Rappresentazioni numeriche

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1 Rappresentazioni numeriche Introduzione Un calcolatore elettronico dispone di uno spazio finito per memorizzare le cifre che esprimono un valore numerico Per analizzare in generale le implicazioni di tale limitazione, ammettiamo di disporre di p=3 cifre L insieme S di valori rappresentabili è S={0,..,999} Quali sono le differenze fra S e l insieme dei numeri interi? In generale si perdono le proprietà di chiusura delle operazioni Ad esempio se a,b sono interi a+b è un intero

2 Perdite proprietà Perdita della proprietà di chiusura dovuta ad overflow (risultato maggiore del valore massimo rappresentabile) = 200 (200 S) 50 x 50 = 2500 ( S) Perdita della proprietà di chiusura dovuta ad underflow (risultato minore del valore minimo rappresentabile) 3-5 = -2 ( S) Perdita proprietà associativa a+(b-c) (a+b)-c ( ) ( )-300; Overflow! Perdita proprietà distributiva a x (b-c) a x b a x c Sistema di Numerazione Posizionale E definito da una coppia (A,B) dove: B> è un intero, detto base del sistema, ed A un insieme di simboli distinti, le cifre, con A =B sistema decimale, B=0, A={0,,2,3,4,5,6,7,8,9} sistema binario, B=2, A={0,} sistema ottale, B=8, A={0,,2,3,4,5,6,7} sistema esadecimale, B=6, A={0,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Ogni cifra rappresenta un numero distinto compreso fra 0 e B- uno, 2 due Interpretazione mentale immediata

3 Numeri e numerali Entità astratta Numero Rappresentazione Interpretazione Numerale Trasformazione fra Rappresentazioni Numerale Esempio numerali: dodici, 2, XII, 0xC Analogia: gatto e cat denotano lo stesso oggetto in due lingue differenti Sistema Numerazione Posizionale Un valore numerico è rappresento da una sequenza di cifre (allineamento) appartenenti ad A d k-..d 2 d d 0.d - d -2 d -p PARTE-INTERA.PARTE-FRAZIONARIA L indice associato alla cifra denota la posizione della cifra La posizione esprime il peso della cifra Valore di d i = V(d i ) = d i x B i

4 Esempio: sistema decimale (base 0) 0 cifre, A={0,,2,3,4,5,6,7,8,9} Esempio: d 2 =7, d =4, d 0 =3 V(734) = 7 x x V(0.234) = 2 x x x Notazione Per evidenziare la base B del sistema di numerazione si usa la seguente notazione ( ) B (B in base 0!) Negli esempi seguenti, se omessa vale 0 La cifra più a sinistra è detta cifra più significativa, quella a destra cifra meno significativa Se B=2 si usano gli acronimi MSB (Most Significant Bit) ed LSB (Least Significant Bit)

5 Sistema Binario (base 2) Utilizzato dai circuiti elettronici dei calcolatori 2 cifre (bit) d A = {0,} V(N) = d k- x 2 k- + d k-2 x 2 k d x 2 + d 0 x d - x d -p x 2 -p (00.0) 2 = x x 2 + x x 2-3 = (0.625) Potenze di 2 ricorrenti 2 2 =4 (nibble) 2 3 =8 (byte) 2 4 =6 2 5 = = = = = =024 (K) K=Kilo 2 20 = 024K (M) M=Mega 2 30 = 024M (G) G=Giga 2 40 = 024G (T) =Tera 2 50 = 024T (P) =Peta 2 6 =65536 = 64 K 2 32 = 4 G osservazione : Kb > 0 3 bit, tuttavia: Kb/s = 000 b/s

6 Altre basi notevoli Basi 8 e 6 Esempio: (72) 8 7 x x 8 + x 8 0 = 7x = =(465) 0 (0.) 8 /8 = (0.25) 0 Esempio: (72) 6 7 x x 6 + x 6 0 = 7x = = (825) 0 (0.) 6 /6 = (0.0625) 0 Nota: nel caso rappresentazioni esadecimali è prassi anteporre 0x, oppure il suffisso H Ex: 0x72, 72H Conversione da una base ad un altra Problema: dato un valore rappresentato dall allineamento N in base B trovare la rappresentazione N in base B2 (N) B (N ) B2 Nel seguito, se chiaro dal contesto, N denota sia il valore che l allineamento di cifre Bisogna convertire separatamente le parti intera (N I ) e frazionaria (N F ) (N) B =(N I.N F ) B (N I ) B (N I ) B2 (N F ) B (N F ) B2

