Algorithms for verification and computation of strong Nash equilibria. Stefano Paladino Relatore: Nicola Gatti 3 Ottobre 2014

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1 Algorithms for verification and computation of strong Nash equilibria Stefano Paladino Relatore: Nicola Gatti 3 Ottobre 2014

2 Introduzione 1 Teoria matematica dei giochi

3 Introduzione 1 Teoria matematica dei giochi Interazione strategica tra agenti razionali

4 Introduzione 1 Teoria matematica dei giochi Interazione strategica tra agenti razionali Concetti di soluzione

5 Introduzione 1 Teoria matematica dei giochi Interazione strategica tra agenti razionali Concetti di soluzione Aspetti computazionali

6 Introduzione 1 Robert Aumann Premio Nobel 2005 Strong Nash Equilibrium

7 Introduzione 1 Jonh Nash Premio Nobel 1994 Nash Equilibrium

8 Introduzione 1 Equilibrio Strong Nash (SNE) Un profilo di strategie è un equilibrio strong Nash se: (i) è un equilibrio di Nash, (ii) è Pareto efficiente.

9 (i) Equilibrio di Nash 2 Equilibrio di Nash (NE) Un profilo di strategie rispetto al quale nessun giocatore ha interesse ad essere l unico a cambiare strategia è un equilibrio di Nash.

10 (i) Equilibrio di Nash 2 Equilibrio di Nash (NE) Un profilo di strategie rispetto al quale nessun giocatore ha interesse ad essere l unico a cambiare strategia è un equilibrio di Nash. agente 1 agente 2 a 3 a 4 a 1 2, 2 0, 3 a 2 3, 0 1, 1

11 (i) Equilibrio di Nash 2 Equilibrio di Nash (NE) Un profilo di strategie rispetto al quale nessun giocatore ha interesse ad essere l unico a cambiare strategia è un equilibrio di Nash. 3 agente 1 agente 2 a 3 a 4 a 1 2, 2 0, 3 a 2 3, 0 1, 1 E[U2] NE E[U 1 ]

12 (ii) Pareto efficienza 3 Pareto Efficienza (PE) Un profilo di strategie è Pareto efficiente se non si può migliorare la condizione di un giocatore senza peggiorare la condizione di un altro.

13 (ii) Pareto efficienza 3 Pareto Efficienza (PE) Un profilo di strategie è Pareto efficiente se non si può migliorare la condizione di un giocatore senza peggiorare la condizione di un altro. 5 agente 1 agente 2 a 4 a 5 a 6 a 1 5, 0 0, 5 0, 0 a 2 0, 5 5, 0 0, 0 a 3 0, 0 0, 0 1, 1 E[U2] NE NE SNE E[U 1 ]

14 Complessità 4 Ricerca NE: PPAD-completo

15 Complessità 4 Ricerca NE: PPAD-completo Ricerca PE: FP

16 Complessità 4 Ricerca NE: PPAD-completo Ricerca PE: FP Ricerca SNE: FN P-completo

17 Complessità 4 Ricerca NE: PPAD-completo Ricerca PE: FP Ricerca SNE: FN P-completo FNP-Hard FNP-Complete FNP PPAD-completo FP Complexity P NP

18 Complessità 4 Ricerca NE: PPAD-completo Ricerca PE: FP Ricerca SNE: FN P-completo start sì Ricerca NE no Verifica PE no sì Nessun SNE SNE

19 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO

20 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013]

21 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013] Enumerazione sottomatrici: n n n n

22 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013] Enumerazione sottomatrici: n n n n Problema di Geometria Algebrica Reale: formula di Tarski

23 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013] Enumerazione sottomatrici: n n n n Problema di Geometria Algebrica Reale: formula di Tarski Solvers Mathematica, Matlab, Maple (SyNRAC), QEPCAD.

24 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013] Enumerazione sottomatrici: n n n n Problema di Geometria Algebrica Reale: formula di Tarski Solvers Mathematica, Matlab, Maple (SyNRAC), QEPCAD. Complessità singolo problema: L O(1) (n + 1) O(n2) m n2 +n

25 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Complessità: P [Gatti et al., 2013] Enumerazione sottomatrici: n n n n Problema di Geometria Algebrica Reale: formula di Tarski Solvers Mathematica, Matlab, Maple (SyNRAC), QEPCAD. Complessità singolo problema: L O(1) (n + 1) O(n2) m n2 +n Risultati: inaccettabili con 3 giocatori, 3 azioni (> 3 ore)

26 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization

27 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization Termination Tolerance

28 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization Termination Tolerance Solvers SCIP, BARON

29 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization Termination Tolerance Solvers SCIP, BARON Problema completo: intera matrice di gioco

30 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization Termination Tolerance Solvers SCIP, BARON Problema completo: intera matrice di gioco Complessità: esponenziale

31 Algoritmo per la verifica della PE 5 Input matrice del gioco, profilo di strategie da verificare, numero giocatori Output è pareto efficiente? SÌ/NO Strumenti di Global Optimization Termination Tolerance Solvers SCIP, BARON Problema completo: intera matrice di gioco Complessità: esponenziale Risultati: fino a 10 giocatori, 50 azioni in 5 minuti!

