Fondamenti di informatica per la sicurezza

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1 Corso di Laurea in Sicurezza dei sistemi e delle reti informatiche Fondamenti di informatica per la sicurezza anno accademico docente: Stefano Ferrari della prima parte versione A valutazioni 1 (5) 2 (6) 3 (5) 4 (9) 5 (5) 6 (4) Cognome Nome Matricola Firma Esercizio 1 Effettuare i seguenti cambi di base: a) (425) 8 = (???) 10 b) (121) 10 = (???) 2 c) (3A) 16 = (???) 2 d) (107) 8 = (???) 2 e) (60) 7 = (???) 2 a) (425) 8 = = = = (277) 10 b) (121) 10 = (???) 2 quoziente resto (121) 10 = ( ) 2 c) (3A) 16 = (???) 2 3 A (3A) 16 = (111010) 2 d) (107) 8 = (???) (107) 8 = ( ) 2 e) (60) 7 = = (42) 10 quoziente resto (60) 7 = (101010) 2 Esercizio 2 Un negozio di mobili offre cucine componibili con la seguente disponibilità di moduli: pensili (nei tipi: armadietto, mensola) tavoli (nei tipi: da quattro persone, da sei, da sei allungabile) sedie (nei tipi: sedia tradizionale, trespolo, sgabello) armadi (nei tipi: senza vetrina, con vetrina) Ogni cucina può essere composta da: 0, 1 o 2 pensili 0 o 1 tavoli

2 0, 1, 2, 4, 6 o 8 sedie 0, 1, 2, 3 armadi Gli elementi possono essere di ogni tipo, ma il totale deve essere limitato alle quantità specificate. Si calcoli: a) il numero di bit necessari per codificare ciascun tipo di modulo (pensili, tavoli, sedie e armadi); b) il numero di bit necessari per codificare la configurazione di una cucina. Premessa: Nell inventare questo esercizio mi sono lasciato prendere un po la mano. Per una soluzione corretta del punto b) erano necessarie delle conoscenze su concetti che non ho trattato a lezione durante l a.a. 2003/04. Riporto nel seguito sia la soluzione formalmente corretta (perché può essere utile per gli studenti di altri a.a.) sia quelle che sono state ritenute corrette in sede di correzione. a) il numero di bit necessari per codificare ciascun tipo di modulo (pensili, tavoli, sedie e armadi); pensili: 2 tipi, quindi serviranno log 2 (2) = 1 bit tavoli: 3 tipi, quindi log 2 (3) = 2 bit sedie: 3 tipi, quindi log 2 (3) = 2 bit armadi: 2 tipi, quindi log 2 (2) = 1 bit Nota: x indica il numero intero uguale o immediatamente superiore a x. b) il numero di bit necessari per codificare la configurazione di una cucina. Il numero di bit necessario per una codifica è il primo intero immediatamente superiore o uguale al logaritmo in base 2 del numero di configurazioni da rappresentare. Il numero di configurazioni di una cucina è pari al prodotto del numero di configurazioni dei suoi componenti. Essi possono essere presenti con una numerosità diversa da tipo di componente. Analizziamo il caso del componente pensile per poi estendere il calcolo agli altri componenti. I pensili possono essere presenti in tre numerosità (nessun elemento, un pensile o due pensili). Il numero totale di configurazioni di pensili è dato dalla somma delle configurazioni ottenibili con ciascuna numerosità. Praticamente, indicando con la lettera a il tipo armadietto e la lettera m il tipo mensola, possiamo avere le seguenti configurazioni: {nessuno, a, m, aa, mm, am}, per un totale di 6 configurazioni. Nel dettaglio, ci sono: una configurazione per nessun pensile, due configurazioni per un solo pensile e tre configurazioni per due pensili. Bisogna notare che ci sono solo tre configurazioni con due elementi perché le configurazioni am e ma coincidono. E questo il caso, che si trova in letteratura con il nome combinazioni con reimmisione (o ripetizione), che non è stato trattato a lezione. Il caso più vicino visto a lezione, conosciuto come disposizioni con reimmissione, considera distinte le configurazioni generate permutando gli oggetti ed avrebbe portato al valore di 4 anziché 3. In generale, le combinazioni di n oggetti su k posti (con reimmissione), mentre le disposizioni di n oggetti su k (con reimmissione) posti sono pari a D n,k = n k. è pari a C n,k = (n+k 1)! k!(n 1)! Lo stesso principio può essere applicato agli altri componenti, ottenendo il numero di configurazioni per ciascun componente. Questi valori, moltiplicati tra loro, forniscono il numero di configurazioni ottenibili con le regole dell esercizio. Nel seguito, vengono indicate alcune soluzioni. La prima sarà quella matematicamente corretta, alla quale seguiranno altre soluzioni, formalmente meno corrette, ma ritenute accettabili. Per la soluzione formalmente corretta, il numero di configurazioni dei singoli componenti è: pensili: C 2,0 +C 2,1 +C 2,2 = = 6 tavoli: C 3,0 + C 3,1 = = 4 sedie: C 3,0 + C 3,1 + C 3,2 + C 3,4 + C 3,6 + C 3,8 = = 70 armadi: C 2,0 + C 2,1 + C 2,2 + C 2,3 = = 10 Il numero totale di configurazioni della cucina risulta quindi: = 16800, descrivibili tramite log = 15 bit.