7 Conversione I metodi dipendono dalla scelta di usare la base di partenza (B) o quella di arrivo (B2) Poiché si ha familiarità con la base B=0 quando una delle due basi è 0, allora si sceglierà il metodo che consente di lavorare in tale base Casi notevoli B 0 e B2=0 (già visto) B=0, B2 0 B2=B k Conversione da base 0 a B (N>0, intero) Usiamo la seguente osservazione: in generale possiamo affermare che per ogni intero B (<B N): N = Q x B + R [] Dove Q (Q<N) è il quoziente della divisione fra interi (divisione Euclidea) ed R (0 R<B) il resto Notazione Q = N/B (quoziente) R = N mod B (resto) Sia V(N) = d k- B k d B + d 0 D altra parte: d k- B k d B + d 0 = B(d k- B k d ) + d 0 e quindi (vedi []): d 0 =N mod B, e d k- B k d = N / B

8 Algoritmo di conversione da base 0 a B (N intero) Esempio: (25) 0 = (??) 2 N intero da convertire, B base di arrivo N 25 N / 2 2 N mod 2 Cifra d 0 = i 0; while N<>0 do. d i N mod B 2. N N/B 3. i i+ endwhile d =0 d 2 =0 d 3 = d 4 = (25) 0 = (00) 2 Esempio (30) 0 = (??) 6 N N/2 R mod 2 Cifra N N / 6 R mod 6 Cifra d 0 = d 0 =E 5 7 d = 0 d = 7 3 d 2 = 3 d 3 = 0 d 4 = (30) 0 = (E) 6 =0xE (30) 0 = (0) 2 Nota 0xE=(0) 2

9 Conversione da base 0 a B Metodo diretto Dato N individuare direttamente le potenze nella base B Esempio: rappresentare 27 in base B=2: => (0) 2 Osservazione: LSB=0 pari; LSB= dispari Valore massimo =. = 2 K - (K bit pari ad ) Relazione fra le basi 2/8/6 (E54) 6 ( ) 2 Da base 6(2) a 2(6) (62) 8 Da base 8(2) a 2(8) ( ) 2 (E54) 6 ( ) 2 ( ) 2 (724) 8 Da base 6(8) a 8(6)

10 Conversione da base 0 a B (0<N<) N=d - B - + d -2 B d -m B -m NB= d - B 0 + d -2 B d -m B -m+ + + = d - + (d -2 B d -m B -m ) = I + N (I=intero, N <) Quindi per isolare la prima cifra: d - = parte intera di NB (=trunc(nb) ) N = NB - d - = (d -2 B d -m B -m ) Siamo nel caso iniziale Le altre cifre si isolano in modo analogo: d -2 = parte intera di N B Finché precisione voluta oppure N=0 Algoritmo di conversione da base 0 a B (0<N<) Esempio: (0.825) 0 = (??) 2 N< valore frazionario da convertire, B base di arrivo, m cifre (precisione) N 2N Trunc(2N) Cifra i ; while N<>0 and i m do. d -i trunc (NB); 2. N NB - d -i ; 3. I i+ endwhile d - = d -2 = d -3 =0 d -4 = (0.825) 0 = (0.0) 2

11 Esempio: (2.25) 0 (..) 2 2/2 = 6 resto 0 d 0 =0 6/2 = 3 resto 0 d =0 3/2 = resto d 2 = /2 = 0 resto d 3 = 0.25 x 2 = 0.50, parte intera 0 d - = x 2 =.0, parte intera d -2 = (2.25) 0 (00.0) 2 Esempio numeri periodici N 2N Trunc(2N) Cifra Esempio: (0. 2) 0 = (??) d - = d -2 =0 (0.2) 0 = (0.00) d -3 = d -4 = 0.2 Se un numero è periodico in base 0 allora lo è anche in base 2 L affermazione opposta non è vera

12 Esercizio Esprimere in base 0 il numero periodico (0,0) 2 Riepilogo prodotti successivi (N<) divisioni successive (N intero ) 0 B 0 sviluppo del polinomio 2 8 6

13 Si Rappresentazione valori interi negativi Esistono diversi metodi Modulo e segno Complemento a uno (obsoleto) Complemento a due Eccesso 2 m- Modulo e segno E il più immediato da comprendere dedica un bit al segno ed i rimanenti al modulo Di regola denota il segno - Esempio -5 5 = () 2-5 = () 2 5 (0) 2 Con k bit l intervallo di dei valori rappresentabili è S=[-2 k- -,..,2 k- -] Doppia rappresentazione di 0

14 Complemento a 2 Fissato un numero k> di cifre binarie, il complemento a 2 su k bit di un intero N, N S={-2 K-,..2 K- }, è C(k,N)= N 0 N 2 K- 2 k - N -2 K- N Una definizione alternativa è C(k,N) = (N + 2 k ) mod 2 k Proprietà Perché usare la rappresentazione in complemento? Semplifica le operazioni aritmetiche La differenza X Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) In generale la somma algebrica diventa somma aritmetica Semplificazione dei circuiti elettronici che eseguono le operazioni