32 Algoritmi per la ricerca di SNE 6 Due algoritmi di enumerazione degli equilibri di Nash: spatial branch & bound enumerazione supporti

33 Algoritmo: Spatial B&B 7 1 Oracolo per l equilibrio di Nash: Mixed Integer Programming (MIP)

34 Algoritmo: Spatial B&B 7 1 Oracolo per l equilibrio di Nash: Mixed Integer Programming (MIP) N P-completo

35 Algoritmo: Spatial B&B 7 1 Oracolo per l equilibrio di Nash: Mixed Integer Programming (MIP) N P-completo 2 Verifica della Pareto efficienza

36 Algoritmo: Spatial B&B 7 E[U2] E[U 1 ]

37 Algoritmo: Spatial B&B 7 E[U2] NE E[U 1 ]

38 Algoritmo: Spatial B&B E[U2] NE E[U 1 ]

39 Algoritmo: Spatial B&B E[U2] NE E[U 1 ]

40 Algoritmo: Spatial B&B E[U2] NE NE E[U 1 ]

41 Algoritmo: Spatial B&B 7 6 E[U2] NE NE E[U 1 ]

42 Algoritmo: Spatial B&B 7 E[U2] NE NE NE E[U 1 ]

43 Algoritmo: Spatial B&B 7 E[U2] NE NE NE E[U 1 ]

44 Algoritmo: Spatial B&B 7 6 E[U2] NE NE NE NE E[U 1 ]

45 Algoritmo: Spatial B&B 7 6 E[U2] NE NE NE SNE E[U 1 ]

46 Algoritmo: Spatial B&B 7 Euristiche: aggiunta di funzione obiettivo al MIP

47 Algoritmo: Spatial B&B 7 Euristiche: aggiunta di funzione obiettivo al MIP max u 1 + u 2

48 Algoritmo: Enumerazione supporti 8 Definizione supporto Insieme delle azioni giocate con probabilità strettamente positiva da un giocatore.

49 Algoritmo: Enumerazione supporti 8 Definizione supporto Insieme delle azioni giocate con probabilità strettamente positiva da un giocatore. 1 Enumerazione supporti e verifica proprietà di Nash: Porter-Nudelman-Shoham, 2004

50 Algoritmo: Enumerazione supporti 8 Definizione supporto Insieme delle azioni giocate con probabilità strettamente positiva da un giocatore. 1 Enumerazione supporti e verifica proprietà di Nash: Porter-Nudelman-Shoham, Verifica della Pareto efficienza

51 Algoritmo: Enumerazione supporti 8 Definizione supporto Insieme delle azioni giocate con probabilità strettamente positiva da un giocatore. 1 Enumerazione supporti e verifica proprietà di Nash: Porter-Nudelman-Shoham, 2004 caso pessimo: 4 n supporti 2 Verifica della Pareto efficienza

52 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT

53 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT

54 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT

55 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT Conitzer, Sandholm, 2008

56 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT Conitzer, Sandholm, 2008

57 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT Conitzer, Sandholm, 2008 MISSING

58 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT Conitzer, Sandholm, 2008 MISSING rilanci esponenziali dell oracolo MIP

59 Generatori di giochi 9 Tre diversi generatori: GAMUT SAT Conitzer, Sandholm, 2008 MISSING rilanci esponenziali dell oracolo MIP E[U2] SNE NE dominati frontiera di Pareto E[U 1 ]

60 Risultati 10 Spatial B&B VS Enumerazione supporti

61 Risultati 10 Spatial B&B VS Enumerazione supporti 2 giocatori, 84 azioni 2 giocatori, 20 azioni

62 Risultati 10 Spatial B&B VS Enumerazione supporti 2 giocatori, 84 azioni 2 giocatori, 20 azioni

63 Risultati 10 Spatial B&B VS Enumerazione supporti 2 giocatori, 84 azioni 3 giocatori, 20 azioni 4 giocatori, 9 azioni 2 giocatori, 20 azioni

64 Risultati 10 2 giocatori Azioni Iterazioni Oracolo NE Verifica PE s 0.04 s s 0.43 s s 184 s s s s s s s s s s s s s > 3 h

65 Risultati 10 2 giocatori Azioni Iterazioni Oracolo NE Verifica PE s 0.04 s s 0.43 s s 184 s s s s s s s s s s s s s > 3 h

66 Lavori futuri 11 SNE in strategie correlate?

67 Lavori futuri 11 SNE in strategie correlate? SNE nei giochi a grafo?

68 Grazie per l attenzione! Powered by L A TEX

69 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE?

70 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione

71 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità

72 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE

73 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE

74 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE dualità forte

75 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE dualità forte Vincoli PE

76 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE dualità forte Vincoli PE

77 Appendice 13 Perchè non posso scrivere un unico problema che racchiuda i vincoli di NE e di PE? Problema di ottimizzazione Problema di ammissibilità Vincoli NE dualità forte Vincoli PE problema non convesso no dualità forte