EVOLUTIONARY GAME THEORY

Transcript

1 STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI EVOLUTIONARY GAME THEORY Vincenzo Auletta Università di Salerno

2 EVOLUTIONARY GAME THEORY Game Theory Singoli giocatori devono prendere decisioni Il payoff ottenuto da un giocatore dipende dalle decisioni di tutti i giocatori permette di ragionare sul comportamento atteso dalle persone quando coinvolte in un gioco Evolutionary Game Theory Idee di Game theory applicate a situazioni in cui i giocatori non fanno ragionamenti o non prendono esplicite decisioni Comportamenti fissati Interessata a capire quali comportamenti tendono a persistere e quali tendono a sparire all interno di una popolazione 1

3 GAME THEORY E EVOLUZIONE Evolutionary Biology Nata dalle idee di Maynard Smith Cerca di spiegare la struttura degli organismi viventi utilizzando la teoria dell evoluzione e della selezione naturale Idea base Caratteristiche di un organismo e suo adattamento all ambiente dipendono dai suoi geni Il successo (fitness) dell organismo dipende dalle interazioni tra il suo comportamento e quello degli altri Caratteristiche e comportamenti di un organismo possono essere viste come strategie di un gioco La fitness di un comportamento è il payoff Dipende dalle strategie di tutti gli organismi Possiamo usare game theory per prevedere l evoluzione di una popolazione? 2

4 FITNESS Fitness di un comportamento o di una caratteristica genetica Dipende dall interazione con gli altri organismi In biologia dipende dalla capacità di procurarsi cibo e di estrarre i nutrienti dal cibo Un comportamento può essere meno efficiente in termini assoluti ma fornire un vantaggio competitivo su altri comportamenti Permette di procurarsi più cibo anche se è meno efficiente nell estrazione dei nutrienti Esempio Un organismo più robusto comsuma più energia ma è in grado di prevalere su organismi più deboli 3

5 UN ESEMPIO: I MAGGIOLINI La popolazione dei maggiolini è formata da organismi piccoli e molto efficienti nell estrazione dei nutrineti dal cibo Una mutazione genetica crea una nuova specie di maggiolini molto più grossi Meno efficienti nell estrazione dei nutrienti ma più forti nella contesa per il cibo Due strategie: Grande Piccolo Fitness dipende dall interazione con gli altri maggiolini Piccolo Grande Piccolo Grande 5, 5 1, 8 8, 1 3, 3 Dipende da con quali maggiolini si deve interagire Se si interagisce con maggiolini piccoli conviene essere piccoli Se si interagisce con maggiolini grandi conviene essere grandi 4

6 EQUILIBRI IN EVOLUTIONARY GAME THEORY? L equilibrio Nash è basato sulla capacità dei giocatori di scegliere la migliore risposta alle strategie degli avversari Un maggiolino può scegliere di essere grande o piccolo? Può cambiare la sua decisione sulla base di quello che fa il suo opponente? Usiamo un concetto di equilibrio differente Valutato nel tempo assumendo che le forze dell evoluzione sono in azione Misura se determinate caratteristiche presenti nella popolazione possono sopravvivere o sono destinate all estinzione 5

7 MODELLO fitness di un organismo in una popolazione payoff atteso dall organismo nell interazione casuale con un altro organismo dela popolazione Misura la capacità dell organismo di riprodursi e trasmettere i sui geni Supponiamo che inizialmente tutta la popolazione utilizzi la strategia S Una modifica genetica o un invasione aliena provoca che una frazione x della popolazione utilizza la strategia T Invasione di livello x Quale strategia prevarrà nel processo evolutivo? Quella che fornisce la fitness più alta 6

8 EVOLUTIONARILY STABLE STRATEGIES Quale strategia prevarrà nel processo evolutivo tra S e T? S respingerà T T soppianterà S Le due strategie coesisteranno La strategia S è una Evolutionarily Stable Strategy (ESS) se esiste x abbastanza piccolo respinge ogni invasione di livello x Nel corso delle generazioni tutta la popolazione adotterà S 7