15 Esempio Eseguiamo adesso la differenza fra X=2 e Y=23, con k=2 cifre decimali: C(2)=2, C(-23)=00-23= = 98 = C(-2) Ciò vale in generale : Se Y>X, ossia (X-Y<0), allora: C(X-Y)= (def) B k - X-Y = B k -(-(X-Y)) = B k -Y+X, ma per definizione ciò è uguale a C(X)+C(-Y) Il caso Y X verrà trattato fra breve Nota: In questo caso non può mai verificarsi overflow (dimostrazione come esercizio) Esempio Eseguiamo ora la differenza fra X=23, Y=2, con k=2 cifre decimali C(23)=23, C(-2)=00-2= = 02 = C(2) + 00 Ciò vale in generale: Se X Y, ossia (X-Y 0), allora: C(X-Y)= (def) X-Y d altra parte C(X)+C(-Y) =X+B k Y B k = C(X-Y)+B k nota: X,Y S={-B k /2..B k /2-} X-Y<B k Pertanto C(X-Y)=C(X)+C(-Y).. a meno di un fattore B k

16 Esempio Fissiamo Base B=0, k=2 0 2 = 00 X=23, Y=2 -X-Y =? Algoritmo. Calcolo complemento di X, X =C(-23)=00-23=77; 2. Calcolo complemento di Y, Y =C(-2)=00-2=79 3. Eseguo la somma, X +Y =56 4. Sottraggo 00 se la somma è > 00: = Il risultato è il complemento di -X-Y, 56 = C(-44) Perché il risultato è corretto? Complemento Complemento di = (00-23) + (00-2) = 00 + (00-44) Per definizione è uguale a C(-44)!

17 Caso generale -X-Y B k -X + B k -Y = B k + B k -X-Y = B k + C(-X-Y) Eliminando il valore B k si completa la dimostrazione La somma dei complementi di -X e -Y è congruente (*) ( ) modulo B k con il complemento della differenza C(-X)+C(-Y) C(-X-Y) (= C(-X-Y) + B k ) Affinché il risultato ottenuto con il metodo illustrato sia corretto è necessario che -X-Y cada nell intervallo dei valori rappresentabili Per B=2 e k bit, S={-2 k-,..2 k- } (*)Fissato un intero M>, due interi X ed Y sono congruenti modulo M se la loro differenza contiene M un numero intero di volte Altro esempio Questa volta B=2, k=4 2 4 =6, valori rappresentabili={-8..7} Lavoriamo in base 2 X=-, Y=-3 C(-)=6-=5 2 C(-3)=6-3= (5) 0 = (3) 00 - (28) 0000 = (6) 00 Per eliminare il contributo 2 4, tralascia MSB!

18 Un regolo per i calcoli in complemento N C (3,N) complemento N + C(3,N)= valore rappresento (2+5) mod 8 = 7 mod 8 = (3+6) mod 8 = 9 mod 8 = (7 + 5) mod 8 2 mod 8 = 4-4 Algoritmi per il calcolo del complemento di N Primo metodo: Rappresentare il valore assoluto di N in base 2 Invertire tutti i bit ed aggiungere Esempio: rappresentare N= 25 in complemento su k=8 bit. -25 = 25 = (25) (Inverto i bit) = (sommo ) 00 (23) Secondo: Rappresentare il valore assoluto di N in base 2 Partendo da destra, lasciare invariati tutti i bit fino al primo bit, poi invertire gli altri

19 Valore espresso in base 0 Il valore della stringa di bit S=(b k-..b 2 b b 0 ), supposto che essa esprima un numero in complemento a 2 su k bit, è Pertanto b K- = 0 numero positivo b K- = numero negativo V(S)=-b k- 2 k- + Σ b i 2 i Attenzione, MSB non è un bit di segno! Per ottenere il corrispondente valore di segno opposto non e sufficiente invertire solo MSB K-2 i=0 Altri esempi Esempio: k = 4 bit Peso = 4+ = 5 =-8+4+= -3 = più piccolo positivo =4+2+ = 7 più grande positivo = =- più piccolo negativo =-8 più grande negativo

20 Altri esempi k=8 bit, pesi=<-28,64,32,6,8,4,2,> 0000, rappresenta = , rappresenta 28, rappresenta = , rappresenta 0 Esempio (su K=8 bit) Troviamo la rappresentazione di -5 in complemento -5 =5= (-5) (+2) 0 (-3) Verifica: = -3

