscita ai capi del resisto- re. Esistono molti altri modi per ottenere filtri passa- basso sia passivi che attivi. Filtro passa- alto Un filtro passa- alto è un circuito progettato per lasciare passare i segnali elettrici con fre- quenze superiore alla frequenza di taglio ω0. Un filtro passa- alto passivo elementare è un circuito RL ove l ingresso è la tensione di eccita- zione V 4, e l uscita V ;<= è la tensione ai capi dell induttore. La funzione di trasferimento gua- dagno di tensione è data da: V 4 = R + jωl I ; V ;<= = jωl I H ω =?@J BC?@J = +@/@ E >C+@/@ E Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 3

4 H ω E C+@/@ E E dove ω0 = R/L è la frequenza di taglio. Ampiezza e fase della fun- zione di trasferimento sono: H(ω) = ϕ = tan Per ω = 0: H = 0, ϕ = 90. Per ω = ω0: H = 1/ 2 = 0.707, ϕ = 45. Per ω = + : H = 1, ϕ = 0. Nelle due figure riportate sopra sono mostrate rispettivamente l ampiezza e la fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza angolare ω. Si ottiene anche un filtro passa- alto da un circuito RC prelevando l uscita sul resistore. Come per il filtro passa- basso esistono molti altri modi per ottenere filtri passa- alto sia passivi che attivi. Filtro passa- banda Un filtro passa- banda è un circuito progettato per lasciar passare i segnali elettrici con frequenze compresi nelle banda di frequenze ω1- ω2. Un filtro passa- banda passivo elementare è un circuito RLC ove l ingresso è la tensione di eccitazione V 4 e l uscita V ;<= è la tensione ai capi del resistore. La funzione di tra- sferimento guadagno di tensione è data da: V 4 = R + j ωl > H ω = B L I ; V ;<= = R I La frequenza di centro banda ω0 = 1/ LC corrisponde alla frequenza di risonanza del circuito RLC. Le frequenze di inizio banda ω1 e fine banda ω2 corrispondono ad un ampiezza della fun- zione di trasferimento pari a e sono le frequenze di metà potenza. Per ω = 0 e per ω = + : H = 0, ϕ = 90. Per ω = ω0: H = 1, ϕ = 0. Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 4

5 Si ottiene anche un filtro passa- banda ponendo in cascata il filtro passa- basso (con ω2 = ω0) ed il filtro passa- alto (con ω1 = ω0). Ovviamente ω0 del filtro passa- alto e del filtro passa- basso devono essere tali per cui ω1 < ω2. Filtro arresta- banda Un filtro arresta- banda è un circuito progettato per bloccare od attenuare i segnali elettrici con frequenze compresi nelle ban- da di frequenze ω1- ω2. Un filtro arresta- banda passivo elementare è costituito da un circuito RLC ove l ingresso è la tensione di eccitazione V 4 e l uscita V ;<= è la tensione ai capi del collegamento serie LC. La funzione di trasferimento guadagno di tensione è data da: V 4 = R + j ωl > V ;<= = j ωl > I ; H ω L L I La frequenza di centro banda ω0 = 1/ LC anche in questo caso corrisponde alla frequenza di risonanza del circuito RLC. Le frequenze di inizio banda ω1 e fine banda ω2 corrispondono ad un ampiezza della funzione di trasferimento pari a e sono le frequenze di metà potenza. Per ω = 0 e per ω = + : H = 1, ϕ = 0. Per ω = ω0: H = 0, ϕ = 90.. Esistono molti altri modi di ottenere i filtri passivi descritti. Il valore massimo del guadagno di un filtro passivo è l unità. Per avere guadagni superiori all unità è necessario utilizzare filtri attivi. Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 5