9 ESS PER I MAGGIOLINI Piccolo Piccolo Grande 5, 5 1, 8 Grande 8, 1 3, 3 Se i maggiolini grandi invadono i piccoli (x sono grandi e (1-x) sono piccoli) Payoff atteso di Piccolo = 5(1-x) + x = 5 4x Payoff atteso di Grande = 8(1-x) + 3x = 8 5x Piccolo < Grande per ogni x 1 I maggiolini piccoli si estinguono Se i maggiolini piccoli invadono i grandi (x sono piccoli e (1-x) sono grandi) Payoff atteso di Piccolo = (1-x) + 5x = 1 + 4x Payoff atteso di Grande = 3(1-x) + 8x = 3 + 5x Piccolo < Grande per ogni x 1 I maggiolini grandi respingono l invasione 8

10 EFFETTO CORSA AGLI ARMAMENTI EVOLUTIVA Effetto corsa agli armamenti Ogni organismo si evolve per vincere la competizione con gli altri organismi e non per usare al meglio le risorse Stesso fenomeno del Dilemma del Prigioniero (non dipende dalla malizia del carattere umano) La selezione naturale non dovrebbe selezionare l organismo più adatto all ambiente? L ambiente è fatto anche di tutta la popolazione Vincere la competizione con gli altri organismi è fondamentale Nel corso delle generazioni la composizione della popolazione cambia La corsa agli armamenti è un adattamento all ambiente che sta cambiando 9

11 EVIDENZE EMPIRICHE DELL EFFETTO CORSA AGLI ARMAMENTI In natura: La distribuzione delle altezze degli alberi in un bosco La distribuzione delle radici delle piante nel sottosuolo L evoluzione di alcuni virus Alcuni comportamenti tipici di individui razionali in una rete sociale possono essere riscontrati anche nei processi evolutivi 10

12 CARATTERIZZAZIONE DELLE ESS S S T a, a b, c Gioco simmetrico a due persone con due strategie Se T invade S a livello x Payoff atteso di S = a(1-x) + bx Payoff atteso di T = c(1-x) + dx S è ESS se a(1-x) + bx > c(1-x) + dx S è ESS se T a > c oppure a = c e b > d c, b d, d 11

13 RELAZIONE TRA ESS E NASH EQUILIBRIA (S, S) è un equilibrio Nash se a c S è un ESS se (a > c) o (a = c e b > d) Se P è un ESS (P, P) è un NE Il viceversa non è vero Considera a = c e b < d S T S T a, a b, c c, b d, d (Cervo, Cervo) è un NE Cervo Lepre Cervo non è un ESS Se l altro sceglie Lepre a me conviene scegliere Lepre Cervo Lepre 4, 4 0, 4 4, 0 3, 3 12

14 RELAZIONE TRA ESS E STRICT NASH EQUILIBRIA Strict Nash Equilibria Ogni giocatore sta giocando l unica best response alla strategia del suo avversario (S, S) è uno SNE se a > c Se (P, P) è un SNE P è un ESS SNE ESS NE NE è basato sul concetto di scelta razionale ESS è basato solo sul meccanismo della selezione naturale e dell evoluzione Le due strade portano a conclusioni simili!!! 13

15 DINAMICHE EVOLUTIVE IN RETI SOCIALI L approccio evolutivo ha avuto origine in biologia Può essere utilizzato anche in ambiti sociali Un grande gruppo di persone si trovano ripetutamente a giocare tra loro un gioco simmetrico Il payoff di ogni giocatore è il welfare ottenuto in tutti i giochi Un giocatore può osservare il passato e vedere le strategie giocate ed i payoff ottenuti L imitazione delle strategie più di successo induce una dinamica evolutiva L apprendimento dalla storia passata può far capire errori e scelte corrette In futuro le persone giocheranno sempre più frequentemente le strategie di successo Alcuni comportamenti possono divenire dominanti ed altri scomparire 14