21 Rappresentazione eccesso 2 m- Il valore N viene rappresentato da N+2 m- Range di valori [-2 m-...2 m- ] Una rappresentazione dello 0 Per passare dalla rappresentazione eccesso 2 m- al complemento a 2 su m bit si deve invertire il bit MSB Esercizio: Dimostrare per esercizio Operazioni aritmetiche Somma Sottrazione Prodotto Divisione

22 Regole per la somma Somma di due bit A e B Cin A B Cout Si Cout Cin + A + B = Si la coppia di valori (Cout,Si) indica il numero di uno, espresso in base 2 attenzione a due queste configurazioni. sono le uniche in cui Cin<>Cout In generale: Cin e il il riporto (carry) generato dalla somma dei bit di peso i- Cout è il riporto generato dalla somma dei 2 bit A,B di peso i Somma binaria BASE B=2 0+0=0 0+= +0= =0 =(2) 0 ++= =(3) (56) = (29) (85) 0 Riporto (carry) = 85 La somma di due numeri a k bit e rappresentabile al piu con k+ bit Se abbiamo a disposizione k bit ed il risultato richiede k+ bit si ha overflow

23 Somma algebrica in complemento Esprimere gli operandi in complemento alla base La rappresentazione in complemento differisce solo per i valori negativi Eseguire la somma Trascurare l eventuale riporto Se non si è verificato overflow, allora la somma rappresenta il risultato espresso in complemento Si verifica overflow quando gli operandi hanno lo stesso segno ed il risultato ha segno opposto Overflow, esempio Eseguire su k=4 bit la differenza: (riporti) 0 + (-3) 00 = (-6) ()0 (7!)

24 Sia Rilevazione overflow Si e verificato OVERFLOW se: ) i due operandi hanno lo stesso segno 2) Il risultato ha il segno diverso dagli operandi ma = => => = => => -5 il verificarsi dell overflow implica la disuguaglianza del riporto in ingresso e quello in uscita dalla posizione MSB (Cin<>Cout) L overflow si può rilevare testando la condizione Cin<>Cout di MSB Estensione del segno Problema: dato un intero N, rappresentato in complemento mediante k bit Rappresentare N usando k+q bit (q>0) Soluzione: Fare q copie di MSB Dimostrazione (banale per N positivo) Sia N<0 (N=bb b, dove b è una cifra binaria) Per induzione: Sia N q la stringa con estensione di q bit Esempio q=: Poiché 2 K = 2 K +2 K, allora V(N)=V(N ). q>: estendere di un bit la stringa ottenuta da N con estensione di q- bit V(N q )=V(N q- ) -2 = (0) 2 con 3 bit diventa (0) 2 su 6 bit

25 Prodotto e divisione per 2 k Il prodotto di N per 2 k si ottiene postando di k posizioni le cifre a sinistra ed inserendo k bit pari a zero La divisione di N per 2 k si ottiene postando di k posizioni le cifre a destra ed inserendo k bit pari al valore di MSB (shift aritmetico) Esempio : -28/8 = -6 (8=2 3 ) (3 posizioni a destra) 0000 = (-6) 0 Esempio : -28/8 = -6 (8=2 3 ) Esercizio: verificare tale regola Prodotto e divisione per 2 k Se N è un numero senza segno, allora il prodotto (divisione) per 2 k si ottiene spostando (shift) le cifre a sinistra (destra) di k posizioni ed introducendo 0 nelle posizioni lasciate libere Esempio: 5 x 4= 60 (4=2 2,shift 2 posizioni) Esempio: 28 / 2= 64 (2=2, shift posizione) Attenzione: nel caso di rappresentazioni con segno questa regola non vale..

26 Prodotto e divisione per 2 k N=2 n d n + 2 n- d n- + + d 0 N =2N = 2 n+ d n + 2 n d n d 0 +0 N =2 n+ d n+ + 2 n d n + + 2d +d 0 d i =d i- (i>0) e d 0 =0 Moltiplicazione numeri senza segno 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 =

27 Esempio (8) 0 0 (0) => = = 80 Esercizi di riepilogo Eseguire le seguenti conversioni (-6) 0 = (??) 2 [complemento a 2, minimo numero di cifre ] (-6) 0 = (??) 2 [complemento a 2, k=0 cifre binarie ] (-26) 0 = (??) 2 [complemento a 2, minimo numero di cifre ] (27) 0 =(??) 2 (/3) 0 = (??) 3 (28) 0 = (??) 6 = (??) 8 = (??) 2 (.) 2 = (??) 0

28 Esercizi di riepilogo Eseguire le operazioni 6-23, in complemento (k=7 bit) in complemento (k=7 bit, k=6 bit) in complemento (k=7 bit e k=6 bit) 0 x 000 / 0