3 Una soluzione formalmente meno corretta, ma accettabile prevede il calcolo del numero di configurazioni come disposizioni con reimmissione: pensili: D 2,0 +D 2,1 +D 2,2 = = 7 tavoli: D 3,0 + D 3,1 = = 4 sedie: D 3,0 +D 3,1 +D 3,2 +D 3,4 +D 3,6 + D 3,8 = = = 7384 armadi: D 2,0 + D 2,1 + D 2,2 + D 2,3 = = 15 Il numero totale di configurazioni della cucina risulta quindi: = , descrivibili tramite log = 22 bit. Per semplificare i calcoli, una soluzione alternativa consiste nell assegnare, per ogni componente, un tipo fasullo con lo scopo di segnalare l assenza del componente stesso dalla configurazione. Con questa assunzione si può considerare, nel calcolo delle configurazioni di ogni elemento, solo il caso a numerosità maggiore: pensili: 3 2 = 9 tavoli: 4 1 = 4 sedie: 4 8 = armadi: 3 3 = 27 Il numero di configurazioni risulta essere: = , descrivibili tramite log = 26 bit. Esercizio 3 Dimostrare, tramite tavola di verità se le seguenti formule sono tautologie: a) ( r ( p ( p r))) p b) s (( s q) (s r)) a) La formula è una tautologia, come dimostra la tavola di verità riportata in fig. 1 b) La formula è una tautologia, come dimostra la tavola di verità riportata in fig. 2 Esercizio 4 Dimostrare, che le seguenti inferenze sono valide: a) Ip1 (a b) Ip2 b c Tesi c b) Ip1 (b c) a Ip2 c Tesi a c) Ip1 a ( c b) Ip2 c Tesi a a) La soluzione è riportata in fig. 3. b) La soluzione è riportata in fig. 4. c) La soluzione è riportata in fig. 6. Esercizio 5 Formalizzare le seguenti proposizioni: a) Aldo non beve il caffè o Bruno mangia i biscotti b) Carlo legge c) se Aldo beve il caffè, Carlo legge d) Aldo beve il caffè se e solo se Carlo legge e) Carlo non legge, se Bruno non mangia i biscotti Dati i seguenti simboli proposizionali: a = Aldo beve il caffè b = Bruno mangia i biscotti c = Carlo legge le frasi dell esercizio possono essere formalizzate come: a) a b b) c c) a c d) a c e) b c

4 p r p r p r p ( p r) α r α β p F F V V V V F F V F V V F F V F F V V F F V F F V V V V V F F F F V F V α β Figura 1: dell esercizio 3a. q r s q r s s q s r β α β γ s γ F F F V V V V V F F V V F F V V V F F V F F V V F V F V F V V V F F V V F V V V F F F F V F V V V F F F V V F V F F V V V F V F V F V V F F V V V V F F F V F V F F V V V V V F F F V F V V F V α β γ Figura 2: dell esercizio 3b. (1) ( a b) equivalenza logica a Ip1 (2) a b equivalenza logica a (1) (3) b c equivalenza logica a Ip2 (4) b elemento di cong. di (2) (5) c modus ponens da (4) e (3) Figura 3: dell esercizio 4a. (1) (b a) (c a) legge di De Morgan appl. a Ip1 (2) (c a) elemento di cong. di (1) (3) c a equivalenza logica a (2) (4) a modus ponens da (3) e Ip2 Figura 4: dell esercizio 4b. (1) a (b c) equivalenza logica a Ip1 (2) ( a b) ( a c) equivalenza logica a (1) (3) a c elemento di cong. di (2) (4) c a contrapposizione di (2) (5) a modus ponens da (4) e Ip2 Figura 5: alternativa dell esercizio 4b. (1) (a c) (a b) legge di De Morgan appl. a Ip1 (2) a c elemento di cong. di (1) (3) c a equivalenza logica a (2) (4) a modus ponens da (3) e Ip2 Figura 6: dell esercizio 4c.

5 Esercizio 6 Dimostrare che è valida l inferenza ottenuta prendendo come ipotesi i punti c) e e) dell esercizio 5 e come tesi il punto a). Ip1 a c Ip2 b c Tesi a b La dimostrazione è riportata in fig. 7. (1) c b per contrapposizione da Ip2 (2) (a c) (c b) cong. di Ip1 e (1) (3) ((a c) (c b)) (a b) Sillogismo ipotetico (4) a b modus ponens da (3) e (2) (5) a b equivalenza logica a (4) Figura 7: dell esercizio 6.