16 EVOLUTIONARILY MIXED STRATEGIES Esistono giochi senza ESS Una strategia ESS deve essere una best response a se stessa Falco/colomba Evolutionarily Mixed Strategy Colomba Falco Colomba Falco 3, 3 1, 5 5, 1 0, 0 Ogni giocatore gioca una strategia pura ma giocatori diversi possono essere geneticamente programmati per giocare strategie diverse Tutti i giocatori giocano la stessa strategia ma ogni giocatore è geneticamente programmato per giocare una strategia mista Definizioni equivalenti 15

17 EVOLUTIONARILY STABLE MIXED STRATEGY Mixed Strategy Con probabilità p gioca S Con probabilità 1-p gioca T Se riga gioca p e colonna gioca q T Payoff atteso per giocatore riga V(p, q) = apq + bp(1-q) + cq(1-p) + d(1-p)(1-q) Fitness di una strategia payoff atteso nell interazione con un componente a caso della popolazione Evolutionarily Stable Mixed Strategy (ESMS) Strategia mista p tale che per x sufficientemente piccolo p respinge ogni invasione di livello x di un un altra strategia mista q p ha una fitness superiore a q S S T a, a b, c c, b d, d 16

18 ESS VS ESMS E possibile costruire giochi tali che una strategia pura S è ESS La strategia mista che gioca S con probabilità 1 non è ESMS Quando si ragiona di strategie evolutive bisogna sempre specificare se gli invasori giocano strategie pure o miste 17

19 CARATTERIZZAZIONE DELLE ESMS S S T a, a b, c T c, b d, d p è un ESMS se esiste x > 0 tale che per ogni strategia mista q p e per ogni y < x (1-x)V(p, p) + xv(p, q) > (1-x)V(q, p) + xv(q, q) Per x 0 V(p, p) V(q, p) (p, p) è NE misto Se p è un ESMS (p, p) è un NE misto Non è vero il viceversa 18

20 CALCOLO DI ESMS Calcolo i NE misti (p, p) 2. Verifico se p è ESMS (p, p) è un NE misto se p è una best response a se stessa Tutte le strategie pure giocate da p devono dare lo stesso payoff atteso u(colomba, p) = 3p + (1-p) u(falco, p) = 5p u(colomba, p) = u(falco, p) p = 1/3 Colomba Falco Colomba Falco 3, 3 1, 5 5, 1 0, 0 (1/3, 1/3) è un NE misto 19

21 CALCOLO DI ESMS - 2 Se (p, p) è un NE misto che gioca entrambe le strategie allora V(p, p) = V(q, p) p è un ESMS se per ogni q p Colomba Falco (1-x)V(p, p) + xv(p, q) > (1-x)V(q, p) + xv(q, q) V(p, q) > V(q, q) V(p, q) = 1/3 q 3 + 1/3 (1-q) + 2/3 q 5 = 4q + 1/3 V(p, q) = q q(1-q) + (1-q) q 5 = 6q - 3 q 2 V(p, q) - V(p, q) = 3q 2-2q + 1/3 > 0 q 1/3 p è ESMS Colomba Falco 3, 3 1, 5 5, 1 0, 0 20

22 INTERPRETAZIONI DELLE ESMS Due interpretazioni Tutti gli organismi sono geneticamente uguali e predisposti a giocare la stessa strategia mista Ad ogni iterazione scelgono quale strategia pura giocare Tutti gli organismi sono predisposti geneticamente a giocare una strategia pura ma le strategie degli organismi sono differenti La strategia ESMS del gioco Falco-Colomba è tipica di situazioni biologiche Rompe la simmetria tra i comportamenti degli organismi quando questi non sono sostenibili dal punto di vista evolutivo Qualcuno deve sacrificarsi è giocare il ruolo della colomba Le interazioni tra organismi biologici sono in genere di due tipi Dilemma del Prigioniero (preferiscono non collaborare) Falco/Colomba (preferiscono collaborare a spese di uno dei due) Qual è il confine tra queste due tipologie di interazione? 21